数学群星MATHEMATICAL LUMINARIES

Norbert Wiener · 1894–1964

维纳

他在布朗运动的路径上造出一个测度，证明几乎每一条都连续；又给没有傅里叶变换的信号造出了谱，把一整类陶伯定理归到一条引理下；战时为高射炮算预测，战后给反馈、控制与通信这一片起了个名字：控制论

φ(x)=lim⁡T→∞12T∫−TTf(x+ξ) f(ξ)‾ dξ\varphi(x) = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} f(x+\xi)\,\overline{f(\xi)}\,d\xi
1933 年《傅里叶积分及其若干应用》§21 的 (21·04) 式，1930 年《广义调和分析》的出发点：函数与自己平移 x 之后的时间平均。一个信号没有傅里叶变换，这个 φ 却常常是规规矩矩的函数，把它再做一次变换，就得到那个信号的谱

诺伯特·维纳 1894 年 11 月 26 日生于密苏里州的哥伦比亚。父亲利奥·维纳是从俄国来的语言学家，后来在哈佛教斯拉夫语，儿子的学业几乎全由他一手督着：十一岁进塔夫茨学院，十四岁毕业，在哈佛读过动物学、在康奈尔读过哲学，1913 年十八岁时在哈佛以一篇数理逻辑的论文取得博士。随后去剑桥跟罗素——罗素告诉他，要弄数学哲学先得多懂数学，他就去听哈代的课；1914 年又去哥廷根听希尔伯特与兰道。一战时他在阿伯丁试验场算弹道表，1919 年进麻省理工当数学讲师，此后一辈子没离开那里。

他第一件成熟的工作是布朗运动：1923 年的《微分空间》给所有可能的路径造出一个概率测度，证明几乎每一条都是连续的——比柯尔莫哥洛夫把概率整个写成测度早十年。据他自传里的说法，这件事把他直接引到了周期图和更一般的调和分析上：1930 年写出《广义调和分析》，1932 年写出《陶伯型定理》（次年得美国数学会的博歇奖），1932–33 年与来访的佩利合写《复域里的傅里叶变换》。二战期间他与毕格罗为高射炮的火控做预测理论，战后把反馈、控制与通信并成一门学问，1948 年起名为控制论。1964 年 1 月 13 日他在白宫领了国家科学奖章（本页的照片就是那天拍的），3 月 18 日在斯德哥尔摩去世。

维纳肖像
马里恩·特里科斯科摄，1964 年 1 月 13 日 · 美国国会图书馆《美国新闻与世界报道》杂志照片档案 · 公有领域 · Wikimedia Commons。白宫里国家科学奖章受奖人的合影，最左一位就是他；这里只取他一人。两个月后他在斯德哥尔摩去世

生平

  1. 1894年11月26日
    生于密苏里州哥伦比亚

    父亲利奥·维纳当时在密苏里大学教现代语言，后来去了哈佛，教斯拉夫语直到退休。

  2. 1906–1909
    十一岁进塔夫茨，十四岁毕业

    此前在艾尔中学读了三年；父亲一直在家给他补课。

  3. 1913
    十八岁，哈佛的博士

    论文讲数理逻辑。随后去剑桥随罗素，并听哈代的课；1914 年去哥廷根。

  4. 1919
    麻省理工的数学讲师

    此前在阿伯丁试验场算过弹道。他在麻省理工一直待到去世。

  5. 1923
    《微分空间》

    《数学与物理杂志》第 2 卷 131–174 页：布朗运动的路径上有了一个测度，几乎每一条都连续。

  6. 1924
    狄利克雷问题与容量

    同一份杂志第 3 卷。他在开头说，勒贝格同一周在《科学院周报》上说了同样的话，两人各自独立。

  7. 1930
    《广义调和分析》

    《数学学报》第 55 卷 117–258 页：没有傅里叶变换的函数，也有谱。

  8. 1932
    《陶伯型定理》

    《数学年刊》第 33 卷 1–100 页，1931 年 7 月 20 日收稿。次年得博歇奖。同年春在剑桥讲了十五讲傅里叶积分，1933 年成书。

  9. 1933年4月7日
    佩利遇难

    来麻省理工访问一年的佩利在加拿大落基山滑雪时遇难，二十六岁。两人的书次年出版。

  10. 1940–1942
    高射炮的预测理论

    与毕格罗合作，把可以造成机器的预测算子拿到布什的微分分析机上试。那份报告 1949 年才公开出版。

  11. 1947年11月
    在墨西哥城写完《控制论》的引言

    署国家心脏病研究所。书在 1948 年出版。

  12. 1964年1月13日
    国家科学奖章

    在白宫领奖。本页的照片就是那天拍的。

  13. 1964年3月18日
    卒于斯德哥尔摩

    六十九岁。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

掷硬币，最多赢过多少

要在所有布朗路径上定一个概率，他先退到一个赌局上：掷 n 次硬币，中途最多赢过几块钱？这张表算清了，路径几乎都连续就证出来了。

1923 年那篇《微分空间》登在麻省理工自己办的《数学与物理杂志》第 2 卷第 131–174 页。要做的事一句话说得完：布朗运动里那颗微粒的路径是一条函数曲线，要在「所有可能的路径」构成的无穷维空间上定一个概率，并证明几乎所有路径都是连续的。§5 他先退到一个玩具上：每掷一次硬币赌一元，掷 n 次，途中「最多赢过多少」？他写下两条递推，把 n = 1 到 6 列成一张表（第 144 页），接着说表里的数「都是二项式系数……就表列到的范围而言」，猜出通式 (27)，再代回递推验证。本馆照他的递推一直推到 n = 1024，与通式逐格比对，五十二万多格一格不差；把最大赢额除以 √n，分布就收到半正态上。§7 拿这个估计去管一条路径在一小段里能走多远，结论是第 154 页的 (51) 式：几乎所有路径都满足 |f(t₂) − f(t₁)| 不超过常数乘 (t₂ − t₁) 的 ½ − ε 次方——测度整个落在连续函数上。这比柯尔莫哥洛夫 1933 年的延拓定理早十年，而且延拓定理本身答不了「路径连不连续」这一问（见馆里柯尔莫哥洛夫那一页）。至于「几乎每条路径处处不可导」，1923 年那篇的 §4 只算了一个「不可导系数」，严格的证明要到 1933 年他与佩利、齐格蒙德合写的那一篇。演示下半幅是同一件事的样子：时间窗缩小一半，纵向只需放大 √2 倍，它就还是原来那副模样。

拖「掷 n 次」看分布怎么收到半正态上；再拖「放大」，把同一条路径一级级放大

掷 256 次硬币，「最多赢过 √n 元以上」的概率是 0.31826，n 越大越贴近布朗运动的 0.31731；维纳 1923 年正是先把这张表算清，再拿它去估「一条路径在一小段里能走多远」，证出几乎所有路径都是连续的。下面那条路径横向放大 1 倍，窗口里的极差 ÷ √窗长 = 0.961。

一根刺伸进球里，刺尖热不热

边界上定了温度，里面的温度在某一点附近会不会趋于它？他把答案化成一串容量的级数：发散就会，收敛就不会。

一块导体表面的温度给定，里面的稳态温度就是一个调和函数——这是狄利克雷问题。可边界上要是有奇怪的点，温度在那一点附近可能根本不趋于给定的值，这样的点叫不正则点。勒贝格 1913 年给出了三维里第一个例子：一根极尖的刺伸进区域，粗细按 e 的 −1/x 次方收窄，刺尖就不正则。维纳 1924 年的《狄利克雷问题》（同一份杂志第 3 卷第 127–146 页）把这件事一刀切清：以那一点为心取一圈圈球壳，半径按 λ 的幂缩小，算出每一圈里那块边界的容量 γ_n——他同一卷前面那篇刚证明任何有界集都有容量——那一点正则还是不正则，就看 Σ γ_n / λⁿ 发散还是收敛（第 130 页）。第 138 页他顺手写道，勒贝格关于有限阶与指数阶尖点的结论「由此立刻推出」。本件照这条判据把几种刺逐一算过：圆锥与 x³ 这样的幂次刺都发散（x³ 那根每一项约为 1/(8n·ln 2)，像调和级数一样慢慢发散），勒贝格那根十项之后部分和就不动了；更有意思的是夹在中间的一族 e^(−(ln 1/x)^s)：s 只要大于 1 就收敛——它比任何 x 的幂都细，却比勒贝格那根粗得多，已经不正则了。这条分界线，勒贝格的两类例子夹不出来。另有一件小事：这篇开头第一段说，勒贝格同一周在巴黎《科学院周报》上把狄利克雷问题同样拆成两半，「本文作者独立地说了同样的话」。

把刺上的温度定为 1、外面的球面定为 0，刺尖附近的温度会不会趋于 1？维纳的回答只看一串容量：收敛：刺尖是不正则点。当前这一档前 1000 项之和为 1.7075。s 刚过 1 的那根刺比任何 x 的幂都细，却比勒贝格那根粗得多——它已经不正则了。

没有傅里叶变换的信号，也有谱

一段噪声、两个频率之比是无理数的振动，既不是周期的、能量也不有限；他先求它与自己错开一段的平均，再变换那个平均，谱就出来了。

傅里叶级数只对周期函数说话，傅里叶积分只对能量有限、终将安静下来的函数说话；可一段噪声、一台一直在转的机器、两个频率之比不是有理数的振动叠在一起，两样都不是。维纳 1930 年在《数学学报》第 55 卷上用一百四十多页的《广义调和分析》给这类函数也造了谱，办法是先不变换函数本身，而是算它与自己平移 x 之后的时间平均 φ(x)（本页顶上那条公式），再去变换 φ。1933 年那本《傅里叶积分及其若干应用》把这一套重写成 §21「一个函数的谱」，里面的例 (iv) 正是本件的「掷硬币」那一段：每个单位区间上独立地取 +1 或 −1，几乎必然得到 φ(x) = 1 − |x|（|x| ≤ 1），谱是一片连续的密度。他在第 163 页解释为什么借物理学家的「谱」字：一个数学概念与物理里早已熟悉的概念贴得很近时，他看不出有什么非避开物理术语不可的理由。本件把两条频率之比为 √2 的余弦与那段掷硬币叠在一起：这个信号没有周期、能量无穷，普通的傅里叶变换不存在；时间平均却稳稳地收向闭式，谱里两条线、一片连续，总面积正是 φ(0)。首创权要分三层说：「谱是自相关的傅里叶变换」这个关系，爱因斯坦 1914 年在一则短札里已经写下过（据雅格洛姆 1987 年的考证，此前长期没人注意）；维纳 1930 年是对单个函数、用时间平均严格地做了；辛钦 1934 年独立地对平稳随机过程、用统计平均做了同一件事——今天合称维纳–辛钦定理。

这个信号不能直接做傅里叶变换，可它的自相关 φ 是一个规规矩矩的函数：先平均、再变换，谱就出来了——两条余弦给出两条线，掷硬币那一段给出一片连续的谱。现在拿 [0, 1000] 上的平均去逼，φ 的最大误差 0.0314，总功率 1.3894。

处处不为零，倒数就一样好

傅里叶级数绝对收敛、又处处不为零的函数，倒数的级数也绝对收敛——哪怕它贴着零走、几何级数早已压不住。

1932 年的《数学年刊》第 33 卷，头一百页只登了他一篇：《陶伯型定理》。陶伯型定理问的是：一个级数的某种平均收敛了，再加上什么条件，它本身就收敛？哈代与李特尔伍德在这上面做了二十年，一个定理一个证法（这一篇第三章第 7 节的标题就是「哈代–李特尔伍德条件」）。维纳把它们几乎全归到一句话下：一个核的所有平移在 L¹ 里张得满，当且仅当它的傅里叶变换处处不为零。钥匙是第二章那条不起眼的引理 IIe：傅里叶级数绝对收敛、处处不为零的函数，倒数的傅里叶级数也绝对收敛。难处在于「不为零」这个条件很弱：函数可以贴着零走，这时把 1/f 展成几何级数就压不住了，而引理说照样成立。本件的 f = c + Σ cos(nθ)/n² 把这件事摆成一条数轴：c 过了 π²/6，几何级数自己就收敛；c 落在 π²/12 与 π²/6 之间，几何级数发散，1/f 的系数却照样绝对可和——c = 1 时加起来是 5.6460，c = 0.85 时是 36.324，越贴近 π²/12 越大，但总是有限的。第四章把这一整套用到素数上，第 10 节的标题是「池原的定理」：他的学生池原止戈夫 1931 年由此给出了素数定理的一条新证法（馆里阿达马那一页讲的是 1896 年那条老路）。这一篇拿了 1933 年的博歇奖。1941 年盖尔范德用赋范环把这条引理缩成了几行——那是巴拿赫代数最早的一个大用处。

c = 1.000 时 f 最低处是 0.1775，那条几何级数已经发散；可 1/f 的系数加起来仍是有限的 5.6460。维纳 1932 年的引理说：只要 f 处处不为零，就一定如此。

因果的滤波器，增益不许在一段上为零

一条增益曲线能不能由一个「输入没来、输出不动」的滤波器做出来？佩利和他给的答案是一个积分：对数增益除以 1 + ω²，积得出来就行。

1932 年秋，剑桥来的年轻人佩利拿洛克菲勒奖学金到麻省理工访问一年，两人对着一块黑板合作；1933 年 4 月 7 日，佩利在加拿大落基山滑雪时遇难，二十六岁。第二年维纳把两人的结果整理成《复域里的傅里叶变换》出版，序里说：两人的合作极不拘形式，写成文字的每一部分都经过两人之手，即便是佩利死后才写下的那些，也「完全无法分清哪些是新的、哪些是我们多次谈话的回忆」。书的第一章有一条他们称为基本定理的结果（定理 XII，第 16–17 页）：给一个非负、平方可积的 Φ，要找一个在某条半直线上恒为零、傅里叶变换的模恰为 Φ 的函数，充分必要条件是 |log Φ(x)| / (1 + x²) 的积分有限。书里拿它去讲准解析函数；换成工程的话，「在一条半直线上恒为零」就是因果——输入还没到，输出不许先动——而 Φ 就是增益。于是理想低通造不出来：它在阻带里增益恰为零，对数是负无穷，积分当场发散。增益可以任意小，却不能衰减得太快：e^(−|ω|^α) 这一族以 α = 1 为界，α = 0.5 时积分是 π / cos(π/4) = 4.4429，α = 1 时恰为 ln(1 + W²)、跟着 W 无限地涨，高斯形的 α = 2 更是按 W 发散；布特沃斯那一族无论几阶都收敛，一阶是 π·ln 2。每一个设计滤波器的人都要在过渡带上让步，理由就在这一条。

积到 W = 10⁴ 时 I = 4.4029；闭式 I(∞) = π / cos(πα/2) = 4.442883。 这条增益造得出来。

一个新词：舵手

1947 年夏天，他与几位同事发现这一片题目连个共同的名字都没有，只好从希腊文里造一个。

1947 年 11 月，维纳在墨西哥城的国家心脏病研究所写完一本书的引言——他几次去那里与生理学家罗森布吕特合作。引言回头交代这门学问是怎么来的。战时他与毕格罗接了一个项目：高射炮要打的是一架由人驾驶、会躲闪的飞机，炮弹飞过去要时间，得预测飞机过一会儿在哪；真正最优的预测算子造不出来，他们就把几种可以用机器实现、又与它相像的算子拿到布什的微分分析机上试。做下去两人认定，一个人伸手去拿一支铅笔、舵机把舵转到位，靠的都是控制工程师所说的反馈：把「还差多少」当成新的输入；而反馈太猛，就会冲过头、再反向冲得更远，舵机陷入疯狂的振荡、彻底失灵。他们发现这一片题目——控制、通信、统计力学，在机器里的与在活体里的——连个共同的名字都没有，「只好造一个人造的新希腊词」：Cybernetics，取自希腊文的「舵手」。他特意说明，选这个词是要记着麦克斯韦 1868 年那篇论调速器的文章——关于反馈机制的第一篇重要论文，而「调速器」一词本身就是从同一个希腊字经拉丁讹变来的；这个词「不早于 1947 年夏天」。引言末尾他担心这门学问会帮着把权力集中到最不择手段的人手里，写道：「我写于 1947 年，不得不说，这是一个很渺茫的希望。」同一年，香农在《通信的数学理论》第三部分的一条脚注里写：通信理论的许多基本哲学与理论，都受惠于维纳；他那份战时报告第一次把通信理论明明白白地写成了一个统计问题。

故事展签故事展签：一个为高射炮造的预测问题，和一个从希腊文里造出来的词。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1923：布朗运动的路径上有了一个测度，几乎每一条都连续→伊藤清 1944 年在它上面定义了随机积分，随机微分方程由此立起来→期权定价的布莱克–斯科尔斯模型与金融里的风险计算，都建在这个测度上
1924：边界上一点正不正则，看一串容量的级数发散还是收敛→位势论从此有了容量这把尺子；布朗粒子从那一点出发会不会立刻碰上边界，是同一个问题→随机过程里的击中概率、用随机游走数值模拟偏微分方程的办法，都要先照它判边界
1930：没有傅里叶变换的信号，也能由自相关定出谱→辛钦 1934 年给平稳随机过程写出同一条定理；布莱克曼与图基 1958 年把它做成估计功率谱的标准办法→今天每一台频谱分析仪、每一次噪声测量与信号处理，都在算它
1932：处处不为零的函数，倒数的傅里叶级数也绝对收敛→陶伯定理由此归成一条，素数定理多了一条证法；1941 年盖尔范德把它缩成赋范环里的几行→巴拿赫代数与 C* 代数成了量子力学与量子场论里讲算符与谱的一种标准语言
1934：因果滤波器的增益，不能在一整段频率上为零→理想低通只能逼近，设计者在过渡带宽与阻带衰减之间取舍→每一块手机芯片里的模拟与数字滤波器，都是照这条界设计的
1948：把反馈、控制与通信放进同一门学问，起名控制论→反馈与稳定性成了工程、生理学与经济学的共同语言→自动控制与机器人的教科书，第一章讲的就是反馈回路

他在哪几条专题里

专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写， 全是 tracks.ts 推出来的。

语录

「我们决定把整个控制与通信理论的领域，不论是在机器里还是在动物身上，都叫作控制论，这个词取自希腊文的「舵手」。」

—— 《控制论：或关于在动物和机器中控制和通信的科学》（1948）引言，第 11 页

「我写于 1947 年，不得不说，这是一个很渺茫的希望。」

—— 同一篇引言的末句，署「墨西哥城，国家心脏病研究所，1947 年 11 月」

「即便是佩利先生死后才写成文字的那一部分，也完全无法分清哪些是新的、哪些是我们多次谈话的回忆。」

—— 佩利与维纳《复域里的傅里叶变换》（1934）序，维纳一人署名

「当一个数学概念与物理里早已熟悉的概念贴得很近时，作者看不出有什么非在纯数学里避开物理术语不可的理由。」

—— 《傅里叶积分及其若干应用》（1933）第 163 页，解释为什么把 σ(u) 叫作「谱」