Shen Kuo · 1031–1095

沈括

他在一部随笔里顺手写下两条「古书所不到」的算术，又把围棋的局数数到了头

S = \frac{n}{6}\big[(2a+c)\,b + (2c+a)\,d\big] + \frac{n}{6}\,(d-b)

隙积术 ·《梦溪笔谈》卷十八 · 前一项是刍童的体积公式，后一项是他「思而得之」补上的——有空隙的一堆，照刍童算总是少

沈括字存中，钱塘人，1031 年生，1095 年卒于润州，《宋史》把他附在同族沈遘的传后，说他「居润八年卒，年六十五」。以父荫做沭阳主簿，在那里疏水为「百渠九堰」、得上田七十顷；1063 年中进士，入馆阁校书。熙宁年间受神宗与王安石赏识，提举司天监——《宋史》说当时的日官「皆市井庸贩，法象图器，大抵漫不知」，他置浑仪、景表、五壶浮漏，招布衣卫朴造新历。1075 年出使辽国争河东黄嵬的地界，事先在枢密院翻出旧档，谈判时让随行吏士把几十件地界文书背熟，对方问一句就答一句，六次会谈后辽人让了步。后来做到翰林学士、权三司使，出知延州守边；1082 年徐禧筑永乐城兵败，他因救援不及被贬为团练副使（《宋史》作均州，四库提要作筠州），此后退居润州城外自己买下的园子，名之曰梦溪。

《梦溪笔谈》二十六卷就写在梦溪，按他自己的说法是「与宾客言者」的笔记：官制、音律、医药、地理、器物、异闻，十七门里算学只占「象数」「技艺」的几条。可就是这几条，让他进了数学史：卷十八里两条「古书所不到」的术——算有空隙的一堆东西有几个的隙积术，由弦与矢求弧长的会圆术——是宋元垛积术与弧矢割圆术的源头；同一卷里他把唐人一行算过的「棋局都数」重算一遍，给出 3 的 361 次方，还说「只五次乘，便尽三百六十一路」。补笔谈里他主张废掉阴历月，改用以节气定月的「十二气历」，自己料定「尤当取怪怒攻骂」。同时代的张耒在《明道杂志》里记他「博学多能，天文、历数、钟律、壬遁皆极其妙，尤善用算，然甚好弈棋，终不能高」——算得出棋盘上一共有多少局的人，自己下棋下不好。本馆收的六件，五件是这几条算术本身，第六件是那部没人肯用的历。

《梦溪笔谈》卷十八 ·《四部丛刊续编》影印明刊本（张元济校勘），Wikimedia Commons，公有领域。沈括没有同时代的画像传世，今天常见的那几幅都是后人的想象画，所以这里放他自己的书。这一页上是隙积术的正文：右起先是立方的末句与堑堵、刍童两种「古法」；右数第八行开头印着「之六而二」，紧接着就是「隙积者，谓积之有隙者，如累棋、层坛及酒家积罂之类」；末两行是他自己的那一条「予思而得之，用刍童法为上行，下行别列下广，以上广减之，余者以高」——下一页接「乘之，六而一，并入上行」。那个「六而二」是刍童公式的末尾，本该是六而一，明刊本与四库本都印错了

生平

1031
生于钱塘
据《宋史》「居润八年卒，年六十五」倒推。
早年
沭阳主簿：百渠九堰
以父荫得官。沭水故道漫为污泽，他疏为百渠九堰，得上田七十顷。
1063
中进士
嘉祐八年。其后编校昭文馆书籍，为馆阁校勘。
熙宁中
提举司天监
置浑仪、景表、五壶浮漏，招卫朴造奉元历。《笔谈》说卫朴「不用算推古今日月蚀，但口诵乘除，不差一算」。
1075
使辽，争黄嵬地界
先在枢密院翻出旧议疆界文书，指古长城为界；到辽廷凡六会，辽人舍黄嵬而改请天池。归途画成《使契丹图》。
1082
永乐城之败，贬官
徐禧不听他先筑石堡的议，先城永乐，城陷。他因救援不及，谪为团练副使。
1086
十二气历的样本年
补笔谈里拿元祐元年作例：孟春小，一日壬寅，三日望，十九日朔；仲春大，一日壬申。
约1088
退居润州梦溪园
园子是他早年梦中所见、后来在京口买下的，名之梦溪。《梦溪笔谈》二十六卷、《补笔谈》《续笔谈》都写在这里。
1095
卒于润州
年六十五。
1261
杨辉把隙积推成一系列
三角垛、四隅垛各配一句口诀；1303 年朱世杰《四元玉鉴》再往上推一层。
13 世纪
李冶照他的棋局法算字数
《敬斋古今黈》卷五：「用沈存中括棋局法求之，亦自可尽」——拿来算世间文字的组合，引文里也写着「连书万字五十二」。
1280
郭守敬的弧矢割圆
《授时历》由弦矢求弧、再把黄道度换成赤道度，一般认为这一路的起点就是会圆术。
1887
黄遵宪抄出十二气历
《日本国志》卷九：有人说置闰出于不得已、中国无人创论及此，他「乃举沈存中用十二气为一年之说以告之」，全文附录，「以塞专尚西法者之口」。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

一堆有空隙的酒坛，刍童法总算少

上二下十二、共十一层的一堆坛子是 649 个；照刍童的体积公式算只有 630 又 2/3——他补上的正是那 18 又 1/3。

\sum_{k=0}^{n-1}(a+k)(b+k) = \frac{n}{6}\big[(2a+c)b+(2c+a)d\big] + \frac{n}{6}(d-b)

《梦溪笔谈》卷十八技艺门：「算术求积尺之法，如刍甍、刍童、方池、冥谷、堑堵、鳖臑、圆锥、阳马之类，物形备矣，独未有隙积一术。」刍童是上下两个长方形、四面斜收的台体，《九章算术》早有公式：倍上长加下长、乘上广，倍下长加上长、乘下广，两位相加，乘高，六而一。可他要算的是另一种东西：「隙积者，谓积之有隙者，如累棋、层坛及酒家积罂之类。虽似覆斗，四面皆杀，缘有刻缺及虚隙之处，用刍童法求之，常失于数少。予思而得之：用刍童法为上行，下行别列下广，以上广减之，余者以高乘之，六而一，并入上行。」也就是在刍童公式后面补一项 n(d − b)/6。他自注的例子：酒坛最上一层纵横各二罂，最下一层各十二，层层相次，共十一层。刍童法：倍上长 4 加下长 12 得 16，乘上广得 32；倍下长 24 加上长得 26，乘下广得 312；并得 344，乘高 3784；另列下广 12 减上广 2 余 10，乘高 110，并入 3894，六而一得 649。逐层数一遍：4 + 9 + 16 + … + 144 = 649，一个不差；而单用刍童只有 3784 ÷ 6 = 630 又 2/3，少了 18 又 1/3。他的修正对任意的上长、上广、层数都精确成立（逐层相加的和式与这条公式是代数恒等），上长上广都取 1 时就是四隅垛 1² + 2² + … + n²——两百年后杨辉那两句口诀、再往后朱世杰的垛积招差，都从这里出发。他自己的解释是：「刍童求见实方之积，隙积求见合角不尽，益出羡积也。」传本有两处要说明：刍童公式的末尾，四部丛刊影明刊本与四库本都印作「六而二」，照它算会整整多出一倍，应作「六而一」；草里的中间数两本也有印错的（3784 都印作「二千七百八十四」），而最后的 3894 与 649 两个数是对的。

拨上长、上广与层数，看坛子一层层摞起来；右边并排印逐层数出来的个数、刍童法与隙积术，差的那一项就是他补上的

上长 2上广 2层数 11

上 2×2、共 11 层的一堆，逐层数是 649 个；照刍童的体积公式算只有 630 又 2/3，少了 18 又 1/3。沈括「思而得之」的办法是另列一行：下广减上广、乘高、六而一，并进去——得 649，与逐层数的一个不差。他书上的例子是上二下十二、十一层，答六百四十九罂。

会圆术：由弦与矢求弧

径十步的圆割去二步，他算得弧长八步四尺，真值约九步一尺四寸——而割到半圆时，这条式子正好还原出「周三径一」。

s \approx c + \frac{2v^2}{d}, \qquad c = 2\sqrt{\left(\tfrac{d}{2}\right)^2 - \left(\tfrac{d}{2}-v\right)^2}

紧接着隙积术，同一条里还有第二件：「履亩之法，方圆曲直尽矣，未有会圆之术。凡圆田，既能拆之，须使会之复圆。」把圆田割出一块弓形，已知圆径与割去的深（矢），求那段弧长。他的术：以半径为弦（斜边），半径减去所割数为股，两者自乘相减、开方得勾，倍之为割田的直径（弦长）；「以所割之数自乘，退一位倍之，又以圆径除所得，加入直径，为割田之弧」——写成今天的式子就是弧 ≈ 弦 + 2·矢²/径。自注的例子：径十步，割二步。半径五、股三、勾四，弦八步；矢二自乘得四、倍之得八，退一位为八分之步即四尺（宋制一步五尺），以圆径十除——他说「今圆径十，已足盈数，无可除」，只把四尺加入，弧长八步四尺，即 8.8 步。照今天的算法，这段弧长是 10·arcsin(0.8) = 9.2730 步，他的式子少了 5.1%。把矢从零拨到半径扫一遍：误差始终是偏少，最大在矢约为径的 0.288 倍处，少 5.42%；一直割到半圆（矢等于半径、弦等于径），式子给出径 + 径/2 = 1.5 倍径，恰好是周三径一的一半——这条近似与古率 π = 3 在端点上严丝合缝。它不是精确公式，可它是中国古算里已知最早的一条由弦与矢求弧的术，郭守敬《授时历》的弧矢割圆术一般认为由此而来。「此二类皆造微之术，古书所不到者，漫志于此」——两件都是他随手记下的。

所割 2.0 步

径十步的圆割去 2.0 步：弦 8.0000 步，照会圆术「以所割之数自乘倍之，以圆径除，加入直径」，弧是 8.8000 步（8 步 4 尺）；今天用反正弦算，真弧是 9.2730 步，他少了 5.10%。他书上的例子正是割二步，答「八步四尺」。

棋局都数：连书「万」字四十三

十九路的棋盘一共 3³⁶¹ 局，是个 173 位数；他说「大约连书万字」若干个——传本作五十二，照数算只有四十三。

3^{361} \approx 1.7409 \times 10^{172} = 1.7409 \times (10^4)^{43}

「小说：唐僧一行曾算棋局都数，凡若干局尽之。予尝思之，此固易耳，但数多，非世间名数可能言之，今略举大数。」每个交叉点一黑、一白、一空三种，n 路的方盘就是 3 的 n² 次方局。他逐一写出：方二路八十一局，方三路一万九千六百八十三，方四路四千三百四万六千七百二十一，方五路八千四百七十二亿八千八百六十万九千四百四十三——拿 BigInt 逐一现算，这四个数一位不差（他注明用「算家数」：万万为亿、万万亿为兆、万万兆为垓）。方六路他写「十五兆九十四万六千三百五十二亿八千二百三万一千九百二十六局」，即 150094635282031926；真值是 3³⁶ = 150094635296999121，前十位对，末八位不对。「方七路以上，数多无名可纪。尽三百六十一路，大约连书万字」若干个，「即是局之大数」——3³⁶¹ = 1.7409×10¹⁷²，是个 173 位数，一个「万」字是四位，连书四十三个万字正好到 10¹⁷²。四部丛刊影明刊本、四库本，连同十三世纪李冶《敬斋古今黈》的引文，都写作「五十二」；通行的排印本（如维基文库的通行本）正文作「四十三」。五十二个万字是 10²⁰⁸，比真数大了三十几个数量级。是他自己写错，还是传抄早就错了，查不实，这里只摆出算出来的数。另一处可以从文本内部定下来：他给的「法」（循边一行十九路）印作「一十亿六千二百二十六万一千四百六十七」，即 1062261467，而 3¹⁹ = 1162261467——差的正是一个「一」字；他接着给的两行之数（3³⁸）前十位是 1350851717，与 1162261467 自乘的前十位相同，与 1062261467 自乘（1128399424…）对不上。所以脱字的是传本，不是他算错了法。

方 19 路

方 19 路的棋盘一共 3 的 361 次方局，是个 173 位数，四位一个「万」，要连书 43 个「万」字。沈括写出的方二路到方五路四个数一位不差；方六路前十位对、末八位不对；十九路他说「大约连书万字」若干，传本作五十二，照数算是 四十三。

只五次乘，便尽三百六十一路

一子一子地三因要乘三百六十一次，一行一行地乘法要十八次，他的最径捷的一法：自乘一次，再乘五次。

3^{361} = F^{19} = \big((F^2)^3\big)^3 \cdot F, \qquad F = 3^{19}

局数怎么算，他给了三种办法。第一种：「初一路可变三局，自后不以横直，但增一子，即三因之，凡三百六十一增，皆三因之，即是都局数。」第二种：「先计循边一行为法」——十九路一行 3¹⁹ 局，「凡加一行，即以法累乘之，乘终十九行，亦得上数。」第三种最省：「以自法相乘」得两行 3³⁸，「下位副置之，以下乘上，又以下乘下，置为上位；又副置之，以下乘上，以下乘下；加一法，亦得上数。有数法可求，唯此法最径捷。只五次乘，便尽三百六十一路。」照字面把上位、下位当成两个算盘，一步一步读下来（这是本馆的读法，指数都以「法」为单位）：自法相乘得 2；副置，下位也是 2；以下乘上得 4，又乘下得 6，置为上位；再副置，下位 6，以下乘上得 12，又乘下得 18；加一法得 19——法的 19 次方，正是 3³⁶¹。自法相乘之后恰好五次乘，与他那句自注「只五次乘」对得上。三种办法的乘法次数是 361、18、6（连自法相乘那一次）。按今天加法链的已知结果，19 次方至少要 6 次乘法，这一套已经是最短的；今天的程序求幂用的是反复平方，19 = 10011（二进制）也要四次平方加两次乘，一样是 6 次。他没有把「反复平方」当成一般的方法说出来，可他为一个具体的数找到的，正是不能再短的那一条。

第 8 步「加一法——亦得上数」：上位是法的 19 次方（3 的 361 次方，173 位），已乘 6 次。走到底是法的 19 次方——3 的 361 次方，173 位——自法相乘之后恰好五次乘，与他的自注「只五次乘，便尽三百六十一路」对得上。

三人饷一卒，极矣

一夫背米六斗，供一个兵走十八日；三夫也只到三十一日——再加人，多出来的路一次比一次短。

T_n = 17.5 + \frac{30\,(n-1)}{n+2} \;\longrightarrow\; 47.5

卷十一官政门：「凡师行，因粮于敌，最为急务。运粮不但多费，而势难行远。予尝计之：人负米六斗，卒自携五日干粮，人饷一卒，一去可十八日。」账是这样算的：每人日食二升，一夫六斗（六十升）加兵自带的五日（十升），两人日食四升，17.5 日吃完，他记作十八日。二夫饷一卒：三人日食六升，走到第八日吃掉四十八升，再给一夫六日粮遣回，恰好是一夫所负的六十升；剩下两人再走十八日，一去二十六日。三夫饷一卒：四人日食八升，六日半吃掉五十二升，给一夫四日粮遣回；三人日食六升，再走七日吃掉四十二升，给一夫九日粮遣回；剩下两人再走十八日，一去三十一日。这里传本有一处要说明：四部丛刊影明刊本与四库本在「三人饷一卒」的自注里都写「十七日，三人食，日六升」，可 6.5 + 17 + 18 = 41.5，与他自己的「三十一日」对不上；按 6.5 + 7 + 18 = 31，且紧接着「若计复回」那条自注写的正是「中七日，日食六升」——「十七日」的「十」是衍字。十八、二十六、三十一，每多一夫多出的路是八日、五日。若照今天的办法把「遣回的人要吃够回程」也算进去，同样的口粮给出 17.5、25、29.5 日；夫数再往上加，这个上界是 47.5 日：最后放回的那一夫最远只能陪到第三十日——再远，一夫所负连他自己回程的口粮都不够；一去的日数是 17.5 + 30(n−1)/(n+2)，夫一个个加上去，只是往这块天花板上贴。他的结论不从这条曲线来，而从人数来：「三人饷一卒，极矣。若兴师十万，辎重三之一，止得驻战之卒七万人，已用三十万人运粮，此外难复加矣。」遣回的人他给的口粮比来路的天数少（走了八日给六日），原文没有交代他们怎么回去，这里照原账摆出，不替他圆。

3 夫饷一卒：米 190 升，照他的账到第 31 日吃尽，他记「一去可 31 日」。每多一夫多出的路一次比一次短：一夫到二夫多八日，二夫到三夫多五日。若遣回者也要吃够回程，一去是 29.5 日；夫再多，也贴不过 47.5 日。他的「三人饷一卒，极矣」算的却是人：兴师十万，已用三十万人运粮。

十二气历：尤当取怪怒攻骂

以立春为一年之首，大月三十一日、小月三十日，永不置闰——他料定会挨骂，也料定将来会有人用。

《补笔谈》卷二象数：「闰生于不得已，犹暍舍之用磹楔也。自此气、朔交争，岁年错乱，四时失位，算数繁猥。」阴历月以朔望定，十二个月比一个回归年短十一天，三年不到就得插一个闰月，于是「时已谓之春矣，而犹行肃杀之政」。他的办法：「今为术，莫若用十二气为一年，更不用十二月。直以立春之日为孟春之一日，惊蛰为仲春之一日」，大尽小尽相间，「岁岁齐尽，永无闰余。十二月常一大、一小相间，纵有两小相并，一岁不过一次。」六个三十一日加六个三十日是 366，两小相并那一年是 365，平均正好压在回归年的 365.24 日上下。月亮的盈亏并不丢掉，只是降一格，写进历日里备查：「借以元祐元年为法，当孟春小，一日壬寅，三日望，十九日朔；仲春大，一日壬申，三日望，十八日朔。」这个例子本身还把传本的一处脱文定了下来：今存明刊本与四库本这一句都作「大尽三十日」，可壬寅往后数三十天正是壬申——孟春小月是三十天，大月就只能是三十一天；元人盛如梓《庶斋老学丛谈》的引文正作「大尽三十一日，小尽三十日」。两处望朔也对得上：孟春三日望，再过一个朔望月 29.53 日，落在仲春二日半，他记三日望；十九日朔落在仲春十八日半，他记十八日朔。他对这套历的下场心里有数：「予先验天百刻有余、有不足，人已疑其说；又谓十二次斗建当随岁差迁徙，人愈骇之。今此历论，尤当取怪怒攻骂。然异时必有用予之说者。」八百年后，黄遵宪在《日本国志》卷九里记下一场争论：有人说置闰出于不得已、中国无人创论及此，他就把沈括这一条全文抄出来，「以塞专尚西法者之口」。

故事展签故事展签：一部以节气定月、永不置闰的历，他自己料定会挨骂。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

隙积术：有空隙的一堆，比同样大小的实心台体多出一项→杨辉的三角垛、四隅垛与朱世杰的垛积招差——高阶等差级数一次求和→算法分析里数嵌套循环要跑几次，与数值积分里离散之和、连续之积差的那一项

会圆术：由弦与矢求弧→郭守敬《授时历》的弧矢割圆术：把黄道度换成赤道度→授时历用了三百多年（明代的大统历沿用其法）——历法推步里的球面三角

棋局都数：3 的 361 次方，173 位→把「一共有几种可能」数到底——组合计数→密码学里的密钥空间：AES 的 128 位密钥有 2 的 128 次方把，论的正是这种数量级

只五次乘：先自乘，再乘上自己→反复平方求幂——指数有几位，就只要几倍的乘法→RSA 加密与网上支付里的模幂运算：上千位的指数，几千次乘法就算完

运粮：三人饷一卒，极矣→补给线越长，每多一个人多出的路越短——沙漠越野车问题→今天的最优化与运筹：物流与车队调度的算法

十二气历：以节气定月，永无闰余→1887 年黄遵宪拿它回应「专尚西法者」→今天的公历也是纯阳历——历法只管回归年，不管朔望月

语录

「隙积者，谓积之有隙者，如累棋、层坛及酒家积罂之类。虽似覆斗，四面皆杀，缘有刻缺及虚隙之处，用刍童法求之，常失于数少。予思而得之。」
—— 《梦溪笔谈》卷十八技艺 · 据四部丛刊续编影印明刊本 · 肖像位那一页就是这一段

「此二类皆造微之术，古书所不到者，漫志于此。」
—— 同上，隙积、会圆两术之后的收尾一句

「千变万化，不出此数，棋之局尽矣。」
—— 同上，棋局都数一条的末句

「然算术不患多学，见简即用，见繁即变，不胶一法，乃为通术也。」
—— 同上，论增成法一条的末句

「今此历论，尤当取怪怒攻骂。然异时必有用予之说者。」
—— 《补笔谈》卷二象数，十二气历一条的末句