李雅普诺夫

方程是他 1892 年那篇第 41 节头一个例子（法译本第 365 页）：d²x/dt² + x = a·(dx/dt)^(2n+1)。把高于一次的项全扔掉， 剩下的第一近似永远是 d²x/dt² + x = 0，行列式方程的两个根是纯虚的——无论 a 取什么、n 取几，线性化都是同一个方程，画出来都是同一个圆。 这正是他第 27 节划出来的那一档：第一近似给不出答案的，恰恰只有「没有正实部的根、却有实部为零的根」这一种。 而他随即指出，这一档恰恰最要紧——正则方程组要有绝对的稳定， 就只能落在这里，天体力学里最有意思的问题全在这一类。 现在 a = 0.30、n = 1。真正的轨道（深色那条）从同一个圆上出发， 却一圈一圈往外甩——定输赢的是高次项里 a 的符号，而快慢由他给的那个常数 g 定： g = (2a/π)∫₀^(π/2) cos^(2n+2)θ dθ，这一档等于 0.11250000。 右栏第二个数是另一条路量的：把那个方程原样积满一整圈，再反解出 g， 两者相对差 4.5e-8。这一档：他的结论：a > 0 时未扰动运动不稳定——螺线往外甩。他在这个例子末尾只写了一句话：由此断定，a > 0 时未扰动运动不稳定，a ≦ 0 时稳定。 顺带记一件复算出来的事：那个积分有闭式，g 正好等于 a 乘 (2n+1)!!/(2n+2)!!， 也就是 a/2、3a/8、5a/16、35a/128……n 越大它越小，可正负号一直没变。

他给「解衰减得多快」定了一个数，叫特征数： 拿解乘上 e 的 λt 次方，λ 小的时候乘积趋于零，λ 大的时候乘积无界， 两头之间那个分界的 λ 就是它。换成今天的写法， 特征数 = −limsup (1/t)·ln|x(t)|—— 注意符号与今天的「李雅普诺夫指数」正好相反： 在他那里，衰减的解特征数为正，第 13 节那条定理写的是「第一近似正规、特征数全为正，则稳定」。 上格画的是他自己在第 236 页举的那个系统。 它的两个解是 e 的 t·sin(log t) 次方与 e 的 t·cos(log t) 次方， 于是 (1/t)·ln|x| 恰好就是 sin(log t) 与 cos(log t)—— 那条曲线永远在 ±1 之间摆，极限根本不存在；在 log t 上它的周期是 2π， 折回 t 上就是每过一个倍率 e^(2π) = 535.49 重来一遍。 现在游标停在 log t = 6.2832，也就是 t = 535.5， 读数 +0.000000。log t 走满 2π，t = e^(2π) = 535.49，一切从头来一遍。特征数取的是上极限而不是极限，这不是技术上的讲究，是这条曲线逼出来的。那些黑点是把方程原样用 RK4 积出来的，与他给的闭式解逐点对得上——本页现算，到 t = 60 为止最大偏差 9.7e-13。 右栏是他在这个例子上算的三个数：两个解的特征数都是 −1，和 S = −2； 而朗斯基行列式那一条的特征数是 −√2 = −1.4142136，S 比它还小。 按他第 9 节的判据 S + μ = 0 才算正规，这里是 −3.4142136，所以这个系统不正规——而第 13 节那条「特征数全为正则稳定」的定理， 正是要拿「正规」当前提的。下格是他紧接着给的正规例子： 把 cos(log t) 换成 cos t，那个积分就从无界变成有界，同一条曲线像 1/t 一样掉到零。 一字之差，正规变不正规。

「加起来就是钟形」这件事本身，馆里拉普拉斯与棣莫弗那两页已经讲完了。 这一件讲的是另一半：凭什么。 1901 年他给出的答案是一个可以算的条件—— 取一个正数 δ，记 d_i 为 |x_i − α_i| 的 2+δ 次方的期望、a_i 为方差， 只要 (d₁+d₂+…)² 比上 (a₁+a₂+…) 的 2+δ 次方趋于零， 归一化的和就一定趋于那条钟形曲线，而且对一切区间一致。 演示里每一项都是抛一次硬币，正面加 w_k、反面减 w_k。 取 δ = 1，这个比值全是有理数，逐项算得出来。 现在这一族是 w 全是 1，n = 24，比值 0.041666667。 前三族它都往零掉（全是 1 那一族恰好是 1/n），分布也就一档比一档更贴近那条虚线。 最后一族是干净的反例：权重按 2 的幂翻番，每一项都比前面所有项加起来还大， 比值根本不往零走，而是停在 27/49 = 0.5510204082。 这时极限也就真的不是钟形——那个和恰好取遍一段区间里的每一个奇数各一次， 所以它是均匀分布，归一化之后半宽 √(3/2) = 1.2247448714、 密度 0.4082482905，画布上那条点线画的就是它。 条件不是摆设：它坏掉的时候，结论真的不成立。 还有一件值得记的：他这篇的证明用的是特征函数，可原文里一个复指数也没有—— 他把它拆成 ρ 与 σ 两个实函数写（第 161 页公式 (2)）， 反演的时候再乘一个高斯阻尼因子。

方程是 x″ + p(s)·x = 0，p 以 σ 为周期；他 1896 年那篇开头把问题问得很直白：给定 p，能不能断定每一个解与它的导数都有界？ 答案挂在一个数上——A = ½[f(σ) + φ′(σ)]，两个特解按 f(0)=1、f′(0)=0 与 φ(0)=0、φ′(0)=1 取；A² < 1 则一切解有界。 难处在于 A 要积分才算得出来，而他那条判据只要一个积分： p ≥ 0 且不恒为零时，只要 σ∫₀^σ p ds ≤ 4，就一定稳。 演示取 p = δ + ε·cos s、σ = 2π，于是这条化成 δ ≤ 1/π² = 0.1013211836， 就是图上那个深色三角。背景里的深块是逐格积出来的真实不稳区—— 从 δ = ¼ 那一点伸出来的第一条「舌头」，就是荡秋千时越荡越高的那件事。 现在 δ = 0.1013、ε = 0.0800，σ∫p = 3.99916， A = -0.4642195。这一档：σ∫p 正好压在 4 上，A 仍然稳稳落在 ±1 之间。他在同一页还照抄了茹科夫斯基后来给的另一条（要的是 p 的上下确界，不是积分）， 图上浅色那一片就是它——在这一族上它覆盖得更宽： 逐格扫过 14400 个点，「只有他那条成立」的一个也没有，「只有茹科夫斯基那条成立」的有 2460 个。 两条都从不出错：判据说稳的地方，实际算出来的 |A| 没有一次到过 1。 最后一件值得记的：那个 4 一分也改不大。 把 p 压成一个越来越窄的脉冲，单值矩阵有闭式，A 正好等于 1 − σ∫p/2， 于是「有界」恰好等价于 σ∫p < 4 ——右下那张小表就是闭式与两档脉冲宽度的对照。