数学群星MATHEMATICAL LUMINARIES

John von Neumann · 1903–1957

冯·诺依曼

指令和数字住在同一块存储器里——今天每一颗处理器仍是这个样子；而写下这件事的那份报告只署了他一个人的名字，这桩公案吵了八十年

Max⁡ξMin⁡ηh(ξ,η)=Min⁡ηMax⁡ξh(ξ,η)\operatorname*{Max}_{\xi}\operatorname*{Min}_{\eta} h(\xi,\eta) = \operatorname*{Min}_{\eta}\operatorname*{Max}_{\xi} h(\xi,\eta)
极小极大定理 · 1928 年《论社交博弈的理论》，《数学年刊》第 100 卷。「我先亮牌你再选」与「你先亮牌我再选」，值居然一样——前提是允许掷骰子。他自己在脚注里管它叫「我们那条比较深的关于双线性型的定理」

约翰·冯·诺依曼 1903 年 12 月 28 日生于布达佩斯，家里是犹太银行世家。父亲马克斯·诺依曼 1913 年因对匈牙利经济的贡献获世袭贵族头衔，「冯」这个字是从那里来的，他后来用的是它的德文写法。1911 年进路德会中学；布达佩斯大学的助教费克特替他补课，两人 1922 年合写了他见于印刷的头一篇论文。关于他的神童故事在二手文献里多得离谱，绝大多数查不到一手出处，这里一律不收；可以确证的是纸面上的东西——1923 年，他不满二十岁，在塞格德的刊物上发表《论超限数的引入》，把康托尔的序数重新定义成了集合本身。此后他同时念两处：1926 年在苏黎世的高等工业学院拿到化学工程文凭，同一年在布达佩斯大学拿到数学博士学位，论文做的是集合论的公理化。1926 至 1927 年带着洛克菲勒奖学金在哥廷根跟希尔伯特；1927 年起在柏林任教，1929 年转汉堡。1928 年那篇博弈论就署着「J. v. 诺依曼，于柏林」。1930 年应邀去普林斯顿，1931 年受聘教授，1933 年高等研究院成立，他是最初的六位教授之一——另外五位是亚历山大、爱因斯坦、莫尔斯、维布伦与外尔。那年他二十九岁。

1943 年 9 月他到洛斯阿拉莫斯，此后的事很难只用「数学家」概括。他最要紧的贡献是内爆弹的爆轰透镜：把快烧与慢烧两种炸药拼成一个「透镜」，让炸出去的冲击波变成向内的球面——这个想法出自塔克，是他算出了做得到；今天一般把塔克、内德迈耶与他三人并列。1945 年 4 月他进了挑选投弹城市的目标委员会。同一年 6 月 30 日，那份《EDVAC 报告初稿》写成。战后他一头造机器、一头替军方与政府做顾问：1944 年与摩根斯坦合著《博弈论与经济行为》，把 1928 年那条定理推到了经济学；1946 年起在高等研究院主持造自己的计算机；1950 年与查尼、夫约托夫特在 ENIAC 上做出了第一批数值天气预报；晚年那部没写完的《自复制自动机理论》问的是「机器能不能造出自己」。他的政治立场是鹰派，而且从不掩饰，1955 年由艾森豪威尔任命为原子能委员会委员。也是 1955 年他查出癌症；1956 年起坐轮椅，仍旧带着委员会的工作到病房。1957 年 2 月 8 日卒于华盛顿的沃尔特·里德陆军医院，五十三岁。

冯·诺依曼肖像
洛斯阿拉莫斯实验室摄，约1944 · 洛斯阿拉莫斯国家实验室藏 · Wikimedia Commons，公有领域。这是他在洛斯阿拉莫斯的工作证件照，胸前横着的号牌上印着 M 50。选它是因为约 1944 年正是他两头跑的那几年——一头是爆轰的计算，一头是为了算它而造的机器；本页的蒙特卡洛与存储程序两件，都是从这几年的同一件事里长出来的

生平

  1. 1903年12月28日
    生于布达佩斯

    银行世家。父亲 1913 年获世袭贵族头衔，「冯」字由此而来。

  2. 1922
    头一篇论文

    与布达佩斯大学的助教费克特合写，论某类极小多项式零点的位置。那年他十八岁。

  3. 1923
    《论超限数的引入》

    塞格德《数理科学集刊》第 1 卷 199–208 页，署「约翰·冯·诺依曼，于布达佩斯」。把康托尔的序数定义成集合本身。

  4. 1926
    两个学位，同一年

    苏黎世高等工业学院的化学工程文凭，布达佩斯大学的数学博士学位（论文做集合论的公理化）。

  5. 1926–1927
    哥廷根，跟希尔伯特

    洛克菲勒奖学金。量子力学的希尔伯特空间表述就是在这几年成形的。

  6. 1926年12月7日
    哥廷根数学会：博弈论第一次讲出来

    1928 年那篇的脚注 1 写明，内容（有删节）这一天已经讲过——比发表早一年多，他二十三岁。

  7. 1928
    《论社交博弈的理论》

    《数学年刊》第 100 卷 295–320 页。极小极大定理；脚注 8 里，1、2、3 就叫「纸」「石头」「剪刀」。

  8. 1930年9月7日
    柯尼斯堡：当场听懂的那一个

    哥德尔在圆桌讨论上说出不完备定理，全场无人接话；散会后他追上去细问，几周后写信说自己独立推出了第二定理——哥德尔回信说那已在手稿里。

  9. 1932
    《量子力学的数学基础》

    把矩阵力学与波动力学放进同一个希尔伯特空间的框架，证明两者等价；密度矩阵也出自这里。同一本书里还有那个「不可能有隐变量」的证明。

  10. 1933
    高等研究院最初的六位教授之一

    另五位是亚历山大、爱因斯坦、莫尔斯、维布伦与外尔。那年他二十九岁。

  11. 1943年9月
    到洛斯阿拉莫斯

    内爆弹的爆轰透镜：把快慢两种炸药拼成透镜，让冲击波向内成球面。想法出自塔克，他算出了做得到。

  12. 1945年6月30日
    《EDVAC 报告初稿》

    摩尔电气工程学院，美国陆军军械部合同 W-670-ORD-4926。署名只有他一个人。手稿本身已佚，存世的是打字稿。

  13. 1944
    《博弈论与经济行为》

    与摩根斯坦合著。1928 年脚注 2 里那条通向经济学的线，走了十六年才走完。

  14. 1946–1947
    蒙特卡洛

    构想是乌拉姆 1946 年病中打牌时来的；1947 年 3 月 11 日他写给里奇特迈耶一封手写长信，把它变成机器上跑得动的东西。名字是梅特罗波利斯起的。

  15. 1948年4–5月
    ENIAC 上第一批蒙特卡洛计算

    中子输运。ENIAC 此前刚被改成按存储程序的方式工作。

  16. 1950
    第一批数值天气预报

    与查尼、夫约托夫特，ENIAC 上做了四次 24 小时预报。致谢第一句谢的是克拉拉·丹·冯·诺依曼——他的妻子，教会了他们怎么给 ENIAC 编码。

  17. 1955
    原子能委员会委员

    艾森豪威尔任命。同年查出癌症。

  18. 1957年2月8日
    卒于华盛顿

    沃尔特·里德陆军医院，五十三岁。《自复制自动机理论》没有写完。

  19. 1973年10月19日
    ENIAC 专利被判无效

    霍尼韦尔诉斯佩里·兰德案。判决理由之一：那份报告在申请专利一年多以前就已散发出去，构成在先公开。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

一条指令也是一个数，所以它改得动

十六个格子，指令和数字混在一起放。同一个字既读得成数，也读得成指令——于是一段程序可以伸手把自己改掉。

word=op×100+addr\text{word} = \text{op} \times 100 + \text{addr}

《EDVAC 报告初稿》写于 1945 年 6 月 30 日，摩尔电气工程学院，美国陆军军械部合同 W-670-ORD-4926，署名只有 John von Neumann 一人。要讲的那一句在 §14.1：「CC 收到的指令来自 M，也就是数值材料存放的同一个地方……因而每个小周期必须带一个标记，指明它是一个标准数还是一条指令。」分寸要拿准：报告里两者是靠标记位区分的，不是「完全不分」；可它们同住一块存储器、用同一套地址取——正因为这样，一条指令既取得出来，也改得动。演示里那段程序没有下标寄存器可用，它把「加 11」这条指令当成数 311 取出来、加 1、写回去，下一轮它就成了「加 12」。这台小机器是本页为讲清这句话造的，不是 EDVAC 的指令集：报告里讲编程与输入输出的那几节根本没有写出来，通篇的前向引用指向一些永远不存在的章节。存储器的规格倒是齐的（§12.7）：256 条延迟线，每条 1024 位，合 262,144 位，也就是 8192 个 32 位字——换成今天的说法是 32 KiB。§12.4 有一句后来被反复引用的话：「它以最触目的方式表明，一台自动高速计算装置真正的困难、主要的瓶颈在哪里：在存储器。」要说清的是，他这里的 bottleneck 说的是「容量」不够；今天讲的「冯·诺依曼瓶颈」指处理器与存储器之间的带宽，那个说法出自巴克斯 1977 年的图灵奖演说，不是这份报告。最后是那桩公案：这份报告由戈德斯坦散发出去，署名只有他一个，而莫奇利与埃克特的贡献被这件事盖住了。1947 年 4 月 8 日两人从专利律师那里得知，这份报告已经构成在先公开，会挡住他们的 ENIAC 专利；他们还是在 6 月 26 日提了申请。1973 年 10 月 19 日霍尼韦尔诉斯佩里·兰德案判该专利无效，理由里就有这一条。手稿本身已经找不到了——校订这份文本的戈弗雷在引言里写着：寻找手稿的努力失败了。

一段会改写自己的程序：单步走，看 1 号格那条指令从「加 11」一路变成「加 15」，四个数就这么加完了

十六个格子，指令和数字混在一起放。同一个字，左边一列读成数，右边一列读成指令——哪一种读法都合法，因为它们本来就住在同一块存储器里。 这段程序要把 11 到 14 号格里的四个数加起来，可它没有下标寄存器可用。它的办法是把 1 号格里那条「加 11」当成一个数取出来、加上 1、再写回去： 于是下一轮它就成了「加 12」，再下一轮「加 13」。 现在它还是出厂时的「加 11」，往后拨一拨就看见它自己变了。 《EDVAC 报告初稿》§14.1 说的正是这件事：指令来自 M，也就是数值存放的同一个地方。 报告里两者靠一个标记位区分，但它们同住一块存储器、用同一套地址——一条指令因此既取得出来，也改得动。今天每一颗处理器仍是这个样子。

谁也别想看穿谁——连他自己也说不准

纯策略下，先亮牌的那个吃亏，两头对不上。允许掷骰子之后，两头合在同一个数上：这就是博弈论的第一条定理。

h(ξ,η)=∑p=1Σ1∑q=1Σ2g(p,q) ξp ηqh(\xi,\eta) = \sum_{p=1}^{\Sigma_1}\sum_{q=1}^{\Sigma_2} g(p,q)\,\xi_p\,\eta_q

1928 年《数学年刊》第 100 卷那篇《论社交博弈的理论》，署「J. v. 诺依曼，于柏林」。他先把「一局游戏」写成了定义：哪些环节听天由命（他叫「抽签」），哪些由某位玩家决定（他叫「着」），每一着是谁走的、他在决定的那一刻知道此前哪些环节的结果——连带一条要求，这些「先后」关系里不许有圈。今天所谓扩展式博弈与信息集，起点就在这一页。然后是两人零和的情形。行家想把收益弄大，列家想弄小；「我先亮牌」能保住的那个数，一般严格小于「你先亮牌」能压到的那个数，差的那一截，他说得很准：「这两个数不同，恰恰意味着两个玩家不可能同时都是更聪明的那一个。」第三节他用了一个「手法」把它们逼成相等：不要求玩家一上来就挑定某一手，只让他给出一组概率，再照这组概率从瓮里抽。他写道，这看上去是在削他的自由，其实不是；反过来「他因此护住了自己不被看穿：因为若两手各一半，那么谁也预言不了——连他自己也不能！——他会选 1 还是 2」。要紧的两件事都在页边上。其一，他自己举的两个例子里，第二个就叫「Morra」，而脚注 8 写明：在通行的说法里，1、2、3 就叫「纸」「石头」「剪刀」——石头剪刀布是他配的例子，不是后人配的。其二是首创权，由他自己的脚注 9 定死：「本文定稿期间，我才知道波莱尔先生 1927 年 1 月 10 日《报告》上的那篇札记……波莱尔就一个对称的二人博弈提出了关于双线性型的这个问题，并指出尚无 Max Min 小于 Min Max 的例子。我们上面的结果回答了他的问题。」问题是波莱尔提的，定理是他证的，两人后来为此争过。还有一件事在脚注 2 里：「这是古典国民经济学的主要问题：在给定的外部环境下，绝对利己的『经济人』会做什么？」——通向经济学那条线，1928 年就写在第二条脚注里，而《博弈论与经济行为》要到 1944 年才与摩根斯坦一起写完。顺带说一处原刊的手民之误：第 303 页 Morra 矩阵第三行中间那一项印作 g(3,3)，应作 g(3,2)——他自己在第 306 页写明这个矩阵反对称，由此那一格必是 −1，按脚注 8 的读法也是「剪刀对石头」输一注，两条互相独立的依据都指向同一个数。

石头剪刀布是他自己举的例子——1928 年那篇的脚注 8 写得明明白白：1、2、3 在通行说法里就叫「纸」「石头」「剪刀」。纯策略下这局没法谈：先亮牌的那个最多保住 −1，后亮牌的能压到 1，两头合不上，差的那一截就是「谁看穿谁」。 他的办法是允许掷骰子。 他写道：若两手各一半，那么谁也预言不了——连他自己也不能——他会出哪一手。这样一来两头就合上了，合在博弈值 M 上。 右边的三角形是他所有的混合策略，颜色越深表示最坏情况下保得越多； 金点是最优的那一点，虚线圈是「三手各三分之一」。 现在这一档金点正落在虚线圈里，与原刊印的 ξ₁ = ξ₂ = ξ₃ = 1/3 一致。 首创权的分寸由他自己定死：p.306 脚注 9 说，波莱尔 1927 年 1 月 10 日提出过这个问题、 并指出没有见过反例，「我们上面的结果回答了他的问题」。

他要的不是真随机，是查得了账的假随机

平方，取中间四位，再平方。一万个可能的数，最好的种子也只走得出一百一十一个——而第一个说这件事有多危险的，是他自己。

xn+1=⌊xn2100⌋ mod 104x_{n+1} = \left\lfloor \frac{x_n^{2}}{100} \right\rfloor \bmod 10^{4}

1949 年那场蒙特卡洛方法的会议上，他讲了一次怎么造随机数字。讲稿两年后印在美国标准局《应用数学丛刊》第 12 号 36–38 页，标题下印着一行要紧的话：「摘要由乔治·福赛思写成」——通篇用第一人称，可落到纸上的字是福赛思的，所以那句名言严格说来是经他人之手记下来的。开头他先排除了一条路：用物理装置现造随机数看着最干净，可一旦要查账就完了，「凡是像样的复核都要把先前做过的事重做一遍，而在那个节骨眼上引进新的随机数是无法容忍的」。他要的是能重跑的。接着是那句被引了七十多年的话：「任何考虑用算术方法制造随机数字的人，当然都处在犯罪状态。因为，正如已被多次指出的，根本没有随机数这种东西——只有制造随机数的方法。」他自己给的方法就是中方取中：四位数平方成八位，取中间四位。这东西坏在哪里，也是他自己点的名——「末尾自我繁殖的零」，以及他更怕的那一样，「没被发现的短环」。把四位十进制的一万个种子全扫一遍，他说的每一句都兑现了：整个状态空间只有八个归宿，五个不动点 0、100、2500、3792、7600，三个长度为 4 的环，再没有别的环长；9913 个种子（99.1%）落进那六个「整串都以 00 结尾」的归宿里；走到开始重复为止平均只有 43.7 个数，最长的种子 6239 也只有 111 个。一万个可能的值，你最多摸到其中一百一十一个。归属要分清三件事：蒙特卡洛的构想是乌拉姆 1946 年病中打牌时想到的——他想算一副牌摊开能不能走通，发现与其硬算组合，不如多打几局数一数；冯·诺依曼看出了这件事的分量，1947 年 3 月 11 日写给里奇特迈耶一封手写长信，把它变成中子扩散问题在机器上跑得动的办法；「蒙特卡洛」这个名字是梅特罗波利斯起的，因为乌拉姆有个叔叔老跟亲戚借钱，理由是「非去蒙特卡洛不可」。ENIAC 上第一批真正的蒙特卡洛计算跑在 1948 年 4 至 5 月。中方取中法是他自己的。而他给整件事的结论毫不留情：这些数「测起来比造起来还麻烦」，所以造的方子复不复杂并不要紧，要紧的是测得快。

规矩只有一条：把四位数平方成八位，取中间四位，当作下一个数。它不是随机的，是一串算得出来、跑第二遍还一模一样的数——他要的正是这个，因为查账的时候得能重跑。 右边用的是同一篇文章里他自己给的舍选法：在正方形里取点，落进四分之一圆就收下， 收下的比例乘 4 就是 π。麻烦在左边：这串数走着走着就开始打转。 这个种子走 111 个数就开始重复（尾 107 + 环 4）；现在已经进环，π 的估计值不再往真值靠，而是锁死在一个错数上。 一万个四位种子全扫一遍：归宿只有八个，99.1% 落进「整串都以 00 结尾」的那几个—— 这正是他自己点名的毛病，「末尾自我繁殖的零」；而他更怕的是另一样， 「没被发现的短环」。他给这件事下的结论也很干脆：这些数「测起来比造起来还麻烦」， 所以造的方子复不复杂并不要紧，要紧的是测得快。

算二十四小时的天气，花了将近二十四小时

同一个差分格式，时间步长大一点就炸得没边。炸不炸是可以事先算出来的——代进一个纯波，看它一步放大多少。

G(θ)=−iasin⁡θ±1−a2sin⁡2θ,a=c ΔtΔsG(\theta) = -ia\sin\theta \pm \sqrt{1 - a^{2}\sin^{2}\theta}, \quad a = \frac{c\,\Delta t}{\Delta s}

1950 年 Tellus 第 2 卷 237–254 页，查尼、夫约托夫特与冯·诺依曼。他们在 ENIAC 上做了四次 24 小时预报，用的是 1949 年 1 月 5 日、1 月 30 日、1 月 31 日与 2 月 13 日 0300 GMT 的 500 毫巴图。那句传说中的话就印在第 275 页，一字不差：「算一次 24 小时预报的时间大约是 24 小时，也就是说，我们刚好跟得上天气。」——而紧接着的半句几乎从没人一起引：「不过这些时间里有很多花在人工与 IBM 机的操作上，也就是穿孔卡片的读、印、复制、分类与插排。」四次预报共打了约十万张卡、做了一百万次乘除，若把预备试验算上这两个数都要翻倍；他们估计，操作理顺之后同样一次预报「用十二小时就够」。真正值得看的是他们为什么退了一步。完整的原始方程里有跑 300 米每秒的重力波，稳定条件要求空间差与时间差之比超过这个速度，于是时间步长被压到十五分钟上下，一次 24 小时预报要推将近一百步（复算：24 小时除以 15 分钟正是 96 步）——「对作者手上那台机器是一个吓人的数目」。于是整篇论文改用了准地转无辐散涡度方程。第 274 页是这套分析本身：把放大因子写成一个模为 ϱ、幅角为 Θ 的复数，稳定就要求这个模不超过 1，算下来条件是 |a| = |sin Θ| ≤ 1。他们实际取的是空间步长 736 公里（45 度纬线上 8 个经度）、网格 15 × 18，时间步长起初 1 小时、后来加到 2 小时再到 3 小时，发现结果几乎一样也没有失稳——而他们自己老老实实写着，这些取值「最终是靠算出来没炸才站住的」。首创权这里要分开写：用傅里叶模判差分格式稳不稳这套办法一般归他，他在洛斯阿拉莫斯就在用，「但他本人从没单独发表过」，公开发表是 1950 年奥布莱恩、海曼与卡普兰那一篇。还有一处值得记：论文致谢的第一句谢的是「K. 冯·诺依曼夫人，她教了我们给 ENIAC 编码的技术，并复核了最后的代码」——克拉拉·丹·冯·诺依曼，最早的一批程序员之一。

他的办法只有一步：往差分格式里代进一个波数为 θ 的纯波， 看它每走一步被乘上多大的一个数。那个数叫放大因子 G。只要有哪一个波的 |G| 大于 1， 这个格式就废了——那个波会指数地涨上来，把真正的解吃掉。 左下画的就是 |G(θ)|：a ≤ 1 时它是一条恰好贴着 1 的直线（既不放大也不衰减）， 越过去就在 θ = π/2 附近鼓起一个包，那一支是四格一个波长的锯齿。 现在 a = 0.7337，稳：推十天下来幅值还是 0.990。 1950 年那四次预报取 Δs = 736 km、Δt 最后加到 3 小时，落在 a = 0.734，安全。 真正被这一关挡住的是完整的原始方程：那里有 300 m/s 的重力波， 逼得时间步长降到十五分钟上下，24 小时要推九十多步—— 对他们手上那台机器是「一个吓人的数目」，于是整篇论文改用了另一套方程。 要补一句分寸：这套用傅里叶模判稳定性的办法一般归他，可他本人从没单独发表过，公开发表是 1950 年 奥布莱恩、海曼与卡普兰那一篇。

第几个，就是它前面那些凑成的那一堆

0 是空集，1 是「装着空集的盒子」，2 是「装着 0 和 1 的盒子」。这么一来，一个数有几个元素，它就是第几个。

0=∅,n+1=n∪{n},ω={0,1,2,… }0 = \varnothing, \qquad n+1 = n \cup \{n\}, \qquad \omega = \{0,1,2,\dots\}

1923 年，塞格德的《数理科学集刊》第 1 卷 199–208 页，署「约翰·冯·诺依曼，于布达佩斯」。他那时还不满二十岁。开篇第一句写明了要干什么：「本文的目标是：把康托尔的序数概念无歧义地、具体地抓住。」接着是他不满意的地方——康托尔那套办法是从若干类集合里「抽象」出一条共同的性质，「这个有点含糊的做法，我们要用另一个、建立在无歧义的集合运算上的做法替掉」。替法只有一句话。本来该说「每个序数是比它小的那些序数所成集合的型」，可「型」这个词同样含糊，于是他把它改写成这一形：「每一个序数，就是比它小的那些序数所成的集合。」原刊上紧跟着就印出了前几个的写法（他用的是圆括号，空集记作 O）：0 是空集，1 = (0)，2 = (0,(0))，3 = (0,(0),(0,(0)))，再往下是 ω 与 ω+1。他特意声明这不是一条已经证明的定理：倘若超限归纳已经立住，它倒可以拿来当定义；而他并不预设超限归纳，只把「良序集」与「相似」两个概念当现成的。这个定义划算在哪里？序数 n 恰好有 n 个元素，「第几个」这件事不必再另外解释，它自己就是自己的计数；两个序数谁大谁小，就看谁是谁的元素。代价是写出来会爆炸：花括号写法的字符数是 5 乘 2 的 n−1 次方减 1，10 已经要 2559 个字符，30 要二十六亿八千多万个——每往上一档就翻一倍。他在同一篇里还写明，加上弗兰克尔那条公理之后，这些推理在策梅洛的公理系统里照样成立；今天的 ZF 集合论里，序数的标准定义就是这一条。要与馆里两页分开说：康托尔那一页问的是「有多少」，戴德金那一页讲的是分割与自然数的公理化，这一件只讲「第几个怎么定义成集合本身」。

康托尔说序数是从一堆集合里「抽象」出来的一条共同性质。十九岁的他嫌这句话含糊， 换了一个做法：干脆让每一个序数就是比它小的那些序数凑成的那个集合。 于是 0 是空集，1 是「装着空集的盒子」，2 是「装着 0 和 1 的盒子」，一路造上去。 这么一来「第几个」不再需要另外解释——序数 n 恰好有 n 个元素，它自己就是自己的计数。 代价是写出来会爆炸：3 要 19 个字符， 而闭式是 5·2\u207f\u207b\u00b9 − 1，每往上一档就翻一倍：10 已经要 2,559 个字符，30 要 2,684,354,559 个。 所以画布上只画到 5，再往上只印数字。 按「跳到 ω」看最要紧的那一步：把前面所有的并起来， 得到第一个装着无穷多个盒子的盒子——而它不是任何一个序数的后继。 这套定义今天是 ZF 集合论里序数的标准定义；他自己在同一篇里就写明， 加上弗兰克尔那条公理之后，这些推理在策梅洛的系统里照样成立。

一个摆了三十年的证明，第四章没有人真的读过

1932 年他把量子力学放进了希尔伯特空间，顺手证明了「不可能有隐变量」。三年后有人指出那个证明有一条假设不成立——没有人理会。

1932 年的《量子力学的数学基础》做成了一件大事：海森堡的矩阵力学与薛定谔的波动力学，本来是两套看上去毫不相干的说法，他把它们放进同一个希尔伯特空间的框架里，证明两者等价。态是空间里的向量，可观测量是自伴算子，测量的期望值是一条迹公式；密度矩阵也出自这本书。馆里希尔伯特那一页的传承链上早就写着「希尔伯特空间 → 冯·诺依曼的量子力学公理化 → 信号处理与机器学习」，这一页正是那笔账。同一本书的第四章第二节里（他自己在第三章就预告过这一步），他还给了一个证明：量子力学的统计预言不可能由任何「隐变量」理论复现出来。这个结论被当成定论三十多年，好几代研究生因此打消了往那个方向走的念头。可它有一条假设站不住：他要求期望值是可加的，也就是 E(A+B) = E(A) + E(B)，而且对每一个态都成立——包括那些假想的、没有弥散的态。量子力学只要求这条在系综的平均上成立，它对不对易的可观测量在每一个个体上并不成立。1935 年，格雷特·赫尔曼在《弗里斯学派论丛》第 6 卷 75–152 页的一篇长文里把这一点指了出来，说得相当清楚。然后什么也没有发生——文章登在一份哲学刊物上，物理学界几乎无人理会，大家继续引那个证明。三十多年后贝尔重新发现了同一处。这里的年份要说准：他那篇《论量子力学中的隐变量问题》写在那篇著名的 EPR 论文之前，却在《现代物理评论》编辑部的抽屉里躺了一年多，1966 年才印出来，反而比 1964 年那篇晚。贝尔自己后来说得很不客气：那个证明「一碰就散了……不只是错，是蠢」。赫尔曼要到 1974 年才因为雅默的一本书重新被人提起。不过这件事今天还没有完全了结：2010 年以来布卜与迪克斯等人反过来主张，是贝尔与赫尔曼误读了冯·诺依曼想说的东西，争论仍在。所以这一条故事的落点不在「他错了」，而在别处：一个证明摆在那里，被引了三十年，而指出它那条假设的人 1935 年就写了出来——只是没有人去翻第四章第二节。

故事展签故事展签：他把两套量子力学合成了一套，也在同一本书里留下了一个被信了三十年的证明；指出毛病的那篇 1935 年就登了出来，登在一份没有物理学家读的刊物上。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1945 年《EDVAC 报告初稿》：把机器分成运算、控制、存储、输入、输出五部分，并让指令与数值用同一种方式存放⟶指令既然是数，程序就能被读、被改、被另一段程序生成——汇编器、编译器与操作系统都从这一条长出来⟶今天每一颗通用处理器仍是这个样子：存储程序的体系结构是全部数字计算机与算法的地基
1947 年那封给里奇特迈耶的信：中子扩散不必解方程，跟着一个个粒子随机走就行⟶中方取中法提供可复现的伪随机数，ENIAC 1948 年跑出第一批结果⟶今天从金融的风险定价、药物试验的统计推断到渲染引擎的光线追踪，都是同一套办法；马尔可夫链蒙特卡洛是贝叶斯统计的主力
1928 年极小极大定理：两人零和博弈里，允许掷骰子之后「先亮牌」与「后亮牌」的值相等⟶1944 年与摩根斯坦把它推到经济学，纳什 1950 年推广到非零和的多人情形⟶今天的拍卖设计、期权与风险对冲、网络路由的博弈分析，以及机器学习里生成对抗网络的那个「极小极大」，用的都是这条定理
把一个纯波代进差分格式，看放大因子的模超不超过 1——差分格式稳不稳有了可算的判据⟶1950 年与查尼、夫约托夫特在 ENIAC 上做出第一批数值天气预报，四次 24 小时预报⟶今天全世界的天气预报、气候模式与一切计算流体力学的数值模拟，每一个格式上线前都要过这一关
1932 年《量子力学的数学基础》：态是希尔伯特空间里的向量，可观测量是自伴算子，两套量子力学由此合成一套⟶为处理无穷多自由度，他与默里建立算子代数（今天叫冯·诺依曼代数），并与伯克霍夫提出量子逻辑⟶今天的量子信息与量子计算就建在这套语言上，密度矩阵仍是描述量子态最基本的工具
1923 年把序数定义成「比它小的那些序数所成的集合」，替掉了康托尔那个靠抽象得来的说法⟶这个定义进了 ZF 集合论，成为超限归纳与递归定义的标准地基⟶今天证明助手里的序数记号用它来证明程序会停机，类型论与形式化数学的基础库第一条写的也是它

他在哪几条专题里

专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写， 全是 tracks.ts 推出来的。

语录

「任何考虑用算术方法制造随机数字的人，当然都处在犯罪状态。因为，正如已被多次指出的，根本没有随机数这种东西——只有制造随机数的方法。」

—— 《与随机数字有关的若干技术》，美国标准局《应用数学丛刊》第 12 号，1951，第 36 页。标题下印着「摘要由乔治·福赛思写成」，所以这是经他人之手记下来的讲稿

「他因此护住了自己不被看穿：因为若两手各一半，那么谁也预言不了——连他自己也不能！——他会选 1 还是 2。」

—— 《论社交博弈的理论》第三节，《数学年刊》第 100 卷第 304 页，1928。大意

「碰运气这件事在游戏的本性里扎得太深（如果不是在世界的本性里的话），根本不必靠规则把它硬塞进来：哪怕正式的规则里一点影子也没有，它也会自己破土而出。」

—— 《论社交博弈的理论》第 306 页，1928。他刚证完两人零和的情形，回头说这段话。大意

「它以最触目的方式表明，一台自动高速计算装置真正的困难、主要的瓶颈在哪里：在存储器。」

—— 《EDVAC 报告初稿》§12.4，1945。这里说的是容量不够；今天所谓「冯·诺依曼瓶颈」指处理器与存储器之间的带宽，那个说法出自巴克斯 1977 年的图灵奖演说