Émile Borel · 1871–1956

波莱尔

他替发散级数找到了和，替「一段段盖住」写下了定理，又把「出招之前先抽签」问成了一道数学题——后来当了海军部长，七十岁进了德军的监狱

\sum_{n\ge 0} a_n z^n \;\longmapsto\; \int_0^{\infty} e^{-t} \sum_{n\ge 0} \frac{a_n (tz)^n}{n!}\, dt

1899 年《发散级数论》第三章第三节「指数求和法」（《高师科学年刊》第 3 辑第 16 卷第 89–90 页）：各项先除以 n!，得到一条收敛得多的级数，再乘上 e 的负 t 次方、从 0 积到无穷。原级数收敛时，积出来就是原来的和；原级数发散时，积出来的那个数就是他给它的和。

费利克斯·爱德华·朱斯坦·埃米尔·波莱尔 1871 年 1 月 7 日生于法国南部阿韦龙省的圣阿弗里克，父亲是新教牧师。十一岁起寄住在大姐家里上中学，后来到巴黎备考，巴黎高师与巴黎综合理工两边都考了第一，他选了高师（1889）。1895 年刊出的博士论文里有一条附注，把「无穷多个区间盖住一条线段，就挑得出有限个也盖住它」写成了定理，今天叫海涅–波莱尔定理；1898 年那部《函数论讲义》替集合定出了测度，勒贝格的积分就搭在这上面。同一年，他的《发散级数论》得了巴黎科学院的数学科学大奖。1901 年他娶了数学家阿佩尔的女儿玛格丽特，她后来以笔名卡米耶·马尔博写小说，1913 年得了费米娜奖。1909 年巴黎大学为他专设函数论讲座，第二年他出任巴黎高师副校长。

一战改变了他。1915 年他四十四岁，自愿从军，在前线试验靠声音测定敌炮位置的办法；数学家潘勒韦把他调去主持一个审查战时发明的新机构，后来又任他为总理府秘书长。他收养的外甥费尔南·勒博死在前线，高师的学生死了一半，战后他回不去那个位置，1920 年辞了副校长。此后他的研究转向概率，1921 年当选科学院院士，同年起在《科学院周报》上接连发表几篇讲「博弈」的短札；1924 年当选阿韦龙省议员与家乡的镇长，1925 年 4 月到 11 月任海军部长；1928 年靠洛克菲勒与罗斯柴尔德的钱办起了庞加莱研究所。1940 年维希政府撤了他的镇长，1941 年 10 月德国占领当局把他抓进弗雷讷监狱，关了五个多星期；出狱后接着为抵抗运动做事。1956 年 2 月 3 日卒于巴黎。

奥古斯特·莱昂摄，奥托克罗姆彩色玻璃干版，1918 年 1 月 6 日，布洛涅，阿尔贝·卡恩宅园 · 阿尔贝·卡恩博物馆藏（A13090）· Wikimedia Commons，公有领域（摄者卒于 1942 年；博物馆以 CC0 发布）。他那时在炮兵服役，胸前是荣誉军团勋章与战争十字勋章

生平

1871
生于圣阿弗里克
1 月 7 日，阿韦龙省。父亲奥诺雷是新教牧师，在家里给附近新教家庭的孩子办了一所学校。
1889
进巴黎高师
高师与综合理工的入学考试都是第一名；家里的朋友劝他去综合理工，他要做数学，选了高师。
1895
博士论文与那条附注
《论函数论中的几个问题》，《高师科学年刊》第 3 辑第 12 卷第 9–55 页。第 50–52 页的附注：可数个开区间盖住一条线段，就挑得出有限个也盖住它。
1896
「伴随整函数」
12 月 14 日《科学院周报》上的一则短札里起了这个名字：把一条幂级数的各项除以 n!，得到的那个函数。
1898
数学科学大奖；《函数论讲义》
得奖的是《发散级数论》，第二年登在《高师科学年刊》第 16 卷，篇首注明「这里付印的是获奖的手稿」。同年的《函数论讲义》替集合定出了测度。
1901
娶玛格丽特·阿佩尔
她是数学家阿佩尔的女儿，笔名卡米耶·马尔博，1913 年以《蒙着的雕像》得费米娜奖。
1910
巴黎高师副校长
接替去世的朱尔·塔内里。他后来说，这是他那时得到的最大的荣誉。
1915
自愿从军
四十四岁，在前线试验靠声音测定炮位的办法；同年潘勒韦请他主持审查战时发明的机构。1918 年得战争十字勋章。
1921
当选院士；「博弈论与积分方程」
12 月 19 日《科学院周报》第 173 卷第 1304–1308 页：一种打法若固定不变，对手总能克它；要不输，就得掷骰子决定出哪一招。
1924
阿韦龙省议员
同年当选圣阿弗里克镇长。1925 年 4 月到 11 月任海军部长；议员一直做到 1936 年。
1928
庞加莱研究所
靠洛克菲勒基金与罗斯柴尔德家的钱在巴黎建成，他主持了三十年；三十年代里它接待过不少从纳粹德国出走的学者。
1941
弗雷讷监狱
10 月 10 日或 11 日被德国占领当局逮捕，与另外三位科学院院士一起关了五个多星期，11 月 13 日获释，从没被告知为什么。
1956
卒于巴黎
2 月 3 日。前一年他得了法国国家科学研究中心的第一枚金质奖章。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

一段接一段，跳到头

一条线段上的每一点都落在某个开区间里——那么从左端出发，一段接一段往右跳，有限步之内一定跳得到头。

\left| x - \tfrac{p}{q} \right| < \frac{1}{\sqrt5\, q^2}

1895 年那篇博士论文的第 25–26 页，他要证明一条极点处处稠密的级数 ΣA_n/(z − a_n) 仍在某些圆周上一致收敛，用到一句话：一条线段上给了无穷多个小区间，长度加起来比线段短，那线段上就一定有一点不在任何一个小区间里。附注（第 50–52 页）先说这句话「可以看成几乎是显然的」，接着说「因为它重要」，还是要给一个证明，而证明靠的是一条「本身就有意思」的定理：一条线段上每一点都在某个区间的内部，就能从这些区间里挑出有限个，同样把每一点都盖住。证法就是本件演示的动作：从左端 A 出发，取一个盖住 A 的区间，跳到它的右端；再取一个盖住这一点的区间，再跳。跳无穷多次还没到头，这些右端点就有一个极限，而那个极限也在某个区间里——越过它，接着跳。他说，若永远到不了头，跳过的点就得用康托尔的第二数类来编号，可它们同时又能按自然数排成一队，这是矛盾。演示给的区间是这样一族：[1/5, 4/5] 里每个最简分数 p/q（q ≥ 2）套一个半径 1/(c·q²) 的开区间。有理点自己在自己那一段里；无理点呢，胡尔维茨 1891 年证明：每个无理数 x 都有无穷多个 p/q 满足 |x − p/q| < 1/(√5·q²)，而且 √5 不能再大。所以 c ≤ √5 时这是一族真正的覆盖：c = 2 跳 7 步就到头，c = √5 跳 13 步。c 一越过 √5，跳到某一点前面就停住了——c = 2.3 时停在 (3 − √5)/2 = 0.381966……，c = 3 时停在 0.216542……，它们的连分数从某一位起全是 1，是最难用分数逼近的那一类数，这一族区间一个也碰不到它们。首创权要分开说：狄利克雷 1852 年的讲课（1904 年才印出）与海涅 1872 年证「闭区间上的连续函数一致连续」时，都已经暗中用了这个论证；把它单独写成一条定理、并且给出证明的，是这一条附注。他的说法只管可数个区间，推广到任意多个的是库赞（1895）、勒贝格（1898）与舍恩弗利斯（1900）。

c = √5：这族区间盖住了 [1/5, 4/5] 的每一点，于是从 1/5 出发，只跳 13 步就到了头——无穷多段里挑出了有限段。他证明的正是这件事的反面：只要真盖住了，就一定能在有限步里跳到头。

一条处处发散的级数，和是 0.596

1 − 1!x + 2!x² − 3!x³ + …… 除了 x = 0，在哪里都发散；各项先除以 n!、再乘 e 的负 t 次方积一遍，它就有了一个和。

\sum_{n\ge0} (-1)^n n!\, x^n \;\to\; \int_0^\infty \frac{e^{-t}}{1+xt}\,dt

阶乘长得比任何 xⁿ 缩得都快，所以这条级数对任何不为零的 x 都发散，欧拉 1760 年那篇《论发散级数》研究过它。可它又分明「在说一个数」：x = 0.1 时，前几项加起来 1、0.9、0.92、0.914、0.9164……越来越稳，稳到第九、十项之后才掉头越摆越大。1899 年《发散级数论》第三章第三节给了它一个说法：把第 n 项乘上 aⁿ/n!，得到的新级数常常处处收敛（这里是 1 − ax + a²x² − …… = 1/(1 + ax)）；再乘上 e 的负 a 次方、对 a 从 0 积到无穷，积出来的数就叫原级数的和。这个数不是随便指派的：原级数收敛时它就是原来的和；而他在篇首预告的主要结果是，一条发散级数若在形式上满足一个代数微分方程、又可以这样求和，它的和就是那个方程的一个真解。对这条级数，积分算得出来：x = 0.1 时和是 0.915633339……，而把原级数加到最好的那一项（第 9 项）只能准到 1.8 × 10⁻⁴，误差约是最小那一项的一半；x = 1 时和是 0.596347362……，这时原级数第一项之后就一项比一项离得远，截断一无是处。同一章开头他还说了一句话：阿贝尔与柯西禁止用发散级数之后，一直有人惋惜，因为不加小心地用它们，得出的结论「多半是对的」——这种级数不是乱造的，是问题自己给出来的。

x = 0.1：波莱尔和是 0.915633339；原级数最好的截断停在第 9 项，也只准到 1.8e-4，再往后加，阶乘把一切都吞掉。x 越小，级数「靠拢」得越久，可它终究发散——那个数是积分给的，不是加出来的。

收敛圆外面，还有一块多边形

一条幂级数只在收敛圆里有和；换成他的求和法，每个奇点只挡掉一个半平面，剩下的是一块比圆大得多的凸多边形。

1 − 2 + 4 − 8 + 16 − …… 是 1/(1 − z) 在 z = −2 处的展开。《发散级数论》第二章第一节（第 52 页）说，塞萨罗那套逐次取平均的办法已经很有用，可「这条如此简单的级数」它完全够不着。换成他的指数求和法，这条级数的和是 1/3，恰好是 1/(1 − z) 在 −2 处的值。一般的情形他在第 66–67 页写清楚了：从原点 O 向每个奇点 M 连一条线，过 M 作 OM 的垂线，把垂线外侧那半个平面去掉——剩下的那一块里，他的求和法给出的正是这个函数的值。奇点只有有限个时，这一块是一个凸多边形，后来就叫它波莱尔多边形。演示里的函数是五个几何级数之和，五个奇点分别在 1、0.7 + 1.2i、−1.5 + 0.3i、−0.4 − 1.3i、0.9 − 0.9i，收敛半径是 1；伴随函数正好是五个指数函数之和，积分可以闭式算出，拿它与数值积分对照。在收敛圆外、多边形里取 −1 + 0.9i，原级数加到第 70 项，部分和的模已经是 6.4 × 10⁸，积分却落在函数值 2.86034 − 1.25248i 上，与闭式差 3 × 10⁻¹⁰；把点拖到多边形外面，积分本身就发散了——这一块的边界不是约定出来的，是积分收不收敛自己划出来的。

z = −1 + 0.9i：部分和加到第 70 项是 6.40e+8，而波莱尔积分给出 2.860338 − 1.252477i，与函数值逐位相同。

镇馆之宝 · 亲手玩

七个筹码，分三堆

两人各把 7 分成三个正整数、按顺序对比，三处里赢两处的人赢。每一种分法都有人克它——他问的是：那还有没有一个「最好的打法」？

1921 年 12 月 19 日《科学院周报》第 173 卷第 1304–1308 页，一则五页的短札。他先把「打法」定义成一套守则：在一切可能的情形下，规定这一步该怎么走；打法有很多，但总是有限个。A 用第 i 种、B 用第 k 种时 A 的赢面记作 ½ + α_ik，对称的游戏里 α_ii = 0、α_ik = −α_ki。先把「坏打法」一轮轮删掉；删完之后若还有一种对谁都不吃亏，它就是最好的。没有的时候，他问：能不能不固定一种、而是每一步先抽签决定用哪一种？设 A 以概率 p_k 用第 k 种、B 以 q_k，A 的优势就是 α = ΣΣ α_ik p_i q_k。他证明只剩三种打法时，总找得到一组 p 让 α 对任何 q 都为零——抽签让你立于不败。可他接着说，打法一多过三种，「一般说来」对手总能针对你的 p 选 q 让 α 取定一个符号；他由此下结论：概率算法只能帮你删掉坏打法，「剩下的，打法的艺术取决于心理学，而不是数学」。这句话是错的：冯·诺依曼 1928 年证明，任何有限的二人零和博弈都有这样的 p（馆里他那一页讲的就是这件事，他在脚注里也写明问题是波莱尔提出的）。短札末尾举了一个例子：两人各把 7 拆成三个正整数，按顺序比，三处里胜两处就赢。他说「7 是使这个游戏没有一种打法胜过其余打法的最小的数」——演示里逐一对了一遍：总数 6 时 (2,2,2) 对谁都不输，总数 7 时 15 种分法没有一种不被别的克。可同样算得出来：把 (1,3,3)、(3,1,3)、(3,3,1) 各以三分之一的机会出，对 15 种分法里的每一种期望都不亏——他自己挑的这个例子里，恰好就有一种抽签的打法立于不败。今天这个游戏常被当作「布洛托上校博弈」的源头。

点一种分法，看它克谁、被谁克；切到「抽签」，看三种各出三分之一对每一种分法的期望

选一种分法 (2,2,3)

总数 7：(2,2,3) 胜 5 种、负 1 种；这个总数下不败的分法有 0 种。每一种固定的分法都有人克——这正是他要引出「抽签」的地方。

一百万只猴子打字

一百万只猴子每天在打字机上乱敲十小时，一年下来恰好敲出世界上所有图书馆的藏书——他说，气体自己分开一个十万分之一的差，就是这么不可能。

今天这个比方常被讲成「时间无穷长，猴子总会敲出莎士比亚」，而它的原意正相反：它要说的是「不可能」。1914 年那本《偶然》第 61、62 节（第 162–164 页，本馆据 1920 年的重印本读）讲的是分子运动：两只相通的容器里的气体，自己分成一边多一边少、差到十万分之一的概率有多小。他把它换成一个看得见的数：设法文连标点在内共有 100 个字符（打字机其实只有 84 个键，他在脚注里说换成 1000 甚至 10000 也几乎不改结论），一本中等的书不到一百万个字符，随手抽出这本书的概率是 1/100 连乘一百万次，即 10 的负二百万次方；一百万本书，就是 10 的负两万亿次方——恰好是他前面给十万分之一的那个差算出来的量级。于是有了第 62 节那段话：训练一百万只猴子，在不识字的工头看管下每天在一百万台打字机上乱敲十小时，工头把敲黑的纸订成册，一年之后这些册子里恰好是世界上最大的图书馆里的每一本书。「更简单的说法是：这样不可能的偏差，就是不可能。」演示替那群猴子算一笔他没算的账：若每只每秒敲五个键，一年一共敲 6.57 × 10¹³ 下；在 100 个键上，这么多下期望能碰上的一串指定字符只有约 6.9 个，在 27 个键（26 个字母加空格）上也只有约 9.7 个。上半幅让计算机真的乱敲，看指定的那一句话最多能对上几个字。

在 100 个键上乱敲，前 k 个字首次出现的期望位置是 100 的 k 次方；一百万只猴子敲一年，期望也只碰得上约 6.9 个指定的字。他要说的不是「猴子终究会敲出莎士比亚」，而是「小到这个程度，就是不可能」。

七十岁那年的五个星期

1941 年 10 月的一个下午，德国军官带着五个兵来到他在巴黎的寓所，搜了三个小时，把这位前海军部长带走了，没有说为什么。

1941 年 1 月 7 日他满七十岁，那一学年是他在巴黎大学的最后一年。1940 年维希政府撤了他圣阿弗里克镇长的职；这一年 10 月 10 日或 11 日（法国警方的报告记作 10 日，教育部的档案记作 11 日，星期六），德国军事情报局在同一两天里抓了四位科学院院士：他、物理学家科通、生理学家拉皮克与矿物学家莫甘。他的妻子马尔博在 1968 年的自传里记下了那个下午：两点钟，一个军官带着一个中士、四个兵进门，搜到五点，把人带走，一句解释也没有。她的兄弟往弗雷讷监狱送了一个包裹，包裹被收下了，家里才知道人关在那里。伦敦《泰晤士报》10 月 18 日的报道结尾说：「德国当局逮捕著名数学家、前海军部长埃米尔·波莱尔，至今没有给出理由。」科学院的领导层怕替同事说话会让科学院被取消，没有出面。11 月 13 日四个人一起获释，据说审讯只是走个过场；他出狱第二天就得了双侧肺炎，19 日已经在给同事写信了。两位数学史家马兹利亚克与谢弗 2008 年翻了德军留在巴黎的档案，结论是：抓他们与放他们，档案里都找不到明说的理由。出狱之后他接着为抵抗运动做事，1947 年得了带玫瑰花结的抵抗运动勋章。

故事展签

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1895：可数个开区间盖住一条线段，就挑得出有限个→二十世纪初，这条性质被抽出来定义「紧」：有限维空间里的有界闭集都有它→有限元与数值优化里「连续函数在有界闭集上取得到最小值」这一步，靠的就是它，工程计算里的误差界都从这里起算

1899：发散级数先除以 n!、再积一遍，就有了和→量子场论与量子力学的微扰级数多半是发散的，物理学家用波莱尔求和给它们赋值→今天计算量子电动力学与原子结构的高阶修正，仍要先问一句这条级数波莱尔可和不可和

1921：固定打法总会被人克，出招要先抽签→冯·诺依曼 1928 年证明极小极大定理，博弈论从此成了经济学的一门语言→今天在线广告竞价与频谱拍卖的机制设计、金融市场里做市商的报价，都在算这样的混合策略，也都绕不开对手会不会看穿你的风险

1921：两人把同一笔兵力分到几处，处处比大小→这类「布洛托」博弈 1950 年前后在兰德公司被拿来研究兵力分配→今天竞选经费在各选区之间怎么分、广告预算在几个市场之间怎么分，都有人拿它来建模，再用机器学习去拟合对手的分法

1914：一百万只猴子，一年敲出全世界的书→概率小到这个程度，就可以当它不会发生——这成了统计物理里「热力学第二定律只是统计规律」的标准讲法→密码学里说一把 128 位的密钥「猜不中」，用的也是这一种算法：把概率换算成要敲多少年

语录

「这条引理可以看成几乎是显然的；不过因为它重要，我还是要给它一个证明，而这个证明所依据的定理本身就很有意思。」
—— 1895 年博士论文《论函数论中的几个问题》末尾的附注，《高师科学年刊》第 3 辑第 12 卷第 51 页。本馆据原文译

「我们应当由此得出结论：概率的计算只能用来删去坏的打法、算出那些 α；至于其余，打法的艺术取决于心理学，而不是数学。」
—— 1921 年 12 月 19 日《博弈论与对称核的积分方程》，《科学院周报》第 173 卷第 1306 页。七年后冯·诺依曼证明了这个结论是错的。本馆据原文译

「照字面遵循这条忠告，似乎需要一种彻底的思维不连贯——当然，还得配上足以删去那些我们称之为坏打法的智力。」
—— 同一则短札的末句，第 1308 页。那条忠告是：让旁观者永远算不出你出各招的概率。本馆据原文译

「更简单的说法是：这样不可能的偏差，就是不可能。」
—— 《偶然》（1914）第 62 节，一百万只猴子那一段的最后一句。本馆据 1920 年巴黎阿尔康书店的重印本译