数学群星MATHEMATICAL LUMINARIES

Arthur Cayley · 1821–1895

凯莱

他在律师事务所里写了两三百篇论文：把一方块数当成一个可以相乘的量，把群缩成一张乘法表，又替化学家数出了烷烃有几种。

M2−(a+d) M+(ad−bc)⋅1=0M^2-(a+d)\,M+(ad-bc)\cdot 1=0
1858 年《矩阵论备忘录》§21：二阶方阵 M = (a b; c d) 当成一个量代进它自己的二次方程，逐格相消得零矩阵。§23 他说三阶也验证过，一般情形「没有必要费力」去证；一般 n 阶的证明是弗罗贝尼乌斯 1878 年给的。

阿瑟·凯莱 1821 年 8 月 16 日生于萨里郡的里士满。父亲亨利是在圣彼得堡做生意的英国商人，他是父母回英国小住时生下的。1838 年进剑桥三一学院，1842 年以数学荣誉考试第一名（Senior Wrangler）毕业，考官认定他第一名无疑，连当时照例要有的口试都免了；同年得史密斯奖第一名，当选三一学院研究员。研究员的职位若不当牧师、不在学院任教，只能保留到 1852 年，而他不愿担任神职，于是 1846 年离开剑桥，进林肯律师学院，拜在有名的产业转让律师克里斯蒂门下，1849 年 5 月 3 日取得律师资格。

此后十四年，他一边替克里斯蒂起草产业转让文书，一边写数学：这十四年留下两三百篇论文，矩阵、群的抽象定义、不变量论的大部分，都是这时候写的，文末常署着事务所的门牌「2 Stone Buildings」。同在伦敦做保险精算的西尔维斯特是他最近的同行，两人绕着林肯律师学院的院子边走边谈不变量。1863 年剑桥新设萨德利尔纯粹数学讲座，6 月 10 日他当选首任教授，薪水微薄，他一直做到去世；同年 9 月 8 日与苏珊·莫林结婚。1881 年底他应约翰斯·霍普金斯大学之邀去巴尔的摩（西尔维斯特正在那里任教），讲了五个月阿贝尔函数与 θ 函数，次年 6 月回国；1883 年任英国科学促进会会长。1895 年 1 月 26 日卒于剑桥。《数学论文集》十三卷，篇目编号排到 967 号——十九世纪写得最多的数学家之一。

凯莱肖像
巴罗（H. R. Barraud）摄于伦敦，1895 年以前 · 史密森学会迪布纳科学史图书馆藏照相卡 · Wikimedia Commons，公有领域（摄者卒于 1896）

生平

  1. 1821年8月16日
    生于里士满

    萨里郡。父亲是在圣彼得堡经商的英国商人，父母回英国小住时生下他。

  2. 1842
    数学荣誉考试第一名

    剑桥三一学院。考官免了他的口试；同年史密斯奖第一名，当选研究员。

  3. 1845
    七个虚数单位

    《哲学杂志》第 26 卷一篇答辩文章的附言。格雷夫斯约在 1843 年圣诞已先找到，文章登在同一卷的后面。

  4. 1846
    离开剑桥，进林肯律师学院

    不愿担任神职，研究员只能做到 1852 年。拜在产业转让律师克里斯蒂门下。

  5. 1849年5月3日
    取得律师资格

    只替克里斯蒂做「代笔」的活，限量，从不直接接案子。

  6. 1853年11月2日
    《论群》写完

    文末署「2 Stone Buildings」。1854 年刊于《哲学杂志》第 7 卷：群只看它的乘法表，六阶的群「有两种，而且只有两种」。

  7. 1857
    第一篇讲树的文章

    从微分算子的记法里数出有根树：结点数 1 到 8 时 1、1、2、4、9、20、48、115 棵都对，往下三个印成 306、775、2009，1875 年他自己改成 286、719、1842。

  8. 1858
    《矩阵论备忘录》

    《哲学汇刊》第 148 卷，1857 年 12 月 10 日收稿、次年 1 月 14 日宣读。矩阵「表现得就像单个的量」。

  9. 1859
    《关于齐式的第六篇备忘录》

    把度量装进射影几何，「射影几何就是全部几何」。十二年后克莱因接着这一步做出了圆盘模型。

  10. 1863年6月10日
    剑桥首任萨德利尔教授

    离开律师界。同年 9 月 8 日与苏珊·莫林结婚。

  11. 1875
    数烷烃

    英国科学促进会报告：碳骨架是一棵每点至多四条枝的树，表 VIII 推到 13 个碳。

  12. 1881–1882
    巴尔的摩讲学

    1881 年 12 月启程，在约翰斯·霍普金斯大学讲五个月阿贝尔函数与 θ 函数；西尔维斯特正在那里任教。

  13. 1889
    《一条关于树的定理》

    n 个编号结点的树有 n 的 n − 2 次方棵；文末说博尔夏特 1860 年已有这套理论。同年《数学论文集》第一卷出版。

  14. 1895年1月26日
    卒于剑桥

    七十三岁。葬礼在三一学院礼拜堂。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

一个方阵，满足它自己的方程

把一方块数当成一个量：可以加、可以乘，只是乘法不能随便交换。由此冒出一条定理——任何方阵代进它自己的那条方程，都得零。

1858 年他在《伦敦皇家学会哲学汇刊》第 148 卷发表《矩阵论备忘录》，1857 年 12 月 10 日收稿，次年 1 月 14 日宣读。开篇一句话定下了整篇的调子：矩阵「表现得就像单个的量」——可以相加、相乘，乘法一般不能交换，也可以取正负整数次幂乃至分数次幂。「矩阵」这个词是西尔维斯特 1850 年起的，行列式更早就有；他做的是把那一方块数当成一个东西来算。由此他得到一条自称「值得注意」的定理：任何方阵都满足一个与它同阶的代数方程，首项系数为 1，常数项就是行列式；浓缩成一句话，是把「方阵减去当成一个数的它自己」取行列式，结果等于零。§21 他把二阶整个展开，逐格消成零矩阵；§23 说三阶也验证过，接着写：「但我认为没有必要费力去给出任意阶一般情形的形式证明。」一般 n 阶的证明是弗罗贝尼乌斯 1878 年给的；哈密顿 1853 年在四元数的线性函数里已得到同类的方程，所以今天这条叫凯莱–哈密顿定理。§26 他随手拿它开平方：√M 也满足它自己的二次方程，两条一消就得 √M = (M + √Q)/X，其中 Q 是行列式、X² 是迹加 2√Q，两个根号各取一次号，一个二阶方阵有四个平方根。§27 他还验了 M 本身是 N 的平方的情形：一对是 ±N，另一对不是。

换几个方阵，看左边三块相加是不是零矩阵，右边四个平方根里有几个是实的；(1 8; 0 9) 那一档就是他 §27 的情形

他把 M 当成「一个量」代进它自己的方程，M² − 7M + 6 逐格相加恰好是零矩阵；再让 √M 也满足它自己的二次方程，两条一消就得到开平方的公式。现在这个 M 的四个平方根里，实的有 4 个。

一个群，只看它的乘法表

群本来是方程的根的置换。他把置换拿掉：只要一组符号两两相乘不出这组、又满足结合律，就是一个群——于是一个群就是一张表。

1854 年《哲学杂志》第 7 卷上一篇八页的文章，题目是《论群，作为依赖于符号方程 θⁿ = 1 的理论》，文末署「2 Stone Buildings，1853 年 11 月 2 日」——林肯律师学院里他的事务所。群这个概念从哪里来，他在脚注里写得明白：「把群的概念用于置换或代换，是伽罗瓦的，引入它可以说是代数方程理论进步中的一个时代。」他做的是把置换拿掉：θ 可以是任何一种「运算」，只要不管怎样结合，结果都一样；一组互不相同的符号 1、α、β……，任两个的积（不论次序）或一个自乘仍在这组里，就叫一个群。有了这个定义，群就只剩一张乘法表，每一行、每一列都把全部符号各含一次。他接着一张一张推：四阶的群有两种，一种像 x⁴ − 1 = 0 的四个根，另一种里每个元素自乘一次就回到 1——他说这种系统「在分析里常常出现，只是因为太简单，才没有人明白指出来」；六阶的「有两种，而且只有两种」，第二种的实例是三个字母的六个置换。四张表他都印了出来，本件逐格转录、逐组核过结合律，原表一格不错。每一行都是符号的一个置换，这件事再往前走一步，就是今天以他命名的那条定理：每个群都同构于某个置换群。一般认为这个抽象的定义在当时走得太早，要再过二三十年才有人接着用。

他给「群」的定义只有两句：一组互不相同的符号，任两个的积仍在这组里；乘法可以不交换，但要满足结合律。现在这张表：每行每列各含一次，216 组结合律成立 216 组——是一个群。

七个虚数单位，模长照样相乘

四元数丢了交换律；他在一篇文章的附言里写下七个虚数单位的乘法，模长照样相乘，结合律却也丢了。

1843 年 10 月哈密顿写下四元数，他的朋友格雷夫斯当年圣诞前后就找到了一套八个单位的数，却没有发表。1845 年，凯莱在《哲学杂志》第 26 卷一篇回应别人批评的文章末尾加了一段附言：可以用 −1 的七个虚根作出一套类似的理论，它们按 123、145、624、653、725、734、176 七个「类型」相乘——123 就是 i₁i₂ = i₃、i₂i₃ = i₁、i₃i₁ = i₂，倒过来乘差一个负号；积的模等于模的积。他特意提醒：这套类型写起来要小心，不只字母的组合，连次序也是，「把 176 写成 716，整套就坏了」。本件把七个类型各自的两种次序全试了一遍：128 套里恰好 16 套保住模长，原文那一套在其中，只翻任何一个类型模长就不再相乘；可结合律丢了——互不相同的三个单位 210 组里只有 42 组满足结合律，恰是同一条线上的那些。格雷夫斯的文章登在同一卷的后面，比他晚了一百多页。今天这套数叫八元数，也常叫凯莱数；他自己晚年在《数学论文集》第一卷的注里写明，这套虚数「约在 1843 年圣诞已向格雷夫斯呈现」。同一处附言里他打了个问号：2ⁿ − 1 为素数时，也许都有这种理论？下一档十五个单位的，他 1850 年自己就说作不出来。

1845 年他在一篇答辩文章的附言里写下七个虚数单位的乘法，只用七个三位数的「类型」。照原文的次序，积的模等于模的积（2000 对随机的数上最大偏差 6.7e−16）；可结合律只剩 210 组里的 42 组。点一个类型把它倒过来，看模长那一条会不会跟着坏。

n 个结点，n 的 n − 2 次方棵树

给 n 个结点编上号，能连成几棵不同的树？n 的 n − 2 次方。他的证法是按「每个结点多出几条枝」分型，一型一型地数。

1889 年《纯粹与应用数学季刊》第 23 卷上一篇三页的短文《一条关于树的定理》：n + 1 个给定的结点能连成的树，数目是 (n + 1) 的 n − 1 次方。他先举四个结点：一种形状 12 种排法，另一种 4 种，合计 16 = 4²。再取六个结点 α、β、γ、δ、ε、ζ 讲证法：把 (α + β + γ + δ + ε + ζ)⁴ 展开，α⁴、α³β、α²β²、α²βγ、αβγδ 五型的多项式系数是 1、4、6、12、24，各乘该型的项数 6、30、15、60、15，得 6、120、90、720、360，加起来是 6⁴ = 1296。要证的只是一句：某一型的树（上标就是那个结点的度数减一），棵数恰好等于那一型的多项式系数；他从全是链状的那一型出发，一步一步把结点换成 α，逐型核过。本件照他的办法列表，最右一列另走一条独立的路——把完全图全部 n − 1 条边的子集逐个试，连通而没有圈的按度数分型计数——七个结点时 54264 个子集里恰好 16807 = 7⁵ 个是树，逐型与多项式系数相同。首创权他自己在文末交代了：「上面这套理论实际上已出现在博尔夏特的一篇文章里」——1860 年《克雷勒杂志》第 57 卷，博尔夏特用这些树表示一个行列式的各项，于是那个行列式的项数就是这个数。今天它仍叫凯莱公式。

6 个编了号的结点：把每一型的多项式系数乘上它的项数，加起来是 1296；把完全图的 3003 个 5 边子集逐个试，连通而没有圈的恰好 1296 个，就是 6 的 4 次方。这条式子他自己在文末说，博尔夏特 1860 年就有了。

数烷烃：他那张表错在最后两格

n 个碳的烷烃在理论上有几种？碳骨架是一棵每点至多四条枝的树，于是化学问题变成了数树。他一直数到 13 个碳，前十一个全对。

1874 年他在《哲学杂志》上指出，他十几年前为别的目的研究过的「树」，与当时新起的化学结构理论是同一回事；1875 年在英国科学促进会的报告里整个算了出来。n 个碳的烷烃（分子里 2n + 2 个氢），n 个碳原子由 n − 1 条键连成一棵树，每个碳至多四条键，其余位置补满氢——所以「烷烃在理论上有几种」就是「每点至多四条枝的 n 结点树有几棵」。例如戊烷 C₅H₁₂ 恰有三种骨架。他把树按有一个中心还是两个中心分开，再按高度与主枝数分格，用生成函数一列一列往下推，表 VIII 印到 13 个碳，末列总计是 1、1、1、2、3、5、9、18、35、75、159、357、799。本件把全部碳骨架逐个枚举出来复算：前十一个全对，末两个应作 355 与 802。再把他的表逐格对，双中心的那一半与其余各格全对，错全出在「中心树、高度 3」这一列的三格里：12 个碳时主枝 3 条的印 54 应作 51、主枝 4 条的印 27 应作 28，13 个碳时主枝 4 条的印 63 应作 66——小计、总计都是照这三格加出来的。一张手推到第十三行的表，只在最后两行的一列里错了三格。这也不是他头一回在树的表上出错：1857 年那篇里 9、10、11 个结点的有根树他给的是 306、775、2009，这一篇开头他自己改成了 286、719、1842。

n = 6：他印的是 5，把全部碳骨架逐个枚举出来是 5，对得上。一个化学问题被整个换成了数树；他那张表前十一个全对，错在最后两格。

林肯律师学院的十四年

为了谋生他当了十四年律师，只替老师代笔、从不自己接案；这十四年他写了两三百篇数学论文，许多就署着事务所的门牌。

三一学院研究员的职位，若不担任神职、不在学院任教，最多只能保留到硕士学位后七年，他的会在 1852 年到期。据福赛思为他写的讣告，他并没有信仰上的疑难，只是「觉得自己没有担任圣职的召唤」。于是他选了法律：1846 年离开剑桥，进林肯律师学院，拜在产业转让律师克里斯蒂门下。同门赖特后来回忆，他们都知道这位是数学荣誉考试的第一名，可他从不提起，听着学生间的玩笑满脸新奇，自己却不怎么插嘴，「一心扑在那份我猜并不合他口味的工作上」。1849 年 5 月 3 日他取得律师资格，克里斯蒂愿意给他多少活都行，可他只替老师「代笔」，限定分量，凡是直接找上门的案子一概推掉。他起草的一份财产授予文书，后来被戴维森《产业转让的先例与格式》1878 年版引为范本，脚注称赞「凯莱先生在这份授予书里显出的非凡技巧」。这十四年他写了两三百篇论文——矩阵、群、不变量论的大半都在其中，文末常署「2 Stone Buildings」和日期。同在伦敦做精算的西尔维斯特与他绕着林肯律师学院的院子一圈圈走，谈不变量与协变量。1863 年剑桥用萨德利尔夫人一百六十多年前的遗赠新设纯粹数学讲座，他当选首任教授，薪水微薄，他毫不犹豫地回去了，此后三十二年一直在这个讲席上。

故事展签故事展签：一位律师的十四年，和两三百篇论文。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1858：一方块数被当成一个量，可以相加、相乘，只是乘法不能随便交换→1925 年玻恩认出海森伯那套乘法不交换的数表正是矩阵，量子力学的矩阵力学从此成形→今天计算机图形里每个顶点乘一个 4×4 矩阵，机器学习里神经网络的每一层也是一次矩阵乘法
1858：任何方阵都满足它自己的那条方程，高次幂都能降到 n − 1 次以内→1959 年卡尔曼的能控性判据只需要检查到 F 的 n − 1 次，理由正是这条定理→自动控制里的极点配置、线性系统的状态反馈设计，都靠它把无穷多个条件收成有限个
1854：群的定义不再依赖置换，只看一张乘法表→十九世纪末群论在晶体学里数出 230 种空间群，二十世纪用群给粒子分类→粒子物理的标准模型整个写成一个对称群，量子力学里的守恒量与群的表示一一对应
1889：n 个编号结点的树有 n 的 n − 2 次方棵→基尔霍夫 1847 年为电路列方程时用到的生成树，与这条计数属于同一家族：矩阵树定理→今天分析电路与网络可靠性、设计通信网络的生成树协议，都要数图里的生成树
1875：化学的同分异构问题被换成数树→波利亚 1937 年把这类「数有对称的结构」整理成一套计数定理→今天的化学信息学用算法枚举分子骨架，药物筛选先在计算机里生成成千上万个候选结构

他在哪几条专题里

专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写， 全是 tracks.ts 推出来的。

语录

「我已在其次最简单的情形、三阶方阵上验证过这条定理……但我认为没有必要费力去给出任意阶一般情形的形式证明。」

—— 《矩阵论备忘录》§23，《伦敦皇家学会哲学汇刊》第 148 卷（1858）；《数学论文集》第二卷第 483 页

「这种形式的系统在分析里常常出现，只是因为它们极其简单，才没有人明白地指出来。」

—— 《论群，作为依赖于符号方程 θⁿ = 1 的理论》，《哲学杂志》第 7 卷（1854）；《数学论文集》第二卷第 126 页，说的是四个元素、每个自乘一次就回到 1 的那种群

「这套类型写起来要小心，不只字母的组合，连它们的次序也是；比如把 176 写成 716，整套就坏了。」

—— 1845 年《哲学杂志》第 26 卷那篇文章的附言，讲七个虚数单位；《数学论文集》第一卷第 127 页，大意