Andrey Andreyevich Markov · 1856–1922

马尔可夫

为了驳倒一句「大数定律证明了自由意志」，他造出了一串首尾相连的试验——今天的语音识别、网页排序与贝叶斯统计，都从那串试验长出来

x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz

1951 年苏联科学院「科学经典」丛书给他编《选集：数论·概率论》，扉页那圈红色花饰里只印了两条式子：一条是这个方程，另一条是矩收敛到正态分布的那一条。数论与概率，编者拿这两行字概括了他的一生

安德烈·安德烈耶维奇·马尔可夫 1856 年 6 月 14 日（旧历 6 月 2 日）生于梁赞，父亲是林业部门的小吏，后来给一位贵族管田庄。他从小腿脚不好，拄过拐，可传下来的说法是他很爱走长路，常说「还走得动，就说明还活着」——所谓他是个「跛子」是口耳相传出来的，并不确。中学念得不怎么样，只有数学好；1874 年进彼得堡大学，1877 年以《用连分数解微分方程》得金质奖章，1880 年硕士论文做《论正判别式的二元二次形式》，1884 年刊行、1885 年答辩的博士论文做《论代数连分数的若干应用》——他一辈子的两条主线，连分数与数论，在二十出头就定下了。1883 年切比雪夫离开大学，概率论那门课交到他手上，此后他年年讲，一直讲到 1917 年。1886 年经切比雪夫提名当选科学院副院士，1890 年额外院士，1896 年正院士。

他的脾气在同时代人里是出名的。报刊给他起过两个绰号：「暴怒的安德烈」与「好战的院士」——1904 至 1915 年间他给报纸写过二十多封信，谈的都是当时最扎手的社会与教育问题。1902 年高尔基当选名誉院士而沙皇下令撤销，他抗议不成，声明此后拒绝沙皇的一切褒奖；1911 年为抗议教育大臣卡索的政策与驱散学生游行，他自愿离开了彼得堡大学，此后只以院士身份讲课；1913 年沙皇号召举国庆祝罗曼诺夫王朝三百年，他改在科学院开了一场纪念会，纪念的是雅各布·伯努利的大数定律满二百年。他也是很强的棋手，当年在彼得堡算得上最好的几个之一，常与人通信对弈。1922 年 7 月 20 日卒于彼得格勒，六十六岁。要说清一件事：馆里此前提到他十六次，说的全是「马尔可夫链」「马尔可夫不等式」这些概念，一次也没提到他本人做了什么——而他自己从不认为链是他最要紧的东西，1951 年那部《选集》的编者也是先编数论、再编概率。

1886 年的照片，他三十岁 · 作者不详，公有领域 · Wikimedia Commons。椭圆晕影的照相凹版，图版下方印着俄文「А. А. Марков (1886).」——这是本馆能查实的全部：这幅图版出自哪一部书没有查到（1951 年《选集》并无此卷首插图），所以图注只说得到的那一半。选 1886 年这一张是因为那正是他被切比雪夫提名进科学院的那一年，距他接手概率论课程三年，距那串链子还有二十年。排除的：搜「Andrei Markov」跳出来的另几张是蒙特利尔加人队的同名后卫

生平

1856年6月14日
生于梁赞
旧历 6 月 2 日。父亲是林业部门的小吏，后来给一位贵族管田庄。
1874
进彼得堡大学
此前在中学只有数学一门好，已经写信给大学的科尔金与佐洛塔廖夫讨论解微分方程的办法。
1877
金质奖章
题目是系里出的：《用连分数解微分方程》。连分数此后跟了他一辈子。
1879–1880
《论不定二元二次形式》
《数学年刊》第 15、17 两卷，署「A. Markoff in St. Petersburg」。末页那张表列出 f₀ 到 f₉ 十个形式——今天叫马尔可夫数。
1880
硕士论文
《论正判别式的二元二次形式》。接的是科尔金与佐洛塔廖夫的路子，切比雪夫评价很高。
1883
接手概率论课
切比雪夫这一年离开大学。此后他年年讲这门课，一直讲到 1917 年。同年与玛丽亚·瓦尔瓦季耶娃结婚。
1885
博士论文答辩
《论代数连分数的若干应用》，1884 年刊行。矩问题这一路，用的正是切比雪夫的工具。
1886
当选科学院副院士
切比雪夫提名。1890 年额外院士，1896 年正院士。
1889年10月24日
《论门捷列夫的一个问题》
在物理数学部宣读，次年刊于《帝国科学院札记》第 62 卷 1–24 页。门捷列夫只问了二次多项式那一档，他给了所有次数的答案。
1890年1月30日
额外院士
补的是 1889 年去世的布尼亚科夫斯基的缺。据塞内塔 2006 年那篇，这个空缺的竞争者里有柯瓦列夫斯卡娅。
1892
弟弟那本小书
弗拉基米尔·马尔可夫《在给定区间上最少偏离零的函数》，一百一十页，署「圣彼得堡大学学生 В. А. 马尔可夫著」。他 1897 年死于肺结核，二十六岁。
1900
《概率演算》第一版
此后 1908、1913、1924 三版，1912 年利布曼译成德文。马尔可夫不等式首次出现在 1908 年第二版里。
1902
两件事撞在一起
高尔基当选名誉院士被沙皇撤销，他抗议并拒领此后一切褒奖；同年涅克拉索夫发表那篇把大数定律接到自由意志上的文章。
1906
喀山那一篇
《把大数定律推广到彼此相依的量》，喀山大学物理数学学会《消息》第二辑第十五卷第四号。今天所谓马尔可夫链，第一次出现在这里。
1907年2月14日
《一类值得注意的相依试验的研究》
在物理数学部宣读。开篇第一句写明，这类试验起初只是他把切比雪夫《论平均值》里的大数定律推广到相依量时举的一个例子。
1911
离开彼得堡大学
抗议教育大臣卡索的政策与驱散学生游行，自愿辞职，此后以院士身份讲课。
1912年2月12日
上书主教公会
请求把自己开除教籍，理由是援引他自己那本《概率演算》。9 月 28 日宗教法院确认。
1913年1月23日
《奥涅金》那一篇
在物理数学部宣读，刊于《帝国科学院消息》第六辑第七卷第三号 153–162 页。两万个字母，八千六百三十八个元音。
1913
他选择纪念的那个三百周年
沙皇号召庆祝罗曼诺夫王朝三百年；他在科学院开会纪念雅各布·伯努利的大数定律二百周年，另两位报告人是瓦西里耶夫与楚普罗夫。
1916
又数了十万个字母
《关于统计方法的一个应用》：这一次拿的是阿克萨科夫的散文，为的是在一份更匀净的样本上验一遍同样的相关性。
1921年3月5日
「没有鞋，来不了会」
他通报科学院说因为没有鞋无法出席。几周后由高尔基主持的「改善学者生活委员会」办妥了此事。
1922年7月20日
卒于彼得格勒
六十六岁。1954 年迁葬文学家小径。
1951
《选集：数论·概率论》
苏联科学院「科学经典」丛书，林尼克主编。扉页花饰里只有两条式子：x²+y²+z²=3xyz，与矩收敛到正态分布的那一条。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

两万个字母，八千六百三十八个元音

他把《叶甫盖尼·奥涅金》的开头拆成元音和辅音两种符号，数了两万个——为的是证明一件与诗毫无关系的事。

p_1 = \frac{1104}{8638} = 0.128, \qquad p_0 = \frac{7534}{11361} = 0.663

1913 年 1 月 23 日在物理数学部宣读，刊于《帝国科学院消息》第六辑第七卷第三号 153–162 页。第一句就把范围划死了：「本研究涉及普希金小说《叶甫盖尼·奥涅金》中的一段两万个俄文字母的序列，不计 ъ 和 ь，它占满第一章全部与第二章十六节。」办法在第 154 页：每一百个字母保持原次序排成十行十列，数每一列里有几个元音，再把第 1 与第 6 列、第 2 与第 7 列……两两并起来——这样同一批字母就有了两种分组，一种是原文里挨着的，一种是被拆散重排的。结果印成四十张表，每张六行六列，整整一页。数出来：元音 8638、辅音 11362，于是一个字母是元音的概率 p = 0.432。真正要紧的是下一步。他又数了一遍连着的两个元音，得 1104 对；余下的两个数他没有再硬数，而是推出来的——元音后面跟辅音的有 8638 − 1104 = 7534 处，而「除第一个以外，每个辅音前面不是元音就是辅音」，所以辅音跟辅音的是 11361 − 7534 = 3827 处。由此 p₁ = 1104/8638 = 0.128，p₀ = 7534/11361 = 0.663，两者之差 δ = −0.535。要是字母之间各不相干，这两个数本该相等。最后他把整件事压成一个数：二百个百字块的元音数散得有多开。独立时这个「离散系数」该是 1，他算出来是 5114/24537.6 ≈ 0.208，约五分之一；按他自己 1907 年那篇里简单链的公式该是 (1+δ)/(1−δ) = 465/1535 ≈ 0.3，按 1911 年那篇里二阶链的公式算出 0.195——「这样的吻合，再要求更好就过分了」，他在第 160 页这么写。本馆照他自己交代的规则，从 1837 年版原文重数了一遍，抓到三件他没有写出来的事。一、他把 Й 算成了元音：全文一处也没交代这个字母归哪一档，而按俄语语法它是辅音；可按「Й 是辅音」重数，元音只有 8212、连着的两个元音只有 621，与他的数差得离谱；按「Й 是元音」重数，得 8620 与 1104——连着的两个元音逐字相同，p 与 p₁ 也对到小数点后三位。二、原刊第 155 页第十六张表末行第二项印错了：印作 41，应作 44。三条互相独立的判据：那张表第二列的五个数 9+8+10+9+8 = 44；那张表五个行和 50+38+47+43+38 = 216，而表角印着 16（即 216 − 200）；订正之后二百块相加恰好是 8638，与他正文给的总元音数分毫不差，而照印本原样相加只有 8635。三、他手数的准头：第一个百字块起逐字对上，此后每块偶有正负一的出入、且相邻两块一增一减（那是块边界错开一两个字母的特征），而累计到第 199 块只差 2 个元音。顺带记一处二手文献的算错：海斯 2013 年那篇广为流传的介绍写「余下的 15069 对是一元音一辅音」，而两万个字母只有 19999 个相邻对，19999 − 1104 − 3827 = 15068，正是他自己那两个 7534 相加。

拨到任何一个百字块，看那一百个字母怎么排成十行十列；右边那根数轴上，离散系数从「各不相干时的 1」一路掉到他实测的 0.208

第几个百字块

这一块 42 个元音，他手数的是 42（照原文重数也是这个数）。他一共数出 8638 个元音、11362 个辅音，于是一个字母是元音的概率 p = 0.432。真正要紧的是下一步：连着的两个元音只有 1104 对。要是字母之间各不相干，两万个字母里该有 0.432² × 19999 ≈ 3731 对——多出三倍还不止。换成条件概率说：前一个是元音时，这一个还是元音的概率只有 0.128；前一个是辅音时，却有 0.663。两者差 0.535。他把这件事压成一个数：离散系数。二百个百字块的元音数要是彼此独立，这个数该是 1；他算出来是 0.208，约五分之一。而按他自己 1907 年与 1911 年两篇里的链的公式，简单链给出 0.3、二阶链给出 0.195—— 「这样的吻合，再要求更好就过分了」，他在第 160 页这么写。

大数定律并不需要各不相干

有人从「犯罪率年年稳定」推出「人的举动彼此独立、所以是自由的」。他造了一串首尾相连的试验，把第一步就拆了。

\operatorname{Var}\!\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right) \to \frac{p(1-p)}{n}\cdot\frac{1+\delta}{1-\delta}

1902 年，莫斯科大学的涅克拉索夫发表了一篇把概率论接到神学辩论上的文章。他的推理是三段：自由意志的行为像概率论里彼此独立的事件，互不牵连；大数定律只对这样的独立事件成立；而社会统计——犯罪数、结婚数——明明服从大数定律；所以底下那些个人的举动必定是彼此独立的、出于自由意志的。马尔可夫要打掉的是第二句。他没有去争神学，也没有去争政治，他去造反例：一串首尾相连的试验，下一次的概率只看这一次落在哪一档，此前的一概不问。这样的序列显然不独立，可大数定律照样成立。1906 年那篇登在喀山大学物理数学学会的《消息》上，题目就叫《把大数定律推广到彼此相依的量》；通篇没有出现涅克拉索夫的名字，结尾只有一句：因此，量与量之间的独立性并不构成大数定律成立的必要条件。他自己怎么看这件事，1907 年那篇的开头写得很清楚：「本文所研究的这一类相依试验，起初只是我把切比雪夫在《论平均值》里为独立量建立的大数定律推广到相依量时举的一个例子。」——链不是目的，是例子。馆里切比雪夫那一页讲的正是 1867 年那篇《论平均值》，这一件接的就是它的下一句。有一处分寸他写得同样清楚，而后人引这件事时常常漏掉：这条定理要求四个转移概率都严格落在 0 与 1 之间。一旦两头成了出不来的吸收态，进了哪档就永远是哪档，算术平均再也不收敛——「不需要独立」不等于「什么条件都不需要」。演示里那个可以拨的 δ 就是量这件事的：δ = 0 时是抛硬币，方差按 1/n 缩；δ 不为零时方差按 (1+δ)/(1−δ) 乘上 1/n 缩，这个倍数正是他记的离散系数。脚本用四千条轨道在七个档位上核过，实测与公式的比值在 1 上下几个百分点，是抽样涨落。至于那场论战的结局：涅克拉索夫退了那一步；他 1924 年去世，著作此后无人再提。马尔可夫管他的工作叫「对数学的滥用」。

δ（下一步跟着这一步走多紧）

涅克拉索夫 1902 年的推论是这样的：大数定律只对彼此独立的事件成立；犯罪率、结婚数这些社会统计明明服从大数定律；所以人的每一个举动都是彼此独立的，也就是自由的。马尔可夫 1906 年那篇要打掉的正是第一句。他造的反例就是这里画的东西—— 一串首尾相连的试验，下一步的概率只看这一步落在哪一档。现在 δ = -0.535：前一步是甲时下一步还是甲的概率 0.233，前一步是乙时却只有 0.768。两者差得越远，相邻两步就咬得越紧。可无论把滑块拨到哪里，那条算术平均照样一路收敛到 0.5；变的只是它的涨落——独立时方差按 1/n 缩，这里按 (1+δ)/(1−δ) × 1/n 缩，现在这个倍数是 0.303。元音辅音交替得厉害，涨落被按下去，离散系数 0.30。有一处分寸他自己写得很清楚：这条定理要求四个转移概率都严格落在 0 与 1 之间。 δ 一旦等于 1，两档就都成了出不来的吸收态，进了哪档就永远是哪档，算术平均再也不收敛——「不需要独立」不等于「什么都不需要」。那篇通篇没有提涅克拉索夫的名字，结尾只有一句：因此，量与量之间的独立性并不构成大数定律成立的必要条件。

不管从哪儿出发，最后都落在同一处

走上几步，「一开始在哪里」这件事就被抹平了。抹得有多快，1906 年那篇里就给了一个量。

\alpha = \max_{i,j} \tfrac{1}{2}\sum_k |p_{ik} - p_{jk}|, \qquad \|\mu P - \nu P\| \le \alpha\,\|\mu - \nu\|

这是链最要紧的性质，也是它今天还在被用的理由。把所有可能的分布画成一个三角形，链每走一步就是一次映射；只要转移概率都不是 0 也不是 1，这个映射是一个压缩——不管从三角形的哪个角出发，走下去都收拢到同一个点，那个点就是平稳分布。马尔可夫 1906 年那篇里已经显式写下了一个量来管这件事：任取两行，把它们逐项之差的绝对值加起来除以二，在所有行对里取最大的那个，记作 α。它满足一条收缩不等式：两个分布各走一步之后的距离，不超过 α 乘它们原来的距离。于是差距按 α 的 n 次方往下掉，α 小于 1 就一定收敛，而且是几何速度。这个量后来被叫作马尔可夫–多布鲁申遍历系数；塞内塔 2006 年那篇指出，它在 1906 年那一篇里就是明写着的，而此后几年马尔可夫自己转向矩方法之后，反倒把它丢下了，以至于后人多次重新发现。本馆脚本在四个转移矩阵上核过这条界：「天气」那一档 α = 0.5，实测距离 0.50000、0.24000、0.11400、0.05400……一直贴着界往下走；「黏住」那一档 α = 0.94，实测 0.94000、0.88350、0.83030，与 α 的各次方几乎逐位相同——界被坐满了。而「轮转」那一档 α = 1：三个状态轮流转，平稳分布确实存在（三分之一），可三条轨道一步也没有靠近，永远绕着三角形打转。这正是把话说全的那一档：α = 1 时这条界什么也不保证，而它确实不收敛。今天最显眼的一处用场是网页排序。把链接矩阵 L 换成 0.85·L 再掺 15% 的「随便跳到别处」，任意两行之间的距离都被 0.85 压住，于是 α ≤ 0.85 与链接图长什么样无关——脚本在一个三页的例子上算出来正好是 0.850000。那个所谓的阻尼因子，作用就是把这个系数按到 1 以下，让排名一定算得出来，而且每一轮把误差乘上 0.85。

走几步

三个角分别是「一开始百分之百在这一档」。让链走下去，三条轨道 朝同一个点收拢——那个点就是平稳分布（0.457、0.283、0.261）。走了 4 步之后，三条轨道之间最大的距离还剩 0.05400。收敛有多快，1906 年那篇里就给出了一个量：任取两行，把它们逐项之差的绝对值加起来除以二，取最大的那一对，得到的数记作 α，这里是 0.500。每走一步，「从哪儿出发」这件事至少被抹掉 1 − α，于是差距按 α 的 n 次方往下掉——图里那条虚线就是这条界。四五步之后，今天是晴是雨已经看不出来了。α = 1 时这条界什么也不说，而「轮转」那一档确实不收敛：「不需要独立」是一回事，「什么条件都不要」是另一回事。今天网页排序里那个 0.85 的阻尼因子，作用正是这个—— 无论链接图长成什么样，掺进 15% 的「随便跳到别处」之后 α 就被按在 0.85，于是一定收敛，而且每一轮把误差乘上 0.85。

最难用分数逼近的那些数，排成了一棵树

黄金分割是最难逼近的那一个。把它撇开，下一个是 1+√2；再撇开，是一串永远排不完却又彼此分开的数。

\sqrt{9m^2-4}\,/\,m, \qquad m = 1,\,2,\,5,\,13,\,29,\,34,\,89,\,\ldots

1879 年《数学年刊》第 15 卷 381–406 页，署「A. Markoff in St. Petersburg」；续篇在第 17 卷。开篇他自己交代了来龙去脉：科尔金与佐洛塔廖夫已经证明，判别式为正的二元二次形式，其极小的确切上界是 √(4D/5)，取到它的是 x² − xy − y²；其余形式的确切上界是 √(D/2)，取到它的是 x² − 2xy − y²——「这些定理的证明连同后一个形式都是科尔金先生告诉我的」。他的活从第三档开始：√(100D/221)，取到它的是 5x² − 11xy − 5y²。换成今天更好懂的说法，这是丢番图逼近的阶梯。馆里狄利克雷那一页已经讲过：任何无理数都有无穷多个分数把它逼到 1/q² 以内。把这个 1 换小，最小能换到多少？答案是 1/√5，而卡在那里的正是黄金分割。把黄金分割这一类撇开，新的坎是 1/√8，卡在那里的是 1+√2。再撇开，是 5/√221。马尔可夫回答的是「这条阶梯一直下去长什么样」，答案出人意料地整齐：每一档由方程 x² + y² + z² = 3xyz 的一组正整数解点名。这个方程有个妙处——固定其中两个数，它对第三个是二次的，而两根之和是 3 乘那两个数之积，所以手上有一组解，把一个数换掉就得到新的一组，整棵树就这么长出来：1、2、5、13、29、34、89、169、194、233……给定 m，那一档的逼近常数是 √(9m²−4)/m，全都小于 3，而且一个挨一个地挤向 3。本馆把他末页那张表逐项复算过：f₆ 印的极小是 31684/71285，而 71285 = 9·89² − 4、31684 = (2·89)²；f₇ 是 114244/257045，257045 = 9·169² − 4；f₉ 是 217156/488597，488597 = 9·233² − 4——十项一个不差，而且前十个马尔可夫数与他表上 f₀ 到 f₉ 的次序完全一致。逼近常数另走一条独立的路也核过（拿连分数渐近分数上的整数值取最小，再换算成逼近常数）：m = 1 得 2.236067977500，与 √5 逐位相同；m = 5 得 2.973213749464；m = 89 得 2.999915834362。还有一件顺带看见的事很漂亮：这些数的连分数展开里只出现 1 和 2——黄金分割全是 1，1+√2 全是 2，m = 5 的周期是 2,1,1,2，m = 89 是 2,1,1,1,1,1,1,1,1,2。最难被分数追上的数，恰恰是连分数里的数字最小的那些，因为每一项越小，下一个渐近分数追得越慢。

第几个马尔可夫数

馆里狄利克雷那一页已经讲过：任何无理数都被分数逼到 1/q² 以内，而且有无穷多个这样的分数。下一问是把 1 换小。换到 1/√5 就换不动了—— 黄金分割正好卡在那里，这就是他表上的第一档。可要是把黄金分割那一类先撇开呢？那么 1/√8 又成了新的坎；再撇开，是 5/√221。马尔可夫 1879 年那篇要回答的正是「这条阶梯一直下去是什么样」，而答案出人意料地整齐：每一档由方程 x² + y² + z² = 3xyz 的一组整数解点名。这个方程有个妙处：固定两个数，它对第三个是二次的，两根之和是 3 乘那两个数之积—— 所以手上有一组解，把其中一个数换掉就得到新的一组，整棵树就这么长出来。现在选的是 m = 5，配给它的形式是 5x² − 11xy − 5y²，逼近常数 √(9m²−4)⁄m = 2.973213749。前十个正是他 1879 年末页那张表上的 f₀ 到 f₉，本馆逐项复算过，一个不差。两件事值得一起看：这些常数全都小于 3，而且一个挨一个地挤向 3（第二根轴把 3 减它拉开了才看得出是一个个分开的点）；它们的连分数里只出现 1 和 2——最难被分数逼近的数，恰恰是连分数展开里的数字最小的那些，因为每一项越小，下一个渐近分数追得越慢。还有一处他自己写明的分寸：前两档的定理与形式 f₁ 都是科尔金告诉他的，他的工作从第三档 5x² − 11xy − 5y² 开始。

门捷列夫问的那个问题

一条曲线始终不超出上下两道线，它能有多陡？化学家只问了二次的那一档，他给了所有次数的答案。

\max_{a<x<b}|f'(x)| = \frac{2n^2 L}{b-a}

1889 年 10 月 24 日在物理数学部宣读，次年刊于《帝国科学院札记》第 62 卷 1–24 页，题目就叫《论门捷列夫的一个问题》。原文第二段一字不差地写明了缘起：「这个问题是门捷列夫在他的论文《按比重研究水溶液》第 86 节里提出的，只就 n = 2 的情形。」门捷列夫那时在拿多项式拟合溶液的比重曲线，他要知道的是拟合出来的曲线能不能陡得离谱。马尔可夫把区间、界限与次数都放开，得到的答案干净得出奇：在 a 小于 z 小于 b 上绝对值不超过 L 的 n 次多项式，其导数的最大绝对值等于 2n²L/(b − a)；取区间 [−1,1]、L = 1 就是 n²。这个数比人第一眼想的大得多：一条整个只在 ±1 之间上下的八次多项式，可以在某一点上陡到斜率 64。取到等号的是切比雪夫多项式，取到的地方是区间的两个端点——它把全部的上下摆动都用满了，于是还能在端点上再甩出一个 n² 的斜率。拿勒让德多项式来比很说明问题：它同样被 ±1 压住，导数却只到 n(n+1)/2，差着将近一倍，是个货真价实却仍然输掉的对手。归属要分三层写。一阶导数这一档是他的，1889 年；一般的 k 阶是他弟弟弗拉基米尔·马尔可夫做的，1892 年那本一百一十页的小书《在给定区间上最少偏离零的函数》，书名下印着「圣彼得堡大学学生 В. А. 马尔可夫著」，扉页还印着物理数学系 1891 年 10 月 25 日的付印决议——他一生只写了两篇东西，二十六岁死于肺结核。伯恩斯坦 1912 年做逼近论时发现了这兄弟俩的文章并加以推广，一阶那一档他自己重证了一遍，一般的 k 阶「他做了二十六年也没做下来」，于是 1916 年安排把弟弟那本译成德文登在《数学年刊》上。而最上面那一端——k 等于 n——其实切比雪夫 1854 年就有了：首一 n 次多项式的最小最大模是 2 的 1−n 次方，换个写法正是 ‖p⁽ⁿ⁾‖ ≤ 2ⁿ⁻¹·n!·‖p‖，也就是这条不等式在 k = n 处的样子。馆里切比雪夫那一页讲的「等幅摆动」讲的正是这一端，而马尔可夫兄弟补的是从另一端数起的每一档。有一处画法上的小账要记：Tₙ 的导数是 n·U_{n−1}，而 U_{n−1} 在端点上是个 0/0 的极限，两百万个等距采样点量出来 n = 8 只有 63.9987 而不是 64——最大值恰好在端点上取到，所以画布上那两格直接用闭式，不靠取样。

次数 n

1889 年，门捷列夫在研究水溶液的比重时撞上一个纯数学的问题：一条曲线在一段区间上始终不超出 ±L，那它能有多陡？他在《按比重研究水溶液》第 86 节里只问了二次多项式那一档。马尔可夫把它做到了任意次数，而答案干净得出奇——|f′| 的最大值等于 2n²L/(b − a)，在 [−1,1] 上、L = 1 时就是 n² = 25。现在 n = 5：这条曲线整个只在 ±1 之间上下，可它最陡的地方斜率是 25，正好顶到上界。取到等号的是切比雪夫多项式，取到的地方是区间的两个端点—— 它把全部的「上下摆动」都用满了，于是还能在端点上再甩出一个 n² 的斜率。拿勒让德多项式来比很说明问题：它同样被 ±1 压住，导数却只到 n(n+1)/2，差着将近一倍。归属要分三层：一阶导数这一档是他 1889 年的；一般的 k 阶是他弟弟弗拉基米尔 1892 年那本一百一十页的小书做的，书名下印着「圣彼得堡大学学生 В. А. 马尔可夫著」，他二十六岁死于肺结核；而 k = n 那一端切比雪夫 1854 年就有了——馆里切比雪夫那一页讲的「首一多项式的最小最大模是 2 的 1−n 次方」，换个写法正是这条不等式的另一端。

他写信请求把自己也开除教籍

呈文里援引的证据，是他自己那本《概率演算》。主教公会照章办了，然后开始满世界找他的受洗记录。

1901 年 2 月，主教公会那道 20 至 22 日的「决议」把托尔斯泰逐出了教会，马尔可夫当时就激烈抗议过。十一年后，1912 年 2 月 12 日，他给主教公会递了一份呈文，请求把自己也开除。援引的证据不是托尔斯泰，是他自己的书：「我希望，援引我的《概率演算》一书即足以构成开除的充分理由，那本书里清楚表达了我对犹太教与基督教所依据的那些传说的否定态度。」呈文里另有一句：「我看不出圣像圣髑与偶像之间有什么本质区别——偶像当然不是神，只是神的像；我也不同情一切像东正教这样靠火与剑支撑、自己又为火与剑服务的宗教。」主教公会 2 月 24 日议了这件事，责成彼得堡都主教对他作一次「开导」；他拒绝见面，说那是白费时间。都主教安东尼于是批了一行字：「马尔可夫先生应视为已脱离教会，应从东正教徒名册上除名。」同年 9 月 28 日，圣彼得堡宗教法院确认了这个决定。后面的事才最像他会撞上的事：10 月 30 日主教公会再议，决定把这件事通知彼得堡市长、国民教育部与他的直属上级，并向他索取父母姓名、受洗的地点与日期；他拒绝提供；于是先去问科学院，科学院答复没有这类材料，又去问警察，再去问彼得堡大学。一份请求被批准之后，整整半年的公文是在找一个人到底有没有受过洗。这几件文书 1953 年由奥特拉德内赫整理刊布，本馆据的是那一份与 1954 年那册档案汇编；两份原件本轮没有见到，所以正文里的引文一律标明是据刊布的档案转录。另有一处要改二手文献：巴沙林、朗维尔与瑙莫夫 2004 年那篇广为引用的传记写「就在那一年早些时候主教公会开除了托尔斯泰」——托尔斯泰被绝罚是 1901 年，与这份呈文相隔十一年，而且呈文本身一个字也没有提托尔斯泰，援引的是他自己写的那本概率论教科书。这件事与馆里的另一件事恰好凑成一对：他在数学上驳倒的，正是一个想拿概率论替宗教作证的人；而他自己被开除教籍，援引的证据是一本概率论。

故事展签故事展签：一份被批准的请求，后面跟着半年的公文——为了查清一个人到底有没有受过洗。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1906 年喀山那一篇：一串首尾相连的试验，下一次只看这一次⟶平稳分布与遍历性：走上几步，「一开始在哪里」就被抹平了⟶网页排序的阻尼因子把收缩系数按在 0.85，于是排名一定算得出来——今天的算法与数字计算机里，这是最常被跑的一类迭代

1913 年《奥涅金》：把一段文字当成一串相依的符号来统计⟶香农 1948 年照同一条路把英文按阶生成，得出熵与冗余度⟶语音识别的隐马尔可夫模型与今天的语言模型，都是这条路走下去的结果——信号处理与图像处理里同样在用

把大数定律推广到彼此相依的量（1906）⟶相邻两次试验咬得越紧，平均值的涨落就按 (1+δ)/(1−δ) 放大或缩小⟶今天做抽样、质检与置信区间时，凡样本不独立就要先估这个倍数；随机过程与统计推断从这里起步

链加上从分布里抽样本的办法（冯·诺依曼与乌拉姆，1946）⟶马尔可夫链蒙特卡洛：造一条平稳分布正好是目标分布的链，跑久了取平均⟶贝叶斯统计、期权与风险定价、保险精算的主力算法

1879–1880 年那两篇：不定二元二次形式的极小有一整套阶梯⟶马尔可夫谱与最难用分数逼近的那些无理数，连分数里只有 1 和 2⟶格基约化与丢番图逼近今天是密码学里估计安全强度的常用工具

1889 年门捷列夫那个问题：被界限压住的多项式能有多陡⟶弟弟弗拉基米尔 1892 年把它推到任意阶导数；伯恩斯坦由此建立逼近论的一支⟶数值逼近与最优化里估计误差放大的那一步，用的就是这类不等式

他在哪几条专题里

专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写，全是 tracks.ts 推出来的。

人工智能你正在用的这个对话框1906 下一步只取决于这一步（不确定）

语录

「因此，量与量之间的独立性并不构成大数定律成立的必要条件。」
—— 1906 年《把大数定律推广到彼此相依的量》的结尾一句。全篇没有点涅克拉索夫的名字。据塞内塔 2006 年那篇的英译转写

「本文所研究的这一类相依试验，起初只是我把切比雪夫在《论平均值》里为独立量建立的大数定律推广到相依量时举的一个例子。」
—— 1907 年《一类值得注意的相依试验的研究》开篇第一句，《帝国科学院消息》1907 年 61 页，原刊上核过。链不是目的，是例子

「我希望，援引我的《概率演算》一书即足以构成开除的充分理由，那本书里清楚表达了我对犹太教与基督教所依据的那些传说的否定态度。」
—— 1912 年 2 月 12 日给主教公会的呈文。据奥特拉德内赫 1953 年刊布的档案（《数学史研究》第六辑 495–508 页）转录

「所谓研讨班上的学习最具科学性、而做习题最低等的看法，是不公平的。数学在相当程度上就是解题；而解题加上恰当的讨论，可以是最具科学性的。」
—— 论教学。据巴沙林、朗维尔与瑙莫夫 2004 年那篇传记所引的俄文材料转译