戴德金

在 Z[√−5] 里，6 有两种真正不同的分解：6 = 2 · 3，也等于 (1+√−5)(1−√−5)。四个因子谁也不能再拆——范数 N(a+b√−5) = a² + 5b² 对乘法可乘，而范数等于 2 或 3 的数一个也不存在（穷举可验），所以范数 4 的 2 与范数 9 的 3 都拆不动，范数 6 的 1±√−5 同样拆不动。库默尔把这种局面叫做「理想数」缺席：本该存在的因子不在这个数系里。 戴德金不去造那个缺席的数，他改造「因子」这个词：一个因子就是一整族数。p₂ 是所有能写成 2x + (1+√−5)y 的数，p₃、p₃′ 同理。画面左边就是这一族——它是 Z[√−5] 这张格子的一张子格，而它的范数正是子格的指数：范数 2 就是每两个格点亮一个，范数 6 就是每六个亮一个，那块高亮的平行四边形是它的一格。 这么一改，唯一分解就回来了：p₂² = (2)，p₃p₃′ = (3)，p₂p₃ = (1+√−5)，p₂p₃′ = (1−√−5)，于是 (6) = p₂² · p₃ · p₃′，只此一种。上面那两种元素分解，不过是同一串素理想的两种两两合并法——2 = p₂·p₂ 与 1+√−5 = p₂·p₃ 各挑各的搭配罢了。 右边十二个圆点是 (6) 的全部理想因子。实心的六个是主理想（真的有一个数生成它），空心的六个不是——p₂ 自己永远找不到生成元，因为那要一个范数为 2 的数。它们正好按素因子个数的奇偶分开，也就是说这个数系的「理想离主理想有多远」只有两档。戴德金把这个档数叫做类数，这里等于二；类数等于一，就是唯一分解本来就成立的那些数系。

素数在一个数域里分不分得开，本来要在那个域里一个一个试。戴德金 1878 年把这件事整个搬到了地面上：取 θ 的极小多项式 f，把它模 p 分解，分解型逐项就是 p 的分解型——f 分成几个不可约因式，p 就分成几个素理想；某个因式是 d 次的，对应那个素理想的剩余次数就是 d；某个因式是重的，对应的素理想就带那个次方。上面每一格画的就是这件事：一格一个素数，方块的宽窄是因式的次数。 看 x³ − 2 那一列最清楚：p = 5、11、17、23、29 处是「一次加二次」，p = 7、13、19 处整块不分（三次不可约），而到了 p = 31 忽然裂成三块——那是 31 处三个立方根同时现身。p = 2 与 3 两处是整块的三重方块，那是分歧。 这条定理有个前提，而戴德金在同一篇里把前提的必要性也钉死了：p 不能整除指数 [O_K : Z[θ]]。第三个多项式 x³ + x² − 2x + 8 就是他造的反例。它的判别式是 −2012 = −2²·503，而域判别式只有 −503，指数等于 2。到了 p = 2，O_K 里 2 老老实实分成三个互不相同的素理想，可 f 模 2 等于 x²(x+1)——一个二重因式加一个单因式，怎么也对不上。 对不上的原因说破了很朴素：F₂ 里只有两个元素，一个三次多项式最多凑出两个互不相同的一次因式，第三个无处可取。而这件事跟挑哪个 θ 无关——换任何一个生成元都一样。所以在这个域里，整数环根本写不成 Z[θ] 的样子：2 是一个「本质的指数因子」。这是头一个这样的例子，它也说明了为什么理想非要另起炉灶不可：整数环有它自己的形状，未必是某一个数的多项式排出来的。

「无穷」这个词，从前只能反着说：不是有限的，就叫无穷；而「有限」又说不清。戴德金 1888 年把两个词的次序倒了过来，先给无穷下正面的定义（定义六十四）：一个系统，若能与自己的某个真部分一一对应，就叫无穷；做不到的，才叫有限。选 n → n+1 看：它是单射，而像漏掉了 1——全体自然数与「从 2 起的全体自然数」一一对应，而后者是前者的真部分。自然数系于是按定义就是无穷的，一个字也不必绕。 反过来看下半幅：同一个式子搬到 {1, …, k} 上就垮了，k 映到 k+1，压根跑出了这个集合。这不是巧合——有限集上「单射而漏掉一个」办不到，抽屉原理拦着。「有限」从此也有了定义，而且是从「无穷」派生出来的。 有了这条定义，他接着造自然数。定义七十一列了四条：φ 把 N 送回 N、N 恰好是 1 的链、1 不在像里、φ 是单射。四条的内容，就是一年后皮亚诺写下的那几条公理。差别在于第二条——n → 2n 同样是单射、像同样是真部分，所以它也证明了自然数系无穷，可 1 的链只有 1、2、4、8、16…，够不着 3。「无穷」是一回事，「能从一个起点一步步数遍全体」是另一回事，后者靠的是链（定义三十七、四十四）：包含 1 且对 φ 封闭的最小的那个集合。 链一造出来，归纳法就不再是公理而是定理（定理八十），递归定义也不再是理所当然而是需要证明的存在唯一性（定理一百二十六）；再往下，一切简单无穷系统彼此相似（定理一百三十二）——自然数系在同构意义下只有一个。至于「无穷系统确实存在」，他给的证明是定理六十六那段有名的话：我的思想世界，因为「s 能成为我思想的对象」这个思想本身也是一个对象。这一步后来被公认为不成立，公理集合论里改成直接立一条无穷公理。 优先权要说准：「与自身真部分一一对应」这条性质不是他先注意到的——他自己在第二版序言里写明，波尔查诺《无穷的悖论》第二十节（1851）与康托尔 1878 年的论文都指出过；他说自己做的是拿这条性质当定义、并在它上头用严格的逻辑把整个数的科学建起来。

戴德金的模与理想，随手就带出一个新问题：两个模的和与交还是模，那么拿三个模反复做这两种运算，一共做得出多少个不同的模？直觉会说没个完。1900 年他给出的答数是二十八，而且一个也不多。上面这张图就是那二十八个：往上是和，往下是交；拨滑块看它怎么长——三个、九个、二十三个、二十八个，第四轮起再怎么做也不出新的了。 关键在于和与交满足什么律。分配律 (a+b)∩(a+c) = a+(b∩c) 在这里不成立：脚本在这二十八个元素上穷举有序三元组，失败 384 次。成立的是弱一点的那条——a ⊆ c 时，(a+b)∩c = a+(b∩c)，同一遍穷举失败 0 次。今天它叫模律，也叫戴德金律。 这一个字的差别，就是二十八与十八的差别：三个集合在并与交下只生成 18 个，而什么律都不加的话，三个生成元就能生成无穷多个。模律恰好卡在中间，卡出一个有限而不平凡的数。那个 18 也是他算的——1897 年《论按最大公因子分解数》里他做的正是分配这一档，并把四个生成元的答数算到了 166；这一列数今天就叫戴德金数，越往后越难算。 不成立的形状可以指出来：按「中间那颗钻石」看，图正中有一底、三中、一顶的五个元素，三个中层两两取交都是底、两两取和都是顶——这就是 M₃。一个格是分配格，当且仅当它里面既没有 M₃ 也没有 N₅；这颗钻石就是分配律在这里失效的全部原因。 这件事在当时几乎无人理会。戴德金管这套结构叫「对偶群」，而「格」这个名字与这门学问的正式起步，要等到三十多年后伯克霍夫与奥雷的工作——他们回头才发现，公理早已在戴德金这两篇文章里写全了。