Godfrey Harold Hardy · 1877–1947

哈代

他一辈子只肯做「没有用处」的数学，还专门写了一本书为此辩护——而他名下流传最广的一页，是替一位生物学家算的一道乘法

Z(t) = e^{i\theta(t)}\,\zeta\!\left(\tfrac{1}{2}+it\right) \in \mathbb{R}

哈代的 Z 函数 · 1914 年 4 月 6 日巴黎科学院，由阿达马转交的那篇三页短文。把 ζ 在临界线上的值乘一个纯相位，得到的是一条实曲线；他证明这条曲线不可能从某处起只待在一边——它必须变号无穷多次，于是那条线上有无穷多个零点

戈弗雷·哈罗德·哈代 1877 年 2 月 7 日生于萨里郡的克兰利。父亲是克兰利学校的司库兼图画教员，母亲在林肯的师范学院当过高级教师——两人都有数学的才分，却都没上过大学。据斯诺记述，他两岁就能把数字写到百万，跟着上教堂时把赞美诗的号码拆成因数玩。1890 年考取温切斯特公学的奖学金，1896 年进剑桥三一学院。当时的数学优等考试要把全体考生排到个位名次，靠职业教练一题一题操练；他后来在《一个数学家的辩白》里承认，那时候数学对他只意味着一件事：三一学院的一个研究员席位。1898 年他考了第四名。真正的转折来自应用数学家勒夫的一句建议——去读若尔当的《分析教程》。他写道：「我永远忘不了读那部了不起的书时的惊讶——它是我那一代许多数学家最初的启蒙——我第一次明白了数学究竟是什么意思。」1900 年当选三一学院研究员。1908 年他写出《纯数学教程》，第一次把大陆那套讲极限与连续的严格写法完整地交给英国的本科生；也正是在这一年，他给美国的《科学》杂志寄去一封只有一页半的读者来信。

1911 年他开始与李特尔伍德合作，1913 年收到拉马努金的信——他自己说这两件事「显然是我一生中决定性的事件」。与李特尔伍德的合作持续了三十五年、近一百篇论文，两人立了四条几乎是反着来的规矩：写信过去，说的对不对都无所谓；收到信，不必读、更不必回；最好不要同时想同一个细节；每一篇都署两个人的名字，功劳一律均分，不论实际上谁做了多少。哈拉尔德·玻尔转述过一句玩笑：「如今英国只有三位真正伟大的数学家——哈代、李特尔伍德，和哈代–李特尔伍德。」1919 年他去牛津接萨维尔几何讲座，自己说最好的时候是「刚过四十、在牛津当教授那几年」；1931 年回剑桥任萨德勒讲座，直到去世。他是坚决的反战者，也是坚决的无神论者：1916 年罗素因反战被三一学院除名，他是奔走得最卖力的一个，1942 年还私印了一册《罗素与三一》，把那件事原原本本记下来；他把板球看得和数学一样要紧。1939 年一次心脏病之后体力再没恢复，1940 年写成《一个数学家的辩白》。1947 年 12 月 1 日卒于剑桥——皇家学会原定就在那一天把柯普利奖章授予他。

佚名摄，1890 年代 · Wikimedia Commons，公有领域。这是他二十岁上下的样子，也是他仅有的几张照片之一——据斯诺说，他一生不肯让人给他照相，房间里不放镜子，住旅馆头一件事是拿毛巾把镜子盖上

生平

1877年2月7日
生于萨里郡克兰利
父亲是克兰利学校的司库兼图画教员，母亲在林肯的师范学院当过高级教师；两人都有数学才分，都没上过大学。
1890
考取温切斯特公学
靠奖学金入学。此前在克兰利学校念到十二岁。
1896
入剑桥三一学院
1898 年数学优等考试第一部分第四名，1900 年考完第二部分，1901 年与金斯同获史密斯奖。
1900
当选三一学院研究员
在此之前，他自陈「数学对我主要意味着三一的一个研究员席位」。
1908
《纯数学教程》
英国第一部把数、函数、极限、级数从头讲严格的本科教材。第十版至今仍在重印。
1908年4月5日
写给《科学》的那封信
7 月 10 日登在《科学》新辑第 28 卷 49–50 页。魏因贝格 1908 年 1 月 13 日已在斯图加特讲过同样的结论，早他三个月。
1910
当选皇家学会会员；名次排行取消
数学优等考试从此不再按名次发榜——他是逼着评议会通过这项改革的那个委员会的秘书之一。
1910
《无穷的阶》
剑桥数学小册子第 12 号。副题写明了源头：保罗·杜布瓦-雷蒙的「无穷计算」。
1911
与李特尔伍德开始合作
此后三十五年、近一百篇论文，四条合作规矩一直没变。
1913年1月
拉马努金的信
另外两位剑桥学者收到同一批信没有回音。次年他把人接到了三一学院。
1914
ζ 在临界线上有无穷多零点
3 月 12 日先在伦敦数学会宣读，4 月 6 日由阿达马转交巴黎科学院，印在《报告》第 158 卷 1012–1014 页。
1915
解析函数模的均值
证明 M_p(r) 随 r 不减、且是 log r 的凸函数。1923 年 F. 里斯把这一族函数记作 H^p，名字用的是他的。
1916·1918
两件与别人名下的东西有关的事
1916 年他把魏尔斯特拉斯那条处处不可导曲线的条件从 ab 大于 1 + 3π/2 放宽到 ab ≥ 1，并去掉「a 是奇整数」的限制（馆里魏尔斯特拉斯那一页的演示上标着这个界）；1918 年与拉马努金给出分拆数的渐近公式，圆法由此发端。
1916
罗素被三一学院除名
他是最卖力奔走的一个，1919 年再推复职；1942 年私印《罗素与三一》一册记其始末，1970 年才有正式版。
1919
牛津萨维尔几何讲座
他自己说最好的时候是「刚过四十、在牛津当教授」的那几年。
1920
就职讲演：华林问题
圆法第一次讲给外行听，连玻尔那个「挂满灯的铁轨」的比喻一起。结论：每个充分大的数都是 21 个四次方之和。
1920
《关于希尔伯特一条定理的注记》
写出那条后来叫哈代不等式的式子，并指出常数 (p/(p−1))^p 最优——可他没有证，也没敢就此断言离散的情形。
1920–1928
《分割数论》八篇
与李特尔伍德。华林问题、哥德巴赫型问题与素数对猜想的渐近公式都在这一系列里。
1921年6月21日
兰道的来信
给出离散型不等式带最优常数的证明。哈代 1925 年那篇把这封信照引了出来。
1926
「我说废掉就是废掉」
数学协会主席演说《反对数学优等考试》：英国数学最好的事情莫过于把这场考试废掉——「我说『废掉』就是废掉，不是改革」。
1931
回剑桥，萨德勒讲座
接霍布森的位子，做到去世。1926–1928、1939–1941 两任伦敦数学会主席。
1934·1938
《不等式》与《数论导引》
前者与李特尔伍德、波利亚合写，后者与赖特合写。两本至今仍是课本。
1940
《一个数学家的辩白》
题献给「要我写这本书的约翰·洛马斯」。斯诺说它是一曲对已经逝去的创造力的哀歌。
1943
「哈代–魏因贝格定律」
斯特恩在《科学》上指出魏因贝格独立而且更早，这条定律才多了一个名字。在这之前英语世界叫它「哈代定律」。
1947年12月1日
卒于剑桥
皇家学会原定这一天把柯普利奖章授予他。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

那条线上的零点，第一次有了无穷多个

黎曼猜想说零点全落在那条线上。他证不出「全」，就去证「无穷多」——办法是把 ζ 在那条线上变成一条实曲线，再说明它不可能从某处起只待在一边。

Z(t) = e^{i\theta(t)}\zeta\!\left(\tfrac{1}{2}+it\right), \quad \theta(t) = \arg\Gamma\!\left(\tfrac{1}{4}+\tfrac{it}{2}\right) - \tfrac{t}{2}\log\pi

1914 年 4 月 6 日，阿达马替他把一篇三页的短文交到巴黎科学院。开头他先交代形势：玻尔与兰道同年 1 月 12 日刚刚证明，ζ 的复零点绝大多数都挤在临界线的任意窄带里；「我现在打算证明的是，在 ζ 的零点中，落在直线 σ = 1/2 上的有无穷多个。」这是黎曼 1859 年提出猜想之后五十五年里，关于那条线的第一个无条件结论。办法很迂回。ζ 在临界线上取的是复值，可以乘上一个模为 1 的相位因子把它掰成实的——今天写作 Z(t)，这条实曲线每穿过一次横轴，就是临界线上的一个零点。于是「有无穷多个零点」等价于「这条曲线变号无穷多次」，而后者的反面是：从某个 T 往后它只保持一个符号。哈代就去否定这个反面。他从卡昂 1894 年博士论文里的一条积分公式出发（梅林 1895 年重新发现过它），把曲线与一个核函数配起来积分，再对参数求 2p 次导；用椭圆函数理论的一条引理加上玻尔与马塞尔·里斯关于狄利克雷级数可和性的定理，证明这个积分有一个不为零的极限。可假若曲线从 T 起只保持一个符号，同一个积分在 p 取奇数时就会大得没有边际，与极限存在矛盾。他脚注里补了一句：这个结果 3 月 12 日已经在伦敦数学会讲过。要说清的是，无穷多离「全部」还极远：高度到 T 为止的零点总数约是 (T/2π)·log(T/2πe)，随 T 涨得飞快，而「无穷多个」本身可以稀疏到任何程度。1921 年他与李特尔伍德把它加强到「至少正比于 T」，1942 年塞尔伯格第一次证出一个固定的正比例，1974 年莱文森做到三分之一，1989 年康瑞做到五分之二，2020 年推进到十二分之五。一百一十年过去，剩下那一半还没有人碰到。

把窗口沿 t 轴往右推：那条实曲线一路摆下去，每穿过一次横轴就是临界线上的一个零点；右边数着到这里为止它穿了多少次，并与黎曼–冯·曼戈尔特的计数公式对着看

窗口起点 t = 10

ζ 在临界线上取的是复数，可以乘一个模为 1 的因子把它掰成实数：Z(t) = e^(iθ(t))·ζ(1/2 + it)，而 |Z(t)| 就是 |ζ(1/2 + it)|。于是「临界线上有零点」这件事变成了「这条实曲线穿过横轴」，「有无穷多个零点」变成了「它变号无穷多次」。哈代 1914 年证的正是后者：假设它从某个高度起只待在一半里，就能推出矛盾。把窗口往右推，零点会越挤越密（平均间距约 2π/log(t/2π)），而画布上实测的变号次数始终贴着黎曼–冯·曼戈尔特公式的预测。要当心的是，这一切都离黎曼猜想还很远：无穷多个零点在这条线上，不等于全部零点都在这条线上。

把单位圆想成一条挂满灯的铁轨

「n 能写成几个 k 次方之和」这个数，可以写成单位圆上的一条积分。可整个圆都是奇点——他与李特尔伍德发现，真正发光的只有分母小的那些有理点。

r_{k,s}(n) = \frac{\Gamma(1+1/k)^{s}}{\Gamma(s/k)}\,\mathfrak{S}(n)\,n^{s/k-1} + O(n^{\sigma})

1920 年他到牛津就任萨维尔讲座，就职讲演讲的是华林问题：是不是每个正整数都能写成固定个数的 k 次方之和？把「n 有几种写法」记作 r(n)，它正是生成函数的第 n 个系数，柯西定理立刻把它写成一条绕原点的围道积分。麻烦在于单位圆上处处是奇点，圆本身是一道推不过去的墙。他们的主意是：这些奇点里有一类占着支配地位，就是那些有理点，而分母越小分量越重。讲演里他转述了玻尔给的一个比喻——把单位圆想成一条细铁轨，上面挂着无穷多盏亮度不等的小灯，各自照亮身前的一小段；最亮的那盏在 1 处，其次在 −1 处，再次在两个三次单位根上。积分的那条圆要摆在「照得最匀」的位置：离太远光够不着，离太近灯与灯之间的暗缝又盖不住。k 等于 2 时办得到，因为那时候函数是椭圆函数，线性变换公式就是灯；k 大于 2 时光束「像鱼雷，像雪茄」，怎么挪都留一块黑——这一关卡了他们大约两年。后来想出的办法是让铁轨本身发一点微光（也就是次弧上的估计），微弱得叫人恼火，可够用了。算出来的主项是一条叫奇异级数的东西，它把 r(n) 的大小完全定住：同样是二十一个四次方，形如 16m+10 的数的写法数，比形如 16m+2 的多两百倍上下（复算得约 229 倍）。结论是每个充分大的数都是 21 个四次方之和。这套办法今天叫圆法，源头其实更早一点——1916 至 1918 年他与拉马努金算分拆数时就用了它（那一件在拉马努金那一页）；1928 年维诺格拉多夫把法雷弧的切法整个换成指数和，才成了今天的样子。

要数「n 有几种写法」，柯西定理把它变成单位圆上的一条积分。可圆上处处是奇点。玻尔给哈代的比喻是：把圆想成一条挂满小灯的铁轨，每盏灯照亮身前一小段，分母越小的有理点上灯越亮；积分的那条圆要摆在「照得最匀」的位置。上图那些往外伸的实线就是各盏灯的分量；下图把圆剪开摊平，画的是 |f(α)| 在每个有理点上的峰高（峰本身极窄，宽度只有 M 的 −k 次方那么大，画不出来）。右边把现算的系数与 1920 年印本上那张表逐格对着放：k=2 与 k=4 两行四项逐位相同，而立方那一行的第三项，印本的正负号是反的（S(7,3) 是负数而 s=7 是奇数，这一项非负不可）。

取一遍平均，最多放大四倍

把一串数换成它的前 n 项平均，平方和至多涨到四倍。4 这个数是最好的——而给出最好那个证明的信，是兰道写来的。

\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\right)^{p} < \left(\frac{p}{p-1}\right)^{p}\sum_{n=1}^{\infty}a_n^{p}

这条不等式的起点不是不等式，是希尔伯特。希尔伯特 1906 年那篇讲积分方程的长文里附带证出一条双级数定理，而它的证明在哈代看来绕得厉害。1919 年他写了一篇简化的注记，1920 年又写了一篇，题目干脆叫《关于希尔伯特一条定理的注记》。就在这篇里他写下了那条后来以他命名的式子：把一串非负数换成它们的前 n 项平均，这些平均的 p 次方和不超过原来那串数 p 次方和的 (p/(p−1))^p 倍。他同时指出这个常数是最好的——拿 x 的 −1/p−δ 次方当例子，δ 往 0 走就逼得上去。可有意思的是，他并没有证明这条不等式；连续型他只写了出来，离散型他说自己能证明常数不会更小，但「眼下还不敢断言」不等式本身就带着这个常数成立。补上这一步的是兰道 1921 年 6 月 21 日的一封信，里面给了一个从伯努利不等式出发的、四五行就完的证明。哈代 1925 年在《数学信使》上那篇把整件事写清楚，并把兰道的信照引了出来——所以今天有些书把离散的那条叫哈代–兰道不等式。p 等于 2 时常数就是 4。它取不到：用 N 项能达到的最好比值随 N 单调上升却永远小于 4，而且爬得极慢，一万项才 3.305，十万项才 3.469。顺带说一句，另一件以他命名的东西他同样没有起过名字：1915 年他证明解析函数在半径 r 的圆上模的 p 次平均随 r 不减、并且是 log r 的凸函数；1923 年 F. 里斯把满足这条有界性的函数族记作 H^p，名字取自他。今天控制工程里的 H∞ 设计、信号处理里的解析信号，做的都是这块空间里的事。

项数 N = 200

把一串非负数 a₁, a₂, … 换成它们的前 n 项平均，哈代说：这些平均的平方和，不超过原来那串数平方和的 4 倍（一般的 p 次方是 (p/(p−1))^p 倍）。左图就是这句话：深色那条是平均的平方和，金色那条是四倍的原平方和，深色永远压在金色底下。4 是最好的常数，可它取不到—— 右图画的是「只用 N 项时最好能到多少」，它单调地往 4 爬，却爬得极慢：一万项才 3.305，十万项才 3.469。哈代 1920 年那篇写下了式子、指出 4 最优，却没有给出证明；把离散的情形连最优常数一起证完的，是兰道 1921 年 6 月 21 日写给他的一封信。

一封读者来信，和它带来的一百年麻烦

显性的性状会不会慢慢占满整个人群？他用一行小学乘法回答：不会，而且从第二代起就再也不动了。

p : 2q : r \ \longrightarrow \ (p+q)^{2} : 2(p+q)(q+r) : (q+r)^{2}

1908 年 2 月 28 日，剑桥的动物学家庞尼特在伦敦皇家医学会的流行病学组讲《孟德尔学说与疾病》。讨论时统计学家尤尔提了一条反驳：短指症既然是显性的，长此下去，在没有别的因素作用时，该是三个短指对一个正常人才对。庞尼特答不上来，回剑桥就去找哈代——两人熟是因为一起打板球，又一起当过一个委员会的秘书，那个委员会是为了保住剑桥入学考试里的希腊文。哈代 4 月 5 日写了封信，7 月 10 日登在《科学》上，开头先说自己不情愿插嘴一个自己不内行的讨论，「我本以为这个很简单的道理生物学家早就熟悉了」。接着是全部内容：设纯显性、杂合、纯隐性三种人的数目之比是 p 比 2q 比 r，若交配随机、两性均匀分布、生育力相同，那么「一点乘法表水平的数学」就够看出下一代的比是 (p+q)² 比 2(p+q)(q+r) 比 (q+r)²。什么时候这个比与上一代相同？条件是 q² = pr；而新的三个数自动满足这个条件，所以不论从什么比出发，从第二代起就永远不动了。他还算了个例子：起初纯短指与纯正常之比是 1 比 10000，下一代短指的人与正常人之比是 20001 比 100020001，约合 2 比 10000，「是上一代的两倍；而此后这个比例再没有任何增长的趋势」。倘若短指是隐性的，那个比是 1 比 100020001，约合一亿分之一，此后也不会减少。「一句话，说显性性状会蔓延到整个人群、或者隐性性状会消亡，一点根据也没有。」这一页半有三件事值得说清。其一，他不是第一个：魏因贝格 1908 年 1 月 13 日已经在斯图加特把同样的结论讲了出来，比他早三个月，而且做得更远；尤尔 1902 年与皮尔逊 1904 年处理过两种等位基因各占一半的特例，哈代自己在附记里就点了皮尔逊的名。英语世界叫了三十五年「哈代定律」，1943 年斯特恩在《科学》上指出这件事，才改成今天的叫法。其二，为什么寄给美国的《科学》而不是就近的《自然》：庞尼特 1950 年写信告诉斯特恩，那时候《自然》对孟德尔派极不友好，凡沾上的一律不登。其三，这封信今天进了全世界的生物教科书，每一份全基因组关联研究开跑之前都要拿它做第一道质控——而《一个数学家的辩白》里，关于它一个字也没有。

AA 占 0.50Aa 占 0.20

尤尔的疑问是：短指症既然是显性的，长久下去不该变成三个短指对一个正常吗？哈代的回答只用了「乘法表水平的数学」：设三种基因型之比是 AA : Aa : aa，随机交配下一代就是 (AA+Aa/2)² : 2(AA+Aa/2)(Aa/2+aa) : (Aa/2+aa)²，而它自动满足 (Aa/2)² = AA·aa 这个不动的条件。画在德·菲内蒂三角里格外清楚：等位基因的频率一代也不变，所以那一步永远是竖直的，而落点必在那条抛物线上；第三代与第二代一模一样。末尾那个算例是他信里原样的整数——他故意挑了个极端的起点，好让「显性会蔓延」这个直觉彻底站不住。

谁跑得快是定死的，可要跑到一个七百万位的数那里才看得出来

x 的千分之一次方，和对数的一千次方，最后谁大？答案是定的。而它们分出高下的地方，是一个七百二十万位的数。

x^{1/1000} = (\ln x)^{1000} \quad \Longleftrightarrow \quad \ln x \approx 1.6627 \times 10^{7}

1910 年他出了一本七十页的剑桥小册子，叫《无穷的阶》，副题老老实实写着来处：保罗·杜布瓦-雷蒙的「无穷计算」。序言里他说得很清楚，这套想法是杜布瓦-雷蒙的，只是那人写得晦涩，又有不少地方按今天的标准算不得证明，所以他来把默认的东西一条条证出来。其中最要紧的一条在第三章第 2 节。他先定义什么叫对数–指数函数（简称 L 函数）：由加减乘除、开方、log 和 e 的幂这几样符号，对 x 和实常数作有限次组合得到的实值函数——x、x^a、log x、e^x、x/log x、e^(√(log x)) 全在内。定理说：任何一个 L 函数最终连续、最终定号、最终单调，而且要么趋于无穷、要么趋于零、要么趋于某个定极限；更要紧的是后半句——任意两个 L 函数的商也逃不出这三种情形。翻成大白话就是：拿两个这样的函数比谁跑得快，答案一定有，绝不会出现「你追我赶永不分胜负」。这句话今天看起来像废话，可它恰恰是「时间复杂度谁大谁小」这类问题有意义的前提。答案有，不等于看得见。x 的千分之一次方最终一定超过 log x 的一千次方，可两条曲线相交的地方在 log x ≈ 1.6627 千万处，也就是 x 大约是 10 的 7220801 次方——一个七百二十万位的数。书的第五章讲那些不服从这把尺子的函数：有的增长本身在两个 L 函数之间来回摆荡，有的不摆荡却没有任何 L 函数量得住它。可第六节他又转回来：至今还没有人定义出一种真正独立于对数–指数的增长方式，「还没有一个在分析中自己冒出来的函数，它的增长规律说不清，或者说不成对数–指数的话」。这一句后来成了一个专名——这类函数构成的结构今天叫哈代域。书末附录三是三一学院的杰克逊替他算的几张数值表，哈代在表前先声明「除一两处外都只是近似，有时还是相当粗的近似」；迭代对数那一张逐格复算都对得上，迭代指数那一张里 e 的 e 的 e 次方印作 3814260，而实际是 3814279.1，下一格照着这个错数接着算，印成了 10 的 1656510 次方（真值是 10 的 1656520.4 次方）。

指数 a = 1/1000

哈代 1910 年那条定理说：由 + − × ÷、开方、log 与 e 的幂有限次拼出来的函数（他叫它们 L 函数），任意两个最终一定分得出快慢—— 要么一个压倒另一个，要么商趋于一个定极限，绝不会你追我赶永不分胜负。所以「x 的千分之一次方和 ln x 的一千次方谁大」这个问题一定有答案。答案是前者。可两条线相交的地方在 ln x ≈ 1.663 × 10⁷ 处，那时 x 是一个 7,220,802 位的数。图里那条虚线是个反例：它在两条幂函数之间永远摆荡，没有一个 L 函数量得住它—— 那是书第五章的内容。而第五章末了他又写道：至今还没有人定义出一种真正独立于对数–指数的增长方式。这类函数构成的结构，今天就叫哈代域。

「我从来没有做过任何有用的事」

1940 年，六十三岁，创造力已经走了。他写下一本为纯数学辩护的小书，并且把自己的一生摆上去当证物。

《一个数学家的辩白》1940 年 11 月出版，题献给「要我写这本书的约翰·洛马斯」。正文第一句就是一句认输的话：一个职业数学家发现自己在写关于数学的文章，这是一种忧伤的经验，因为数学家的本分是做点什么、证出新定理，而不是谈论自己或别人做过什么。全书为纯数学辩护，靠的不是有用，恰恰是无用。第 10 节：「数学家和画家、诗人一样，是造图案的人。如果他的图案比他们的更长久，那是因为它们是用思想造的。」「美是第一道检验：丑陋的数学在这世上没有长久的地方。」第 4 节：「数学，比任何别的艺术或科学都更是年轻人的游戏。」到第 29 节，他把话收回自己身上：「我从来没有做过任何『有用的』事。我的任何发现，不论直接还是间接、不论好坏，都不曾、也不大可能给这世界的面貌带来丝毫差别。」这本书今天最常被引的两句话，是它预言落空的那两句。第 28 节他写：还没有人发现数论或相对论能派上什么战争的用场，看来许多年里也极不可能有人发现。这句话写下的时候，他和这本书都不知道布莱切利园正在发生什么；而数论今天是每一次网上付款的底子。更安静的一个反讽在他自己身上：他一辈子独著或合著约三百五十篇论文，可要论今天被翻开得最多的一页，多半是 1908 年那封替庞尼特解围的读者来信——而《辩白》里对它一个字也没提。不过把这本书读成一串反讽是读浅了。斯诺在序里说，它是一曲对已经逝去的创造力的哀歌；而哈代自己在同一本书里早就把话说尽了：他只承认一条为自己辩护的理由——他往知识上添了一点东西，也帮别人添了一点，而这些东西的价值与伟大数学家的创造只有程度之别，没有种类之别。

故事展签故事展签：他为「没有用处」写了一本辩护书；八十年后，书里举的两个「没用」的例子，一个成了全世界的付款底座，另一个成了他自己最常被翻开的一页。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1914 年证明 ζ 在临界线上有无穷多个零点，此后一百一十年一路加到十二分之五⟶零点之间的间距统计，被发现与随机矩阵的本征值间距是同一条分布⟶今天核能级、量子混沌与素数被同一套统计描述——一条从数论长到物理的通道

圆法：把「有几种写法」写成单位圆上的积分，再按分母把圆切成主弧与次弧⟶维诺格拉多夫 1937 年用它证明充分大的奇数都是三个素数之和，2013 年赫尔夫戈特把「充分大」去掉⟶同一套「写成积分、按频率分开估计」今天是纠错码算重量分布、哈希函数估碰撞概率的常规办法

1915 年证明解析函数模的 p 次平均随半径不减、并且是对数凸的⟶F. 里斯 1923 年把这族函数记作 H^p，以他的名字命名⟶今天的自动控制把「最坏情况下的放大倍数」写成这块空间里的范数，H∞ 设计是工业界的标准工具；信号处理里的解析信号与希尔伯特变换住的也是这里

1908 年那封读者来信：随机交配下，基因型的比例一代之后就不再变⟶它成了群体遗传学的零假设——真实数据偏离它多少，才是要解释的东西⟶今天每一份全基因组关联研究开跑前的第一道质量控制，就是逐个位点检验它偏没偏离这个比例；人口模型里的等位基因频率也从这里起算

1910 年证明：任意两个对数–指数函数最终一定分得出快慢，不会永远摆来摆去⟶这类函数构成的结构后来以他的名字命名，叫哈代域⟶今天说一个算法是 O(n log n) 还是 O(n^1.5)、说哪个更快，靠的正是这条定理保证「更快」这句话有意义

《纯数学教程》1908：把极限、连续与收敛的严格写法第一次交给英国的本科课堂⟶一代英国分析学家由它出身，第十版至今在印⟶今天证明助手里的实分析库，第一条写下的定义仍是它那一条；形式化的数学从这里开始学怎么说话

语录

「我从来没有做过任何「有用的」事。我的任何发现，不论直接还是间接、不论好坏，都不曾、也不大可能给这世界的面貌带来丝毫差别。」
—— 《一个数学家的辩白》第 29 节，1940

「数学家和画家、诗人一样，是造图案的人。如果他的图案比他们的更长久，那是因为它们是用思想造的。」
—— 《一个数学家的辩白》第 10 节，1940

「我做成过一件你永远做不到的事：与李特尔伍德和拉马努金两个人，在大体平等的地位上合作过。」
—— 《一个数学家的辩白》第 29 节，1940，他说这是自己心情低落时对自己说的话

「我说「废掉」就是废掉，不是改革。」
—— 1926 年数学协会主席演说《反对数学优等考试》，《数学公报》第 13 卷