Joseph Liouville · 1809–1882

刘维尔

他造出第一批能证明是超越数的数，一个人办了近四十年的数学杂志，又把伽罗瓦的遗稿读懂、印了出来

\frac{1}{10} + \frac{1}{10^{1\cdot 2}} + \frac{1}{10^{1\cdot 2\cdot 3}} + \cdots = 0.110001000000000000000001\ldots

1851 年《纯粹与应用数学杂志》第 16 卷第 139 页，重印并补全他 1844 年 5 月在科学院宣读的两篇短札。取 l = 10，第 1、2、6、24、120……位是 1，其余全是 0。他证明这个数不是任何整系数代数方程的根

约瑟夫·刘维尔 1809 年 3 月 24 日生于法国北部的圣奥梅尔，父亲是拿破仑军中的上尉，战后全家定居洛林的图勒——此后他每年夏天都回那里写论文、编杂志。1825 年进综合工科学校，1827 年毕业转入路桥学校，工程差事伤了身体，1830 年辞职，一心走学术这条路。1831 年起他在综合工科学校当助教，同时在好几所学校兼课，据说一周要讲三十五到四十小时。1836 年他创办《纯粹与应用数学杂志》，一个人主编到 1874 年，人们径称它「刘维尔杂志」。1838 年任综合工科学校分析与力学教授，1839 年当选科学院院士（天文学部），1848 年 4 月当选制宪议会议员，次年落选。1851 年他在与柯西的竞选里拿到法兰西公学院的讲席，1857 年又兼巴黎理学院的力学讲席。1882 年 9 月 8 日卒于巴黎。

他一生写了四百多篇文章，题目跨得极开：函数能不能积成初等函数、本征值与本征函数、相空间里的体积、空间里的保角映射，晚年又写了近两百篇数论。1844 年他造出了第一批能证明是超越数的数——在此之前没有人能指着一个具体的数说「它不是任何代数方程的根」。他名下还挂着一条复分析定理：有界的整函数必是常数。据今人考证，他 1844 年讲双周期函数时用过它，可同年第一个把证明印出来的是柯西，他自己的讲稿要到 1880 年才由博尔夏特整理发表。馆里另外几页提到他，他都是配角：读了汤姆孙带到巴黎的格林那本册子「大为震动」，把比奈梅那篇排在切比雪夫前面一页，在拉梅宣读费马定理的证明时点出唯一分解没人证过，又给库默尔那封信加了按语。还有一件事不在任何定理里：1843 年起他逐页读伽罗瓦的遗稿，1846 年把它印了出来。

刘维尔，1868 年，时年五十九岁 · 据 Wikimedia Commons 著录，这张照片是他的女儿玛丽所摄，原载法国综合工科学校校友刊物《黄与红》一篇讲法兰西公学院的文章 · 公有领域。他身后是树丛与一段白色的树干，像是在户外、多半是夏天——他每年夏天都回洛林的图勒，研究、编杂志都在那里做

生平

1809
生于圣奥梅尔
3 月 24 日。父亲是拿破仑军中的上尉，战后全家定居图勒。
1825
进综合工科学校
1827 年毕业，转入路桥学校；1830 年 10 月辞职。
1831
综合工科学校助教
同时在几所学校兼课，据说一周讲三十五到四十小时。
1833
积分能不能写成有限形式
12 月 2 日在科学院宣读，1835 年登在克雷勒的杂志第 13 卷。见本页第四件。
1836
创办《纯粹与应用数学杂志》
第一卷里就登了斯图姆那两篇讲二阶线性方程的长文，还有他自己接着写的第一篇。
1837
展开式为什么收敛
第 2 卷第 16–35 页：一个换元把不均匀的弦化成几乎均匀的弦。见本页第二件。
1838
那个行列式恒等于 1
7 月，第 3 卷第 342–349 页。见本页第三件。同年任综合工科学校分析与力学教授。
1839
当选科学院院士
天文学部。
1840
e 不是二次方程的根
第 5 卷第 192 页，一页。教科书上证 e 是无理数的那套办法再往前推一步：ae + b/e = c 不可能。
1843
向科学院宣布伽罗瓦遗稿里的结果
并答应连同自己的评注一起发表。
1844
第一批超越数
5 月 13 日与 20 日，《科学院周报》第 18 卷第 883、910 页，两篇短札。见本页第一件。
1846
《伽罗瓦数学著作》
第 11 卷第 381–444 页，余下的放进下一卷。「告读者」署图勒，10 月 30 日。见本页第六件。
1848
当选制宪议会议员
4 月 23 日，阿拉戈举荐。1849 年落选。
1850
空间里保角的只有反演
第 15 卷第 103 页，只有一页。见本页第五件。
1851
法兰西公学院教授；超越数那篇重印补全
讲席是与柯西竞选得来的。杂志第 16 卷第 133–142 页，把 1844 年的两篇短札照录并补全。
1874
交出杂志
前后两辑三十九卷。第三辑起由雷萨尔主编，1885 年再交给若尔当。
1882
卒于巴黎
9 月 8 日。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

第一批写得出来的超越数

代数数没法被分数逼得太近；他造了一个能被逼得任意近的数，于是它不是任何代数方程的根。

\Bigl|\,x - \frac{p}{q}\,\Bigr| > \frac{1}{A\,q^{\,n}}

1844 年 5 月 13 日与 20 日，他在科学院连着宣读两篇短札，1851 年在自己的杂志上照原文重印、补全（第 16 卷第 133–142 页）。整件事靠一条不等式：x 若是一个 n 次整系数方程的根、又不是分数，用分数 p/q 去逼它，误差总大于 1/(A·q 的 n 次方)，A 是只与 x 有关的常数——因为把 p/q 代进方程再乘上 q 的 n 次方，得到的是一个不为零的整数，至少是 1。反过来，一个数若能被分数逼得比任何一个 1/qⁿ 都近，它就不是任何代数方程的根。他的例子是 1/l + 1/l 的 1·2 次方 + 1/l 的 1·2·3 次方 + ……：取 l = 10 就是 0.110001000…，第 1、2、6、24、120 位是 1，其余全是 0。截到第 m 项，分母是 1 后面 m! 个零，误差却只有 10 的 −(m+1)! 次方上下，也就是分母的 −(m+1) 次方：m = 5 时分母 120 位，误差已在小数点后第 720 位。演示里这个「逼近指数」一格一格往上爬，n 取多少的那道地板都挡不住。对照也在同一页上：换成 1/l + 1/l⁴ + 1/l⁹ + ……，指数是 (m+1)²/m²，只往 1 上掉，他写道由此「能推出的只是 x 不是有理数」；√2 的渐近分数则老老实实贴在 2 上，q² 乘误差收到 0.353553，即 1/(2√2)。这是已知最早被证明为超越的具体的数；e 要等埃尔米特 1873 年，π 要等林德曼 1882 年。

拖动截到第几项，看三个数的逼近指数怎么走；一路往上、哪一道虚线都拦不住的，就不是任何代数方程的根

截到第 3 项

截到第 3 项，分母是 1 后面 6 个零，误差却要到小数点后第 24 位才露头——误差约是分母的 4 次方分之一。一个 n 次代数数做不到这一点：把 p/q 代进它的方程、乘上 q 的 n 次方，得到一个不为零的整数，所以误差至少是 1/(A·q 的 n 次方)。刘维尔数每多截一项就越过一道线，没有哪一个 n 拦得住；平方数那一条的指数只往 1 上掉，√2 老老实实停在 2。

粗细不匀的弦，泛音照样排得齐

一根一头粗一头细的弦，第 n 个泛音的频率趋于 nπ 除以一个积分——那个积分只看粗细沿弦怎么分布。

\sqrt{r_n} \approx \frac{n\pi}{\int_0^1 \sqrt{g/k}\,dx}

他的杂志第一卷里，斯图姆登了两篇长文，讲 (kV′)′ + (gr − l)V = 0 这一类方程：弦的线密度 g、张力 k 沿弦变化，参数 r 只有取某些值时两端才都能固定住，那一串值就是这根弦的泛音。斯图姆证明第 n 个解在两端之间恰有 n − 1 个零点。刘维尔接下的是另一半：任意一个函数能不能按这串解展开，展开式收不收敛。1837 年的《第二篇论文》（第 2 卷第 16–35 页）里他做了一个换元：令 dz = √(g/k) dx，再把 V 乘上 gk 的四分之一次方，方程就化成 U″ + ρ²U = λU——几乎就是一根均匀的弦，λ 只是个小修正。由此读出：r 很大时 √r 近似于 nπ 除以 Z，Z 是 √(g/k) 从头积到尾的总量；展开式第 n 项的大小不超过 M/n²，于是级数收敛。他在引言里写，把稿子给斯图姆看，斯图姆「几乎当场」找到了另一个同样简单的证明。演示里那根弦一头细一头粗（g = (1+3x)²，Z = 2.5）：第 1 个泛音 √r = 1.1954，他的公式给 1.2566，差 4.9%；第 8 个 10.0345 对 10.0531，只差 0.18%。中间鼓一个包的那根更难：第 1 个差 29%，到第 6 个只差 0.17%。那个换元今天仍叫刘维尔变换；一般认为，一百年后物理学家在薛定谔方程里又把它重新发现了一遍，叫 WKB 近似。

第 3 个泛音

一头细一头粗的弦，第 3 个泛音：真值 √r = 3.7324，刘维尔的近似 nπ/Z = 3.7699，相对差 0.99%。Z 是 √g 沿弦积出来的总量——换元 dz = √g dx 之后，这根弦「看上去」就是一根长 Z 的均匀弦，只多了一个随泛音升高越来越不要紧的修正。

一团状态跟着方程走，面积只听一个数

在（位置，速度）平面上撒一团初值，让每一点照方程走：它会被拉长、卷成细丝，面积却只看加速度与速度有没有关系。

\frac{du}{dt} = u\,\frac{\partial P}{\partial x'}

1838 年 7 月那一期（第 3 卷第 342–349 页）只有八页，标题是《论任意常数变易理论的一则札记》。他要算的是一个行列式：n 阶方程 x 的 n 阶导数 = P(t, x, x′, …) 的解，连同它前 n − 1 阶导数，对 n 个初值求偏导，排成一个 n × n 的行列式 u。他证明：只要 P 不含第 n − 1 阶导数，u 就与 t 无关，而且在初值处等于 1，所以恒等于 1；若含，则 du/dt = u 乘上 P 对那一阶导数的偏导。换成一幅图：在（位置，速度）平面上撒一团初值，让每一点照方程走，这团东西会被拉长、卷成细丝，可它的面积一点不变，变的只有形状。P 可以明着含 t，外力随时间变也不要紧；要紧的只是加速度与速度有没有关系。阻尼就是那种关系：x″ = −sin x − γx′ 里 P 对 x′ 的偏导是 −γ，面积按 e 的 −γt 次方缩小。演示把单摆的一团初值推出去：无阻尼那一档 t = 10 时面积比 1.0000；γ = 0.3 那一档 0.0498，而 e 的 −3 次方是 0.049787；再加上一个外力 0.6 cos 1.3t，那一团乱成一条长带，面积照样守住。这条结论后来推广到一般的力学系统，在统计力学里叫刘维尔定理——相空间的体积守恒；馆里哈密顿那一页演示的辛积分器，就是要在离散的步子里也守住它。

t = 10.00

无阻尼 + 外力 0.6 cos 1.3t，t = 10.00：那一团的面积是起初的 1.0000 倍，刘维尔 1838 年的式子给 1.0000。加速度 −sin x + 0.6 cos 1.3t 里不含速度，面积就一丝不变——形状被拉成什么样都不要紧。

钟形曲线的原函数，为什么写不出来

∫e^(−x²) dx 不是算不出来，是被证明了写不成初等函数；判据是一个方程有没有有理函数解。

\int y\,e^{p}\,dx = R\,e^{p} \iff y = R' + p'R

1833 年 12 月 2 日他在科学院宣读了一篇论文，1835 年登在克雷勒的杂志第 13 卷第 93–118 页。第 94 页那条定理，他说「应当被看作单变量函数积分理论里的基本定理」：∫P dx 若能用有限次代数运算、指数与对数写出来，就一定写得成 t + A log u + B log v + … + C log w，t、u、v…w 都是代数函数，A、B…C 是常数。落到 ∫y·e 的 p 次方 dx 这一族上（y、p 是代数函数，p 不是常数），能积出来就必须是 e 的 p 次方乘一个代数函数 R，求导回去就是 y = R′ + p′R。钟形曲线正落在这一族：p = −x²，y = 1，要 R′ − 2xR = 1 有有理函数解。R 若有一个 k 阶极点，左边就有 k+1 阶的极点，右边没有；R 若是多项式，−2xR 的次数比 R′ 高一次，两边也对不上。于是没有 R，∫e^(−x²) dx 不是初等函数——正态分布的累积概率只好一张表一张表地印。把 1 换成一般的多项式 p(x)，这套推理给出一条干净的判据：p·e^(−x²) 积得成初等函数，当且仅当它在整条实轴上的积分为零；否则它总能拆成「初等的一块」加上「常数 c 乘误差函数」，c 恰是 p 在这个钟形权下的平均。2x² − 1 那一档 c = 0，原函数就是 −x·e^(−x²)；x² 那一档 c = 1/2，写不出来。计算机代数系统里的符号积分，是里施 1969 年沿着这条路做成的一个判定算法。

x⁰ 的系数 1x 的系数 0x² 的系数 0x³ 的系数 0

∫(1)·e^−x² dx：c = 1，写不成初等函数：再怎么凑，都会剩下 1 份钟形曲线的面积 (√π/2)·erf(x)。刘维尔的定理说，若积得出来，答案只能是「多项式 × e^−x²」这一种样子，而这个样子凑不出常数 c。

到了三维，保角的只剩反演

平面上每一个解析函数都保角，墨卡托投影就是其中一个；空间里保角的映射只剩相似、反演和它们拼起来的那些。

dx^2 + dy^2 + dz^2 = \lambda\,(d\alpha^2 + d\beta^2 + d\gamma^2)

平面上保角的映射多得是：每一个解析函数都是，z²、e 的 z 次方、墨卡托投影背后的那个对数都是——每一处的小圆映成小圆，只是大小变了。他在杂志第 13 卷（1848）第 220 页提过一句「空间里物体的地理式表示」：三维里能不能也这么画？1850 年第 15 卷第 103 页只有一页：威廉·汤姆孙在物理研究里用得很成功的「反向半径」变换，也就是反演，给出方程 dx² + dy² + dz² = λ(dα² + dβ² + dγ²) 的一族解；他补上一句：这个方程再没有别的解（λ 为常数时的线性解也包括在同样的公式里），「这条定理很重要，它填补了科学里的一个空白」。一般认为，证明写在同年他校订出版的蒙日《分析在几何上的应用》第五版的附注里。所以三维里保角的映射只剩相似、反演与它们的复合，一共十个参数；平面上那无穷多种，一个也搬不过来。演示在一片切片上看每一点处一个小球被映成什么：把平面上的 z² 照搬成 (x² − y², 2xy, z)，水平方向被拉长 2ρ 倍、竖直方向不动，小球成了扁球，这片切片上最大伸缩比是 3.04；把墨卡托照搬成 (log r, θ, φ)，赤道上还是圆的，离赤道越远越扁，比值恰为 1/sin θ，切片上到 4.90；反演处处是 1。这也是为什么三维里没有墨卡托那样的保角地图。

空间：z² 照搬：这片切片上最长伸缩与最短伸缩之比，最大 3.0414、最小 1.0296。平面上保角的映射，照搬到空间里就把小球压扁了。

一个没见过伽罗瓦的人，把他读懂了

伽罗瓦死后十一年，刘维尔在科学院宣布那批稿子里有东西；又过三年，他把它登在自己的杂志上，卷首写着一篇「告读者」。

伽罗瓦那一页讲的是被退稿三次与决斗前夜那封信，这一件讲的是信寄出去之后的十四年。1843 年，刘维尔在科学院宣布他在伽罗瓦的遗稿里找到了深刻的结果，并答应连同自己的评注一起发表。1846 年，《纯粹与应用数学杂志》第 11 卷第 381–444 页登出《埃瓦里斯特·伽罗瓦数学著作》，余下的一部分放进了下一卷。卷首那篇「告读者」署着「图勒，1846 年 10 月 30 日」。他没有替谁开脱：委员们批评这位年轻的分析学家写得晦涩，「这个责备是有根据的，必须承认」；太想简短，是这个毛病的根源——「笛卡尔说过，谈到超越的问题时，要超越地清楚」。接着笔锋一转：「但现在一切都变了。伽罗瓦不在了！别再对他作无用的批评；缺点放在一边，看优点吧。」他说自己是应埃瓦里斯特的朋友们的愿望、「差不多是在他弟弟的注视下」逐件研读他留下的全部文稿的，「补上几处小的缺口之后」，认出了那条定理的证法完全正确：素数次的不可约方程能用根式解，当且仅当所有的根都能由其中任意两个有理地表示出来。舍瓦利耶写的那篇讣闻他没有收，理由是里面有些对人对事过于绝对的评判；关于自己，他只写了一句：「我们既不认识、甚至从没见过这个不幸的年轻人，所以只守着几何学家的本分。」他许诺的那份评注，后来一直没有登出来。

故事展签

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1844：能被分数逼得太近的数，不可能是代数数→埃尔米特 1873 年证 e、林德曼 1882 年证 π 是超越数，化圆为方从此了结→今天判断一个常数能不能被有限位的分数存好，问的仍是它被分数逼近得有多快：数值逼近的精度从这里问起

1837：不均匀的弦也有一串泛音，任意形状都能按它们展开→斯图姆–刘维尔理论成了一切「本征值问题」的原型→薛定谔方程的能级、原子的谱线，都是这类问题的本征值——量子力学用的正是这一套

1838：跟着方程走的一团状态，面积只随 ∂P/∂x′ 变→推广到一般的力学系统，成了统计力学里的刘维尔定理：相空间的体积守恒→游戏物理引擎与长期轨道计算用辛积分器，就是为了在离散的步子里也守住这一条

1833–35：积分能写成有限形式，就只能长成那一种样子→里施 1969 年把它做成一个判定「积不积得出来」的算法→计算机代数系统里的符号积分，背后跑的就是这套算法

1846：把伽罗瓦的遗稿读懂、印出来→若尔当 1870 年的《置换论》把它写成一门系统的学问，有限域从此进了教科书→今天的纠错码与二维码，底下跑的都是有限域上的运算

他在哪几条专题里

专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写，全是 tracks.ts 推出来的。

人工智能你正在用的这个对话框1838 一团状态跟着方程流，体积怎么变只看散度（结构）

语录

「我好像记得，在哥德巴赫写给欧拉的一封信里说过一条这类的定理；但据我所知，它的证明从来没有给出过。」
—— 《论范围极广的几类量，其值既非代数的、也不能化为代数无理数》，《纯粹与应用数学杂志》第 16 卷（1851）第 140 页

「这条定理很重要，它填补了科学里的一个空白。」
—— 说的是三维里保角的映射只有反演一族。《纯粹与应用数学杂志》第 15 卷（1850）第 103 页

「但现在一切都变了。伽罗瓦不在了！别再对他作无用的批评；缺点放在一边，看优点吧。」
—— 《伽罗瓦数学著作》卷首「告读者」，《纯粹与应用数学杂志》第 11 卷（1846）第 382 页