数学群星MATHEMATICAL LUMINARIES

Henri Lebesgue · 1875–1941

勒贝格

黎曼把定义域切成一条条，他把值域切成一层层——换了一刀，积分就能和极限交换次序，导数也积得回原函数

∫f=lim⁡∑imi−1 μ({ x:mi−1<f(x)≤mi })\int f = \lim \sum_i m_{i-1}\, \mu\bigl(\{\, x : m_{i-1} < f(x) \le m_i \,\}\bigr)
1901 年 4 月 29 日《科学院周报》第 132 卷第 1026 页。先把函数的值域切成 m₀ < m₁ < … 一层层，再问「函数落在这一层里的那些 x 一共有多长」。前一种切法导向黎曼与达布，他说「我们来看第二种」

亨利·莱昂·勒贝格 1875 年 6 月 28 日生于巴黎北面的博韦，父亲是印刷工人。他在博韦的中学读书，后来到巴黎的圣路易中学与路易大帝中学备考，1894 年进巴黎高等师范学校，1897 年毕业。1899 年到 1902 年他在南锡的中央中学教书，他的博士论文就是在南锡写成的：先有 1901 年 4 月 29 日由皮卡代为宣读的一篇三页短札《论定积分的一种推广》，第二年扩成论文《积分、长度、面积》，登在米兰的《数学年刊》上。此后他在雷恩（1902）、普瓦捷（1906）任教，1910 年回巴黎到索邦，1921 年进法兰西公学院，1922 年 5 月 29 日当选科学院院士。1941 年 7 月 26 日卒于巴黎，正值德军占领。

他自己回忆，起步时并不受欢迎。1899 年他交给皮卡一篇讲可展曲面的短札，埃尔米特一度想拦下不让它登上《科学院周报》，是皮卡替它说了话——那几年埃尔米特写信给斯蒂尔杰斯说，他「怀着惊恐与厌恶，转身不看那些没有导数的函数的可悲的祸害」，而那篇短札里的函数恰好不一定有导数。此后好几年，他一开口加入数学谈话，就有人对他说：「这不会让你感兴趣，我们讲的是有导数的函数。」他的积分正是为这类函数造的：有了它，极限与积分可以交换次序，有界的导数一律积得回原函数，傅里叶级数与后来的概率论都有了地基。他也一直关心中学几何的教法，晚年写过讲「量的度量」与几何作图的书；而他 1905 年那篇长文里一处「显然」的推理后来被一个莫斯科的大学生指出是错的，那处错里长出了一门新学问。

勒贝格肖像
《积分与原函数研究讲义》扉页，巴黎，戈蒂埃-维拉尔，1904 · 佛罗伦萨大学物理研究所图书馆藏本（右下是该馆的收藏章与捐赠章），BEIC 数字图书馆扫描 · Wikimedia Commons，公有领域。他的照片在 Commons 上最大的一张只有 429 像素宽，所以这里放他自己的书：他在法兰西公学院讲的佩科讲座，印成了这本小书。扉页上写着他当时的身份「雷恩理学院讲师」，顶上一行是丛书名——《函数论专著丛书》，「由埃米尔·波莱尔先生主编」。测度论的奠基人是波莱尔，这是他自己说的；这本讲义就印在波莱尔主编的丛书里

生平

  1. 1875
    生于博韦

    6 月 28 日。父亲是印刷工人。

  2. 1894
    进巴黎高等师范学校

    1897 年毕业。此前在博韦与巴黎的圣路易、路易大帝两所中学读书。

  3. 1899
    南锡的中学教师；可展曲面那篇短札

    他交给皮卡的一篇短札，埃尔米特一度想不让它登；皮卡替它说了话。他在南锡一直教到 1902 年，论文就是在那里写的。

  4. 1901
    《论定积分的一种推广》

    4 月 29 日，《科学院周报》第 132 卷第 1025–1028 页，皮卡代为宣读。先切值域、再量「落在这一层里的点有多长」；例子里就有「有理点取 1、无理点取 0」那一个。

  5. 1902
    博士论文《积分、长度、面积》

    米兰《数学年刊》第 3 辑第 7 卷。导言说第一章「与波莱尔先生一起」用性质来定义测度。同年到雷恩理学院任讲师。

  6. 1903
    在法兰西公学院讲佩科讲座

    讲稿第二年印成《积分与原函数研究讲义》，收在波莱尔主编的丛书里；1905 年他又讲了一轮三角级数。

  7. 1904
    《积分与原函数研究讲义》

    第 114 页：一列整体有界、收敛的可测函数，积分跟着收敛。脚注说奥斯古德 1897 年证过函数都连续的特殊情形。

  8. 1905
    《论可解析表示的函数》

    《纯粹与应用数学杂志》第 6 辑第 1 卷第 139–216 页。第 191–192 页断言波莱尔集的投影仍是波莱尔集——这一句是错的。

  9. 1906
    到普瓦捷

    1907 年任力学教授。

  10. 1908
    控制收敛

    《法国数学会通报》第 36 卷第 12 页，一篇讲弗雷德霍姆方程的文章里顺手写下：只要有一个可积函数压住整列，就可以逐项积分。

  11. 1910
    回巴黎，到索邦

    10 月 14 日写信给布卢门塔尔，讲维数不变的一个证法；第二年登在《数学年刊》第 70 卷，紧接在布劳威尔那篇后面。

  12. 1917
    苏斯林指出 1905 年那处错

    1 月 8 日《科学院周报》第 164 卷第 88–91 页，阿达马代为宣读：波莱尔集的投影不一定是波莱尔集。解析集由此开头。

  13. 1921
    法兰西公学院教授

    一直任到去世。

  14. 1922
    当选科学院院士

    5 月 29 日。参选时写的《科学工作简介》里说：测度论「无可争议的奠基人」是波莱尔。

  15. 1941
    卒于巴黎

    7 月 26 日。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

竖着切与横着切

黎曼把 x 轴切成一条条，问每条上函数有多高；他把 y 轴切成一层层，问函数落在每一层的那些 x 一共有多长。

∑imi−1 μ(Ei)  ≤  ∫f  ≤  ∑imi μ(Ei)\sum_i m_{i-1}\, \mu(E_i) \;\le\; \int f \;\le\; \sum_i m_i\, \mu(E_i)

1901 年那篇三页短札的第二段先看一个连续递增的函数：把 x 的区间切开、每段乘上一个函数值再加起来，就是积分；可 x 在 a_i 与 a_(i+1) 之间时 y 在 m_i 与 m_(i+1) 之间，反过来也一样，「所以与其给出 x 的变化范围的分划，也可以给出 y 的变化范围的分划」。前一种导向黎曼与达布，他说「我们来看第二种」。对递增函数两种切法是一回事，对别的函数就不是了：函数落在某一层里的那些 x 不再是一段区间，可能是好几段，也可能是一堆散点。于是他在同一篇里接着定义这一堆点「有多长」，那就是测度。换了一刀的好处当场算得出来：演示里那个函数的积分是 0.45，值域切成 8 层时，横切的下和 0.3968、上和 0.5218，差恰好是 1/8——每一层的高度误差不超过层厚，而各层的底加起来是 1，所以差永远是 1/层数，与函数长什么样无关；同样切 8 条，竖切的下和 0.3273、上和 0.5727，差要看函数在每一条里起伏多大。他在第 1027 页举的例子最能说明问题：一个连续函数只在一个处处稠密、测度为零的集合上改一改值，就「可和而不黎曼可积」，并点名那个有理点取 1、无理点取 0 的函数。演示的第二档照这个办法在有理点上把值抬高 0.4：竖切的上和每一条都多出 0.4，永远合不拢；横切一个数都不变。

拖动切的份数，比较两种求和；切到第二档，看在有理点上改值之后哪一种还合得拢

同一个函数、同样切 8 份：竖着切，下和 0.3273、上和 0.5727；横着切，下和 0.3968、上和 0.5218。横切那一边的差恒为 1/8——因为每一层的高度误差都不超过层厚，而各层的底加起来正好是 1。代价挪到了另一处：底 E_i 不再是一段区间，而是 f 落在这一层里的那一堆点，得先说清楚「一堆点有多长」。这就是他在同一篇里接着定义的测度。

可数个区间，盖住全部有理数

有理数处处稠密，可它们排得成一队；给第一个套长 ε/2 的区间、第二个 ε/4、第三个 ε/8……全部盖住，总长不超过 ε。

1902 年论文第一章第 3、4 号（第 7–8 页）：把集合 E 的点装进有限个或可数个区间，区间长度之和的下确界叫它的外测度；取一段 AB 盖住 E，拿 AB 的长度减去 E 的补集的外测度，叫它的内测度；两者相等，E 就是可测的，那个共同的值就是它的测度。与若尔当那一页的内外面积比，差别只在「可数个」三个字——若尔当只许有限个方格，内面积是从里往外数格子。这三个字的分量，有理数一试便知。把 [0,1] 里的有理数按分母排成 0、1、1/2、1/3、2/3、1/4……给第一个套长 ε/2 的区间、第二个 ε/4、第三个 ε/8……各段加起来不到 ε，而每一个有理数都在某一段里：演示里 ε = 0.5、盖到第 50 个，并集只占 [0,1] 的 0.3125，另外 0.6875 一点没碰到。所以有理数的外测度是 0；无理数的外测度是 1，于是内测度 1 − 1 也是 0，两者相等，可测，测度为零。换成若尔当的有限个方格，有限个闭区间要盖住全部有理点就盖住了它们的闭包，外面积只能是 1，内面积是 0，从此说不清。要紧的是首创权：他在论文导言里写明第一章是「与波莱尔先生一起」用几条性质来定义测度、把波莱尔给得「有点快」的几处补全，「长度对可数个区间也可加」这一条注明见波莱尔的《函数论讲义》；1922 年他自己写得更干脆：波莱尔是这门理论「无可争议的奠基人」。他添的是外测度、内测度这一对和由此而来的更大一类可测集，以及拿它们造出来的积分。

有理数在 [0,1] 里处处稠密，可一个一个排得成队。给第 k 个套一段长 ε/2k 的区间，各段加起来不超过 ε；ε = 0.5、盖到第 50 个时，并集只占 0.312500，[0,1] 里还有 0.687500 没被碰到，而每一个有理点都已经在某一段里。若尔当那套办法只许有限个方格，这里就只能说「外面积 1、内面积 0，不可求积」；勒贝格许可数个，于是这一堆点有了确定的长度：零。

导数有界，黎曼却积不回来

一个处处可导、导数不超过 1 多一点的函数，它的导数偏偏不黎曼可积；他的积分把原函数积了回来。

微积分基本定理说积分与求导互逆，可那是对连续的导数说的。1881 年沃尔泰拉造出一个函数：处处可导、导数有界，导数却不黎曼可积——「知道导数、求原函数」这件事，黎曼积分在它身上交了白卷。勒贝格 1901 年那篇短札的第一句就是冲着它写的：「并非所有的导函数都在黎曼意义下可积，所以求原函数的问题并没有由积分解决。」他的答复在第 1027 页：有界的导函数一律可和，积分作为上限的函数，就是它的一个原函数。1904 年的讲义第 93–94 页把沃尔泰拉的造法照录了一遍，并注明「第一个例子归功于沃尔泰拉先生」。演示照这个造法做：取一个测度为 1/2、处处不稠密的胖康托集 E（与若尔当那一页同一个），在每一段挖掉的缝里贴一截 (x−a)² sin 1/(x−a)，中间用平台接起来。F′ 在 E 的每一点都是 0，可 E 的任何一点旁边都有缝的端点，而 2u sin(1/u) − cos(1/u) 在 u 任意小处都取到 +1 与 −1。所以任何一格只要碰到 E，上确界至少 1、下确界至多 −1；等分 1024 格时碰到 E 的格子总长 0.5605，上和减下和至少 1.121，格子再细也只往 1 上靠，不往 0 走。横切那一刀根本不必躲这些点：F′ 有界，就可和，从 0 积到 1/2 得 −0.0084106，正是平台上 F 的值。

F 处处可导、导数不超过 1 多一点，可 F′ 不是黎曼可积的：等分 32 格时，碰到 E 的格子总长 0.812500，每一格里 F′ 都摸得到 +1 与 −1，所以上和减下和至少 1.625000；格子再细，这个数也只往 1 上靠，不会往 0 走。于是「知道导数、求原函数」这件事，黎曼积分在这里交了白卷。勒贝格 1901 年那篇的第一句话就是冲着它来的：有界的导函数一律可和，积出来的就是原函数，这里 ∫01/2 F′ = F(1/2) = −0.0084106。

极限什么时候能搬进积分号

一列函数逐点趋于 0，积分却可以恒为 1；只要能找到一个可积函数把整列压住，这种事就不会发生。

∣fi∣≤F, ∫F<∞ ⟹ lim⁡∫fi=∫lim⁡fi|f_i| \le F,\ \int F < \infty \ \Longrightarrow\ \lim \int f_i = \int \lim f_i

取一根高 n、宽 1/n 的柱子：n 越大它越窄，(0,1] 上每一点迟早都落在柱子外面，逐点的极限是 0，可每一根的积分都是 1。极限的积分与积分的极限不相等，这种事在黎曼积分里只能一个例子一个例子地防。1904 年讲义第 114 页他给了一条干净的判据：一列可测函数整体有界、逐点收敛，积分就跟着收敛；脚注交代奥斯古德 1897 年证过函数与极限都连续的特殊情形，「方法与本书完全不同」。1908 年，在《法国数学会通报》一篇讲弗雷德霍姆方程的文章第 12 页，他顺手把条件放宽成今天的样子：只要有一个可积函数 F 使得不论 i 取什么都有 |f_i| ≤ |F|，就可以逐项积分——前面那条「只是它的一个特殊情形」。这就是控制收敛定理，它不是一篇论文的主题，是一篇别的论文里的引理。演示把三列函数摆在一起。高 n 的柱子：前 n 根的上包络在 (1/(k+1), 1/k] 上等于 k，积分是调和数，n = 1000 时 7.485，一路涨到无穷，找不到压得住的 F；高 √n 的柱子逐点看起来一模一样，可整个上包络的积分只有 1.8600，它本身就是那个 F，于是积分 1/√n 乖乖趋于 0；x 的 n 次方被常数 1 压住，是 1904 年那一档。分界不在收不收敛，只在长得多快。

三列函数都在 (0,1] 上逐点趋于 0，可积分各走各的：a 的积分恒为 1，b 是 1/√n，c 是 1/(n+1)。分界不在「收不收敛」，而在能不能找到一个可积的 F 把整列压住：a 的前 n 个上包络积分是调和数 Hn（n = 1000 时 7.485471），一路涨到无穷；b 的整个上包络积分只有 1.860025。1904 年他要求整列有界（c 那一档），1908 年在一篇讲积分方程的文章里顺手放宽成「被一个可积函数压住」——今天叫控制收敛定理。

一点至少落在 n+1 块里

平面用足够小的闭块去盖，总有一点同时属于三块；把奇数行的方块错开半块，就恰好只有三重点。

1910 年 10 月 14 日他写信给布卢门塔尔，讲布劳威尔刚证明的那条定理——n 维与 n+p 维的区域不能一一连续地互相映成——的一个证法；信第二年登在《数学年刊》第 70 卷，紧排在布劳威尔那篇后面。证法的核心是一条关于覆盖的命题，他说它由若尔当《分析教程》里的一个命题推广而来：n 维区域的每一点都属于有限个闭集中的至少一个，只要这些集合足够小，就一定有点同时属于其中至少 n+1 个。反过来，n+1 也够了。第 167 页他给了平面上的造法：用 x、y 取整数的直线把平面分成方格，方格的顶点各属四块；「把奇数号的带平移 1/2」，就成了一种在拓扑上等价于正六边形铺砌的铺法，只剩三重的顶点——正是砌砖墙的办法。块要「足够小」这个条件缺不得：把平面切成竖条，每点至多属于两条，可竖条长得没有边。空间里他写的是一层层码立方体、每层投影成那种砌砖铺法，再把奇数层「平移到 (1/2, 1/2, 0)」，说这样只有四重顶点。本馆照字面枚举复算，两层交界面上下层的三重点恰好压在上层一条棱上，3 + 2 = 5；把平移换成 (1/4, 1/2) 这一类，每个三重点都落进对面一块的内部，才是 4——思路对，那个平移量写得不对。一般认为这封信里的证明并不完整，第一个完整的证明是布劳威尔 1913 年给的；而「用覆盖的重数来定义维数」这条思路，二十年代由门格尔与乌雷松发展成了维数论。

当前这种铺法，一点最多同时属于 3 块。平面用方格要 4 重，把奇数行错开半块就降到 3，而这已是底线：块只要足够小，总有一点属于 3 块。空间里他在信上写的办法是「奇数层平移到 (1/2, 1/2)」，说这样只有四重点；照字面做，交界面上下层的三重点正好压在上层的棱上，数出来是 5。把平移改成 (1/4, 1/2)，每个三重点都落进对面一块的内部，才是 4——思路不错，是那个平移量写得不对。

一处「显然」，长出了一门学问

1905 年他顺手证了一句「波莱尔集的投影仍是波莱尔集」；十二年后，莫斯科一个二十出头的学生指出这句话不对。

1905 年那篇《论可解析表示的函数》有七十八页，第 191–192 页是一段很短的推理：一个集合若是波莱尔集，它在坐标轴上的投影也是——对区间显然；而一切波莱尔集都由区间反复做两种运算得来，一种是取可数个的并，一种是取一列逐个套住的集合的交，「这两种运算都与投影可交换」，命题得证。他拿它推出一条漂亮的定理：用解析式隐式定义的函数，一定也能用解析式显式写出来。错在第二种运算上：一列逐个套住的集合，交集的投影不一定等于投影的交集——平面上一列越来越扁、却都贴着 x 轴伸满整段的开带子，每一条投影都是整段，交集却是空的。1917 年 1 月 8 日，《科学院周报》第 164 卷上登了苏斯林的三页短札，由阿达马代为宣读：他定义了一类后来叫「解析集」的集合，证明每个波莱尔集都是这类集合、而这类集合里有不是波莱尔集的，于是「平面上存在一个波莱尔集，它的投影不是波莱尔集」，末尾一句是「与勒贝格先生在他那条隐函数定理的证明中所设想的相反，这个证明因此需要修改」。紧接着的一篇是他的老师卢津，说勒贝格那些关于隐函数的结论依然成立，只是证明要重写，而且要用到第二类的全部超限数。苏斯林那年二十二岁，两年后死于斑疹伤寒；据说他生前发表的只有这一篇。一个小注：他在脚注里把勒贝格那篇的卷次写成「第 5 辑第 10 卷」，年份与页码都对，实为第 6 辑第 1 卷。解析集后来成了描述集合论的起点，卢津 1930 年出了一本专书，序是勒贝格写的。

故事展签

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1901：把值域切成一层层，量「函数落在这一层的那些点有多长」→柯尔莫哥洛夫 1933 年把事件的概率写成测度、随机变量的期望写成这种积分，概率论从此有了公理→今天每一次统计推断、每一个机器学习模型里算的「期望」，写开来都是一个勒贝格积分
1902：可数个区间的覆盖定出外测度，测度为零的集合从此可以放心地忽略→里斯与费舍尔 1907 年证明平方可积函数的空间是完备的——这一步离不开他的积分→量子力学的波函数就住在这个空间里：薛定谔方程的解要在「差一个零测集就算相等」的意义下才说得清
1908：有一个可积函数压住整列，极限就能搬进积分号→这条引理成了分析里最常用的一步：求导与求期望换次序、傅里叶变换取极限，都先问压不压得住→给期权定价时把参数的导数挪进期望里面、在随机过程上做敏感度分析，用的就是这一步
1903–1906：用他的积分重写三角级数，平方可积的函数一律有傅里叶展开→帕塞瓦尔等式在平方可积函数上成立：一段信号的能量等于各频率能量之和→信号处理里说「滤波就是在频域里乘一个函数」，要在这个空间里才站得住
1911：盖住 n 维区域的小块，总有一点落在 n+1 块里→门格尔与乌雷松在二十年代据此发展出不靠坐标的维数论→今天的拓扑数据分析从一团点云里数维数与「洞」，用的正是覆盖与重数这一套

他在哪几条专题里

专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写， 全是 tracks.ts 推出来的。

语录

「与其给出 x 的变化范围的分划，也可以给出 y 的变化范围的分划……由此有两种推广积分概念的办法。前一种导向黎曼给出的定义，以及达布先生给出的过剩积分与不足积分。我们来看第二种。」

—— 1901 年 4 月 29 日《论定积分的一种推广》，《科学院周报》第 132 卷第 1026 页。本馆据原文译

「我不知道有哪个函数不是可和的，也不知道存不存在这样的函数。」

—— 1902 年博士论文《积分、长度、面积》导言。所谓可和，就是能用他的办法积分。今天知道这样的函数存在，可要造它就得用选择公理——维塔利 1905 年造出了第一个不可测集。本馆据原文译

「在这之后，只要我想加入一场数学谈话，就总有一位分析学家对我说：「这不会让你感兴趣，我们讲的是有导数的函数。」」

—— 1922 年为参选科学院写的《科学工作简介》第 13–14 页。说的是 1899 年那篇可展曲面短札之后的几年；同一段还有一位几何学家换了个说法：「我们研究的是有切平面的曲面。」本馆据原文译

「今天的测度论以波莱尔先生提出的描述性定义为基础。仅凭这一点，波莱尔先生就是这门理论无可争议的奠基人。」

—— 同一份《科学工作简介》第 32 页。他接着说，自己在建成完整理论中所起的作用，让他的名字与波莱尔的一起出现在「波莱尔–勒贝格测度论」这个通行的叫法里。本馆据原文译