Richard Wesley Hamming · 1915–1998

汉明

机器夜里无人看管地算，查出一个错就把整道题扔下——他问的是：既然查得出有错，为什么不能指出错在第几位、然后改掉

2^m \sum_{i=0}^{t} \binom{n}{i} \le 2^n

把每个码字四周半径 t 的球都摆进 n 维立方体的 2ⁿ 个顶点里，球与球不许相交——能塞下多少个码字，这一行就是上界。等号成立时球把空间填得一点缝都不剩，那样的码叫完美码

理查德·卫斯理·汉明 1915 年 2 月 11 日生于芝加哥。1937 年在芝加哥大学得数学学士，1939 年内布拉斯加大学硕士，1942 年在伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校得数学博士，论文题为《线性微分方程边值理论中的若干问题》，导师特日青斯基——他的出身是微分方程，不是电机工程。1945 年他去了洛斯阿拉莫斯，管曼哈顿计划的计算机。这段经历他自己讲得很低：「我被叫去管那些别人已经弄起来的计算机器，好让那些科学家和物理学家回去做正事。我看出自己是个跑腿的。」——海军研究生院的纪念页称他为「曼哈顿计划计算设施的主任」，而他本人用的词是 stooge。也正是在那里，他近距离看见了费曼、费米、泰勒、奥本海默，以及他的顶头上司贝特。

1946 年他进贝尔实验室，一待三十年。刚去的时候他和香农合用过一间办公室——「同一段时间里他在做信息论，我在做编码论」。1976 年从贝尔实验室退休后，他到蒙特雷的海军研究生院教书，一直教到 1998 年 1 月 7 日去世。1968 年的图灵奖是发给他的，授奖词里排在最前面的不是纠错码而是数值方法：「表彰他在数值方法、自动编码系统与检错纠错码上的工作」。他自己对「做研究」这件事有一整套看法，1986 年 3 月 7 日在贝尔通信研究院讲的那一场《你和你的研究》是其中最有名的一次；而纠错码这个他亲手开出来的领域，站稳之后他故意不再读它的论文——「汉明，你不许再读这个方向的东西，你要去做别的」。

《贝尔系统技术杂志》第 29 卷第 2 号（1950 年 4 月）第 147 页 · 美国电话电报公司，公有领域（1950 年美国期刊，版权未续展）· Internet Archive。汉明没有一张够得上本馆尺寸下限的自由许可照片——维基百科用的那张标着「合理使用」，海军研究生院纪念页上那张比例正合适却只有 300 像素宽——所以这里放他自己留下来的那一页：《检错码与纠错码》的首页，篇名底下印着 By R. W. HAMMING。正文头一段说的就是他动手的缘由：在大机器上「把事情做对」，电话局靠的是许多条彼此独立的通路，而一台数字计算机只有一条长路，同一批器件要经过千万次，中间错一次，后面全作废

生平

1915年2月11日
生于芝加哥
伊利诺伊州。
1937
芝加哥大学数学学士
1939
内布拉斯加大学硕士
1942
伊利诺伊大学博士
论文《线性微分方程边值理论中的若干问题》，导师特日青斯基。做的是微分方程。
1945
去洛斯阿拉莫斯
管曼哈顿计划的计算机器。他自称是「跑腿的」，在那里见到费曼、费米、泰勒、奥本海默，上司是贝特。
1946
进贝尔实验室
刚去时与香农合用一间办公室：「同一段时间里他在做信息论，我在做编码论。」
1947–1948
纠错码做出来
机器夜里与周末无人看管地跑，查出错就把那道题扔下、接着做下一道。据汤普森 1983 年那本书所引的一段录音访谈，他说：「既然机器查得出有错，为什么不能指出错在哪儿、再把它改掉？」
1948
香农那篇论文里的那两段
《通信的数学理论》举了一个高效码的例子，注明出自汉明。这是他的码第一次见于印刷品——比他自己那篇早两年。
1949
戈莱那一页纸
《数字编码札记》，《无线电工程师学会会报》第 37 卷 657 页。给出两个完美码与第一个校验矩阵，比汉明自己那篇早一年。戈莱后来对梅西说，他当时所知的先前工作只有香农论文里的那两段。
1950年4月
《检错码与纠错码》
《贝尔系统技术杂志》第 29 卷第 2 号 147–160 页。第 5 节把码字放进 n 维立方体的顶点，定义了后来叫汉明距离的那个量；第 7 节证明第一部分那几族码在他的球堆积界下是最好的。
1956
参与 IBM 650 与早期语言的工作
他在贝尔实验室的工作横跨数值方法、操作系统与程序语言——图灵奖授奖词里的「自动编码系统」指的是这一摊。
1958
那个以他命名的窗
布莱克曼与图基《功率谱的测量》里的第三对窗，注明「有时叫作 hamming，取自 R. W. 汉明」，脚注指向他与图基一份从未发表的备忘录《测量噪声的颜色》。
1959
稳定的预测-校正法
《美国计算机学会会刊》第 6 卷 37–47 页。今天数值解常微分方程的教科书里仍叫汉明方法。
1962
《科学家与工程师的数值方法》
扉页那句「计算的目的是洞察，不是数字」出自这本书。
1968
图灵奖
授奖词：「表彰他在数值方法、自动编码系统与检错纠错码上的工作」——纠错码排在最后一项。
1970年10月
《论数的分布》
《贝尔系统技术杂志》第 49 卷第 8 号 1609 页起。从计算机的角度看浮点数尾数的分布，证明乘除法会把各种分布推向倒数分布。
1976
离开贝尔实验室，去海军研究生院
在蒙特雷教计算机科学，教到去世。
1977
《数字滤波器》
此后 1983、1989 两版。
1980年2月
《数学不讲道理的有效性》
《美国数学月刊》第 87 卷第 2 号 81–90 页。回应维格纳 1960 年那篇《数学在自然科学中不讲道理的有效性》。
1986年3月7日
《你和你的研究》
在贝尔通信研究院的讲演。他讲的不是怎么管理研究，是一个人怎么做自己的研究。
1988
IEEE 设立汉明奖章
1998年1月7日
卒于蒙特雷
加利福尼亚州，八十二岁。距他从海军研究生院的讲台上下来不到一年。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

把纠错变成几何：码字是立方体的顶点

在他之前，检错码是一条一条想出来的巧办法。他把所有码字摆进一个 n 维立方体，于是「能不能纠错」变成了「点与点隔得够不够远」。

D(x, y) = \#\{\, i : x_i \ne y_i \,\}

1950 年 4 月《贝尔系统技术杂志》第 29 卷第 2 号 147–160 页，第 5 节《一个几何模型》。在这一节之前，检错的办法是一条一条攒出来的：电话交换里的「五中取二」码、无线电报的「七中取三」码、电报末尾附的字数——每一种都是一个单独的巧思，彼此之间讲不出关系。他做的事只有一步：把一个 n 位的 0-1 串等同于 n 维单位立方体的一个顶点，整个码就是 2ⁿ 个顶点里挑出来的一个子集。然后在这个空间上装一个距离，「D(x, y) 定义为 x 与 y 不相同的坐标的个数」，而紧接着的那一句才是要害：「这与从 x 走到 y 最少要跨过几条棱是同一回事。」代数的定义与几何的走法，在这里被摁成了一件事。他随后逐条验了它确是一个度量：D(x,y)=0 当且仅当 x=y；D(x,y)=D(y,x)>0 当 x≠y；以及三角不等式。本馆把这三行与原刊逐字核过，发现第三行印错了一处：三角不等式的第一项印作 D(z, y)，应作 D(x, y)。三条互相独立的判据。其一，按印本写的那样，左边由上一行刚给出的对称性等于 2D(y,z)，取 y=z 就成了 0 ≥ D(x,z)，只要 x 与 z 不同就是假的。其二，一个不等式的右边出现了左边完全没有的自由变量 x，形式上就不成篇。其三，同一页上 x 与 z 的字形判然有别，而前两行的 x 全部印对，可见不是字模混用；顺带一提，同一行右边那个 D 还误排成了正体，而前两行三个 D 都是斜体——这一行整体排得潦草。接着他给了一个例子：三维立方体里的 001、010、100、111，两两相距两个单位。六对距离本馆复算过，全是 2。有了距离就有了球：以 x 为心、半径 r 的球是所有与 x 相距 r 的点。于是整篇文章的主句可以一句话说完——码点之间的最小距离决定了这个码能做什么。他把它列成了表 V：最小距离 1 只保证唯一，2 能检一位错，3 能纠一位，4 能纠一位同时检两位，5 能纠两位。本馆按「最小距离 d 能检 d−1 位、能纠 (d−1)/2 的下取整位」复算，五行逐行吻合。他还点出一件容易被忽略的事：在同一个最小距离下，纠错的本事可以换成检错的本事——最小距离 5 的码可以用来纠两位，也可以用来纠一位加检三位，还可以纯用来检四位。这一步之后，「找一个好码」不再是灵机一动，而成了一个说得清的几何问题：在立方体的顶点里挑一批两两离得够远的点。今天汉明距离早已走出编码——拼写检查、生物序列比对、局部敏感哈希里用的都是它。

拨 n 看立方体长出来，点开任意两个码点量它们之间隔着几条棱；再把最小距离从 1 拨到 5，看表 V 那五行是怎么从「球碰不碰得着」推出来的

x = 0000y = 1011

在他之前，检错码是一条一条想出来的巧办法——电话交换的「五中取二」、无线电报的「七中取三」、电报末尾附的字数——彼此之间讲不出关系。1950 年那篇的第 5 节只做了一步：把一个 n 位的 0-1 串看成 n 维立方体的一个顶点，再定义D(x, y) 为两者不同的坐标个数。紧接着那一句才是要害——「这与从 x 走到 y 最少要跨过几条棱是同一回事」。画布上那条金色的路径就是在走棱：此刻不同的坐标有 3 个，而路径走了 3 条棱，两个数永远相等。有了距离就有了球，于是「这个码能纠几位错」变成了「码点之间隔得够不够远」，也就是下面那张表 V；而「找一个好码」从灵机一动变成了一个说得清的几何问题：在立方体的顶点里挑一批两两离得够远的点。原刊这一页上他还顺手指出，同一个最小距离下纠错的本事可以换成检错的本事：最小距离 5 可以用来纠两位，也可以纠一位加检三位，还可以纯用来检四位。顺带记一处原文印错：这一页上度量三条件的第三行，三角不等式的第一项印作 D(z, y)，应作 D(x, y)——照印本那样写，由上一行的对称性左边就等于 2D(y, z)，取 y = z 便成了 0 ≥ D(x, z)，而右边还出现了左边根本没有的 x。

球堆得满不满：他的界与完美码

每个码字四周要留出一个不许别人进来的球。球的总体积不能超过整个空间——这一句就把所有纠错码的效率钉死了上界。

2^m \sum_{i=0}^{t} \binom{n}{i} \le 2^n

同一篇的第二部分，第 7 节。第一部分给出了三族具体的码，第二部分要回答的是另一个问题：它们是不是最好的。论证只有一行几何。若一个码能纠 t 位错，那么以每个码字为心、半径 t 的球两两不许相交，否则落在交叠处的那个收到的串就说不清该往哪边纠。球里有多少个点是数得出来的：与球心相距 i 位的点有 n 取 i 个，于是半径 t 的球含有 i 从 0 加到 t 的二项式系数之和。所有球加起来不能超过 2ⁿ，这就是今天叫作汉明界或球堆积界的那一行。纠一位的情形最干净：球里只有球心和它的 n 个近邻，共 n+1 个点，于是 2ᵏ ≥ n+1，校验位的个数 k 必须够写下 n+1 种情形——这正是他在第 3 节里用「校验数要能指出错在第几位，外加一个表示没错」凑出来的那个条件，两条路殊途同归。原刊第 151 页的表 I 把给定 n 时最大的 m 逐行列了出来，本馆按这个界复算了十六行，m 与 k 两列逐位相同，一处不差。真正有意思的是等号：球把空间填得一点缝也不剩的码，今天叫完美码。纠一位的完美码要求 2ᵏ = n+1，也就是 n = 2ᵏ−1，这给出一整族。而它们不是全部——这里要把首创权说清楚。戈莱 1949 年在《无线电工程师学会会报》第 37 卷第 657 页上发表了一页纸的《数字编码札记》，比汉明自己那篇早一年，里面有两个汉明这一族之外的完美码：二元的 (23, 12)、最小距离 7，与三元的 (11, 6)、最小距离 5；那一页还给出了汉明码的非二元推广，以及印刷品上第一个校验矩阵。梅西 1990 年给他写的讣告里记着一句戈莱亲口说的话：他动手时所知的先前工作，只有香农 1948 年那篇论文里描述汉明码的那两段。也就是说次序是这样的——汉明 1947 到 1948 年做出来，香农 1948 年在论文里用了并注明出处，戈莱 1949 年先发表了推广，而汉明自己那篇拖到 1950 年才登出来。本馆把戈莱那两个码代进球堆积的等式核过：二元那个半径 3 的球含 1+23+253+1771 = 2048 = 2¹¹ 个点，乘上 2¹² 个码字正好是 2²³；三元那个半径 2 的球含 1+22+220 = 243 = 3⁵ 个点，乘上 3⁶ 正好是 3¹¹。两边都是严丝合缝的等号。戈莱在那一页纸里顺带写下他相信完美码已经找全了，而这句话被此后二十年许多第一流数学家的工作最终证实。

码长 n = 7

第一部分给出了三族具体的码，第二部分要回答的是另一个问题：它们是不是最好的。论证只有一行几何——能纠 t 位错，就等于说以每个码字为心、半径 t 的球两两不许相交，否则落在交叠处的那个串说不清该往哪边纠。球里有多少个点是数得出来的，于是所有球加起来不能超过 2 的 n 次方。纠一位的情形最干净：球里只有球心和它的 n 个近邻，共 n+1 个点，这正是他在第 3 节里用「校验数要指得出错在第几位，外加一个表示没错」凑出来的同一个条件。此刻这一档：球有 8 个点，界允许 16 个码字，占掉整个空间的 100.00%。填满的那几档叫完美码，画布上是金色的点。纠一位的完美码就是汉明这一族；而它们不是全部—— 戈莱 1949 年那一页纸《数字编码札记》比汉明自己那篇早一年，里面有两个汉明族之外的完美码：二元的 (23, 12) 与三元的 (11, 6)，还给出了印刷品上第一个校验矩阵。梅西 1990 年为他写的讣告里记着戈莱亲口说的一句话：他动手时所知的先前工作，只有香农 1948 年论文里描述汉明码的那两段。次序因此是清楚的：汉明 1947 到 1948 年做出来，香农 1948 年用了并注明出处，戈莱 1949 年先发表了推广，汉明自己那篇 1950 年才登出来。

0.54 与 0.46 是怎么定出来的

做频谱分析要先把一段信号「开窗」，而窗的形状决定了假信号有多大。那个以他命名的窗，他本人一篇论文也没为它发表过。

u^2 = \frac{a}{2a-1} \;\Longrightarrow\; a = \frac{25}{46} = 0.5434\ldots

这一件的一手文献不是他的论文，因为不存在这样一篇论文。布莱克曼与图基 1958 年的《从通信工程的角度测量功率谱》分两部分登在《贝尔系统技术杂志》第 37 卷 185–282 页与 485–569 页（次年由多佛出版社印成单行本）。第二部分列了四对窗，第三对底下印着一行：「有时叫作 hamming，取自 R. W. 汉明」，而那个脚注指向的第 26 号文献是「R. W. 汉明与 J. W. 图基，《测量噪声的颜色》，未发表的备忘录」。第一部分末尾的鸣谢里又单独谢了汉明「持续而积极的讨论，尤其是在计算与表述方面的讨论」。所以这个窗的归属要分三层说清：形状是他的，发表在别人的书里，而那份备忘录本身从未发表。馆里这一族情形已经见过几种——以他命名而不是他先做的，是他先做的而证明是别人补的——这是第四种。窗本身长这样：在相关函数那一侧，D(τ) = 0.54 + 0.46 cos(πτ/T)，|τ| 不超过 T，此外为零；折到频谱那一侧就是把邻近三格按 0.23、0.54、0.23 加权平均，0.23 正是 0.46 的一半。今天的教科书多写成 0.54 − 0.46 cos(2πn/(N−1))，那是把窗架在数据上而不是架在延迟上，差的只是一个相位。那么 0.54 从哪儿来？把上面那个窗的谱算出来，用 sinc 把三项并到一起，可以化成一个很干净的形状：sin(πu)/π 乘上方括号 a/u − (1−a)u/(u²−1)，其中 u 是折算过的频率。方括号为零的条件解出来是 u² = a/(2a−1)。矩形窗的旁瓣峰大致落在半整数上，而升余弦窗的主瓣要宽一倍，第一个旁瓣的峰因此落在 u = 2.5 附近。要让这个旁瓣被摁到零，代进去解 a：6.25 = a/(2a−1)，得 a = 25/46 = 0.543478…，而 1−a = 21/46 = 0.456521…。0.54 与 0.46 就是这两个分数取两位小数。本馆复算时撞上一件没想到的事：四舍五入之后并不是将就，在「最高旁瓣」这个指标上它反而更好。取 25/46 时第一个旁瓣精确为零，最高的旁瓣退到远处、为主瓣的 −41.69 分贝；取 0.54 时第一个旁瓣不再是零（约 −9.7×10⁻⁴），可远处那一串旁瓣整体更低，最高的只有 −42.68 分贝，低了约 1 分贝。原因在方括号的远场：u 大时它趋于 (2a−1)/u，而 2×0.54−1 = 0.08 比 2×(25/46)−1 = 2/23 ≈ 0.08696 小了百分之八。逐个旁瓣比下来，只有最靠里的那一个是 25/46 更低，从第三个起每一个都是 0.54 更低。顺带记一件原文里的事：紧跟着的第四对窗，原文注着「RBB 并不太认真的一个提议」——那正是后来教科书上的布莱克曼窗。

a = 0.540000

做频谱分析要先把一段信号截出来，而截断本身会造出假信号——截口越硬，旁瓣越高，一个强分量会在整条谱上撒出一片虚假的小峰。窗就是用来把截口磨软的，而这个窗的形状只有一个参数 a。那么 0.54 从哪儿来？把窗的谱化简，可以写成 sin(πu)/π 乘上方括号 a/u − (1−a)u/(u²−1)；方括号为零的条件解出来是 u² = a/(2a−1)。升余弦窗的主瓣比矩形窗宽一倍，第一个旁瓣的峰因此落在 u = 2.5 附近，要把它摁到零，代进去解得 a = 25/46 = 0.543478…，1−a = 21/46 = 0.456521…——0.54 与 0.46 就是这两个分数取两位小数。复算时撞上一件没想到的事：四舍五入之后并不是将就。取 25/46 时第一个旁瓣精确为零，最高的旁瓣退到远处、为 −41.69 dB；取 0.54 时第一个旁瓣不再是零（约 −9.7×10⁻⁴），可远处那一串整体更低，最高的只有 −42.68 dB。原因在方括号的远场：u 大时它趋于 (2a−1)/u，而 2×0.54−1 = 0.08 比 2×(25/46)−1 ≈ 0.08696 小了百分之八。逐个旁瓣比下来，只有最靠里的那一个是 25/46 更低，从第三个起每一个都是 0.54 更低。最后要说清归属：这个窗以他命名，而他本人一篇论文也没为它发表过。它出现在布莱克曼与图基 1958 年那部书里，原文写着「有时叫作 hamming，取自 R. W. 汉明」，脚注指向的是他与图基一份从未发表的备忘录《测量噪声的颜色》。

浮点数的首位数字不是均匀的

一堆「自然出现」的数，首位是 1 的差不多占三成，是 9 的只占不到五分之一成。他要问的不是为什么，而是：机器算着算着，会把数推向哪种分布。

r(x) = \frac{1}{x \ln b}, \qquad P(\text{首位}=d) = \log_{10}\!\left(1+\frac{1}{d}\right)

1970 年 10 月《贝尔系统技术杂志》第 49 卷第 8 号 1609 页起，《论数的分布》。开篇那句写得很有分寸：这篇要从计算机的角度，来看那件「为数不多的人才知道」的事——浮点数尾数的分布并不均匀。经验上它贴近倒数密度 r(x) = 1/(x ln b)，b 是进位制的底。这个观察本身比他早得多，纽康 1881 年、本福特 1938 年都记过；他自己在文中说这个分布「已经被人用许多种方式解释过」。他做的是另一件事：不问这些数一开始从哪儿来，只问机器的四则运算会把分布搬到哪里去。结论是倒数分布是乘除法的不动点，而且是个吸引子——两个数相乘，只要其中一个的尾数服从倒数分布，乘积的尾数就服从倒数分布，跟另一个是什么分布无关；一个数取倒数，尾数仍服从这个分布。于是无论一批数最初怎么分布，只要在机器里连乘几轮，尾数就朝这条曲线塌过去。他还顺手把这件事推到了硬件与软件上：尾数的分布不均匀意味着移位规格化的次数可以预估，浮点乘法的溢出概率、舍入误差的统计都跟着变；而这一点「不只是一件好玩的怪事」。本馆核过这条密度的几个数：它在 1/b 到 1 上积分为 1；首位数字是 d 的概率等于 log₁₀(1+1/d)，从 1 到 9 依次是 0.3010、0.1761、0.1249、0.0969、0.0792、0.0669、0.0580、0.0512、0.0458，九项相加为 1。首位是 1 的概率约是首位是 9 的六点六倍。要提一句分寸：这条分布不是定理而是经验规律加上不动点性质，它对「自然出现」的数成立，对身份证号、电话号码这类人为编号并不成立——他在文中把成立的范围说得很清楚，本馆这一件也只讲他讲过的那一半。

乘了 0 轮

一堆「自然出现」的数，首位是 1 的差不多占三成，首位是 9 的不到五分之一成—— 这件事纽康 1881 年、本福特 1938 年都记过，汉明自己在文中也说它「已经被人用许多种方式解释过」。他 1970 年那篇要做的是另一件事：不问这些数一开始从哪儿来，只问机器的四则运算把分布搬到哪儿去。答案是倒数密度 1/(x ln b) 不但是乘除法的不动点，而且是个吸引子：两个数相乘，只要其中一个的尾数服从它，乘积就服从它，跟另一个是什么分布无关。画布上那四个起始分布，没有一个像它——全一样的四千个 3.7，甚至只有一根柱子—— 可只要把滑块往右拨几格，直方图就一路朝那条金线塌过去；此刻首位分布与 log₁₀(1+1/d) 的最大偏差是 0.1865。他把这件事一路推到硬件与软件上：尾数分布不均匀，意味着规格化移位的次数可以预估，浮点乘法的溢出概率、舍入误差的统计都跟着变，所以它「不只是一件好玩的怪事」。要提一句分寸：这不是定理，是经验规律加上不动点性质，它对自然出现的数成立，对身份证号、电话号码这类人为编号并不成立。

再加一位，就多一种本事

一个能纠一位错的码，末尾添一个管全局的校验位，立刻变成「能纠一位、并且看得出什么时候错了两位」。今天每一条服务器内存都在用这一招。

d = 3 \;\xrightarrow{\;+\text{总校验位}\;}\; d = 4

同一篇的第 4 节。前一节给出的码最小距离是 3，按表 V 它能纠一位；可它有个要命的脾气：一旦真错了两位，它不会告诉你，它会若无其事地「纠」到第三个码字上去，把两位错变成三位错。他的补法只有一句：在末尾再添一位，让整个码字的 1 的个数成偶数。这一位为什么管用，用距离说最清楚。原来两个码字若相距 3（奇数），它们 1 的个数的奇偶必不相同，于是新添的那一位也必不相同，距离就变成 4；原来相距 4 或更远的，添一位只会不减。所以新码的最小距离恰好是 4。而按表 V，最小距离 4 正是「纠一位错，同时检两位错」。分辨的办法也干净：收到一个串，先看那个总校验位对不对，再看指错的校验数是不是零。两个都对，没错；总校验位不对，是一位错，校验数指着它，改掉；总校验位对而校验数不为零，那就是两位错——纠不了，但知道自己纠不了，于是可以喊停、可以重发。这最后一句才是它在工程上的全部价值：一个会声张的错误远比一个不声不响被改坏的结果便宜。本馆按这条构造列了一串：(7,4) 加一位成 (8,4)，冗余 2.0000；(15,11) 成 (16,11)，1.4545；(31,26) 成 (32,26)，1.2308；(63,57) 成 (64,57)，1.1228；(127,120) 成 (128,120)，1.0667；(255,247) 成 (256,247)，1.0364。信息位越多，多带的那几位就越不值一提。今天服务器内存里的 ECC 走的正是这一路：把 64 位数据配 8 位校验凑成 72 位，纠一位、检两位，业内的叫法就是 SEC-DED。它不是那一族完美码里的任何一个——为了凑成 64 这个整数，码被截短过——但构造的道理就是 1950 年这一节的四行字。

翻第 3 位再翻第 5 位信息位 1011

第 3 节那个码最小距离是 3，按表 V 它能纠一位；可它有个要命的脾气——一旦真错了两位，它不会告诉你，它会若无其事地「纠」到第三个码字上去，把两位错变成三位错。他的补法只有一句：在末尾再添一位，让整个码字里 1 的个数成偶数。为什么这一位管用，用距离说最清楚：原来相距 3（奇数）的两个码字， 1 的个数的奇偶必不相同，于是新添的那一位也必不相同，距离变成 4；原来相距 4 或更远的，添一位只会不减。所以新码的最小距离恰好是 4，而按表 V，最小距离 4 正是「纠一位，同时检两位」。分辨的办法也干净：先看总校验位过不过，再看校验数是不是零。两项都过，没错；总校验不过，是一位错，校验数指着它；总校验过而校验数不为零，那就是两位错——纠不了，但知道自己纠不了。画布上把两个滑块都拨开试试：翻一位时两边都纠得回来，翻两位时左边把结果改得更坏，右边把手举起来。最后这一句才是它在工程上的全部价值：一个会声张的错误，远比一个不声不响被改坏的结果便宜。

他为什么要研究别人怎么做研究

在洛斯阿拉莫斯，他管机器，别人做物理。他说自己是个跑腿的，而且嫉妒——「我想知道他们究竟跟我有什么不一样」。

1986 年 3 月 7 日，他在贝尔通信研究院讲了一场，题目是《你和你的研究》。开头他先把题目划清楚：这不是讲怎么管理研究，是讲你自己怎么做你的研究；而且讲的不是一般的研究，是那种「诺贝尔奖级别」的工作。接着他交代了这项「研究」的由来，而这一段是全篇最坦白的：在洛斯阿拉莫斯，他被叫去管那些别人已经弄起来的计算机器，好让科学家和物理学家回去做正事。「我看出自己是个跑腿的。我看出，虽然肉体上我和他们一样，他们却是不同的。说得直白点：我嫉妒。我想知道他们为什么跟我不一样。」他在那里近距离看过费曼、费米、泰勒、奥本海默，以及他的顶头上司贝特。到了贝尔实验室，他进的又是一个高产的部门——博德是部门主管，香农在那里——于是他接着问同一个问题，并且开始读传记、读自述，逮着人就问「你当初是怎么想到去做这件事的」。讲演里有几处后来被反复引用。一处是博德跟他说的复利：知识与产出像复利，两个能力相当的人，其中一个每天多干一成，一辈子下来产出会多出一倍不止。一处是开着门与关着门：关着门的人今天明天干得更多，可十年之后往往不大清楚什么问题值得做；开着门的人不断被打断，却总能零零碎碎地听见这世界正在发生什么、什么可能要紧。还有一处是他自己的办法——在图基等人的怂恿下，他把每个星期五下午定成「大问题时间」，那半天只许想大问题：计算机将在整个 AT&T 里扮演什么角色，计算机会怎么改变科学。他当时说十个实验有九个在实验室做、一个在计算机上做，将来会倒过来；副总裁们觉得这个疯疯癫癫的数学家没有现实感。最后还有一件事值得记在他自己名下：纠错码这个他亲手开出来的领域，站稳之后他对自己下了禁令——「汉明，你不许再读这个方向的论文，你要去做别的」——为的是不在自己的名声上吃老本。这一件是故事展签，没有演示：它记的不是一条定理，是一个管机器的人决定去研究那些做物理的人。

故事展签

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

把码字放进 n 维立方体、用最小距离量纠错能力⟶线性分组码、循环码、BCH 与里德–所罗门码⟶二维码、光盘、深空探测与 5G 的信道编码都从这套语言开始讲

球堆积界与完美码⟶戈莱码与完美码的分类⟶旅行者号靠戈莱码把木星的照片发回来，深空探测至今用它；而球堆积与格一路通到今天的格密码学

纠一位加检两位的构造⟶SEC-DED 校验电路⟶服务器与航天器内存里的 ECC，每一次读写都在跑它

0.54 与 0.46 那个窗⟶加窗的功率谱估计与数字滤波器设计⟶语音识别的每一帧、手机基带的每一次频谱分析都要先加一次窗

浮点尾数的倒数分布是乘除法的不动点⟶浮点运算的误差统计与规格化次数估计⟶数值逼近里的误差估计，以及拿首位数字分布去查账户余额与报表上的造假

《你和你的研究》里那套「开着门工作」⟶工业实验室与大学里关于研究选题的通行说法⟶工业实验室怎么挑题、怎么排资源，成了一件被认真讨论的事——今天讲科研最优化与选题的课，十有八九还在放这一篇

他在哪几条专题里

专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写，全是 tracks.ts 推出来的。

无线通信手机里那颗基带芯片1950 第一族能纠错、而不只是发现错的码（结构）

语录

「计算的目的是洞察，不是数字。」
—— 《科学家与工程师的数值方法》扉页，1962

「既然机器查得出有错，为什么不能指出错在哪儿、再把它改掉？」
—— 据汤普森《从纠错码到球堆积到单群》1983 所引的一段录音访谈。他自己在 1950 年那篇里给的是技术版的说法：机器在夜里与周末无人看管地跑，出错就把那道题扔下、接着做下一道

「我看出自己是个跑腿的。我看出，虽然肉体上我和他们一样，他们却是不同的。说得直白点：我嫉妒。」
—— 《你和你的研究》，贝尔通信研究院讲演，1986 年 3 月 7 日；说的是在洛斯阿拉莫斯管计算机的那段日子

「关着门的人今天明天干得更多，可十年之后，他不大清楚什么问题才值得做。」
—— 同上。原话是就「开着门工作」与「关着门工作」两种人作的对比，他自己说这只是很强的相关，因果他证不了