数学群星MATHEMATICAL LUMINARIES

Eratosthenes of Cyrene · 约前276–约前194

埃拉托色尼

他的书一部也没传下来，可筛素数的那只筛子、推板子求中项的那件器具，都挂着他的名字

a:x=x:y=y:b⟹x=a2b3,    y=ab23a : x = x : y = y : b \quad\Longrightarrow\quad x = \sqrt[3]{a^{2}b},\;\; y = \sqrt[3]{a b^{2}}
两个比例中项 · 取 a = 2b，x³ = 2b³——倍立方就是这一道题；他用三块能滑动的板把 x 与 y 推了出来

埃拉托色尼是北非昔兰尼人（今利比亚东部）。十世纪的《苏达辞书》说他生于第 126 届奥林匹亚会期（前 276–前 273），在雅典跟斯多亚派的阿里斯通、语法学家吕萨尼阿斯与诗人卡利马科斯读书，后来托勒密三世把他从雅典召到亚历山大里亚，他在那里一直活到托勒密五世的时候，做了亚历山大里亚图书馆的馆长。他什么都写：诗、文法、哲学、年代学、地理、天文、数学；传下来的外号一个叫「第二个柏拉图」，一个叫「五项全能」——不是哪一项的第一，却样样都拿得到名次。《苏达》说他活到八十岁，眼睛不行了，就不再进食而死。阿基米德把《方法论》寄给他，序言里称他是认真的学者、在哲学上声望卓著；那道「群牛问题」据题头也是经他转给亚历山大里亚的数学家们的。

他的书一部也没有传下来，数学上的东西全在别人的书里：筛素数的那个名字，靠约公元 100 年尼科马库斯《算术入门》的一句话；求两个比例中项的器具与那首碑铭诗，靠六世纪欧托基奥斯注阿基米德时整段抄录；量地球的办法，靠克莱奥迈季斯的转述；《地理学》三卷，大半是从斯特拉波逐条批评他的话里拼回来的；帕普斯把他的《论平均》两卷列进了「分析宝库」，可一个字也没留下。所以本馆的六件，每一件都要先交代这一句是谁转述的：信是伪托的、诗是真的；筛子的名字是他起的、步骤是尼科马库斯写的；11/83 那个比，托勒密说与他的「大致相同」，是不是他本人的数，至今说不死。五件是这些转述里算得出东西的部分，第六件是他那个外号——原来也是后人校订出来的。

埃拉托色尼肖像
海贝格校《阿基米德全集》第三卷第 96 页，莱比锡 1915（欧托基奥斯注《论球与圆柱》）· Internet Archive，公有领域。他没有画像传世，今天书上那几幅都是后人的想象画；他自己的书也一部未存，所以这里放的是他的东西留下来的地方。这一页上半是那封署名「埃拉托色尼致托勒密王」的信的末尾——两条已知线段不相等时怎么办、要更多中项就多放一块板；下半那十八行诗是他立在还愿柱上的碑铭诗，从「倘若你想由一个小立方体造出一个两倍的立方体」起，到末句「这是昔兰尼人埃拉托色尼的献礼」止。1894 年维拉莫维茨论定信是后人伪托、诗是真的，这一版的校注照录了他的判断——所以这一页上，只有下半截是他本人的话

生平

  1. 约前276
    生于昔兰尼

    《苏达辞书》作第 126 届奥林匹亚会期（前 276–前 273）。希思另推约前 284。

  2. 早年
    在雅典求学

    《苏达》记他的老师是斯多亚派的阿里斯通、语法学家吕萨尼阿斯与诗人卡利马科斯。

  3. 约前245
    托勒密三世召他到亚历山大里亚

    据希思，事在托勒密三世即位之初；后世记载说他做了王子（后来的托勒密四世）的老师，并主持图书馆。

  4. 前三世纪后半
    阿基米德寄来《方法论》

    序言写给他：先用杠杆「称」出结论，再补严格证明。这本书靠 1906 年发现的那部重写本才传下来。

  5. 前222 以前
    立还愿柱，刻比例规与碑铭诗

    诗末祝托勒密三世的儿子「从你手里接过权杖」，可知成于托勒密三世在世时。

  6. 约前194
    卒于亚历山大里亚

    《苏达》：年八十，目力衰退，绝食而死。

  7. 约100
    尼科马库斯记下「筛」

    《算术入门》第一卷第十三章：这个生成法「埃拉托色尼称之为筛」。

  8. 约150
    托勒密提到 11/83

    《天文学大成》第一卷第十二章：他量出的两回归线之距，与埃拉托色尼的比「大致相同」。

  9. 6 世纪
    欧托基奥斯抄下信与诗

    注阿基米德《论球与圆柱》第二卷第一题，汇集前人求两中项的各种解法，其中一种题为「埃拉托色尼致托勒密王」。

  10. 1894
    维拉莫维茨：信伪、诗真

    海贝格 1915 年校本的注里照录了这个判断。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

倍立方：三块板夹出两个比例中项

在两条已知线段之间插进两个数，使四个数成连比——插出的第一个，就是把立方体加倍的那条棱；他用三块能滑动的板把它推了出来。

AEBZ=BZΓH=ΓHΔΘ  ⟹  BZ=AE2⋅ΔΘ3\frac{AE}{BZ} = \frac{BZ}{\Gamma H} = \frac{\Gamma H}{\Delta\Theta} \;\Longrightarrow\; BZ = \sqrt[3]{AE^{2}\cdot \Delta\Theta}

希俄斯的希波克拉底早就把倍立方换成了另一道题：在 a 与 2a 之间找两个比例中项 x、y，使 a : x = x : y = y : 2a，那么 x 的立方就是 a 的立方的两倍。柏拉图学园的人各有解法——阿尔希塔斯用半圆柱，梅奈克穆斯截圆锥，欧多克索斯用一种曲线——可都只能证明，不能拿来用。埃拉托色尼的办法是一件器具：一个框里放三块一样大的长方板，各画一条对角线；中间一块固定，前一块推到它上面、后一块推到它底下，推到第一块板的上角、两处「对角线与竖边的交点」、末一块板右边上预先标好的那一点四点共线为止。这时四条竖线段成连比，中间两条就是所求。证明只用相似三角形：各块板的对角线互相平行，从那条直线与底边的交点看出去，每一对相邻的竖线都按同一个比缩小。这件事今天靠六世纪的欧托基奥斯保存：他注阿基米德《论球与圆柱》第二卷第一题，把前人求两中项的解法汇在一起，其中一种是一封「埃拉托色尼致托勒密王」的信，信里讲了器具的做法与证明，又抄下还愿柱上那段简短的证明与一首碑铭诗。1894 年维拉莫维茨论定：信是后人伪托，诗是真的；希思认为信里抄的柱上证明也出自他本人。所以这里分两层：器具怎么做，是那封信转述的；「在这几块板上，你从一个小底座起，能轻易找出一万个中项」，是他自己的诗。信里也写了同一件事：要几个中项，就比中项数多放一块板。三块板、两端取 2 与 1，推到四点共线时，两个中项是 1.587401 与 1.259921——后者正是 2 的立方根；换成六块板，五个中项是 1.781797、1.587401、1.414214、1.259921、1.122462。

拖动滑块把板子一块块推过去，看四个点什么时候落在一条线上；可以加到六块板，一次夹出五个中项

推到共线：3 块板在 2 与 1 之间夹出 2 个中项，依次是 1.587401、1.259921，相邻之比都是 0.793701。第二个中项 1.259921 就是 2 的立方根——以 1 为棱的立方体，棱长换成它，体积正好加倍。

筛子：让合数一个个漏下去

把 3 以后的奇数排成一行，每个数隔着固定的步子往后点名——从来没被点到的，就是素数。

尼科马库斯《算术入门》（约公元 100 年）第一卷第十三章：「这些数的生成法，埃拉托色尼称之为『筛』，因为我们把混在一起、不加分别的奇数拿来，用这个生成法像用一件工具或一只筛子那样，把素数与合数各自分开。」接下来的步骤是尼科马库斯自己写的：从 3 起把奇数排成一行，第一个数 3 隔两位点一个——点到的第一个是 9，它量 9 是三次；再隔两位是 15，量五次；再往后 21、27……第二个数 5 隔四位点一个，从 15 起，量三次、五次、七次；第三个数 7 隔六位点一个。步子按偶数 2、4、6 往上涨，量的次数按奇数 3、5、7 往上涨。照字面，9、15 这些合数也要轮到一次点名（1926 年的英译者迪奥格在注里指出：其实只用素数就够了）。点完之后他分三类：一次都没被点到的是素数；只被一个数点到、而且量的次数就是那个数自己的，是素数的平方——9、25、49、121、169；其余都被点到两次以上。本馆把 3 到 201 这一百个奇数照字面点一遍：一共点 144 下，留下 45 个素数（连 2 在内，201 以内共 46 个）；照今天课本的做法——只用素数、从它的平方点起、到 √201 为止——只要 68 下，筛出来的一个不差。105 = 3·5·7 被点了六次，是这一行里挨点最多的。要说清的一层是：「筛」这个名字是埃拉托色尼的；他书里的做法是什么样子，今天已经看不到了，我们读到的是三百多年后尼科马库斯的版本。

轮到 3：它隔 2 位点一个，从 9（量三次）点起。到这一步一共点了 33 下，还没挨点的有 67 个。

碗底的五十分之一

夏至正午，赛伊尼的日晷没有影子，亚历山大里亚的碗形日晷上，影子占了碗壁大圆的 1/50；两城相距五千斯塔德，地球一圈就是二十五万。

5000 斯塔德C=150  ⟹  C=250000 斯塔德\frac{5000\ \text{斯塔德}}{C} = \frac{1}{50} \;\Longrightarrow\; C = 250000\ \text{斯塔德}

克莱奥迈季斯《论天体的圆周运动》第一卷第十节先讲了波西多尼乌斯拿老人星量地球的办法（本馆波西多尼乌斯那一页），接着说埃拉托色尼的办法是几何的。他假定赛伊尼与亚历山大里亚在同一条子午线上，赛伊尼正在夏至线上：夏至正午，那里的日晷没有影子，据说在直径三百斯塔德的一圈之内都是如此；同一时刻，亚历山大里亚的日晷有影子。这里用的日晷叫 skaphe，是一只半球形的碗，针立在碗底——影子落在碗壁上，从影尖到针脚那一段弧就是碗壁大圆的一段，量出来是五十分之一。太阳光线彼此平行，两根针延长下去都过地心，内错角相等，所以两城之间那段子午线也是地球大圆的五十分之一；两城相距五千斯塔德，一圈就是 250000。克莱奥迈季斯接着补了一招核对：冬至正午两城都有影子，亚历山大里亚的长，两影之差量出来同样是碗壁大圆的五十分之一。这一句写在「埃拉托色尼的算法就是这样」之后，是不是他本人也做过，原文没说。今天可以逐条对账：两城的纬度差是 7.11°，他的 7.2° 大了 1.25%；赛伊尼（今阿斯旺，北纬 24.09°）并不正在夏至线上——前 240 年的黄赤交角是 23.72°，夏至正午太阳离天顶还差 0.36°；两城也不在一条经线上，赛伊尼偏东约 3°。最没底的是五千斯塔德合多少米：斯塔德有好几种，照希思据普林尼一条换算推出的 157.5 米，二十五万斯塔德是 39375 公里，比子午线一圈 40008 公里少 1.6%；照雅典的 185 米就多出 15.6%。「几乎就是真值」这句话，有一大半押在选哪一种斯塔德上。后来通行的是 252000（斯特拉波、士麦那的塞翁都这么写），多出的两千恰好让一度合 700 斯塔德——为什么改，没有记载。

夏至正午光线直下赛伊尼；亚历山大里亚的针影落在碗壁上，影尖到针脚正好是碗壁大圆的 1/50，也就是 7.2°。 斯塔德取 157.5 米时，他的 250000 斯塔德是 39375 公里，比子午线一圈 40008 公里少 1.58%。

有人住的世界，长比宽的两倍还多

他把已知世界的宽加出来是 38000 斯塔德，长是 77800；雅典那条纬线一圈不到二十万——剩下的六成，要不是大西洋太宽，就能从伊比利亚一路往西航到印度。

斯特拉波《地理学》第一卷第四章逐条抄下他的账，为的是一条条驳。宽，沿着过麦罗埃的那条子午线往北量：麦罗埃到亚历山大里亚一万斯塔德，到赫勒斯滂约八千一百，到第聂伯河口五千，到图勒岛那条纬线约一万一千五百，麦罗埃往南再加三千四百到产肉桂之地，一共三万八千。长，沿着过雅典的那条纬线往西量：印度最窄处到印度河一万六千，加上伸出去的岬角三千，到里海门一万四千，到幼发拉底河一万，到尼罗河五千，到卡诺布斯河口一千三百，到迦太基一万三千五，到赫拉克勒斯之柱至少八千，合七万零八百；再加上柱外欧洲凸出去的三千，两头各两千，一共七万七千八百。斯特拉波指责最后那两头各两千是凑的，为的是让宽不超过长的一半——照数算，他说得对：不加那四千，长是 73800，不到宽的两倍 76000；加上之后 77800，比值 2.047。接着是那段最有名的话：有人住的世界「自成一圈、首尾相接，要不是大西洋的浩瀚阻隔，我们就能沿着同一条纬线，从伊比利亚航行到印度，走完这一圈剩下的部分」——剩下的部分大于一圈的三分之一，「如果过雅典的那一圈确实不到二十万斯塔德」。拿他自己的 252000 验这句前提：纬线一圈是 252000 乘以纬度的余弦，要小于二十万，纬度得在 37.47° 以北；雅典实际在北纬 37.97°，那一圈是 198660，前提成立。于是已知世界占这一圈的 39%，剩下的六成是海。十七个世纪以后有人照这个思路往西航，只是用的地球比他的小。

长 77800、宽 38000，长是宽的 2.047 倍——去掉斯特拉波说凑上去的两头各 2000，就只剩 1.942 倍。 北纬 37.97° 的纬线一圈是 198660 斯塔德，已知世界占 39.2%，剩下 120860 斯塔德是海。

两回归线相距一圈的 11/83

托勒密量出两回归线之间在 47°40′ 与 47°45′ 之间，说这与埃拉托色尼的比大致相同，约为子午圈的 11/83——而 11/83 恰是落在这个区间里分母最小的分数。

1183×360∘=47∘42′39′′\frac{11}{83}\times 360^\circ = 47^\circ 42' 39''

《天文学大成》第一卷第十二章，托勒密说他多年观测两回归线之间的弧——夏至与冬至正午太阳高度之差——总在 47°40′ 与 47°45′ 之间，「由此得出的比，与埃拉托色尼的大致相同，喜帕恰斯也用过它：两回归线之间约为子午圈的八十三分之十一」（据希思的英译）。11/83 的一圈是 47°42′39″，一半即黄赤交角 23°51′20″。这是一件归属说不死的事，所以要分层写：托勒密把这个比与埃拉托色尼的名字连在一起；可希思指出，照托勒密的措辞，不能排除 11/83 是他自己的数——而喜帕恰斯在传世的《阿拉托斯注》里用的是回归线「很接近 24°」，那是欧几里得以前就通行的值，一圈的 2/15。本馆能做的是把区间里的分数全数一遍：分母从 1 数到 199，落进 [47°40′, 47°45′] 的只有 11/83、20/151、22/166、24/181，分母最小的正是 11/83。从夹住区间的 1/8 与 2/15（48°）出发，每次取两端的中间分数（分子加分子、分母加分母）：3/23、5/38、7/53、9/68 都还在区间下方，第五次得到的 11/83 第一次掉进区间。至于准不准：前 240 年真实的两回归线之距是 47.45°（黄赤交角 23°43′），托勒密的时代是 47.36°——11/83 与托勒密的区间都偏大了约十五到二十角分。

分母不超过 83 的既约分数里，落进托勒密区间的有 1 个：11/83。分母最小的那个是 11/83，一圈的 11/83 是 47°42′39″。

「贝塔」：一个校订出来的外号

他样样第二，所以人称「贝塔」——这是教科书上的说法；可《苏达辞书》的抄本里写的不是这个词，是十七世纪的一位学者替它改的。

关于他的生平，最完整的一条是十世纪拜占庭的《苏达辞书》：昔兰尼人，阿格劳斯之子（也有人说是安布罗修斯之子）；从雅典被托勒密三世召去，一直活到托勒密五世；「因为他在每一门学问上都仅次于那些登峰造极的人」，人称——抄本在这里写的是 βήματα，意思是「台阶」或「讲台」，读不通。荷兰学者默尔修斯（1579–1639）主张改作 βήτα，也就是希腊字母表的第二个字母：第二名，亚军。这个校订后来被普遍接受，因为另有一部古代地理书的节本里用了同样的说法称他。所以「贝塔」这个流传了两千年的外号，今天读到的是一处校订。《苏达》接着说：也有人叫他「第二个柏拉图」「新柏拉图」，还有人叫他「五项全能」——赛跑、摔跤样样都拿得到名次，却哪一项都不是冠军。同一条目的末尾说他年八十而卒，「因为目力衰退而绝食」；他的学生里有拜占庭的阿里斯托芬，而阿里斯托芬的学生又是阿里斯塔库斯——两人都是亚历山大里亚最有名的荷马校勘家。样样第二的人，身后留下的是一条校勘家的师承。说他样样第二的，是当时人的眼光；在数学上，他跟阿基米德通信，阿基米德把最看重的那本《方法论》寄给了他，序言里说他是认真的学者、在哲学上声望卓著。

故事展签故事展签：一个样样都拿第二名的人，和他那个校订出来的外号。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

筛：只靠隔步点名，就把素数一批批筛出来→分段筛与轮式筛：今天数到十的十几次方用的仍是这一套算法→计算机上的素数表——质数计数与测试程序的第一步
筛掉小因子，再做别的→生成密钥时先拿一批小素数把候选数筛一遍，再做概率素性检验→RSA 加密的每一把新密钥；攻方最快的办法也叫筛法——数域筛法
比例规：推板子夹出两个比例中项→按体积缩放：体积加倍，每条棱乘 2 的立方根→游戏引擎与计算机图形里的等比缩放——体积与边长的换算
日影量地球：一段弧对一个角→一度纬度合地上多少里——一行、马蒙的测量者、斯涅尔的三角测量→GPS 与导航所依据的地球椭球：它的大小就是这样一段段量出来的
已知世界：沿子午线量宽、沿纬线量长→托勒密把「用两个数标一个地方」做到八千个地点→今天每一张地图上的经纬度
两回归线之距：黄赤交角→太阳在南北回归线之间来回——节气与回归年都由它定→历法与天文：今天的星表与历元仍要写明当时的黄赤交角

他在哪几条专题里

专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写， 全是 tracks.ts 推出来的。

语录

「别去碰阿尔希塔斯那些圆柱的难活，也别把梅奈克穆斯的圆锥截成三截，也别去描画敬神的欧多克索斯那种弯曲的线。在这几块板上，你从一个小底座起，能轻易找出一万个中项。」

—— 还愿柱上的碑铭诗 · 据欧托基奥斯的转录（海贝格校《阿基米德全集》第三卷第 96 页）· 中文据希思 1921 年的英译转译

「要不是大西洋的浩瀚阻隔，我们就能沿着同一条纬线，从伊比利亚航行到印度。」

—— 斯特拉波《地理学》第一卷第四章第六节引他的话 · 据 1917 年洛布本琼斯的英译转译

「神并不是要一座两倍大的祭坛，而是要借这道题，羞一羞那些轻视数学、看不起几何的希腊人。」

—— 他在《柏拉图派》里记下的柏拉图对提洛人的回答 · 据士麦那的塞翁的引文（希思 1921 年英译）