两个圆一起转，转出一条直线
小圆直径等于大圆半径，大圆转一角、小圆反着转两倍——边上那一点只在一条直径上来回走，离圆心 2r·cos θ。
托勒密的模型能算准，可有几处在当时的物理里说不通：天上只该有匀速转动的圆，而他让一些点在直线上往返、让一些圆绕着不是自己圆心的点匀速转。图西要解的是一道纯几何的题：只用匀速转动的圆，能不能造出一条直线上的往返？他的答案是两个圆：小圆的直径等于大圆的半径，内切着放进去；大圆朝一边转，小圆就朝另一边、以两倍的角速度转。小圆边上原先与大圆相切的那一点，从此只在大圆的一条直径上来回走，离圆心的距离正是 2r·cos θ——今天叫简谐振动。证明只要一行：那一点等于两个转向相反的等长转动之和，竖直方向的分量逐项相消。本页的肖像就是这件东西在他自己书里的样子：梵蒂冈藏《天文学纪要》抄本上并排四幅小图，大圆每转四分之一圈，那个点依次落在直径的上端、圆心、下端、圆心。它第一次写出来是在 1245 年一篇波斯文的解疑之作里（这个日子是 Ragep 2020 年据一部塔什干抄本的题记才定下的，此前通说 1247 年），十年前他就说自己找到了「一个精巧的办法」，却一直没公开。
看那一点怎样只在一条直径上来回；按「小圆边上三个点」，边上每一点各走一条直径
托勒密的模型里有些运动不是匀速圆周，这在当时的物理里说不通；图西要的是只用匀速转动的圆，造出一条直线上的往返。办法是两个圆：小圆的直径等于大圆的半径，内切着放进去，大圆转一个角，小圆就相对大圆反着转两倍的角。小圆边上原先与大圆相切的那一点，从此只在大圆的一条直径上来回走，离圆心的距离正是 2r·cos θ——今天叫简谐振动。右上四幅照的是本页肖像那一叶抄本：大圆每转四分之一圈，那个点依次落在直径的上端、圆心、下端、圆心。按「小圆边上三个点」看，边上任何一点都各走一条直径。