一个不在场的因子，用同余去认它
分圆整数里，有的数分解不唯一。他不去造那个缺席的素因子，只给它一道检验：把 α 换成模 p 的一个单位根，余 0 就算含它。
取 α 为 λ 次单位根，a + a₁α + a₂α² + … 这种数他叫复整数，高斯为研究双二次剩余引入的 a + b√−1，是四次单位根造出来的同一类数。麻烦在于：一个复整数分不出别的因子，并不等于它像素数那样好用——他在第 319 页说，两个这样的「素数」相乘，乘积却可能被第三个这样的数整除。1844 年他在一篇拉丁文论文里为此叹过气；1846 年 3 月，他找到了出路。办法写在第 320 页：p = mλ + 1 是素数时，同余式 ξ 的 λ 次方 ≡ 1 (mod p) 有 λ − 1 个根；把 α 换成其中一个 ξ，一个复整数就变成一个模 p 的余数，余数是 0，就说它含有「属于 α = ξ 的那个 p 的理想素因子」。这道检验不管 p 在这个数系里到底拆不拆得开，于是拆不开时，那些因子照样有名有姓。他自己打了个比方：两个不相交的圆也可以有一条「理想的公共弦」，只要找对那个在一切位置都适用的定义。本件演示取 λ = 23、p = 47：47 有二十二个理想因子，α − 2 恰好含其中一个（它的范数是 2 的 23 次方减 1 = 47 × 178481）；可这个因子不是任何一个真的复整数——那样的数范数就该是 47，而把它压到二次子域里要解 x² + 23y² = 188，y 取 0、1、2 都凑不出平方数。它的三次方才是：48² + 23 × 134² = 4 × 47³。他在同一篇第 324 页写的正是这件事——每个理想数都有某个整数次幂是真的数。二十五年后，戴德金把「一道检验」换成了「一整族数」，那就是馆里戴德金那一页的理想。
换几个 α − r、换 p = 47 或 139，看二十二道同余检验里哪一道余 0；再看右下为什么 47 的因子不是一个真的数
α 是 23 次单位根，α − 2 是一个复整数。它含不含 47 的某个理想素因子，不必把那个因子造出来，只要把 α 换成 ξ²³ ≡ 1 (mod 47) 的一个根、看余数是不是 0——这正是库默尔 1847 年那篇第 320 页的定义。47 有二十二个这样的根，于是有二十二个理想因子；左边这一圈里 ξ = 2 那一格余 0，而右边算出来 47 在范数里恰好出现 1 次，两边对得上。右下是另一半故事：47 的这些因子没有一个是真的数（那样的数范数就是 47，而 x² + 23y² = 188 无解），可它的三次方是。