Camille Jordan · 1838–1922

若尔当

「一条自己不相交的闭曲线把平面分成内外两块」——这句像废话的话，他是第一个认真去证的人；同一支笔还写下了标准形、合成因子、有界变差，以及「面积」这个词的第一个定义

t = \sum_{k} \lvert y_k - y_{k-1} \rvert = p + n

1881 年《论傅里叶级数》，《科学院周报》第 92 卷第 228 页。在区间里插一串分点，把相邻两点的高差分成涨的一堆 p 与落的一堆 n，两者相加就是总变差 t。它有上界，就叫有界变差——他当时的原名是「振荡有限」。狄利克雷那条「只有有限个极大极小」从此成了它的一个特例

玛丽-埃内蒙-卡米尔·若尔当 1838 年 1 月 5 日生于十字架山，那是后来并入里昂的一个市镇。父亲亚历山大·若尔当是路桥工程师，后来当选国民议会议员；母亲约瑟芬是画家皮维·德·夏凡纳的姐妹；而他的名字来自另一位卡米尔·若尔当——五百人院里的那位演说家与政治家，是他的叔曾祖父（这几条都出自 1922 年维拉写在《纯粹与应用数学杂志》卷首的讣告）。他 1855 年进综合理工，毕业时进的是矿务团，先后在普里瓦、沙隆做矿业工程师，1867 年调到巴黎；1861 年顺带通过了博士答辩。也就是说，六百多页的《置换论》是一个有正职的工程师在业余时间写的。1873 年他成为综合理工的考官，1876 年 11 月 25 日任分析教授；1883 年起又在法兰西公学院接塞雷的课，两处都做到 1912 年退休。1881 年他接沙勒的位子进了法兰西学会，1916 年任科学院院长。

他的题目跨得很开，而每一处都是去问「秩序本身是什么」。1870 年的《置换论》是第一部系统讲伽罗瓦理论的书，合成因子、可解群、本原与非本原群这一整套说法都在那里定下来；同一部书里还有线性代换在模 p 下的标准形。到了七十年代末他转向实变函数，1881 年提出有界变差、1892 年提出后来所说的若尔当测度、1887 年证明了那条以他命名的曲线定理——皮卡在他去世后第二天的悼词里正是这么排的：「他把有界变差这个关键概念引进了分析」「同样有名的是他关于曲线的研究，世人一概称之为若尔当曲线，它们把平面分成两个不同的区域」「还要归功于他的是关于集合测度的一些重要命题，它们为许多现代研究开了路」。1885 年他接雷萨尔主编刘维尔创办的那份《纯粹与应用数学杂志》，一直做到去世，世人径称它「若尔当的杂志」。1920 年斯特拉斯堡的国际数学家大会以鼓掌推他为名誉主席，他在会上还宣读了一篇讲星座分类的论文，那多半是他发表的最后一篇东西。1922 年 1 月 20 日夜里，他因突发心脏骤停去世。

巴黎圣日耳曼大道 5 号，尤金·皮鲁照相馆摄 · 都灵科学院历史档案藏 · Wikimedia Commons，公有领域。卡纸下沿印着照相馆得过的金牌，其中一枚是 1889 年世界博览会的，所以这张卡纸不会早于 1889 年；照片区上方那行手写字是「C. Jordan　Lyon 5 janvier 1838」——姓名、出生地与生日都写在上面，这在全馆的肖像里是独一份

生平

1838年1月5日
生于十字架山
后来并入里昂的一个市镇。父亲是路桥工程师，母亲是画家皮维·德·夏凡纳的姐妹。
1855
进综合理工
此前在乌兰的中学与里昂的中学念书。毕业时进矿务团。
1861
博士答辩
此后照旧当工程师：普里瓦、沙隆-苏尔-索恩，1867 年调巴黎。
1862
与伊莎贝尔·米内结婚
后来有八个孩子，六男二女。
1870
《置换论》
六百多页，第一部系统讲伽罗瓦理论的书。合成因子（第 54–58 号）与线性代换的标准形（第 147–157 号）都在这一部里。
1873
综合理工的考官
1876 年 11 月 25 日升任分析教授，做到 1912 年退休。
1881
接沙勒的位子进法兰西学会
1915 年任科学院副院长，1916 年任院长。
1881年1月
「振荡有限」
《科学院周报》第 92 卷 228–230 页那篇三页的短札。同一篇里他指出狄利克雷一句关于可积性的断言不成立。
1882–1887
《分析教程》第一版三卷
综合理工的讲义。曲线定理在第三卷（1887）末尾的「补编」里，第 587–594 页。
1883
法兰西公学院
接塞雷的课，同样做到 1912 年。
1885
接雷萨尔主编《纯粹与应用数学杂志》
刘维尔创办的那一份。他一直做到去世，世人径称它「若尔当的杂志」。
1892
《关于定积分的几点意见》
《纯粹与应用数学杂志》第 4 系列第 8 卷 69–99 页。集合的内面积与外面积，即今天所说的若尔当测度。
1893
《分析教程》第二版卷一
全书重写。曲线定理从第三卷的补编搬到了第一卷第一章，测度与有界变差也排在开头的几十页里。
1914–1916
三个儿子与长孙阵亡
1914 年 9 月炮兵上尉夏尔、同年 11 月祖阿夫兵上尉皮埃尔、1915 年 6 月中士路易、1916 年 2 月见习军官卡米尔。1918 年妻子去世。
1920
斯特拉斯堡国际数学家大会
以鼓掌推为名誉主席，会上宣读了一篇讲星座分类的论文，多半是他最后发表的东西。
1922年1月20日夜
卒于巴黎
突发心脏骤停。八天前，他的最后一个孙辈刚刚出生。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

一条闭曲线，把平面分成两块

这句话听上去是废话，他花了七页去证；而今天每一个图形库判「点在不在多边形里」，用的正是他数交点的那一段。

一条自己不相交的闭曲线，把平面分成内外两块——谁都觉得显然，可「显然」在十九世纪末已经不够用了：同一批人刚刚造出处处没有切线的连续曲线（馆里魏尔斯特拉斯那一页那条），谁也不敢说一条只被要求连续的闭曲线还老实。若尔当是第一个认真去证的人。他的办法是把曲线换成多边形：在曲线上取一串无限接近的点，作内接多边形 P；P 可能有重点，就顺着走一圈、碰到重点就把那个圈整个去掉，反复去到没有重点为止，得到 P′。接着他造出内外两串多边形把曲线夹住，于是平面上的点只有三种：从某一项起落在外多边形之外的、从某一项起落在内多边形之内的、以及夹在所有这些多边形之间的——第三种「到曲线的距离小于任何指定的量」，也就在曲线上。「于是证明了：任何连续闭曲线把平面分成两个区域，一个在外，一个在内，而后者不会缩成零，因为它含着一个半径有限的圆。」这条定理最早印在 1887 年《分析教程》第一版第三卷末尾的「补编」里（第 587–594 页），1893 年第二版全书重写时被搬到了第一卷第一章。要分开写的是另外两件事。一是「他的证明对不对」：韦布伦 1905 年说它「让许多数学家不满意，它在简单多边形这个要紧的特例上直接假定了定理」，古根海默 1977 年说得更具体，指出第 98 号那十来行里缺一步；而黑尔斯 2007 年通篇替他辩护，理由是若尔当根本没有实质用到多边形版的定理，他要的只是弱得多的一件事——「存在一个良定义的奇偶函数，数一条射线穿过多边形的次数」，并说自己联系过几位批评者，「每一位都承认并不直接知道错在哪里」。两说这里都摆出来，本馆不替任何一边下结论。二是那个奇偶函数本身：它就是演示里画的东西，也是他第 99 号的原话——从负无穷沿一条直线上来，先在外面，到第一个交点进去，第二个又出来。今天每一个图形库、每一个地理信息系统里的 point-in-polygon 就是这一句。

向右发一条射线，数它穿过曲线几次；再把射线抬到正好穿过一个顶点的那一档

测点横坐标 0.120测点纵坐标 0.420内接多边形边数 24

这条定理说出来像废话，证起来却花了他七页：一条自己不相交的闭曲线，把平面分成内外两块。他的办法是在曲线上取一串无限接近的点、作内接多边形，再把多边形上的圈一个个去掉，最后用内外两串多边形把曲线夹住。夹的时候他要数一件事，就是这里画的这件——从一点向右发一条射线，数它穿过多边形几次；奇数在里，偶数在外。当前这一点穿了 2 次，所以在外面；右栏另拿绕数算了一遍，4000 个随机点上与射线法不一致的有 0 个。面积也拿两条路对过：鞋带公式 0.343360，逐格判内 0.343460。要紧的是最后一栏：射线正好穿过一个顶点时，那条边到底算不算穿过？取测点 (0.500, 0.500)、内接 48 边形，两个顶点恰好落在射线上，「两端都用严格不等式」的写法会把它们整条跳过，数出 0 次、判成外面——而它明明在里面。今天所有图形库里的 point-in-polygon 都用半开区间（一端含、一端不含）把这个坑填掉，那正是 Hales 2007 年替若尔当辩护时说的那一步：把射线挪开一丁点。

对角线上一个数，旁边再来一个

今天写成矩阵的那个标准形，他是在模 p 的世界里做出来的——而在那里，一个幂零的东西是有阶的。

\operatorname{ord}(A) = d \cdot p^{\kappa+1}

线性代换能化简到什么地步？若尔当在《置换论》第 147–157 号给的答案是：选一组合适的指标，它把同一串指标分别换成 K·y、K·(z + y)、K·(u + z)、……——对角线上一个 K，次对角线上再来一个，别的地方全是零。「用一组合适的指标可以把代换 A 化成的这个简单形式，就是我们所说的它的标准形。」今天的课本把它写成一格一格的矩阵，叫若尔当块。要写清的是他做的是哪个域：那里的 K 是一个不可约同余式模 p 的根，也就是伽罗瓦虚数，今天说的有限域 GF(pˡ) 里的元素；他自己在后面明说「化成标准形要求引入虚数」。复数域上的同一件事是魏尔斯特拉斯 1868 年的初等因子理论，两条线后来才合流（而馆里魏尔斯特拉斯那一页的「初等因子」讲的是整函数按零点造函数，同名而不同物）。接着是这个形式好用在哪里。他先求 A 的 λ 次幂，算出来的系数正是二项式系数：z 那一行带一个 λ，u 那一行带 λ(λ−1)/2，再下去是 λ(λ−1)(λ−2)/6——一个若尔当块的幂，把帕斯卡三角形整个搬了出来。于是「这个代换什么时候回到单位」就变成了「这些二项式系数什么时候全被 p 整除」，他由此给出阶的公式：设最长那串指标有 ρ 个、p^κ 是小于 ρ 的 p 的最高次幂，则阶等于 K 的乘法阶乘上 p^(κ+1)。这件事在复数域上是不可能的：那里一个带次对角线的块永远回不到单位。本馆把他的公式与一遍遍乘出来的结果并排印在画布上，p 取 2、3、5、7，块长 1 到 7，特征值取遍所有情形，九十一组逐组相同。

模 p = 5块长 m = 4特征值 K = 2幂次 λ = 3

《置换论》第 126 页给出的「标准形」是这样一串对应：A 把同一串指标换成 K·y、K·(z + y)、K·(u + z)、…——对角线上一个 K，次对角线上再来一个，今天的课本把它写成矩阵。要紧的是他做的是模 p 的情形：那里的 K 是一个不可约同余式的根，也就是伽罗瓦虚数；复数域上的同一件事是魏尔斯特拉斯 1868 年的初等因子理论，两条线后来才合到一起。接着他算这个代换的幂，算出来的系数正是二项式系数（第 158 号），于是「什么时候回到单位」就变成了「什么时候这些二项式系数全被 p 整除」。他给的答案（第 159 号）：阶 = d 乘以 p 的 κ+1 次方，d 是 K 的乘法阶， p 的 κ 次方是小于链长 ρ 的 p 的最高次幂。当前这一档 d = 4、ρ = 4，公式给 20，而一遍遍乘出来是 20。右边那幅是二项式系数模 p 的花样，铜色那一道标出「整行全灭」的 λ——模 p 的世界里，一个幂零的东西是有阶的，而在复数域上它永远回不了家。

拆法不止一种，拆出来的却是同一串

Z/30 有整整六条拆法，恰好是 2、3、5 的六种排法；而这串因子作为一堆数，是同一堆。

伽罗瓦把「有没有求根公式」翻译成了「群拆不拆得完」（馆里他那一页第一件讲的就是这个）。若尔当接着问了下一个问题：拆法不止一种，拆出来的东西会不会不一样？《置换论》第 54 号先立规矩：一个群若不含任何别的、它的代换对之可交换的群，就叫它单群，反之叫复合群；复合群可以造一串 G, H, H′, …, 1，每一项含在前一项里、对它的代换可交换，而且在这个条件下取得尽可能大，末项只剩单位代换。各项的阶相除得到的那些数，「可以叫作群 G 的合成因子，它们的个数是它的合成度」。第 55 号就是定理：「若用任何一种办法定出另一串……则因子 l, m, … 至多差一个次序，与合成因子相同。」演示把这件事整个枚举出来：Z/30 有六条合成列，恰好是 2、3、5 的 3! = 6 种排法各一条；Z/12 有三条，排法是 2·2·3、2·3·2、3·2·2；S₄ 有三条，因子一律是 2·3·2·2；D₄ 竟有七条，而因子一律是 2·2·2。两处分寸要写清。一是他证的到底是什么：第 55 号里的 λ、μ、l、m 都是数——各段的阶；这些商作为群彼此同构，是赫尔德 1889 年补上的，所以这条定理今天挂着两个人的名字，而两半分属两个人。二是反过来不成立：D₄ 与四元数群 Q₈ 的合成因子一模一样，都是 2·2·2，可这两个群并不同构——合成因子拆得出一个群的骨架，拼不回那个群。还有一件事看得出这部书的体量：他不是举了几个例子就完了，而是把一族一族的群逐个拆到底——第 76–81 号算交错群的合成因子，第二编第二章第三节整节算线性群的，后面还有好几处「它的合成因子」作小标题的段落，一直算到具体方程的伽罗瓦群上去。往后一百年的有限单群分类，问的正是这些拆到底的零件一共有多少种。

伽罗瓦要问的是「拆得完拆不完」，若尔当接着问：拆法不止一种，拆出来的东西会不会不一样？他在《置换论》第 54 号里定下规矩：每一步取一个在上一层里正规、而且尽可能大的子群，一直取到只剩单位元；各步的商的阶就叫这个群的合成因子。第 55 号的定理是：换一种走法，这串因子至多差一个次序。Z/30 这一档有 6 条走法、出现过 6 种排法，而把它们各自排好序之后只剩同一个多重集。 Z/30 那一档最干净：整整六条路，恰好是 2、3、5 的六种排法。两处分寸要写清。一，他证的是一串数——各段的阶；这些商作为群彼此同构，是赫尔德 1889 年补上的，所以这条定理今天挂着两个人的名字，而两半分属两个人。二，反过来不成立：D₄ 与 Q₈ 的因子一模一样（2·2·2），可这两个群并不同构——合成因子拆得出一个群的骨架，拼不回那个群。

摆了多少，可以是一个数

把涨的加成一堆、落的加成一堆，一个函数的上上下下就成了可以量的量——而它等价于「两个单调函数之差」。

1829 年狄利克雷证明了傅里叶级数的第一条收敛定理，条件是：有界、只有有限个跳跃、只有有限个极大极小（馆里狄利克雷那一页第二件）。最后这一条一直被人嫌粗糙。1881 年 1 月，若尔当在《科学院周报》上用三页纸把它换掉了。他先指出，狄利克雷的证明真正用到的只是「在 0 到 ε 上 F(x) 能写成 f(x) − φ(x)，f 与 φ 都是有限的非减函数」。接着他把这件事变成一个可以量的量：在区间里插一串分点，相邻两点的高差分成涨的一堆与落的一堆，涨的总和叫正振荡、落的总和叫负振荡，两者相加叫总振荡；若怎么插分点它们都有上界，就说这个函数振荡有限。这个名字是他自己后来改的：到 1893 年《分析教程》第二版卷一第 67–72 节，同一件事已经叫「有界变差」，三个量也改称正变差、负变差、总变差——今天通行的是后一套。真正漂亮的是反过来那一步，它顺手给出了分解本身：F(x) = F(0) + P_x − N_x，而 F(0) + P_x 与 N_x 都是非减的，演示下半幅那两条只升不降的曲线就是它们。同一页他列了四条性质，其中第四条按字面读是过强的：「凡在 a 到 b 上有有限导数的函数都振荡有限」——而 x²sin(1/x²) 处处可导（在 0 处的导数是 0），总变差却与 x·sin(1/x) 逐位相同、加不到头。他的证明里用的是导数的最大值，也就是要导数有界；1881 年「有限」与「有界」常常混着用，而这个区别后来成了实分析里的一条缝。还有一件值得记的事在那篇的末页：他造了一个在每个区间里都有无穷多个不连续点、却仍然振荡有限的函数，拿它指出狄利克雷在《克雷尔杂志》第 4 卷第 169 页上的一句断言不成立，并且写道——「这位如此当得起精确二字的几何学家的这一疏忽，我们认为值得指出来。」

转折点取到第 80 个半周期

狄利克雷那条收敛定理要求函数「只有有限个极大极小」，而 1881 年若尔当指出：证明真正用到的只是它能写成两个非减函数之差。于是他把「摆了多少」变成一个数——把相邻两个分点的高差分成涨的一堆与落的一堆，涨的总和叫正变差、落的总和叫负变差，两者相加就是总变差；总变差有上界，就叫有界变差（他 1881 年的原名是「振荡有限」）。反过来也成立，而且反过来这一步给出了分解本身：f = f(0) + P − N，下半幅那两条只升不降的曲线就是 P 与 N。右栏是判据：把转折点取到两倍深，读数还动不动。这一档每加倍一次都固定多出 0.4413，也就是 (2/π)·ln 2 —— 加不到头。第二档还是一处分寸：他在同一页写着「凡有有限导数的函数都振荡有限」，而 x²sin(1/x²) 处处可导，总变差却与第一档逐位相同（后者不过是前者换了一次自变量）。他的证明里用到的是导数的最大值，也就是要导数有界——1881 年「有限」与「有界」常常混着用，而这个区别后来成了实分析里的一条缝。

先说清什么叫面积，再说什么叫积分

用边长 r 的方格从里外两头夹：夹得拢的，他叫它「可求积」。夹不拢的那一类，二十年后逼出了勒贝格。

在他之前，「面积」这个词是欠着账的：曲线围出来的那块有多大，要靠积分算；而积分是什么，又得先知道小块的面积。若尔当 1892 年那篇《关于定积分的几点意见》与 1893 年《分析教程》第二版第 36–40 号把顺序倒了过来——先定义面积，再定义积分。办法极朴素：用平行于坐标轴的直线把平面切成边长 r 的方格，「整个落在 E 里的那些方格拼成一个内含于 E 的域 S；落在 E 里或者与 E 的边界相遇的那些拼成一个把 E 包在里面的域 S + S′」。让 r 趋于零，S 的面积升到一个极限，S + S′ 的面积降到一个极限，前者叫内面积、后者叫外面积；「若 S′ 的极限是零，我们就说 E 是可求积的，并且它的面积就是这个共同的值」。圆盘这一档，格子每细一倍两头的差就减半，最后会合在 π × 0.16 = 0.502655 上。可这套办法有一处走不过去，而那正是二十世纪测度论的起点：他的可加性只到有限个集合（第 38 号：若干块的内面积之和不超过整块的内面积，外面积反过来，而且各块可求积时化为等式），可数个就不管了。演示第二档摆的是那条缝——胖康托集挖掉的总长是 1/2、剩下的「大小」也该是 1/2，可它处处不稠密，没有一个方格整个落在里面，内面积恒为零，而外面积只往 0.5 上走：两头差着 0.5，无论格子多细也夹不拢。1902 年勒贝格把有限个方格换成可数个覆盖、把内测度改从补集来定义，这块集合立刻有了测度 1/2。今天说的「若尔当测度」就停在这道缝的前面——它不是被推翻的，是被接着往下修的。

格长 r = 1/32

「面积」这个词在他之前是没有定义的：曲线围出来的那一块到底有多大，全靠积分算出来一个数，而积分本身又要先知道面积。若尔当把顺序倒过来——先定义面积，再定义积分。办法极朴素：把平面切成边长 r 的方格，整个落在集合里的那些拼成 S、碰到边界的那些拼成 S′，让 r 变小， S 的面积升到内面积、S + S′ 的面积降到外面积；两者相等就叫它可求积，那个共同的值就是它的面积。圆盘这一档，格子每细一倍两头的差就减半（当前 n = 32：内 0.4492、外 0.5469），会合在 π × 0.16 = 0.502655 上。第二档是这套办法的边界：胖康托集挖掉的总长是 1/2、剩下的测度也是 1/2，可它处处不稠密，没有一个格子整个落在里面，内面积恒为 0，而外面积只往 0.5 上走——两头差着 0.5，永远夹不拢。坏就坏在他的可加性只到有限个（第 38 号）。勒贝格 1902 年把有限个方格换成可数个覆盖，这块集合立刻有了测度 1/2；今天说的「若尔当测度」就停在这道缝前面。

卡纸上那行字：C. Jordan，里昂，1838 年 1 月 5 日

全馆唯一一张自己报出姓名与生日的肖像。而这个名字他是从一位同名的政治家那里继承的——那人是他的叔曾祖父。

馆里这张照片来自都灵科学院的历史档案，照相馆是巴黎圣日耳曼大道 5 号的尤金·皮鲁。卡纸下沿印着照相馆得过的十枚金牌、两张荣誉奖状，其中一枚标着「1889 年世界博览会」——所以这张卡纸不会早于 1889 年，档案给的「1889 至 1922 年间」那个下限就印在照片自己身上。照片上方那行手写字是「C. Jordan　Lyon 5 janvier 1838」：姓名、出生地、生日都在，全馆的肖像里独一份。这行字顺带解掉一个陷阱：Jordan 这个姓在欧洲极常见，高斯-约尔当消元法里的那位约尔当是德国测地学家威廉·约尔当（1842–1899），与他不是一个人；而更近的一位同名者是他自己家里的——五百人院里那位演说家卡米尔·若尔当（1771–1821）是他的叔曾祖父，他的名字正是从那里来的。这几条都出自 1922 年维拉写在《纯粹与应用数学杂志》卷首的讣告，而那份讣告还把另外两件事说清楚了。一是他的正职：1855 年综合理工毕业时他进的是矿务团，先后在普里瓦、沙隆做矿业工程师，1867 年调到巴黎——六百多页的《置换论》是这期间写的，那时他还没有任何教职。二是 1914 到 1916 年的四个名字：炮兵上尉夏尔（1914 年 9 月）、祖阿夫兵上尉皮埃尔（同年 11 月）、中士路易（1915 年 6 月）、见习军官卡米尔（1916 年 2 月）。后来的传记常把这写成「六个儿子里死了三个」或「四个儿子阵亡」，而讣告的原话是「三个儿子和他最年长的孙子倒在了荣誉的战场上」——四个名字，三个是儿子，一个是长孙。1918 年他又失去妻子。1922 年 1 月 12 日，他的最后一个孙辈出生，讣告说这件事给了他很深的喜悦；八天后的夜里，他因突发心脏骤停去世。

故事展签故事展签：一张自己报出姓名与生日的照片，和一份把两处传闻改回去的讣告。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1887：一条自己不相交的闭曲线把平面分成内外两块，而判内外只要数一条射线穿过几次→平面拓扑与计算几何由此有了最底下的那块砖；射线奇偶法成了 point-in-polygon 的标准写法→今天每一个图形库、每一个地图与地理信息系统判「这一点在不在这个区域里」，跑的都是这一段代码

1870：线性代换化成标准块，对角线上一个特征值、次对角线上再来一个→一个矩阵的全部结构由此一目了然，线性微分方程组的解、矩阵指数与稳定性判据都从它读出来→控制系统的状态空间分析、机器人与飞行器的姿态解算里，它是最先要算的那一步

1870：一个群拆到底，拆法不止一条，可那串合成因子至多差一个次序→赫尔德 1889 年把因子的同构补上；「有限单群一共有多少种」由此成了一个能问的问题→有限单群的分类耗掉二十世纪几百位数学家；那些零件今天摆在纠错码与密码方案的底层

1881：把函数上上下下的摆动加成一个数，有上界就叫有界变差→傅里叶级数的收敛判据从此写成狄利克雷-若尔当判别法；全变差成了度量「一个信号有多毛糙」的标准量→今天的图像去噪与压缩感知里，「全变差最小」是最常用的一条正则化——医学影像与手机拍照的降噪都在用

1892：用边长 r 的方格从内外两头夹一块集合，夹得拢才算它有面积→勒贝格 1902 年把有限个方格换成可数个覆盖，测度论由此立起来；概率随后被定义成测度→今天每一次统计推断、每一个机器学习模型的概率语言，地基都是这条从若尔当铺到勒贝格的路

1870：《置换论》把伽罗瓦散落的手稿讲成了一门课，六百多页→克莱因与索菲斯·李 1870 年在巴黎一起读的就是这部书，此后一个做离散群下的几何、一个做连续变换群→对称群今天是晶体学、粒子物理与计算机图形里的通用语言——从二维码的纠错到分子结构的分类都要用它

他在哪几条专题里

专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写，全是 tracks.ts 推出来的。

人工智能你正在用的这个对话框1892 先定义面积，再定义积分（语言）

语录

「若用任何一种办法定出另一串群，具有前一号所说的性质，其阶为 N、N/l、N/lm、……，则因子 l、m、…… 至多差一个次序，与合成因子 λ、μ、μ′、……、ν、ν′、…… 相同。」
—— 1870 年《置换论》第 55 号，第 42 页。今天所说的若尔当–赫尔德定理。他证的是这串「数」，这些商作为群彼此同构是赫尔德 1889 年补上的

「于是证明了：任何连续曲线把平面分成两个区域，一个在外，一个在内，而后者不会缩成零，因为它含着一个半径有限的圆。」
—— 1893 年《分析教程》第二版卷一第 102 号，第 99 页。同一段文字 1887 年先印在第一版第三卷末尾的补编里（第 587–594 页），第二版重写时被搬到了第一卷第一章

「狄利克雷在他那篇论文里说，一个有无穷多个不连续点的函数，只有当任一区间 ab 里都放得下两个足够接近的量 r、s、使函数从 r 到 s 保持连续时，才是可积的。由前面那个例子可以看出，这个断言并不确切。这位如此当得起精确二字的几何学家的这一疏忽，我们认为值得指出来。」
—— 1881 年《论傅里叶级数》，《科学院周报》第 92 卷第 230 页。前面那个例子是他造的一个在每个区间里都有无穷多个不连续点、却仍然振荡有限的函数

「我们把 A 叫作 E 的内面积，a 叫作它的外面积。若 S′ 的极限是零，我们就说 E 是可求积的，并且它的面积就是 a = A 这个量。」
—— 1893 年《分析教程》第二版卷一第 36 号，第 29 页。这是「面积」头一次不依赖积分而被单独定义；他的可加性只到有限个集合，勒贝格 1902 年把它换成了可数个