Adrien-Marie Legendre · 1752–1833

勒让德

最小二乘他先印出来，互反律是他起的名，椭圆积分他算了四十年——三件事后来都挂在别人名下

0 = \textstyle\sum ab + x\sum b^2 + y\sum bc + z\sum bf + \cdots

最小二乘的正规方程 ·《彗星轨道新法》附录，1805 · 把每条观测方程乘上某个未知数在那条方程里的系数，再把所有乘积加起来令它为零，一个未知数一条——今天每一次拟合仍从这里出发

勒让德 1752 年 9 月 18 日生于巴黎一个有产之家（也有证据说生在图卢兹、幼年随家迁到巴黎），在马扎然学院受的教育，1770 年十八岁时在那里作了数学与物理的答辩。家产足以养活他，他就一直留在巴黎做研究。1775 至 1780 年他与拉普拉斯同在军事学校教书；1782 年柏林科学院悬赏「求空气阻力下炮弹与炸弹的轨迹」，他的论文得了奖，也由此进入拉格朗日的视野。1783 年入巴黎科学院，1787 年参加巴黎天文台与格林尼治天文台之间的三角联测——球面三角学里的勒让德定理就出自那一次。1791 年他进了度量衡委员会，米的长度所依据的那次子午线测量，他是算账的人之一。革命毁掉了他的家产，他结了婚，靠妻子把家里的事一点点理顺。1824 年他拒绝为政府提名的院士候选人投票，军事学校那份养老金被停了，晚年清贫，1833 年 1 月卒于巴黎（多数文献作 9 日，另有作 10 日的）。

他一生的怪处在于：他名下的东西，多半不是他先做的；而他先做的，又多半被别人做完了。最小二乘 1805 年由他第一个印出来，四年后高斯说自己 1795 年就在用；二次互反律「互反」这个名字是他 1785 年起的，可他的证明有个洞，第一个完整的证明是 1801 年高斯给的；小于 x 的素数有多少，他 1798 年先写下公式的形状、1808 年配出常数 1.08366，高斯又说自己更早；椭圆积分他归类、造表、算了四十年，阿贝尔与雅可比把它倒过来一看，三卷书刚印完就旧了；连勒让德多项式也有很长一段时间被叫作「拉普拉斯系数」。他为此愤怒过——1827 年那封给雅可比的信里，他把两笔账一起算了。可他也是那个年代对年轻人最慷慨的人之一：阿贝尔那篇被科学院耽搁的论文，是他读后称作「一座比青铜更耐久的纪念碑」的；1828 年 2 月他在给雅可比的信里把阿贝尔与雅可比并称作「两位年轻的几何学家」，说看着这两个人把自己钻研了一辈子、在本国却无人理会的那一支继续做下去，是极大的满足。没有争议的功劳他也留下不少：《几何学原理》十二版以上，把欧几里得赶出了欧洲与美国的中学课堂；π² 无理的第一个证明和「π 大概连代数数都不是」的猜想；三元二次型那条以他命名的可解性判据；以及椭圆积分的三类标准形。

《数论》第二版第 394 页，巴黎 1808 · Wikimedia Commons，公有领域。勒让德是全馆最反常的一位：他有照片一样确凿的同时代画像传世，可那是一幅漫画，而且两份扫描都不到 608 像素宽；更麻烦的是印了近两百年的那幅侧面像根本不是他。所以这里放他自己的那一页书。这一页是第八节「素数计数里观察到的一条很值得注意的规律」：先是那条公式 y = x/(log x − 1.08366)，接着十六行对照，左栏是公式算的，右栏是照维加的素数表数的，从一万数到四十万。那个 1.08366 是从这张表里配出来的，半个世纪后被切比雪夫否掉

生平

1752年9月18日
生于巴黎
有产之家。另有证据说生在图卢兹，幼年随家迁到巴黎。
1770
马扎然学院答辩
十八岁，数学与物理。与其说是学位论文，不如说是一份研究计划。
1775–1780
军事学校教书
同事是拉普拉斯，任命出自达朗贝尔的推荐。
1782
柏林科学院的有奖征解
题目是空气阻力下炮弹与炸弹的轨迹，他的答卷得奖，研究生涯由此开始。
1784
《行星的形状研究》
为算椭球的引力引进了后来叫勒让德多项式的那族函数；很长一段时间它们被称作「拉普拉斯系数」。
1785
《不定分析研究》
写下二次互反律并给它起名，给出三元二次型的可解性判据，并断言首项与公差互素的等差数列里有无穷多素数。
1787
巴黎—格林尼治三角联测
球面三角的勒让德定理：小球面三角形把三个角各减去球面超的三分之一，就能当平面三角形解。
1791
进度量衡委员会
米制那一轮的天文观测与三角测量，他是算账的人之一。
1794
《几何学原理》第一版
把《原本》重排简化，此后十二版以上，在欧洲与美国当了一百年课本。注四里证明 π 与 π² 都无理，并猜测 π 不是任何有理系数代数方程的根。
1798
《数论》第一版
第 19 页脚注：真正的公式想必形如 x/(A log x + B)，「精确定出这两个系数是个有趣的问题，值得分析家们施展机敏」。
1805年3月6日
《彗星轨道新法》附录
共和历十三年风月十五日。八页的《论最小二乘法》，这套方法第一次印出来，末尾是德朗布尔与梅尚那条子午线弧的算例。
1808
《数论》第二版
第 394 页给出 x/(log x − 1.08366) 与十六行对照表；互反律那一章改用高斯的证明，并注明了出处。
1809
高斯《天体运动论》
书里用了最小二乘，并声称 1795 年就在用。此后二十多年，勒让德一直在争这件事。
1811–1819
《积分学练习》三卷
椭圆积分、贝塔函数与伽马函数；第三卷几乎全是表。
1824
养老金被停
他拒绝为政府提名的院士候选人投票。
1825–1828
《椭圆函数论》三卷
四十年工作的总结：三类标准形、变换与十二位的表。印完没几年，阿贝尔与雅可比的椭圆函数就让它成了旧书。
1827年11月30日
致雅可比的那封信
「这种过分的厚颜，在一个本身分量足够、不需要把别人的发现据为己有的人身上，是难以置信的。」同一封信里他把互反律与最小二乘两笔账一起算了。
1833
《关于证明平行线理论的各种方法的思考》
科学院《回忆录》第十二卷 367–412 页，他去世那年印出。里面承认「角和不能小于两直角」那一半「我们没能完全解决」，同一篇里又说内角和这条定理是无可争辩的基本真理。
1833年1月
卒于巴黎
多数文献作 9 日，另有作 10 日的。葬在奥特伊，妻子 1856 年葬在他旁边。
1837
狄利克雷证明等差数列里的素数
正是他 1785 年断言、1798 年拿来补互反律证明的那件事，隔了五十二年。
1882
林德曼证明 π 超越
他 1794 年在注四里猜的那一句。
2005
那张脸被发现不是他
通行近两百年的侧面像画的是同名的革命政治家路易·勒让德；确证的画像只有布瓦伊 1820 年那册水彩漫画里的一幅，2008 年重新被人翻出来。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

方程比未知数多的时候

四段弧、五个纬度，要定的只有两个数。多出来的那几条怎么办——他让误差的平方和最小。

L' - L = \frac{S}{28500} + \zeta\frac{S}{28500} + \alpha\frac{270}{\pi}\sin(L'-L)\cos(L'+L)

1805 年那本讲彗星轨道的小书末尾附了八页东西，题目叫《论最小二乘法》。开头一句把问题说尽了：从观测里定几个量，往往得到一组形如 E = a + bx + cy + fz + … 的方程，方程比未知数多，误差不可能同时清零。怎么分摊？他说，在所有可以提出的原则里，没有比「让误差的平方和最小」更普遍、更准确、也更容易用的了——这样误差之间会建立起一种平衡，极端的那一个压不住其余的。接着他做了一件很现代的事：把方法用在一笔真账上。德朗布尔与梅尚刚量完敦刻尔克到蒙特惠奇的子午线，四段弧、五个纬度。地球若是椭球，一段弧长与两端纬度之间有一条关系，里面只有两个未知数：扁率与四十五度那一度的长。四条方程配两个未知数，配不上。他把五个纬度各自的改正数当成误差，求平方和最小，解得扁率 1/148、那一度长 28497.78 个模块（一模块合两托瓦兹）。1/148 离谱得很——今天的值约 1/298——他自己也说不能采信，因为摆长和天文给的是 1/320；于是把扁率钉死在 1/320 再解一次，得 28504.09，与米所依据的那个数 28504.10 只差 0.01。他顺手记了一句：若只认法国这一段的测量，米还得缩短大约四千五百分之一。这套办法就这样第一次印在了纸上。四年后高斯在《天体运动论》里用了它，并称自己 1795 年就在用。

拖动扁率与那一度的长，看五个纬度的改正数怎么跟着动；他自己解出的那两点各标一面旗

扁率 α = 1/14845 度一度 = 28497.77

地球若是椭球，一段子午线弧的长度与两端的纬度之间有一条关系，里面只有两个未知数：扁率 α 与四十五度那一度的长。四段弧给出四条方程，两个未知数配不上，于是他把五个纬度各自的改正数当成误差，让误差的平方和最小。解出来的扁率是 1/148——离谱（今天的值约 1/298），他自己也说不能采信；把扁率钉在摆长给出的 1/320 再解一次，那一度是 28504.09 modules，与米所依据的 28504.10 只差 0.01。代价是误差变大：最大的一个落在埃沃，5.83 角秒。他把这几秒归给局部的引力异常，并由此说了一句很有分量的话—— 定普遍度量单位，子午线弧不如摆长可靠。

八个情形，只有三个证得干脆

「互反律」这个名字是他起的。他把它分成八种情形，三种当场证完，另外五种要先有一个素数——而那个素数在不在，他不知道。

\left(\frac{n}{m}\right) = (-1)^{\frac{m-1}{2}\cdot\frac{n-1}{2}}\left(\frac{m}{n}\right)

两个奇素数 m 与 n，问「m 是不是 n 的平方剩余」和「n 是不是 m 的平方剩余」。1785 年那篇《不定分析研究》里他写下了两者之间的关系，并说可以把它叫作互反律——这个名字就是这么来的。1798 年《数论》第 164 条把它摆成一条公式，又按两个素数模 4 的余数分成八个情形逐条去证。他的工具是一条漂亮的不可能性：某些形状的方程 A·x² + a·y² = b·z² 无解，于是三个同余条件不能同时成立。由此第 IV、V、VII 三个情形当场就出来了，用不着任何额外假设——他自己在第 169 条里就是这么写的。其余五个情形，他的办法是先找一个辅助素数，要它对两个给定的素数各取指定的符号；这样的数落在一串等差数列里，而他写道：我们不怀疑那里头有素数，因为照引论里的估计，它们占全部素数的八分之一。这一句就是那个洞。一条等差数列里到底有没有素数，当时没人证得出来。高斯 1801 年在《算术研究》里指出了这一点，并给出第一个完整证明；勒让德 1808 年第二版改用高斯的证明，注明了出处，可也一直不肯承认发现权旁落。他借的那件事，1837 年才由狄利克雷证明——馆里狄利克雷那一页讲的正是它。

第 3 对：13 与 3

「互反律」这个名字是他 1785 年起的。1798 年他把它拆成八个情形逐条证明，其中只有 IV、V、VII 三个是干脆证完的——他自己在第 169 条里就这么写。其余五个都要先有一个辅助素数，对两个给定的素数各取指定的符号；这样的数落在一串等差数列里，而他写道：我们不怀疑它含有素数，因为它们占全部素数的八分之一。这个八分之一确实对（拖动看每一对现算的比例），可「一条等差数列里一定有素数」当时谁也证不出来。高斯 1801 年指出了这个洞并给出第一个完整证明；勒让德 1808 年第二版改用了高斯的证明。而他借的那件事，要等到 1837 年狄利克雷——那正是本馆狄利克雷那一页的镇馆内容。

小于 x 的素数有多少：第一条公式

1.08366——他从素数表里配出来的这个常数，让公式在他看得见的那一段赢得漂亮，也把它锁死在错的地方。

y = \frac{x}{\log x - 1.08366}

1798 年《数论》的引论里他先给了一条粗糙的规律：十的 n 次方以内素数大约占 1/(2n)。脚注里他接着写：真正的公式想必是 x/(A log x + B) 这个样子，而「精确定出这两个系数是个有趣的问题，值得分析家们施展机敏」。1808 年第二版第 394 页他自己回答了：A = 1，B = −1.08366。同一页上摆着十六行对照，从一万数到四十万，左栏是公式算的，右栏是照维加的素数表数的——最坏的一行也只差二十几个。这个常数就是从这一段数据里配出来的，而麻烦也在这里：让公式在 x 处配得最准的那个数并不是常数，它随 x 慢慢下滑——十万处是 1.0876，十亿处 1.0566，10¹⁶ 处 1.0297，爬向 1 的速度像 1/log x 一样慢。1850 年切比雪夫证明，这个极限若存在就只能是 1，1.08366 从此出局（馆里切比雪夫那一页写着这件事）；1896 年阿达马与德拉瓦莱普桑证明了素数定理。可在勒让德能够看到的四十万以内，1.08366 比 B = 1 准得多，要到 10¹² 上下 B = 1 才反超。另外值得一记的是他那张表的右栏：与今天的真值最多只差一个，而多出来的那一个多半是 1——他 1798 年那张千以内的素数表就是从 1 起头的。

x = 10^5

上幅是他 1808 年那张表逐行复原：「他的公式」那一栏十六行全部对（等于 x/(log x − 1.08366) 四舍五入到个位），「他的计数」那一栏与今天的 π(x) 最多差一个。下幅是那个常数的命运：让公式在 x 处配得最准的那个数并不是常数，它随 x 一路下滑——十万处 1.0876，十亿处 1.0566，10¹⁶ 处 1.0297，像 1/log x 一样慢地爬向 1。1850 年切比雪夫证明极限若存在就只能是 1， 1.08366 就此出局。可在他能够看到的四十万以内，他赢得很漂亮：要到 10¹² 上下，B = 1 那一支的误差才反超他。

第三个角，凭什么只由前两个角定

两角夹一边，三角形就定了，所以第三个角是这两个角与那条边的函数。他说：边是长度，进不了角的式子——于是那条边被划掉了。

\cos C = -\cos A\cos B + \sin A\sin B\cosh p

《几何学原理》1794 年第一版的注二里，三角形内角和等于两直角的证明只有半页。两角 A、B 夹着一条边 p，三角形就完全定了，所以第三个角是三者的函数 C = φ(A, B, p)。可是取直角为单位之后 A、B、C 都是数，p 是一条长度，两者不同类；若真有一个把四者连起来的等式，就能从中解出 p 等于某个数——荒谬。所以 p 出不了现，C = φ(A, B)。剩下三行就完了：直角三角形的两个锐角合成一个直角，任意三角形拆成两个直角三角形。他自己也觉出这里有蹊跷，注里还特地答复了一个反对意见——球面三角形里两个角并不能定第三个角。他的答复是：球面上多一个量，球的半径 r，所以式子该写成 C = φ(A, B, p/r)，而 p/r 是个数，当然进得去。这个答复恰好错过了另一半：一个几何若自带一个绝对的长度单位，同样的事照样会发生。双曲几何正是如此——罗巴切夫斯基那一页的镇馆之宝「平行角」，说的就是一个角被一条长度定死。他并非一无所获：1800 年第三版里他用另一条路证明了角和不可能大于两直角（把全等三角形排成一长列，直线终究短过折线），那一半至今叫萨凯里-勒让德定理。另一半他试了三十年，1833 年那篇《关于证明平行线理论的各种方法的思考》里承认没能完全解决；同一篇里他又写道，内角和这条定理应当被看作那些无可争辩的基本真理之一。

两个角 A = B = 60°夹边 p = 0.659

他的证明只有半页：两角夹一边，三角形就定了，所以 C = φ(A, B, p)；可 A、B、C 是数而 p 是长度，两者不同类，p 进不了这个式子，于是 C = φ(A, B)—— 内角和是常数。图里三条曲线是同一句话的检验：把两个角钉死，只拉长那条夹边。欧氏那条是平的，球面与双曲那两条都不是。他其实答复过球面上的反对意见：球面多一个量，半径 r，所以式子该写成 C = φ(A, B, p/r)。他没想到的是，一个几何自带绝对长度单位时也会这样——双曲几何正是如此，罗巴切夫斯基那一页的「平行角」说的就是一个角被一条长度定死。边拉到最右端时双曲那个 C 归零：第三个顶点跑到无穷远，亏量到顶，那也正是这类三角形的面积上限。

四十年，他把一整片积分归成三类

椭圆的弧长积不出来，摆的周期也积不出来。他把这一片积分全归到三个标准形，再造出十二位的表——让它们像对数一样可以查。

E K' + E' K - K K' = \frac{\pi}{2}

《椭圆函数论》的导言说得很清楚：如果能把这些至今只以「求积」之名出现的超越量按次序排好，找到把它们化到最简的办法，又能在它们成为确定的数时便当地算出近似值，那么这些量就可以像圆弧与对数一样，被放进分析里使用。他做成的正是这三件事。第一件是归类：凡是被积函数带着一个四次多项式的平方根的积分，都能化成初等函数加上三类标准形——第一类 F、第二类 E、第三类 Π。第二件是算法：降模的变换把模一步步压小，收敛快得出奇。第三件是表，一直造到第十二位。于是椭圆的周长成了 4aE(e)，单摆摆幅六十度时的周期成了小摆角周期的 1.0732 倍，都是查一次表的事。他为此花了四十年：1827 年写给雅可比的信里说，这套理论「我可以自称是它的创立者，四十多年来几乎一直是我一个人在做」。而就在同几年，阿贝尔与雅可比把积分倒过来看，写出了双周期的椭圆函数，三卷书刚印完就成了旧书。他对这两个年轻人极其慷慨：阿贝尔那篇在巴黎被搁置多年的论文，他读后称它是一座比青铜更耐久的纪念碑；1828 年 2 月的信里他把两人并称作「两位年轻的几何学家」，说看着自己钻研了一辈子、在本国却无人理会的那一支被他们继续做下去，是极大的满足。他自己留下的东西里有一条至今叫勒让德关系：两个互补的模，四个完全积分，永远锁在半个 π 上。

模角 θ = 45°（k = sin θ = 0.7071）φ = 60°

他要做的事写在《椭圆函数论》的导言里：把这些「积不出来」的量排好次序、化到最简、再算成表，让它们像圆弧与对数一样可以直接用。归类的结果是三类标准形 F、E、Π——凡是被积函数带着四次多项式平方根的积分，都能化成初等函数加上这三类。这里每一档都把同一个数用两条路算出来：左边是原式，右边是标准形拼出来的，十位小数逐位相同；求积用的节点正是勒让德多项式的零点。底下那条 E·K′ + E′·K − K·K′ = π/2 是他自己留下的恒等式，两个互补的模锁着四个量。把模角拨到 45°、φ 拨到 20°，就能对上他第二卷里那个查表的例子。

书上印了两百年的那张脸，不是他

一幅侧面像，底下只写着「Legendre」一个姓，进了词典、课本与数学史。2005 年才有人发现，画的是同名的一位革命政治家。

那幅侧面像出自十九世纪的一套名人石印，画面下方只有一个姓：Legendre。凡是要给数学家勒让德配一张脸的，两百年里用的都是它。2005 年有人去核来历，发现画的是路易·勒让德（1752–1797）——法国大革命时期的议员，原本的屠户，生年碰巧与数学家同年。确证的勒让德画像今天只剩一幅，而且是漫画：布瓦伊 1820 年为法兰西学院七十三位院士画的那册水彩漫画像，第 29 幅是勒让德，第 30 幅是傅里叶（馆里傅里叶那张肖像的原作也出自布瓦伊之手，两个人隔着一页纸）。这一册 2008 年重新被人翻出来。画上的他尖下巴、鼻头上翘、一脸不耐烦，这就是他留给后世的唯一面孔——而两份扫描都不到六百像素宽，塞不进这座馆的肖像位。所以他这一格里放的不是脸，是他自己的一页书：《数论》第二版第 394 页，上面印着那条素数公式和那张表。这件事本身也算给他作了个注脚：一个人名下的东西被记到别人账上，连脸都不例外。

故事展签故事展签：一个姓氏，两个同年生的人；而那幅漫画里的人，一直要到 2008 年才被重新找出来。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

最小二乘：让误差的平方和最小，1805 年第一次印出来⟶高斯给出概率解释与正规方程的解法，成为大地测量的标准算法⟶今天每一次 GPS 定位、每一次测量平差、每一次回归拟合，解的都是同一组正规方程

x/(log x − 1.08366)：素数计数的第一条公式⟶切比雪夫把那个常数逼成 1，阿达马与德拉瓦莱普桑 1896 年证明素数定理⟶素数有多稀，决定了生成一个 RSA 密钥平均要试多少个数，也就决定了密码学的成本

勒让德符号与二次互反律：判断一个数是不是平方剩余⟶雅可比符号把它推广，用辗转相除的办法几步就能算完⟶今天的素性检验与密钥生成天天在算这个符号，加密与安全的第一步就在这里

把带四次根式的积分全归到三类标准形，并造出十二位的表⟶阿贝尔与雅可比把它倒过来，长成椭圆函数与双周期⟶从磁场线圈的电感到卫星轨道的摄动，工程上算到最后还是他那三类

为算椭球的引力引进勒让德多项式⟶球谐函数成为分离变量法的标准零件，高斯又拿它的零点做出数值积分的求积公式⟶氢原子的轨道形状、地球重力场模型与全球气候的数值模拟，用的都是这一族函数

他用量纲的道理证明三角形内角和是两直角，又三十年证不出另一半⟶罗巴切夫斯基与波尔约干脆把那一半当成新几何的入口⟶空间是不是平的成了一个要靠测量回答的问题，今天的答案写在宇宙形状的观测里

语录

「在所有可以为此提出的原则里，我认为没有比这一条更普遍、更准确、也更容易应用的了：让误差的平方和成为最小。用这个办法，误差之间会建立起一种平衡，它不让极端的那一个占上风，因而最能让人认出整个系统离真相最近的那个状态。」
—— 《彗星轨道新法》附录《论最小二乘法》，1805，第 72–73 页 · 法文原句见 De tous les principes qu'on peut proposer pour cet objet… 此处是中译，大意如上

「精确地定出这两个系数，会是一个有趣的问题，值得分析家们施展他们的机敏。」
—— 《数论》第一版第 19 页的脚注，1798 · 说的是 x/(A log x + B) 里的 A 与 B。十年后他自己在第二版里给出 A = 1、B = −1.08366；而正确的答案 A = 1、B = −1 要等 1896 年。此处是中译，大意如上

「高斯怎么竟敢让人转告您，说您那些定理大多数他早已知道、而且他在 1808 年就发现了？这种过分的厚颜，在一个本身分量足够、不需要把别人的发现据为己有的人身上，是难以置信的。——可正是这同一个人，1801 年想把 1785 年发表的互反律算在自己名下，1809 年又想把 1805 年发表的最小二乘法据为己有。」
—— 1827 年 11 月 30 日致雅可比，巴黎伏尔泰河岸 9 号 · 见雅可比《全集》第一卷「与勒让德的数学通信」398–399 页。编者在同页加注：互反律要分开看，发现与证明是两回事，第一个证明确是高斯给的。此处是中译，大意如上

「我可以自称是这套理论的创立者，四十多年来几乎一直是我一个人在做。」
—— 同一封信，397 页，说的是椭圆积分 · 此处是中译，大意如上