数学群星MATHEMATICAL LUMINARIES

Thābit ibn Qurra · 约836–901

塔比·伊本·库拉

两千年里人们只知道一对亲和数，他给出了造下一对的法则；而好几部希腊数学书传到今天，全靠他译过

p=3⋅2n−1−1,q=3⋅2n−1,r=9⋅22n−1−1p = 3\cdot 2^{n-1} - 1,\quad q = 3\cdot 2^{n} - 1,\quad r = 9\cdot 2^{2n-1} - 1
亲和数造数法 ·《论用一种简易方法求亲和数》第十命题 · 三个都是二以外的素数时，2ⁿpq 与 2ⁿr 互为对方的真约数之和 · n=2 给出 220 与 284

塔比·伊本·库拉约 836 年生在上美索不达米亚的哈兰（今土耳其东南），母语是叙利亚语，另通希腊语与阿拉伯语。哈兰人信的是萨比教——一支把星辰当作神明来敬的古教，与希腊文化渊源很深，也因此出过异常多的天文学家与数学家。改变他一生的是一次路过：巴格达的穆罕默德·伊本·穆萨·伊本·沙基尔（「穆萨三兄弟」中的长兄，当时巴格达最肯出钱找书、找人的一家）行经哈兰，发现这个年轻人通好几种语言，便把他带回了巴格达。他后来成为哈里发穆阿台迪德（892–902 在位）身边的人，901 年 2 月 18 日卒于巴格达。他的生年学界并无定论：沃普克所据的阿拉伯文抄本记他生于回历 221 年、卒于回历 288 年，折合 836 与 901；另有权威著作作约 830。他的儿子锡南、孙子易卜拉欣·伊本·锡南都是有名的学者，后者在数学上尤其出色——有两部旧题在塔比名下的书，今人认为其实出自这个孙子或另有其人。

他一生做的是两件事，两件都做到了顶。一件是译书与校书：阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》的第五至七卷、阿基米德的《引理集》等几种，希腊原文全都失传了，今天读得到，是因为他把它们译成了阿拉伯文；《原本》与《大成》的阿拉伯文本经他校订之后，此后的阿拉伯传本大多从他这一支出来。另一件是他自己的数学，而且不是零散的补注：亲和数他给了一条造数法并且证明了它，勾股定理他推广到任意三角形，抛物线求积他另走一条路——把积分区间切成不相等的份，这是已知最早的一次；圆柱斜着切出来的是什么，他专门写了一部书回答；杆秤上秤杆自己的重量怎么算，他也专门写了一部。欧几里得第五公设他试证过两次，一次靠「两条线一边越靠越近、另一边就越离越远」，一次靠运动，两次都没成，可后来一路试下去的人是从他这里接着往下走的。

塔比·伊本·库拉肖像
《中间诸书》第 112 叶正面 · 哥伦比亚大学图书馆藏 MS Or 306（1265 年抄本），Wikimedia Commons，公有领域。塔比没有画像传世，所以这里放他自己名下的那一页书。《中间诸书》是一部合订本，收的是「读完《原本》、读《大成》之前该读的那些书」，共十七种；第十二种就是他的《假设之书》，起于这一叶。左上角用阿拉伯数码写着叶码 112，最上一行大字题「塔比·伊本·库拉·哈兰尼《假设之书》校订本」——他的名字与哈兰的出身都在这一行里。页上七幅图都用朱笔画，天头与两侧写满了后人的批注。同一册里紧挨在它前面的一种是阿基米德的《引理集》，那部书的希腊原文早已失传，只靠他的阿拉伯译本传了下来

生平

  1. 约836
    生于哈兰

    上美索不达米亚的古城，萨比教的中心。母语叙利亚语，另通希腊语与阿拉伯语。另有权威著作作约830。

  2. 九世纪中
    穆罕默德·伊本·穆萨路过哈兰

    「穆萨三兄弟」的长兄，见他通数种语言，把他带去巴格达，让他跟兄弟几个学数学。

  3. 《圆锥曲线论》五至七卷
    译成阿拉伯文

    前四卷由希拉勒·希姆西译，这三卷是他译的。希腊原文此后失传，全书七卷的完帙只剩这一支。

  4. 《引理集》
    阿基米德只剩这一支的几种之一

    希腊原文失传，靠他的阿拉伯译本传下来。哥伦比亚大学藏《中间诸书》里，它就排在他自己那部《假设之书》前头。

  5. 《原本》《大成》
    校订阿拉伯文本

    此后的阿拉伯传本大多从他这一支出来。

  6. 《论用一种简易方法求亲和数》
    十条命题

    序里说完全数尼科马库斯只给了求法、欧几里得连证明一起给了，而亲和数「两位都不曾提起」。

  7. 《论苏格拉底名下那个正方形与对角线的证明》
    勾股定理的三个新证与一个推广

    推广到任意三角形：AB² + BC² = AC·(AE + CD)。

  8. 《论抛物线的测量》
    不等分的上和与下和

    底边按 1 : 3 : 5 : … 切开，纵坐标就成了等差——已知最早一次把积分区间切成不相等的份。

  9. 《论圆柱的截面及其表面》
    斜截面是椭圆

    并证半轴 a、b 的椭圆与半径 √(ab) 的圆一样大；还处理了保面积的变换。

  10. 《秤之书》
    把秤杆自己的重量算进去

    立在一条引理上：相等的几个重物可以换成它们的和挂在中点。中世纪欧洲读到的是《秤书》拉丁译本。

  11. 《论比的合成》
    把算术的说法搬给几何量

    希腊人只把自然数叫作数，不肯对几何量用算术的词；他系统地用了，为把「数」推到正实数开了路。

  12. 两次试证第五公设
    都没成

    一次假定两条线一边越靠越近、另一边就越离越远，一次用运动。后人一路试下去，最后走出了非欧几何。

  13. 892–902
    在穆阿台迪德身边

    阿拔斯朝后期最有作为的哈里发之一。

  14. 901年2月18日
    卒于巴格达

    儿子锡南、孙子易卜拉欣·伊本·锡南都是有名的学者。

  15. 十二世纪
    克雷莫纳的杰拉德译《秤书》

    他的力学由此进入拉丁世界。

  16. 1852
    沃普克刊出亲和数那一篇

    巴黎帝国图书馆所藏抄本，法译序与十条命题的全部陈述，登在《亚洲学报》上——这是近代第一次读到这条法则的原文。

  17. 今人考订
    《论第八重天的运动》不是他写的

    旧题在他名下、只剩拉丁译本的那一篇，今人认为几乎可以肯定不出自他手；颤动说最早与他的名字连在一起，是这么来的。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

220 与 284 之后，下一对在哪里

两个数，各自把真约数加起来，得到的正是对方。这样的一对古人只知道一个；他给出了造下一对的法则，并且证明了它。

2npq 与 2nr,p=3⋅2n−1−1, q=3⋅2n−1, r=9⋅22n−1−12^n pq \ \text{与}\ 2^n r,\quad p = 3\cdot 2^{n-1}-1,\ q = 3\cdot 2^{n}-1,\ r = 9\cdot 2^{2n-1}-1

220 的真约数是 1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110，加起来是 284；284 的真约数是 1、2、4、71、142，加起来正好是 220。这一对古已有之——塔比自己的序里就说，毕达哥拉斯一派拿数来给他们的学说作例证，其中特别要找的有两类，一类是完全数，另一类就是「他们习惯称为亲和的那些数」。接着他说了一句很要紧的话：完全数的求法尼科马库斯写下过，可没有给证明；欧几里得不但写下了求法，还在《原本》的数论各卷里连证明一起给了，而且把它摆在全书末了，当作自己所能达到的最高处。至于亲和数，「我没有见到这两位当中的哪一位提起过它们，也没有见到他们对它们有过一星半点的留意」。于是他写道：这套理论要由我来建立。他的法子照《原本》第九卷造完全数的样子来：从一起排一串加倍的数，取它们的和，再由这个和造三个数——照今天的记号，就是 3·2ⁿ⁻¹ − 1、3·2ⁿ − 1、9·2²ⁿ⁻¹ − 1。三个都是二以外的素数时，2ⁿ 乘前两个、2ⁿ 乘第三个，就是一对亲和数。n=2 给出 220 与 284；n=4 给出 17296 与 18416；n=7 给出 9363584 与 9437056；其余各档到 n=24 为止，总有一个是合数。这条法则不网罗一切亲和数——1866 年一个十六岁的意大利人帕加尼尼找到 1184 与 1210，比 17296 小得多，却不是这个形状。费马、笛卡尔各自重新得到过同一条法则；欧拉一口气添了五十八对。

拖动 n 看三个数一档档试过去；成的那几档会把两个数的真约数之和当场加给你看

亲和数是这样一对数：各自把真约数加起来，得到的正是对方。220 与 284 这一对古希腊人就知道， 可谁也没说过第三对在哪里。塔比给了一条造数法，并且证明了它： 从 1 开始排一串倍数、取和，由这个和造出 t、h、s 三个数；三个都是素数， 就得到一对亲和数。拖动 n 看它一档档试下去——n = 2 得 220 与 284， n = 4 得 17296 与 18416，n = 7 得 9363584 与 9437056，其余各档总有一个数是合数。 法则不网罗所有亲和数：1866 年一个十六岁的意大利人找到了 1184 与 1210， 比 17296 小得多，却不是这个形状。

勾股定理，任意三角形版

自顶点作两条线，割出两个与原三角形相似的小三角形——两条边上的正方形，就等于底边上的两个长方形。

AB2+BC2=AC⋅(AE+CD)AB^2 + BC^2 = AC \cdot (AE + CD)

《原本》第一卷命题四十七只管直角三角形。塔比问的是：不是直角的时候，AB² + BC² 等于什么？他的答案不添任何新东西，只添两条线。三角形 ABC，自顶点 B 向底边 AC 作 BE 与 BD，使 ∠AEB 与 ∠BDC 都等于 ∠ABC；这样割出的 △ABE 与 △CBD 都与原三角形相似。于是两步就完了：△ABE ∽ △ACB（同有 ∠A，又有一角相等），给出 AB : AC = AE : AB，即 AB² = AC·AE；同理 BC² = AC·CD。两式相加，AB² + BC² = AC·(AE + CD)。∠ABC 是直角时，E 与 D 合成高的垂足，AE + CD 恰好等于 AC，右边退回 AC²——正是欧几里得那一条。这条命题与余弦定理是同一件事的两种写法：AE + CD 比 AC 多出（或少掉）的那一段记作 ED，则 AC·ED 恰好等于 2·AB·BC·|cos B|，也就是馆里阿尔·卡西那件「第三条边」里的修正项。区别在语言：卡西那一条要先有角的函数，塔比这一条一个函数也不用，两次相似就够，是欧几里得写得出来的句子。他同一篇里还给了勾股定理本身的三个新证明。

勾股定理只对直角三角形成立。塔比的办法是：任意一个三角形，都能自顶点 B 作两条线， 割出两个与它自己相似的小三角形——而两条直角边上的正方形，就等于底边上的两个长方形。 拖动顶角看 E、D 两点怎么移动：顶角大于直角时它们分开，小于直角时交错重叠，恰好等于直角那一刻两点合一，两个长方形合成底边上的正方形，就是勾股定理。 多出或少掉的那一块 AC·ED，正是余弦定理里的 2ab cos C——所以这条命题与馆里 阿尔·卡西那件「第三条边」说的是同一件事，只是塔比用的是欧几里得的语言：两次相似，一句函数也没有。

他把底边按 1 : 3 : 5 : 7 切开

上和下和把弓形夹住，这不稀奇；稀奇的是分点不等距——不是为了逼得更快，是为了加得出来。

k2n2−(k−1)2n2=2k−1n2\frac{k^2}{n^2} - \frac{(k-1)^2}{n^2} = \frac{2k-1}{n^2}

抛物线弓形的面积是底乘高的三分之二。这个数阿基米德已经求出来了，可据研究者的意见，塔比手上并没有阿基米德讲这件事的那两部书，他是另求了一遍。他的办法是内接与外接两道阶梯逐段相夹：条数越多夹得越紧，夹缝恰好是 1/n，所以想多小有多小，任何别的数都卡不进去。真正新的是分点。取抛物线 y² = x、弓形由它与 x = 1 处的弦围成，若按老办法等距地切，第 k 条的高是 √(k/n)，要加的是 1 + √2 + √3 + … ——这串数没有求和公式，古代也没有任何办法加得动。塔比把分点取在 (k/n)² 上：各条的宽就成了 (2k−1)/n²，彼此之比正是 1 : 3 : 5 : … : (2n−1)，合起来 n²/n² = 1；而各条的高成了等差的 k/n。于是上和只剩 (1/n³)·Σ(2k² − k)，要用的只有平方和与自然数和两条古人早有的公式，逐档都是整数比：n=8 时上和 93/128、下和 77/128。这是已知最早一次把积分区间切成不相等的份，而它的动机一点也不玄——不等分不是为了逼得更快（等分与不等分的夹缝都是 1/n），是为了那个和加得出来。

抛物线弓形的面积是底乘高的三分之二——这个数阿基米德已经求出来了，塔比又求了一遍， 而据研究者的意见，他手上并没有阿基米德讲这件事的那两部书。 他的办法是拿内接与外接两道阶梯把弓形夹住，条数越多夹得越紧；夹缝恰好是 1/n， 所以想多小有多小。要紧的是分点：他不是等距地切，而是把底边按 1 : 3 : 5 : 7 … 切开。 点一下「改成等分试试」就看得见为什么——等分之后每一条的高是 √k， 而 Σ√k 在古代根本没有求和的办法；按奇数切开，各条的高立刻成了等差， 要加的只剩平方和与自然数和两条现成公式。这是已知最早一次把积分区间切成不相等的份。

斜着切圆柱，切出来的是椭圆

而半轴 a 与 b 的椭圆，与半径 √(ab) 的圆一样大——在他的语言里，面积要用另一个面积来说。

πab=π(ab)2\pi a b = \pi \left(\sqrt{ab}\right)^2

圆锥斜着切出三条曲线，这件事阿波罗尼奥斯讲完了，而那部书的第五至七卷正是塔比译的。圆柱斜着切呢？他写了一整部《论圆柱的截面及其表面》来回答：不论圆柱正斜，平面截它得到的总是椭圆；正着切的那一刀最小，就是圆柱自己的那个圆，倾角越大截面越长。书里最漂亮的一句是面积：半轴为 a 与 b 的椭圆，面积等于半径 √(ab) 的圆的面积。今天我们写 πab，他写的是一个圆——因为在希腊-阿拉伯几何的语言里，一块面积要说清楚，得拿另一块已知的面积来说，而圆是已知的。把两个图形叠在一起就看得见这句话：椭圆探出圆外的两块，与圆探出椭圆外的两块，永远一样大。这部书还处理了保持面积的变换，以及截面里哪一个最大、哪一个最小，是已知最早认真算一段柱面面积的工作之一。

圆锥斜着切出三条曲线，这件事阿波罗尼奥斯讲完了；圆柱斜着切，切出来的是什么？ 塔比写了一整部书回答它：切面永远是椭圆，正着切的那一刀最小， 也就是圆柱自己的那个圆。接着他给出这一部书里最漂亮的一句话——半轴为 a 与 b 的椭圆，与半径 √(ab) 的圆一样大。 拖动倾角看长半轴怎么抻长：椭圆被拉扁，可它与那个虚线圆始终同样大小， 探出圆外的两块与圆探出椭圆外的两块永远抵消。今天写成 πab 的那个公式， 他写成的是一个圆——因为在他的语言里，面积要用另一个面积来说。

秤杆自己也有重量

等臂天平上它两边抵消，杆秤上不行。他写了一部书处理它，全书立在一条引理上。

x=Wd−Tw,T=λ[(L−c)2−c2]2x = \frac{W d - T}{w},\qquad T = \frac{\lambda\left[(L-c)^2 - c^2\right]}{2}

阿基米德的杠杆是一根没有重量的杆：力矩相等就平衡。可真做一杆秤不是这样——杆秤（阿拉伯人叫 qarasṭūn，罗马秤）的支点不在中间，短臂挂物，长臂上推一枚游码，长臂那一头的杆本身就在往下压，而且两边不对称，压下去的那一份不会自己抵消。塔比的《秤之书》处理的就是这件事，全书立在一条引理上：相等的几个重物，可以换成它们的和挂在中点，平衡不变。这条引理为什么足够用，一行就写得完：一段杆对支点的力矩，恰好等于这一段的重量乘这一段的中点。所以把秤杆切成几段、每段的重量挪到自己那一段的中点，合起来与整根杆的精确力矩一格不差——切一段也对，切十二段也对，均匀的那一档一段就已经精确。要动用上和与下和的，是杆不均匀的那一档。这套「切开、各挪到一点、再合起来」的走法，与他在抛物线那一篇里做的事是同一个念头，只是一个切的是面积，一个切的是重量。中世纪欧洲从克雷莫纳的杰拉德译的《秤书》里读到它，此后的静力学一直在这条线上。

等臂天平上，秤杆自己的重量两边一样多，可以不管；杆秤不行—— 支点不在中间，长臂那一头的杆本身就在往下压。塔比写了一整部《秤之书》处理它， 全书立在一条引理上：相等的几个重物，可以换成它们的和挂在中点，平衡不变。拖动下面那根滑块看这条引理有多结实：把秤杆切成几段、每段的重量都挪到自己那一段的中点， 合起来的力矩与整根杆的精确值一格不差——切一段也对，切十二段也对。 道理是一段的力矩恰好等于「这一段的重量 × 这一段的中点」，所以一段就已经精确。 上面那两个方块是游码该停的位置：空心的是把秤杆当成没有重量算出来的， 实心的是把杆重算进去之后的真答案，两者相差 0.864——与物重多大无关， 它是这根杆自己的那一份。

第五到第七卷，只剩他这一支

阿波罗尼奥斯的后三卷、阿基米德的好几种，希腊原文全没了。今天读得到，是因为九世纪有人在巴格达把它们译成了阿拉伯文。

巴格达的「穆萨三兄弟」肯出大价钱找希腊抄本、找能读它们的人。长兄穆罕默德·伊本·穆萨行经哈兰时遇见了这个通叙利亚语、希腊语与阿拉伯语的年轻人，把他带回巴格达——这一带，带出了数学史上一段罕见的账：阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》原有八卷，希腊文只传下前四卷，第五至七卷（第八卷彻底失传）今天读得到，用的是他的阿拉伯译本；阿基米德的《引理集》等几种，同样只剩这一支。他还校订了《原本》与《大成》的阿拉伯文本，此后的阿拉伯传本大多从他这里出来。这件事有多要紧，看一个例子就够：《圆锥曲线论》第五卷问的是「从平面上一点到圆锥曲线各点的线段里，哪一条最短、哪一条最长」，答案牵出了后来叫作渐屈线的东西——这一卷通常被认为是全书最了不起的一卷，而它没有希腊原文。他本人则是个萨比教徒，信的是被当时的巴格达视作异端的星辰崇拜；哈兰那一支古老的希腊学脉，就这样经由一个异教徒的手，转进了阿拉伯文，又在几百年后转进拉丁文。

故事展签故事展签：把书从一种文字搬到另一种文字，有时候就是让它活下来的唯一办法。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

亲和数造数法与它的证明⟶费马与笛卡尔各自重新得到同一条法则，欧拉一口气添了五十八对⟶把大数拆成素因子有多难，今天是 RSA 与整个密码学的本钱
抛物线求积：把区间切成不相等的份，上和下和逐段相夹⟶海什木算四次方和、卡瓦列里的不可分量、黎曼与达布的上下和⟶今天每一次数值积分，分点该疏该密都是算出来的
AB² + BC² = AC·(AE + CD)：勾股定理推广到任意三角形⟶与余弦定理互为表里，图西整理成解三角形的一套办法⟶由两边一角求第三边——测量平差、导航与碰撞检测里天天在算
半轴 a、b 的椭圆等于半径 √(ab) 的圆，以及保面积的变换⟶仿射变换下面积按定比缩放，成为线性代数里行列式的几何意义⟶计算几何与计算机图形里，一个矩阵把面积放大多少倍就看它
《秤之书》：把秤杆自己的重量算进力矩⟶杰拉德的拉丁译本传进欧洲，中世纪的重量科学由此起步⟶起重、桥梁与机器人手臂的静力学，算的还是这一笔
译出《圆锥曲线论》第五至七卷，希腊原文此后失传⟶十七世纪欧洲重新读到它，开普勒与牛顿手里的圆锥曲线才有全套性质可用⟶今天算一条轨道、定一次深空探测的窗口，用的仍是这几卷里的曲线

语录

「至于那些被称为亲和的数，我没有见到这两位当中的哪一位提起过它们，也没有见到他们对它们有过一星半点的留意。既然前人关于这些数说过的只有我刚才说的那些，那么这套理论，就由我来把它建立起来。」

—— 《论用一种简易方法求亲和数》序 · 据沃普克 1852 年在《亚洲学报》上刊出的法译转译（大意）。「这两位」指尼科马库斯与欧几里得

「毕达哥拉斯和他那一派的古代哲学家们怎样在学说里使用数，怎样偏爱这种用法，又怎样在他们想要确立的大部分理论里拿数来作例证——这些事，在钻研希腊人著作的人当中是很流传、很为人所知的。」

—— 同上，全篇的头一句 · 他要接着说的是：这些数里有两类他们特别想找，一类是完全数，另一类就是亲和数

「欧几里得把这套理论摆在他全部研究的末了，当作自己所能登上的最高一级，以至于有人以为它就是这几卷书里最高的目的、最后的一步。」

—— 同上，说的是《原本》第九卷末尾那条造完全数的命题 · 他接下去说的是：亲和数那里，还空着