龙格

求积时 f 想在哪儿取值就在哪儿取，辛普森法则拿中点与两端凑一凑，误差就是区间长的四次方。 搬到微分方程上，中点的 y 还不知道——龙格的办法是先用欧拉走半步把它猜出来。 可这么一猜，照搬辛普森就不灵了：他在第 169 页把两边都按 Δx 展开， 三阶项的系数是凑对了，括号里却少了 f₂(f₁+f₂f) 这一整项， 而这一项只在 f 不依赖 y 时才是零。图上看得最清楚： 现在这一档（真微分方程）照搬那条线的斜率是 3.00，龙格改过的那条是 4.00。切到「只是求积」就会看到两条完全重合——f 不吃 y 的时候， 那两条弦本来就是同一条式子（两者之差恰好是 0），合出来就是辛普森法则本身， 斜率一起跳到 5。右栏是同一件事的数字版：把两条的差除以 h³，应当趋近 −f₂(f₁+f₂f)/6； 现在是 0.033483 对 0.034223。 他的修法写在第 170 页：把弦那一条多走一层（在右端算两次，第二次用第一次的落点）， 再取 N₁ + (N₂ − N₁)/3，三阶项就补齐了。写开来就是 (Δ₁ + 4Δ₂ + Δ₄)/6—— 六年后库塔在慕尼黑接着往下做的，就是这条式子。

库塔要问的是一个很具体的问题：一步里算几个 f，能换到几阶。 他把亥恩的一般格式写下来，让泰勒展开逐项对上，四阶那一档得到八个条件方程； 解出来是一整族，第 441 页那条是 3/8 式，第 443 页那条是今天课本上的四阶龙格-库塔——他自己的评语是「这最后一条好记的近似公式」， 并指出它是「唯一一条只用四个函数值的」。 上面那张表是他第 453 页的原样：同一道题、同一个区间，一步走完。 欧拉把区间四等分，算出来的 Δy 仍差了真值的四分之一；库塔那条只差千分之一点七。这张表本馆逐行复算过：龙格、亥恩、库塔与真值四行逐位相同， 而欧拉那一行原刊算错了——印的 0,62242，复算是 0.6222065， 他的误差列 +12414 正是照那个错数减真值得来的，一处错带出两格。 下半幅是同一批格式在步数上的表现：欧拉那条斜率是 1，龙格 1895 与亥恩是 3， 库塔那条是 4——每加一阶，步长减半就多换回一倍的精度。 还有一件值得一按的事：把今天课本上的 RK4 加进来， 它与 3/8 式同为四阶，可在一步走完这一档上反而差得多（0.5056 对 0.4991）——同阶不同常数，而他那张表里列的是 3/8 式。

馆里拉格朗日那一页已经讲过「等距取点会摆、切比雪夫节点能治」。这里讲的是另一侧：摆到哪儿为止，是复平面上一条曲线定的。把等距节点想成一层无限薄的流体从缝里涌出来（这个比方是他自己打的）， 速度势 U 的等位线一圈一圈套着这条缝；经过两个端点的那一条最要紧， 它像一个两头尖的椭圆，短轴是长轴的 0.5255 倍——这个数是他自己算出来印在 第 237 页上的，本馆复算是 0.525524914575，逐位对上。 奇点落在这条曲线里面，插值就只在一段上管用：过奇点那条等位线与实轴交在哪儿， 哪儿就是分界。现在 b = 0.200，分界在 ±0.7267。 他自己那道例题是 1/(1+x²) 在 [−5, +5] 上取十一个点（今天课本上的 1/(1+25x²) 是把它压到 [−1,1]）， 他给的分界是「大约 ±3.63」——复算 3.633384，除以 5 正是今天那个 0.7266。 下半幅把这件事画了出来：分界左边，点越取越多误差越小；右边那一片，点越取越多误差越大——现在界内最大误差 1.27e-1，界外 5.98e+1。 把 b 拖到 0.5255 以上，奇点出了那条曲线，整段就都收敛了。

1885 年他要回答的是一个形状问题：一个单值解析函数的「有效域」，能是什么样子？答案是——除了连通，什么限制都没有。为此他先证了另一件事：任何单值解析函数，都能在它的整个有效域上写成一列有理函数之和。这里演示的是这条定理最要紧的那半句：那些极点，能不能推走。取 K 是单位圆周，要逼近的是 1/z。整圈时，极点被关在 K 围出来的洞里，多项式永远不够用——而且差多少是算得死的： 沿闭曲线积分，1/z 给 2πi，任何多项式给 0，所以最大误差至少是 1； 均方那一侧更干脆，最佳多项式就是零多项式，误差恒等于 1，与次数无关（图上那条贴着 1 的平线就是它，不是算不动，是定理）。 把圆周剪开一个口子，补集就连通了，那个极点顺着缺口有路通向无穷远—— 多项式立刻够用。可图上还有一句同样要紧的话：缺口越小收敛越慢，10° 的缺口在二十四次上才掉到 0.986。 「办得到」与「办得快」在这条定理里是两回事。 这一篇署的是「柏林的 C. 龙格」，那一台印着 1884 年 9 月 29 日付印，登在 1885 年那一卷上； 而 1885 年他的老师魏尔斯特拉斯在柏林科学院讲实轴上的逼近定理——一实一复，两条逼近定理同在 1885 年。