Jacques Salomon Hadamard · 1865–1963

阿达马

他证素数定理，是先把一件小得多的事证下来；而今天挂着他名字的那族矩阵，出自他 1893 年顺手问出的一个问题——那个问题至今没有答案

\zeta(1 + it) \neq 0 \qquad (t \neq 0)

1896 年那篇要证的全部内容。黎曼猜想说 ζ 的零点都落在 σ = 1/2 上，他不碰那一句，只证 σ = 1 这条线上一个也没有——素数定理正好卡在这里。同年德拉瓦莱普桑独立地也走到了这块基石上，而两人的证法完全不同

雅克·所罗门·阿达马 1865 年 12 月 8 日生于凡尔赛。父亲阿梅代是中学教师，教古典语文、语法与史地；母亲教钢琴，学生就在家里上课。他三岁那年全家迁往巴黎，随即撞上普法战争：1870 年 9 月普鲁士围城，城里人杀马、杀猫狗充饥，阿达马家吃的是象肉；次年 1 月巴黎投降，投降与和约之间的那场内战里他家的房子被烧掉了。同一段时间里他失去了两个妹妹。上学头几年他门门功课都好，唯独算术不行——1936 年他自己写道，「在算术上，直到五年级我都是最后一名或者差不多」；这话说重了些，那一年他其实已经是班上第二名。把他扳到数学这一边的是一位好老师。1884 年他同时报考巴黎高师与巴黎综合理工，两边都是第一名，他选了高师，同窗里有杜阿姆与潘勒韦，老师里有塔纳里、埃尔米特、达布、皮卡。1892 年他以一篇讲泰勒级数所给函数的论文取得博士学位，同一年拿下数学科学大奖——那个悬题是埃尔米特惦着斯蒂尔杰斯出的，要人去补黎曼那篇 ζ 备忘录里的窟窿，而斯蒂尔杰斯宣称证过黎曼猜想却从未发表，最后一个字也没有交。

1893 年他到波尔多任讲师，1896 年 2 月 1 日升任天文学与理性力学教授。波尔多那四年他写了二十九篇东西，其中两件把他的名字留在了两个互不相干的地方：1893 年那篇七页的札记问出了行列式的上界与今天叫阿达马矩阵的那一族，1896 年那篇证出了素数定理。1894 年德雷福斯案发，被告的妻子露西娘家姓阿达马，是他的亲戚；起初他和多数人一样以为那人有罪，1897 年迁居巴黎之后他弄明白了证据是伪造的，从此成了平反运动里最用力的人之一，而按施瓦茨的说法，就捍卫正义而言这是他一生中最大的一桩事。1909 年他接下法兰西公学院的力学讲座，1910 年那部《变分法讲义》里造出了「泛函」这个词，1912 年接若尔当在综合理工的分析讲座；同年 7 月庞加莱去世，他一个夏天写完两篇长文把庞加莱的全部工作梳理了一遍，年底当选科学院院士，坐的正是庞加莱空出来的那个位子。1916 年他的长子皮埃尔与次子艾蒂安先后阵亡于凡尔登，长子死时他正在罗马讲学；1944 年三子马蒂厄又死于战事，1962 年孙子艾蒂安死于山难——那一年他九十六岁，此后不再出门。1963 年 10 月 17 日卒于巴黎，享年九十七。本馆此前提到他十三次，一次也没讲他自己做了什么：三次说的是他替哈代把一篇短文交到巴黎科学院——那一次他是送信的人；其余各次写在勒让德、切比雪夫、魏尔斯特拉斯那几页的末尾，作为别人那条线的终点出现。

《一个关于行列式的问题的解答》首页 ·《数学科学通报》第二辑第十七卷，巴黎，1893 年，第 240 页 · 渥太华大学藏本，Internet Archive，公有领域。他卒于 1963 年，照片几乎全还压着版权，公有领域里够 608 像素宽的一张也挑不出来，于是照本馆的老办法放他自己的那一页。篇名底下署着「PAR M. J. HADAMARD.」，正文第一句问的就是：元素的绝对值都不超过 A 时，行列式最大能有多大

生平

1865年12月8日
生于凡尔赛
父亲在凡尔赛的帝国中学教书，三岁时全家迁往巴黎。
1870–1871
围城、象肉与那场火
普鲁士围巴黎，全家靠象肉度日；内战中房子被烧。两个妹妹也死在这几年里。
1884
两边都考第一
同时报考巴黎高师与巴黎综合理工，两个第一名。他选了高师。
1892
博士学位与数学科学大奖
论文讲泰勒级数所给的函数；大奖那道悬题是埃尔米特惦着斯蒂尔杰斯出的，而斯蒂尔杰斯一个字也没交。同年 6 月与路易丝-安娜·特雷内尔成婚。
1893
行列式那七页
《一个关于行列式的问题的解答》，《数学科学通报》第二辑第十七卷 240–246 页。上界、4 的倍数、12 阶与 20 阶，以及末尾那一问。
1893
整函数与黎曼的那个函数
《纯粹与应用数学杂志》第四辑第九卷 171–215 页。第三部分证出 ξ 作为 x² 的函数是零亏格的——黎曼断言过，但没有足够的证明。
1896年2月1日
波尔多正教授
天文学与理性力学讲座。到巴黎之前的四年里他发表了二十九篇文章。
1896年6月22日
送到科学院的那一次
「本备忘录的基本结果已于 1896 年 6 月 22 日的会议上报告给科学院」——这一行印在论文首页的脚注里。
1896年7月1日
例会纪要上的两页
法国数学会那次例会的纪要里，他的名字出现了两次：一次在当选会员的名单上，一次在他寄来的两页短札《论整函数》里——三圆定理那句断语就在其中。
1896
素数定理
《法国数学会通报》第 24 卷 199–220 页。同年德拉瓦莱普桑在布鲁塞尔独立证出，两人的办法完全不同。
1896
博尔丹奖
关于动力学轨道的工作。这条线两年后长成了负曲率曲面上的测地线那一篇。
1897
迁居巴黎
辞掉波尔多的讲座，改任索邦与法兰西公学院的低阶职位。同一年他弄清了德雷福斯案里的证据是伪造的。
1898
负曲率曲面上的测地线
初始方向差一点，轨道就走到完全不同的地方；他把轨道编成一串符号——后来叫符号动力学。
1901
普林斯顿那一讲
讲稿次年刊于《普林斯顿大学通报》第 13 卷，题为《论偏微分方程及其物理意义》。「适定」这个词出自这里。
1906
当选法国数学会主席
1896 年 7 月 1 日那次例会上当选会员，十年之后主持这个学会。
1910
「泛函」这个词
《变分法讲义》（弗雷歇记录）。弗雷歇是他在布丰中学教过的学生。
1912
接庞加莱的席位
年初接若尔当在综合理工的分析讲座；7 月庞加莱去世，他用一个夏天写完两篇长文梳理庞加莱的全部工作，年底当选科学院院士。
1916
凡尔登
长子皮埃尔与次子艾蒂安先后阵亡。皮埃尔死时他正在罗马讲学，回到巴黎才知道。
1917
苏黎世的那个例子
「我第一次给出这个例子，是在苏黎世的瑞士数学会的一次会议上」——这一行是他自己 1923 年写在脚注里的。二手文献一概把这个例子系在 1902 年那篇名下。
1923
耶鲁的西利曼讲座成书
《线性偏微分方程的柯西问题讲义》，序言署 1921 年 7 月。常被误记为普林斯顿的讲演。
1945
《数学领域中的发明心理学》
他把这本书写给一般读者。书里那句常被当成他自己说的名言，原文开头是「有人写过」。
1963年10月17日
卒于巴黎
享年九十七。1962 年孙子死于山难之后他不再出门。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

σ = 1 上，一个零点也没有

黎曼猜想说零点全落在 σ = 1/2 上。他不碰那一句，只证 σ = 1 这条线上一个也没有——而素数定理正好卡在这里。

\zeta(1 + it) \neq 0 \qquad (t \neq 0)

1896 年那篇的第 200 页把要做的事说得很干脆：斯蒂尔杰斯宣称证过零点全是 1/2 + ti 那种形状，「可是他的证明从未发表，而且连 ζ 在直线 R(s) = 1 上没有零点这一点都还没有确立。正是这最后一条结论，我打算把它证出来。」办法只用两个和。S 把每个素数按 1/p 的 s 次方加起来，s 沿实轴降到 1 时它像 −log(s−1) 一样发散；P 则在每一项上再乘一个 cos(t·log p)。若 1 + ti 真是 ζ 的零点，P 就必须像 −S 一样掉向负无穷。要掉那么深，cos 得几乎处处等于 −1，也就是几乎全部权重都堆进角 t·log p 落在 π 附近的那一个小窗口里。妙处在下一步：他把 t 换成 2t——窗口里的角一翻倍就落到 0 的两侧，那里 cos 接近 +1，于是对应的和冲向正无穷，1 + 2ti 就成了 ζ 的极点。可 ζ 只有 s = 1 一个极点。第 202 页收尾：「ζ(1 + ti) = 0 这个假设的不可能性于是得到了证明。」有一件事值得写明：今天课本上证这一步用的是 3 + 4cos θ + cos 2θ ≥ 0，那是梅滕斯 1898 年给的；他 1896 年走的是上面这条分两类、再把 t 翻一倍的路。他自己在第 5 节点明，这套推理只用到两条性质——函数的对数展得成系数全正的级数，以及它在收敛边界线上单值且只有一个单极点——所以同一篇的第二部分把它照搬到狄利克雷的级数上，顺手证出了算术级数里的素数定理。

拨 t，看素数的角摊在哪里；再看要把它们堆成什么样才凑得出一个零点——而堆成那样，ζ 就多了一个极点

ts − 1α

他要证的只有一句：ζ 在 σ = 1 那条线上不为零。办法是拿两个和说话—— S 把每个素数按 1/p^s 加起来，P 再乘一个 cos(t·log p)。 s 沿实轴降到 1 时 S 发散；而若 1 + ti 真是零点，P 就必须像 −S 一样往下掉。要掉到那么深，cos 就得几乎处处等于 −1，也就是几乎全部权重都堆进 π 的 ±α 那个窗口——第①条轴上那块深色就是这个窗口，它现在只占 ρ = 0.42762。妙处在下一步：窗口里的角一旦翻倍，就全落到 0 的两侧（第②条轴），那里 cos 接近 +1，于是 Q 会冲向 +S，1 + 2ti 就成了极点——可 ζ 只有 s = 1 一个极点。第③幅画的正是这一步：ρ 往 1 走时，P/S 的下界才够得着 −1，而同一个 ρ 把 Q/S 的下界推到了 0 以上（越过 ρ* = 0.734 就转正）。 α 这个滑块有个两头不讨好的地方，值得拨一拨：α 越大，第一步越有力（ρ = 0 那一头的下界是 −cos α，离 −1 越远，「必须堆起来」这句话就越硬）；可第二步要求 cos 2α 是正的，也就是 α 必须小于 π/4 ≈ 0.785—— 过了那一档，翻倍之后的窗口就兜不住 cos 的正号，整条路就断了。现在 t = 14.1347，实际算出来 P/S = -0.48744、 Q/S = 0.27266。这一档：临界线上第一个零点那个高度——P/S 掉得最深，可离 −1 还差一半。 要留意的是：这不是课本上那条 3 + 4cos θ + cos 2θ ≥ 0。那一条是梅滕斯 1898 年给的，通行至今；他 1896 年自己走的是上面这条分两类、再把 t 翻一倍的路。他在末尾的按语里说，德拉瓦莱普桑同年也被引到「ζ 没有 1 + ti 这种根」这同一块基石上，「尽管两人的证明手法完全不同」，随后加了一句：「我想，不会有人否认我这个方法胜在简单。」

元素都不超过 1，行列式最大能有多大

上界他算了出来。够不够得着，他自己造了 12 阶与 20 阶两个例子，然后留下一个问题——那个问题至今没有答案。

|\det A|^2 \le \prod_{h=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} |a_{hk}|^2

1893 年那篇开头问得很实在：元素的绝对值都不超过 A 时，行列式最大能有多大？「一眼就看出 |Δ| 小于 1·2·3…nAⁿ。可这个界显然太高了，因为它只有在行列式的所有项同号时才达得到，而那显然不可能。」他给出的真界是 |Δ|² 不超过各行元素模的平方和之积，并写明等号只在各行两两正交时成立；元素都取 ±1 时这就成了 |Δ| 不超过 n 的 n/2 次方。他顺带比了一句：这个最大值「远不像 1·2…n 长得那么快，按 Γ 函数的近似公式，它只比这个乘积的平方根长得快一点点」。名字的归属他自己就写清楚了：取到等号的那一族「就是西尔维斯特先生称为反向正交的行列式」，脚注注明是 1867 年的事；西尔维斯特的倍增造法他也照抄了一遍，同时指出「最大行列式的构成，比这位英国几何学家所设想的要任意得多」。他自己添的是最后两节：先证阶数必须是 4 的倍数，再亲手造出 12 阶与 20 阶两个——两张表就印在第 245 与 246 页上，本馆照原表逐格复原，行列式正好是 12 的 6 次方与 20 的 10 次方，66 对与 190 对行内积全为零，两张表一处印错也没有。末尾那一问是：究竟对哪些 n 存在这样的矩阵。今天人们相信 4 的倍数就够，可最小的未知阶数还停在 668。这一族后来去了很远的地方：32 阶那一个连同它的负行共 64 个码字，最小距离 16、纠得了 7 位错，1971 年水手九号从火星发回的照片走的就是它。

他 1893 年那篇开头问的是一件很实在的事：元素的绝对值都不超过 A 时，行列式最大能有多大？「一眼就看出 |Δ| 小于 1·2·3…nAⁿ，可这个界显然太高了。」他给出的真界是 |Δ|² ≤ s₁s₂…s_n（s_h 是第 h 行各元素模的平方和），而且写明等号只在各行两两正交时成立。元素都取 ±1 时这就成了 |Δ| ≤ n 的 n/2 次方。现在 n = 12：上界是 2 985 984，这个矩阵的 |det| = 2 985 984，正好取到等号。 名字的归属值得说清，而说清它的正是他自己：第 5 节他写明取到等号的那一族「就是西尔维斯特先生称为反向正交的行列式」，脚注注明是 1867 年的事；第 6 节他又照抄了西尔维斯特的倍增造法（n = 2、4、8、16、32 这几档就是它造的）。他自己添的是第 7 节：先证 n 必须是 4 的倍数，再亲手造出 n = 12 与 n = 20 两个（这两档画的就是照他那两张表复原的，行列式正好是 12⁶ 与 20¹⁰，两张表一处印错也没有），末尾留下那一问——究竟对哪些 n 存在这样的矩阵。这一问至今没有答案：人们相信 4 的倍数就够，可最小的未知阶数是 668。右下那张图是他自己的一句比较：这个最大值「远不像 1·2…n 长得那么快，只比这个乘积的平方根长得快一点点」。 n = 32 那一档还有个去处：它的 32 行连同各自的负行共 64 个码字，最小距离 16、纠得了 7 位错——1971 年水手九号从火星发回的照片，走的就是这一族。

黎曼写下了那个乘积，可他没有证

素数的分布最后落在「ζ 的零点摆在哪里」这句话上。要让这句话成立，先得有一个乘积公式——那个公式黎曼只是断言。

\xi(s) = \tfrac12 \prod_{\gamma > 0} \left(1 + \frac{s(s-1)}{\tfrac14 + \gamma^2}\right)

1892 年的数学科学大奖，题目要的就是补黎曼 1859 年那八页里的窟窿。他的应征之作次年刊出，第三部分标题是「应用于黎曼的那个函数」，第 34 节写道：「黎曼的分析依赖于这样一件事：ξ(x) 作为 x² 的函数看是零亏格的——这件事在他的备忘录里是陈述了的，可是没有足够的证明。前面的研究将使我们能够完全严格地定出 ξ(x) 的亏格。」第 58 节给出结论：ξ 是零亏格的，「它表成一串初等因子与一个简单常数的乘积，不带任何指数因子」。零亏格这四个字在演示里是可以当场验的两件事。按零点本身排，1/|ρ| 的和一路往上爬，没有上界——裸乘积就是这么塌掉的；可把 ρ 与 1 − ρ 配成一对，和立刻收敛，而且收敛到一个有闭式的数：1 + γ/2 − ln(2√π) = 0.023095708966（γ 是欧拉常数）。配对之后每一对合成 1 + s(s−1)/(1/4 + γ²)，于是 ξ(s) 等于 1/2 乘这一串因子，一个指数因子也不用补。这正是黎曼要用而没有证的那一步；有了它，那条把素数写成零点之和的显式公式才被冯·曼戈尔特补成了严格的定理。本馆黎曼那一页讲的是显式公式本身，这一件讲的是它底下的那块地基。

用前几对零点

黎曼 1859 年那八页里，把 ξ 写成了一串一次因子的乘积，好让素数的分布落到「零点摆在哪里」这句话上。可那一步他只是断言，没有给出足够的证明——这句话是阿达马自己写的（1893 年那篇第 34 节：「这件事在他的备忘录里是陈述了的，可是没有足够的证明。」）。他要补的是一个叫亏格的量：亏格为零，意味着这串乘积不必再配任何指数因子。这两件事在这里都能当场验。第③幅：按零点本身排，Σ 1/|ρ| 一路往上爬，没有上界—— 裸乘积 ∏(1 − s/ρ) 就是这么塌掉的。第②幅：把 ρ 与 1 − ρ 配成一对，那个和立刻收敛，而且收敛到一个有闭式的数：1 + γ_E/2 − ln(2√π) = 0.023095708966。配对之后每一对合成 1 + s(s−1)/(¼ + γ²)，于是ξ(s) = ½·∏[1 + s(s−1)/(¼ + γ²)]，一个指数因子也不用补—— 第①幅里那条虚线就是它，拖滑块看它怎么爬向真的 ξ。现在用了前 40 对（最高的一个零点在 122.9468），部分和是 0.017984083449，按零点密度把尾巴估出来补上得 0.023128273334，与闭式差 1.41e-3；乘积在 s = 2 处与真值（那里恰好是 π/6）的相对差是 1.017e-2。收敛是真的，只是慢：尾巴按 1/γ 走，所以再加一百对也只多挤出一位。零点是这件演示自己扫出来的，一共 138 个（扫到 t = 300），用的是哈代那一页写的 Z 函数——馆里那份 Borwein 级数的实现在 t 过一百之后就算飞了，这一件走不了那条路。

存在、唯一，还差一条

数据差一丁点，解可以差出天上地下。他说这样的问题在物理上等于没有答案。

u_1(y) = A_n \sin ny \ \longrightarrow\ u(x,y) = \frac{A_n}{n}\,\sin ny \,\operatorname{sh} nx

本馆柯瓦列夫斯卡娅那一页讲的是柯西问题的前两条：解存在，而且只有一个。她还造了一个例子说明前提去不掉。这一件补的是第三条。取最平常的位势方程，在 x = 0 上给一组柯西数据：u 等于零，u 对 x 的偏导数等于 A·sin(ny)。n 取得很大、A 取得很小时，这组数据要多接近零就有多接近零；可它定出的解是 A/n 乘 sin(ny) 乘 sh(nx)，而 sh 按 e 的 nx 次方长——对任何一个不等于零的 x 都大得没边。他随即拿弦振动方程作对照：同样的数据，那边的解顶多只有 A/n，比数据还小。他把后者叫做零阶连续，而位势方程那一个对任何阶都不连续：把 A 换成 e 的负根号 n 次方，数据连同它的每一阶导数都趋于零，解照样炸开。第 21 节把话说到底：严格地说柯西数据确实唯一地定出了解，可在任何具体应用里「已知」都只意味着「近似地已知」，于是「一切就像——从物理上说——柯西数据的知识并不能定出那个未知函数一样」；而这样的现象「在我们看来就会像是由纯粹的偶然支配的，而不服从任何规律」。两处出处要分清。「适定」这个词出自 1901 年他在普林斯顿的讲演，讲稿次年刊于《普林斯顿大学通报》第 13 卷；而上面这些话出自 1923 年那本《线性偏微分方程的柯西问题讲义》——那是耶鲁的西利曼纪念讲座，常被误记成普林斯顿。至于那个例子本身，他在书里的脚注写着：「我第一次给出这个例子，是在苏黎世的瑞士数学会的一次会议上（1917）。」

方程是最平常的那一个：位势方程 ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0。在 x = 0 上给一组柯西数据：u = 0，∂u/∂x = A_n·sin(ny)。取 n 很大、A_n 很小，这组数据要多接近零就有多接近零——上面那一幅画的就是它，在 ±1.1 的刻度上它就是一条零线。可它定出的解是 u = (A_n/n)·sin(ny)·sh(nx)，而 sh 是按 e 的 nx 次方长的：现在 n = 200、A_n = 5.000e-3、x = 0.100，解的幅度已经是数据的 10 的 6.08 次方 倍。下面那一幅与上面共用同一条纵轴刻度，所以它整条冲出了画框。对照组是他自己在下一节摆出来的弦振动方程：同一组数据，解是 (A_n/n)·sin(nx)·sin(nt)，幅度顶多 A_n/n，比数据还小——右图里那条水平虚线。他把后者叫做「零阶连续」；而位势方程那一个对任何阶都不连续—— 把 A_n 换成 e 的 −√n 次方，数据连同它的每一阶导数都趋于零，解照样炸开。他在第 21 节把话说到底：严格地说，柯西数据确实唯一地定出了解；可在任何具体应用里，「已知」都只意味着「近似地已知」，于是「一切就像——从物理上说——柯西数据的知识并不能定出那个未知函数一样」。存在、唯一之外还得有这第三条，一个问题才算适定。最后有一处日子值得记：这个例子二手文献一概系在 1902 年那篇名下，而他自己在 1923 年那本书的脚注里写着——「我第一次给出这个例子，是在苏黎世的瑞士数学会的一次会议上（1917）。」

三个圆，中间那个被两边夹住

这条以他命名的定理，原文是学会例会纪要里的一句断语——两页纸，没有证明，他还说「这一点我们用不着」。

\log M(r_2) \le \frac{\log \frac{r_3}{r_2}\log M(r_1) + \log \frac{r_2}{r_1}\log M(r_3)}{\log \frac{r_3}{r_1}}

记 M(r) 是函数在半径 r 的圆周上模的最大值。1896 年 7 月 1 日法国数学会例会的纪要里印着他寄来的一则两页短札《论整函数》，正文在做的是另一件事：用牛顿多边形把「泰勒系数掉得多快」与「函数长得多大」对起来。凸性只是顺手写下的一句：「另一方面，我用 η 记函数在半径 e 的 ξ 次方的圆周上模的最大值的对数。点 (ξ, η) 的轨迹是一条曲线 C，它的凹侧永远朝着 η 为正的一边；一般说来（但并非处处）它有切线，不过这一点我们用不着。」——一句断语，没有证明，连切线都说用不着。换回半径的说法，凸就意味着三个圆里中间那个被两边夹住：log M(r₂) 不超过以 log(r₃/r₂) 与 log(r₂/r₁) 为权、log M(r₁) 与 log M(r₃) 的加权平均。取等号的只有纯幂函数，那时曲线本身就是一条直线。这一条后来长成了一整支：把圆换成竖带就是三线定理，再往前一步就是里斯与索林的插值定理，而今天数值逼近与滤波器设计里的误差估计，用的仍是同一套夹逼。顺带一件小事：同一页往上数十几行是那次例会的选举名单，「M. Hadamard，由柯尼希斯与塔纳里两位提名」也在其中——他的名字在这一页上出现了两次。

r₁r₃r₂ 的位置

记 M(r) 是函数在半径 r 的圆周上模的最大值。他 1896 年那两页里顺手写下一句：把 log M 当作 log r 的函数看，那条曲线的凹侧永远朝上——它是凸的。凸就意味着中间那个圆被两边夹住：log M(r₂) ≤ [log(r₃/r₂)·log M(r₁) + log(r₂/r₁)·log M(r₃)] ÷ log(r₃/r₁)，右图里那条虚线就是这道弦，实线永远在它底下。现在这一档：曲线上是 1.244823，弦上是 3.957217，差 2.712394。这个函数是一道弯：小半径上几乎是常数，大半径上像 8 次方。左边三个圆上的黑点，是各自圆周上模最大的那一点。要说明的是这一句在原文里的分量：它不是一篇论文的定理，而是 1896 年 7 月 1 日法国数学会例会纪要里一则两页短札中的一句断语，他没有给证明，还顺带说了句「一般说来它有切线，不过这一点我们用不着」。 M(r) 在演示里是沿圆周采 720 个点取最大值算的；五个预设各有闭式可对（r⁵、1+r⁸、e^r、sh r，以及三个因子在 z = r 处同时取到最大值的那一个），两条路现在的最大相对差是 0.00e+0。

同一年，两个人，走到同一块石头上

素数定理 1896 年被证明了两次。他在校样上加了一条按语，里面说了两件事。

1896 年那篇的最后一段不在正文里，是校样阶段补上去的，标着「按语」：「在校对清样期间，我收到了德拉瓦莱普桑先生就同一主题在《布鲁塞尔科学学会年刊》上所作研究的通知。我们的推理各自独立地得出，有若干共同之处：尤其值得注意的是，德拉瓦莱普桑先生同样被引向以 ζ 没有 1 + ti 这种根作为中间环节，尽管两人的证明手法完全不同。我想，不会有人否认我这个方法胜在简单。」两个人于是在同一年把一条猜了一百年的定理各证了一遍，而且不约而同地把重量压在同一块石头上——ζ 在 σ = 1 那条线上不为零。这件事还有一层前史：勒让德 1808 年配出 1.08366，切比雪夫 1850 年把比值夹住并证明极限若存在就只能是 1，黎曼 1859 年给出了通路而没有走完，斯蒂尔杰斯 1885 年宣称证出了更强的黎曼猜想却始终不发表；1892 年的数学科学大奖，题目正是埃尔米特惦着斯蒂尔杰斯出的，而交卷的是二十六岁的阿达马。两位证明人的后事也值得一记：阿达马生于 1865 年、卒于 1963 年，德拉瓦莱普桑生于 1866 年、卒于 1962 年，一个活了九十七岁，一个活了九十五岁——他们把这条定理带过了整个二十世纪的上半叶。

故事展签故事展签：一条猜了一百年的定理，在同一年被两个人各证了一遍，而重量压在同一块石头上。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1896：ζ 在 σ = 1 那条线上一个零点也没有⟶素数定理，以及后来把无零区往左推一点点就能把误差估得更紧⟶小于 x 的素数有多少，决定了生成一个 RSA 密钥平均要试多少个数——密码学的成本从这一条算起

1893：行列式的上界，以及取到等号的那族 ±1 方阵⟶行两两正交就给出等距的码字，也给出只用加减法的正交变换⟶水手九号从火星发回的照片、光盘与深空通信里的纠错码，以及多路复用成像与谱分析用的阿达马变换

1902 与 1923：一个问题要适定，除了存在与唯一，还得解连续地依赖于数据⟶不适定问题与正则化：数据里一点噪声不许被放大成天上地下⟶CT 与核磁的图像重建、去模糊、地震反演——每一次医学影像的重建都先要过这一关

1893：整函数的阶与亏格，以及 ξ 是零亏格的⟶黎曼那个乘积第一次站住，显式公式随之成为定理⟶零点与素数一一对应的这套记账法长成了解析数论的骨架，而零点的间距统计后来与随机矩阵、量子系统的能级对上了号

1896：log M(r) 是 log r 的凸函数⟶三线定理，以及里斯与索林的插值定理⟶数值逼近里的误差估计与信号滤波器的设计，用的仍是同一套「两端夹中间」

1898：负曲率曲面上的测地线，初始方向差一点就走到完全不同的地方⟶把轨道编成一串符号：符号动力学最早的例子之一⟶天气预报能报多少天、非线性系统的数值模拟能信多久——混沌这一支最早的样本就在这里

他在哪几条专题里

专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写，全是 tracks.ts 推出来的。

密码与信任地址栏里那把锁1896 小于 x 的素数有多少（不确定）
无线通信手机里那颗基带芯片1893 把 ±1 排成一个行两两正交的方阵（结构）

语录

「正是这最后一条结论，我打算把它证出来。」
—— 1896 年《论 ζ(s) 函数零点的分布及其算术推论》第 200 页，指的是「ζ 在直线 R(s) = 1 上没有零点」。据 Numdam 所存原刊影像译出

「于是就有理由问：究竟对哪些 n，存在实元素的最大行列式。」
—— 1893 年《一个关于行列式的问题的解答》最后一段，《数学科学通报》第二辑第十七卷第 246 页。这一问至今没有答案

「一切就像——从物理上说——柯西数据的知识并不能定出那个未知函数一样。」
—— 1923 年《线性偏微分方程的柯西问题讲义》第 21 节（耶鲁大学西利曼纪念讲座）。紧接着一句是：这样的现象「在我们看来就会像是由纯粹的偶然支配的，而不服从任何规律」

「有人写过：在实数域的两条真理之间，最短最好的路往往要穿过虚数域。」
—— 1945 年《数学领域中的发明心理学》第八章。这句话通常被当成他自己的话来引，而且多半引作「复数域」——原文两处都不同：他写的是「有人写过」，用的词是「虚数域」