Lev S. Pontryagin · 1908–1988

庞特里亚金

十三岁失明，靠听学完了大学数学；前半生做拓扑与拓扑群，写下紧群与离散群之间的对偶，四十四岁转去做应用，和学生一起给出最大值原理——推力什么时候开、什么时候关，从此有了一条能算的原理

\dot\psi_i = -\frac{\partial H}{\partial x^i},\quad H\bigl(\psi(t),x(t),u(t)\bigr) = \max_{u\in\Omega} H\bigl(\psi(t),x(t),u\bigr),\quad H = \sum_\alpha \psi_\alpha f^\alpha(x,u)

最大值原理，照他 1959 年《最优调节过程》第 2 节的写法：伴随量 ψ 按第一式往前走，最优的控制在每一刻都让 H 取到它在控制域 Ω 上的最大值。控制域是开集时，这就是魏尔斯特拉斯的老判据；控制受 |u| ≤ 1 这类不等式约束时，那条老判据不成立，而这一条仍然成立——他在同一页写，「下面给出的结果是新的」

列夫·谢苗诺维奇·庞特里亚金 1908 年 9 月 3 日生于莫斯科。父亲是会计，母亲是裁缝，家里供不起文科中学，1916 年他进的是市立学校。七十岁那年他在自传里写：十三岁时一次意外让他完全失明（常见的说法是十四岁，这里照他自己的话），此后先试过音乐、又想过历史，数学起初学得并不轻松；到八、九年级才迷上，高等数学是从格拉纳特百科全书里拉赫京那篇《高等数学》读来的。1925 年他进莫斯科大学物理数学系——区教育局本来不批他的推荐，认为他念不了大学。他上课从不记笔记，听完一讲就在心里复述一遍，考试前整门课几乎背得下来；四年级听的是亚历山德罗夫的拓扑与诺特在莫斯科讲的近世代数。据后来的传记，那些年替他念书、读公式的是母亲。1929 年毕业，随亚历山德罗夫读了两年研究生。三十岁前他已经造出两个二维的紧集、乘起来却只有三维，推翻了「乘积的维数等于维数之和」这条老猜想；1934 年在《数学年刊》上发表拓扑交换群的对偶理论；1935 年用莫尔斯的办法算出紧李群的贝蒂数，那是他第一次用英语作报告。1939 年当选苏联科学院通讯院士，1958 年当选院士。

他的转向有迹可循。1932 年前后，年轻的物理学家安德罗诺夫不打招呼地登门，给他讲相平面与极限环；他随后算了接近哈密顿的系统，又参加了安德罗诺夫「粗系统」的工作，1942 年在喀山的疏散地写了时滞方程特征根的那一篇。1952 年他整个转到应用上：斯捷克洛夫研究所的领导催促、三个学生米先科、甘克列利泽、玻尔强斯基推着，那年秋天开了一个讨论班，从安德罗诺夫的振动论读起，规矩是每个报告先讲一件技术仪器，再写它的微分方程。亚历山德罗夫把这看作背叛拓扑。四年后，他与玻尔强斯基、甘克列利泽在一篇三页的短札里把最大值原理作为「假设」发表，1958 年玻尔强斯基给出一般的证明；同年他在爱丁堡的国际数学家大会上不讲拓扑、讲最优过程。1961 年四人合著《最优过程的数学理论》，次年获列宁奖，很快出了两种英译本。晚年他在苏联数学界的人事与国际事务上立场强硬，被不少同行指为排斥犹太裔学者，这桩争议一直附在他的名字上。1988 年 5 月 3 日卒于莫斯科。

《数学年刊》第 35 卷第 2 期（1934 年 4 月）第 361 页 · 公有领域（1934 年美国期刊，版权未续展）· Internet Archive。庞特里亚金的照片没有一张许可与尺寸都合用，所以这里放他自己的一页：《拓扑交换群的理论》的首页，作者署名拼作 L. Pontrjagin；开头一段就是「每一个离散交换群对应一个紧交换群，叫作它的特征标群」，页脚注 1 说这些结果曾在 1932 年苏黎世的国际数学家大会上简要报告过

生平

1908年9月3日
生于莫斯科
父亲是会计，母亲是裁缝。1916 年进市立学校。
13 岁
一次意外，完全失明
他在 1978 年的自传里自己写的是十三岁。
1925
进莫斯科大学物理数学系
从不记笔记，听完就在心里复述。1929 年毕业，随亚历山德罗夫读研究生。
1930 年前后
两个二维的紧集，乘起来是三维
推翻了「乘积的维数等于维数之和」这条老猜想。
1932
苏黎世，国际数学家大会
简要报告了拓扑交换群的特征标理论（1934 年那篇首页的脚注 1）。
1934年4月
《拓扑交换群的理论》
《数学年刊》第 35 卷。紧交换群与离散交换群互为对方的特征标群。
1935
紧李群的贝蒂数
嘉当 1934 年在莫斯科提的问题，他用莫尔斯的办法解了；第一次用英语作报告。
1942
喀山：拟多项式的零点
战时疏散中写成。没有主项就必有无穷多个右半平面的根；有主项时，把问题搬到虚轴上看两条曲线的零点是否交替。
1952年秋
讨论班：从一件仪器讲起
与米先科、甘克列利泽、玻尔强斯基在斯捷克洛夫研究所开讲，先读安德罗诺夫的振动论。
1956
最大值原理，先作为假设
与玻尔强斯基、甘克列利泽合写的短札，《苏联科学院报告》第 110 卷第 7–10 页。
1958
爱丁堡的大会报告
受邀讲拓扑，他改讲最优过程。他说俄语，米先科在黑板上写公式，伯斯逐段译成英语。同年当选院士。
1961
《最优过程的数学理论》
四人合著。1962 年获列宁奖，美国很快有两家出版社同时出了英译本。
1988年5月3日
卒于莫斯科
七十九岁。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

推力什么时候反过来

只能全力向前或全力向后推，要最快停在原点：伴随量是一条直线，至多过零一次——所以推力至多反一次，换挡点落在一条抛物线上。

1956 年的那篇短札只有三页，作者是玻尔强斯基、甘克列利泽与庞特里亚金，最大值原理在里面是作为「假设」发表的；证明是两个学生 1957、1958 年分头补上的，完整的一篇 1960 年刊出。1959 年他在《数学科学成就》上独自写了一篇综述，第 7 页说得很直：「定理 2 最初作为假设发表在那篇短札里，所以叫最大值原理」。原理本身是这样的：给系统配一组伴随量 ψ，让它照 dψ/dt = −∂H/∂x 往前走，最优控制在每一刻都让 H = Σψ·f 取到最大值。他同一页交代了它与旧学问的关系：控制域是开集时，这就是魏尔斯特拉斯的判据；可工程上的控制几乎总是被 |u| ≤ 1 这类不等式框住的——舵只能打到头、发动机只能开到满——这时魏尔斯特拉斯的判据不成立，「下面给出的结果是新的」。本件是最简单的一例：x″ = u，|u| ≤ 1，从一点最快停到原点。H = ψ1·v + ψ2·u，于是 u 只取 ±1、由 ψ2 的正负定；而 ψ2 按方程是 t 的一次函数，至多过零一次——推力至多反一次，换挡点都在抛物线 x = −v|v|/2 上。起点 (1, 0) 时先全力往回推 1 秒、再全力刹 1 秒，总共 2 秒；H 沿整条轨线恒为 1，那是定理的另一半。这个题的答案不是他们先得到的（见下一件），新的是它从一条原理里直接推出来。

换几个起点，看轨线怎么在开关线上换挡；再拖「换挡早晚」，看早一点、晚一点各差多少

换挡早晚 δ = 0.00

一个只能全力向前或全力向后推的小车（x″ = u，|u| ≤ 1），要从相平面上的一点最快停在原点。最大值原理说：存在一对伴随量 ψ1、ψ2，最优推力每一刻都让 H = ψ1·v + ψ2·u 取最大——于是 u 只取 ±1，由 ψ2 的正负决定；而 ψ2 按方程只能是 t 的一次函数，所以推力至多反一次。现在的起点先取 u = −1，在 t1 = 1.0000 碰上铜色的开关线、反过来，总共 2.0000。H 沿整条轨线不变，这是同一条定理的另一半。拖「换挡早晚」看早一点、晚一点换各差多少：现在没挪。

每隔 π 秒换一次号

推的是一个弹簧振子时，伴随量成了一条正弦——除去头尾，每一段推力都恰好持续 π，离原点越远，来回推的次数越多。

同一篇综述的第 7 节讲「综合」：不只要一条最优轨线，而要一张表，告诉你在相平面上每一点该取什么推力。他在那里把前人交代得很规矩：线性系统的最优综合此前「用完全不同的办法」只做过两种——费尔德鲍姆 1955 年做了特征根全是实数的情形，布肖 1953 年在斯蒂文斯理工学院实验水池的一份报告里做了二阶、特征根是复数的情形。本件就是后一种：x″ + x = u，|u| ≤ 1，要把一个振子最快停住。照最大值原理，伴随量满足 ψ2″ = −ψ2，是一条正弦 A·sin(t − c)，推力跟着它的正负走——它的零点间隔恰好是 π，所以除去第一段与最后一段，每一段推力都恰好持续 π 秒。u = ±1 时相轨线是绕 (±1, 0) 顺时针转的圆；把所有「最后一段」「倒数第二段」的起点连起来，开关线是一串半径 1 的半圆：x 为正的一侧是圆心在 1、3、5…… 的下半圆，为负的一侧是圆心在 −1、−3…… 的上半圆。本馆拿两条互不相干的路算了五个起点：一条是照这张综合一段段转圆弧、把时长加起来，一条是可达集的支撑函数，不用开关线、也不用「每段 π」。(3, 0) 要换两次号、共 4.837717；(−7, −1) 要换四次、共 11.244284，两条路在六位小数上相同。实特征根的情形费尔德鲍姆证过「至多换 n − 1 次号」，这里特征根是复数，那条界就不存在了。

这回推的是一个弹簧振子（x″ + x = u，|u| ≤ 1）。同一条原理：u 取 ψ2 的正负，而这一回 ψ2 满足 ψ2″ = −ψ2，是一条正弦——它的零点间隔恰好是 π，所以除去头尾两段，每一段推力都恰好持续 π。起点 (3, 0) 要换号 2 次，总共 4.8377；右下另用一条与开关线无关的可达集判据把 T 重算一遍，得 4.8377。特征根是复数，所以没有「至多换 n − 1 次」这回事：离原点越远，要来回推的次数越多。这道题布肖 1953 年已经用几何办法解过，庞特里亚金 1959 年那篇自己写明了这一点。

紧的与离散的，互为对方的影子

圆周的特征标是一个个整数，整数的特征标又拼回圆周——每个紧交换群都是某个离散群的特征标群，反过来也一样。

一个交换群的「特征标」是把每个元素送到一个模为 1 的复数、而且保持运算的映射，全体特征标自己又成一个群。有限交换群的特征标十九世纪就有了，有限群有几个元素就有几个特征标，特征标的特征标又回到原群。庞特里亚金要的是带拓扑的群：1934 年《数学年刊》那篇开头就说，每个离散交换群对应一个紧交换群，叫作它的特征标群；第二章证明每个紧交换群都是某个离散群的特征标群——紧的与离散的由此一一对应。最简单的一对是圆周与整数：圆周上的特征标只有 exp(2πinθ) 这一族，一个整数 n 一个，所以圆周的「影子」是整数；反过来整数的特征标由它把 1 送到圆周上哪一点决定，又拼回一个圆周。第一章的核心是子群与「零化子」的对应：子群 H 对应在它上面处处取 1 的那些特征标 H⊥，而且再取一次零化子又回到 H。本件左边画的是有限群的整张特征标表——有限群既紧又离散，正好站在对偶的两边，而且只有它画得出整张表；右边是他加的那一对：圆周上 m 个点的子群，对应整数里 m 的倍数。据他的自传，这条路是从拓扑来的：为了把亚历山大的对偶定理推到最一般，他把紧空间的同调群造成了一个离散群的特征标群。他的定理要求第二可数；去掉这一条、推到一般的局部紧交换群，是范坎彭 1935 年的事。今天说的「庞特里亚金对偶」指的是整套结果，傅里叶分析在任意局部紧交换群上的版本就搭在它上面。

生成元 h = 3

一个交换群的「特征标」是把它的每个元素送到一个单位复数、而且保持加法的那种映射。有限交换群有多少元素就有多少个特征标，这件事十九世纪就知道了；表里画的就是 ℤ12 的全部。子群与「在它上面处处取 1 的那些特征标」互相决定：现在 H 有 4 个元素，H⊥ 有 3 个，乘起来正好是 |G| = 12，再取一次零化子又回到 H。1934 年他把这一套搬到了带拓扑的群上——紧的交换群与离散的交换群一一对应、互为对方的特征标群。右下是最简单的一对：圆周的特征标是 exp(2πinθ)，一个整数 n 一个，所以圆周的「影子」是整数；K 里 4 个点的子群，对应的正是 ℤ 里 4 的倍数。

最高阶导数只出现在过去

带时滞的方程，特征根有无穷多个；如果 z 的最高次与 e^z 的最高次不落在同一项上，就一定有无穷多个根跑进右半平面、越跑越远。

1942 年他在喀山的疏散地写了两篇东西，自传里说是战时「想做一点用得上的事」。这是其中一篇，《论某些初等超越函数的零点》。引言交代了来路：常微分方程的平衡点稳不稳，归结为特征多项式的根是否全在左半平面，这件事胡尔维茨已经解决；可方程里一旦有时滞，特征函数就成了 H(z) = h(z, e^z)，h 是两个变量的多项式，根有无穷多个。他把 h 里 z 的次数与 e^z 的次数同时最高的那一项叫「主项」，第一条定理就是：没有主项，H 必定有无穷多个零点，实部任意大。他拿来示范的「最简单的没有主项的多项式」是 t − z，也就是方程 e^z = z——它的根 0.318 + 1.337i、2.062 + 7.589i、2.653 + 13.949i……实部像 ln(2πk) 那样一路涨上去。本件给他那一条加上一个主项 ε·z·e^z：ε 一旦不是零，根的实部就收在 ln(1/ε) 这条竖线上；ε = 0.1 时收在 2.30，还在右边；ε = 2 时收在 −0.69，十个根全到了左边。乘以 e^(−z) 看得出它对应的方程：ε·x′(t) + x(t) = x′(t − 1)。ε = 0 时，现在的变化率根本不出现，全由一秒以前的变化率定——这种「中立型」的方程，扰动里频率越高的成分长得越快。本馆另用辐角原理数过 −6 < Re z < 12、0 < Im z < 19π 那个框：ε = 0、0.1、0.5、2 四档都恰好 10 个零点，与逐带找到的一个不差。引言末尾他写明，切博塔廖夫 1941/42 年冬在莫斯科数学会上讲过 h 关于 e^z 是一次的情形、只给了充分条件，本篇是那一篇的推进。

带时滞的方程，特征方程不再是多项式，而是 h(z, e^z) = 0 这样的「拟多项式」，根有无穷多个。1942 年他证明：如果 h 里 z 的最高次与 e^z 的最高次不落在同一项上（没有「主项」），那就一定有无穷多个根跑进右半平面，而且越跑越远——他举的最简单的例子就是 e^z = z，也就是这里 ε = 0 那一档。现在 ε = 0：十个根全在右边，实部一路涨，没有上限。对应的方程是 ε·x′(t) + x(t) = x′(t − 1)：ε = 0 时现在的变化率根本不出现，全由一秒以前的变化率定——而且扰动里频率越高的成分长得越快。

虚轴上两条曲线的零点要交替

根有无穷多个，没法一个个求；他把问题搬到虚轴上——F 与 G 的零点全是实的、一个隔一个，就稳。

有主项的时候怎么判？同一篇的后半给了答案，思路与多项式那条老判据一样：不去找根，而是看函数在虚轴上的样子。令 H(iy) = F(y) + iG(y)。定理 VII 说：H 的零点全在左半平面，F 与 G 的零点就都是实的、互相交替，而且 G′F − F′G 处处为正；反过来，零点全实而且交替、再加上这个不等式在某一点成立，就足够了。定理 VI 换了个说法：向量 w = H(iy) 要始终朝正方向转，y 从 −2kπ 走到 2kπ 时转过的角是 4kπs + πr 再加一个趋于零的小量（r、s 是主项里 z 与 e^z 的次数）。「零点全是实的」又可以只数一段区间：定理 III 说，k 够大时，F 在长 4kπ 的一段上恰有 4sk + r 个实零点。本件拿最简单的时滞方程来验：x′(t) = −a·x(t) − b·x(t − 1)，特征函数 (z + a)·e^z + b，r = s = 1，k = 2 时该数到 9 个。a = 0、b = 1.5 时，F 9 个、G 9 个、交替，w 转过 8.924π；直接解最右边的根是 −0.0328 ± 1.5496i，稳。b 拖到 2：F 只剩 5 个、不再交替，w 只转 4.90π——少的两圈正是跑到右边去的那一对根，直接解出来是 0.1728 ± 1.6737i。本馆把两个滑块的 1581 档全扫了一遍：三件都算上（个数、交替、正转），两条路只在 a + b = 0 那条线上分不出——那里 z = 0 本身就是根，正落在虚轴上；而只看交替与正转、不数个数，a = −1 那一排就会被误判成稳，少的正是两个复零点。他最后说，这件事可以用斯图姆的办法做成有限步的检验；今天分析带时滞的控制回路，还在用这一路办法。

a = 1.0b = 0.5

方程 x′(t) = −a·x(t) − b·x(t − 1)：变化率不但看现在，也看一秒以前。它稳不稳，取决于 H(z) = (z + a)·e^z + b 的零点是否全在左半平面——可这样的零点有无穷多个，没法一个个求。1942 年他把问题搬到虚轴上：令 H(iy) = F(y) + iG(y)，零点全在左边，等于说 F 与 G 的零点全是实的、一个隔一个地交替，而且 w = H(iy) 始终朝正向转；零点是不是全实的，又可以只数一段区间上的个数。现在 a = 1.0、b = 0.5：判据说稳，直接求出的最右边那个根实部是 -1.1027。试试 a = 0、b 从 1.5 拖到 2：交替在 b 越过 π/2 的那一刻断开。

1958 年爱丁堡，他不讲拓扑

大会请他作拓扑的全会报告，他提议换一个题目：最优过程的数学理论。他讲俄语，学生在黑板上写公式，一位美国教授逐段翻译。

1958 年是他第一次出国。据他 1978 年的自传，爱丁堡国际数学家大会的组委会请他作一个拓扑的全会报告，他提议换成「最优过程的数学理论」。那时他已经四十九岁，拓扑是他成名的本行：紧李群的贝蒂数、以他命名的示性类、球面到球面的映射怎么分类，都是他前半生的事。改行的缘由他在自传里写得很坦白：三十年代起他就越来越不安，「最丰富的想象也没法让人设想，同调维数论有一天会用到技术、物理或者任何真实存在的东西上」；1932 年前后安德罗诺夫登门给他讲相平面与极限环，是第一次松动；1952 年，研究所的领导催他转向，学生米先科劝他，他自己也早想转，于是那年秋天和三个学生开了讨论班，从安德罗诺夫的振动论读起，才知道电容、自感、电子管振荡器是什么。讨论班定了一条死规矩：每个报告先讲一件技术仪器，再写它的微分方程，然后才谈数学；后来也请工程师来讲，但从不让他们把现成的数学题摆出来。他的老师亚历山德罗夫把这看作对拓扑的背叛，柯尔莫哥洛夫在一次研究生考试上对研究电子管振荡器表示过轻蔑。爱丁堡那场报告排练得很仔细：他说俄语，米先科在黑板上写公式，伯斯一段一段译成英语。三年后四人合著的那本书出版，很快在美国有两家出版社同时出了英译本。他是一个十三岁起就看不见的人，却讲出了一条关于「看准时机换挡」的原理。

故事展签故事展签：一场三个人合作的大会报告，和一个四十四岁改行的拓扑学家。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1956：控制受不等式约束时，最优控制让一个函数 H 每一刻取最大值→最短时间与最省燃料的推力程序由此写成两点边值问题，打靶法把它算出来→运载火箭的上升段轨道、卫星变轨与月面着陆的最优控制，第一步都是写出这个 H

1956–1961：推力只取两个极端、在开关线上换挡的「砰–砰」控制，从原理里推了出来→磁盘磁头寻道、机床与电梯的快速定位，常照这类开关曲线设计→今天工业机器人的最短时间运动规划与自动控制，仍在用这一套开关逻辑

1934：紧交换群与离散交换群互为特征标群→傅里叶分析从圆周与实数推到任意局部紧交换群，有限群上的离散傅里叶变换是它最小的一格→信号处理里的离散傅里叶变换、纠错码理论里码与对偶码之间的恒等式，都可以放进这套框架里看

1942：带时滞的特征方程没有主项，就必有无穷多个不稳的根→中立型时滞系统从此有了一条先验的判别：最高阶导数不能只出现在过去→网络拥塞控制、远程操作机器人这类带传输延迟的自动控制回路，设计时要先当心这一类不稳

1942：虚轴上 F 与 G 的零点交替，时滞方程就稳→它成了带时滞系统稳定性分析的基本工具，化工过程与电力系统的工程计算里常用→今天的数字控制系统有采样与计算延迟，判稳用的仍是这一路办法

1952–1961：一群拓扑学家读振动论，每个报告先讲一件仪器→《最优过程的数学理论》四年里有了两种英译本，控制理论从此成了数学的一支→今天的模型预测控制每隔几毫秒解一次最优控制问题，用在汽车、化工与航天器上

他在哪几条专题里

专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写，全是 tracks.ts 推出来的。

航天一枚正在落回发射场的一级火箭1956 推力该什么时候开、什么时候关（最优）

语录

「只有做好了的工作才让人快乐！马虎做成的工作让人厌恶，而且会一点点养成对劳动不道德的态度。」
—— 《庞特里亚金自撰小传》，《数学科学成就》第 33 卷第 6 期（1978），第 10–11 页；据俄文原文译

「书写得越仔细，就越薄，写它花的力气也越大。」
—— 同一篇，第 8 页。他接着算了一笔账：作者的报酬与书的质量的平方成反比；据俄文原文译

「最丰富的想象也没法让人设想，同调维数论有一天会用到技术、物理，或者任何真实存在于我们周围物质世界的东西上。」
—— 同一篇，第 12 页，讲他三十年代越来越重的那份不安；据俄文原文译

「控制参数要满足 |u| ≤ 1 这类不等式时，魏尔斯特拉斯的判据显然不成立，下面给出的结果是新的。」
—— 《最优调节过程》，《数学科学成就》第 14 卷第 1 期（1959），第 3 页；据俄文原文译