Niccolò Tartaglia · 约1500–1557

塔尔塔利亚

一个一辈子没开过炮的算术教师，头一个拿几何去问炮弹落在哪里

x^3 + px = q:\quad u - v = q,\ \ uv = \left(\tfrac{p}{3}\right)^3,\ \ x = \sqrt[3]{u} - \sqrt[3]{v}

1539 年他写给卡尔达诺那首诗的第一段，换成今天的记号 · 原诗见《种种问题与发明》第九卷第三十四问

尼科洛·塔尔塔利亚约 1500 年生于布雷西亚。父亲米凯莱托养一匹马，替布雷西亚的驿站往贝尔加莫、克雷马、维罗纳送信，他六岁上下父亲就死了，母亲带着三个孩子过得很苦——他后来说连父亲姓什么都不知道。1512 年法军攻破布雷西亚，他跟着母亲、妹妹躲进主教座堂，还是被砍了五刀，其中一刀横过嘴和牙，把上下颚都劈开了；母亲买不起药膏，就照狗舔伤口的样子，只是一遍遍替他把伤口洗干净。伤好了，说话却结巴，同龄的孩子叫他「塔尔塔利亚」——意大利话里的「结巴」——他就认了这个名字。他没有上过学：去跟一位先生学写字，学费分三期交，第二期交不起，字母只学到 k，剩下的是照着先生写的字帖自己描会的。拉丁文、欧几里得、代数，全是自学。

他后来在维罗纳教算术，1534 年迁到威尼斯，此后一直靠教书、出书过活。1535 年 2 月，他在一场三十道题对三十道题的公开较量里赢了菲奥尔，因为他在截止前八天想通了「立方加若干物等于数」的解法；1539 年卡尔达诺把这套解法问了去，那一段馆里卡尔达诺那一页讲过了。他自己的书多半写给没读过拉丁文的人：1537 年的《新科学》通常被当作拿数学讨论炮弹的第一部书；1543 年他印出了《几何原本》的意大利文译本，已知是这部书最早的意大利文印本；1546 年的《种种问题与发明》是九卷对话，炮术、军阵、筑城、力学、代数都有，里面还夹着他自己的身世；1551 年的《艰难的发明》讲怎样把沉船抬起来，顺带用意大利话讲解阿基米德的《论浮体》；晚年写《数与量通论》，头两部分生前印出。1557 年 12 月 13 日，他卒于威尼斯。

《种种问题与发明》1554 年威尼斯再版的扉页木刻像，像下的牌子上刻着「NICOLO TARTALEA」；书由作者本人自印（扉页末行「APPRESSO DE L'AUTTORE」）· archive.org 所藏扫描，公有领域

生平

约1500
生于布雷西亚
父亲米凯莱托替驿站骑马送信，他六岁上下就死了。
1512
布雷西亚之劫
法军破城，他在主教座堂里被砍了五刀，一刀劈开上下颚。伤好后说话结巴，「塔尔塔利亚」这个外号从此跟了他一辈子。
1531
维罗纳：炮口抬多高最远
老堡里一位炮手朋友来问，他答：抬到 45°，并教他用一把带四分之一圆与铅垂线的矩尺去量。
1532
圣卢西亚野地里的赌局
两位炮兵队长各打一发：第 6 点 1972 竿，第 4 点 1872 竿。
1534
迁居威尼斯
此后一直在威尼斯教书、出书。
1535
胜菲奥尔
2 月 12 日（威尼斯历仍算 1534 年）想通「立方加物等于数」的解法，离交题的期限还有八天；对方三十道题他两个小时做完。
1537
《新科学》
炮弹的轨迹、45° 最远、同一个靶子两个仰角。献词署 12 月 20 日，威尼斯。
1539
写给卡尔达诺的诗
3 月在米兰，他把解法写成二十五行的诗交了出去，同一次谈话里说自己正在把欧几里得译成意大利话，已经译到第十三卷。
1543
意大利文《几何原本》
已知最早的意大利文印本。同年还印了阿基米德几种著作的拉丁文本。
1546
《种种问题与发明》
九卷对话：炮术、军阵、筑城、力学、代数，第九卷把他与卡尔达诺的来往连信带诗全印了出来。
1548
米兰对费拉里
8 月 10 日公开辩论，卡尔达诺没有到场。那一段见卡尔达诺那一页。
1551
《艰难的发明》
怎样把沉船抬起来；另附一部意大利话的对话，讲解阿基米德《论浮体》。
1557
卒于威尼斯
12 月 13 日。《数与量通论》的后几部分是他死后才印齐的。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

45° 与维罗纳的一场赌

他一辈子没开过一炮，却说炮口抬到矩尺第六点最远——有人拿钱在野地里赌了一把。

\frac{R(30^\circ)}{R(45^\circ)} = \sin 60^\circ \approx 0.866 \quad\text{vs}\quad \frac{1872}{1972} \approx 0.949

《新科学》的献词从 1531 年讲起：他住在维罗纳，老堡里一位炮手朋友问他，炮口抬多高打得最远。他坦白自己「这辈子没放过一枪，火炮、火绳枪、臼炮、手铳都没有」，想了一阵，答 45°，还教朋友做一把矩尺：一臂伸进炮口，两臂之间嵌一段四分之一圆，挂一根铅垂线；四分之一圆分成 12 个「点」，每点 7.5°，铅垂线落在第 6 点就是 45°。第二年两位炮兵队长为这件事打赌，拿一门「二十号长炮」在圣卢西亚的野地里各打一发：抬到第 6 点的打出 1972 竿，低两点的（30°）打出 1872 竿。他接着写了一句很少被引的话：照道理，低两点那一发相对说来打得太远了——要么量错了，要么报给他的数不准，要么对方装药装得更好。第二卷命题八是他的论证：平射时炮弹的「猛烈运动」结束在地平线以下，竖射时结束在最高处，中间必有一档恰好结束在地平线上，那一档就是两端的正中，45°；他自己承认这种「从小到大必经相等」的推法几何学家不收。今天回头看，两头各对一半。没有空气时 45° 确实最远，30° 只剩 sin 60° = 0.8660，比赌局报来的 1872/1972 = 0.9493 小得多——他挑出来的那一处「不对劲」是真的。可那多出来的一截不是量错了，是空气：演示里给一个示意的二次阻力，调到比值恰为 0.9493 时，最远的仰角约 40.8°，45° 只比它近 0.8%。赌局赢得不冤，而他的论证里没有空气。

拨矩尺上的点，看十二个仰角的弹道；再拨空气阻力，看最远的那一档怎样从 45° 往下挪

炮口抬到第 6 点空气阻力 β = 1.05

真空里第 6 点（45°）最远，低两点只剩 0.8660；赌局报来的却是 0.9493——他当场说低两点那一发「相对说来打得太远了」。当前模型里这个比值是 0.9493，最远的仰角是 40.8°：多出来的那一截，是空气给的。

直线、一段圆弧、再直直落下

他把弹道画成三段，还用一步二次方程算出了第一段有多长；九年后他自己说，炮弹连一步都不走直线。

x^2 + 20x = 100 \ \Rightarrow\ x = \sqrt{200} - 10 \approx 4\tfrac{1}{7}

《新科学》第二卷的假设二说：炮弹斜着打出去，先走一段看上去是直的路，再走一段圆弧，最后沿圆弧末端的切线竖直落下。命题九要算 45° 那一发的直线段有多长。他先取一个前提——45° 的射程约是平射直线段的十倍（他说这一点「将在第四卷给出」，那一卷从没印出来）——然后作图：把竖直落下的那条线往上延长，与 45° 的直线交于一点；从炮口向下作那个圆的切线，与同一条竖线交于另一点。这三点围成的三角形在炮口处是直角、两腰相等，是半个正方形，面积 100；那段圆弧所在的圆与三边都相切。他设半径为「一物」，把三角形拆成三块算面积：10 物加 √(200 平方物) 等于 100，移项、平方，得到「一平方加 20 物等于 100」，解出物 = √200 − 10，约作 4 又 1/7（真值 4.1421，差万分之二）。而从炮口到切点的直线段恰好等于半径，所以 45° 的直线段约是平射的 4 又 1/7 倍。一个炮弹问题，就这样落成了一道二次方程。可这张图本身是错的。1546 年《种种问题与发明》第一卷第三问，乌尔比诺公爵问他：平射的炮弹总有五十步是直的吧？他答：除了竖直上下，它连一步也不走直线。公爵说这是胡话。真空里的答案是抛物线，要到 1638 年伽利略的《两门新科学》才写下来。

射程是平射直线段的 10 倍

射程取平射直线段的 10 倍时，那个圆是半个正方形的内切圆，半径——也就是 45° 的直线段——等于 (√2 − 1) × 10 = 4.1421。他取十倍，解出 √200 − 10，约成「4 又 1/7」。九年后他自己说：炮弹连一步都不走直线。

同一个靶子，两条路

一低一高两个仰角能打中同一点——他说这件事「古人今人都没有说过、想过」。

R(\theta) = \frac{v^2}{g}\sin 2\theta = R(90^\circ - \theta)

《新科学》的献词里，他在 45° 之后又列了一件自以为全新的事：凭道理认出，怎样「由两条不同的路」打中同一点，也就是给炮两个不同的仰角；并且找到了实行的办法。括号里他说，这两件事「古人今人都没有说过、想过」。献词里没说是哪两个角；射程怎样随仰角变化，他说要放进第四卷，而第四卷始终没有印出来。这件事在今天的两个模型里各是一个样子。没有空气时，射程与 sin 2θ 成正比，而 sin 2θ = sin(180° − 2θ)，所以 θ 与 90° − θ 射得一样远：靶子在最远射程的八成处，两条路是 26.57° 与 63.43°，和恰为 90°。有了空气，两条路仍然都在，却不再互余：用第一件展品里对上赌局的那一档阻力，同一处靶子要 21.15° 与 61.77°，和只有 82.92°；靶子越远，两条路越往最远的那个仰角（约 40.8°）靠拢，到了最远处合成一条。高的那一条飞得久、落得陡，低的那一条来得快、擦着地面进来——炮手在两条路之间挑哪一条，要看靶子前面挡着什么。「同一个射程有两个仰角」这句话，今天中学物理课本里写的是真空那一半。

靶子在最远射程的 80%

低的 26.57°，高的 63.43°，和是 90.00°。没有空气时它们恰好互余：θ 与 90° − θ 射得一样远。他在 1537 年说，这件事「古人今人都没有说过、想过」。

一首二十五行的诗，就是一套算法

三段，三种三次方程；最后一段写着「一千五百三十四年，在大海环绕的那座城」。

x^3 = px + q\ \Rightarrow\ x = \sqrt[3]{u} + \sqrt[3]{v}

这首诗怎么被问去、后来闹成什么样，卡尔达诺那一页讲过了；这里只照着诗算。它印在《种种问题与发明》第九卷第三十四问，记的是 1539 年 3 月在米兰卡尔达诺家里那次谈话。他说自己怕临时想不起来，把解法「编成了押韵的一章」，诗写得不雅也不在乎，能记住就行。第一段九行对「立方加若干物等于数」：找两个数，差等于那个数，积等于物数三分之一的立方，两数的立方根相减就是答案。第二段九行对「立方单独在一边」：把那个数分成两份，积同样是物数三分之一的立方，两个立方根相加。第三段只有三行：第三种「用第二种来解，只要看得仔细，两者生来几乎相连」。拿他自己的题来试最合适。同一卷第二十五问里他回忆 1535 年出给菲奥尔的三十道题，还记得第三道「一个量加上它立方根的四倍得 13」，就是 x³ + 4x = 13，照第一段算得 1.797665；第四道「一个量减去它的三个立方根剩 10」，就是 x³ = 3x + 10，照第二段算得 2.612888。第三段藏着一道坎：x³ + q = px 只要有正根，就一定是两正一负三个实根，它在第二种里的伙伴就分不出那两份——积要的比两份能给的最大值还大，那正是卡尔达诺那一页的「不可约情形」。所谓「几乎相连」的那一步，先要绕一趟虚数。末段的年份也要算一下：诗里写「一千五百三十四年」，第二十五问里他说解法是「2 月 12 日」找到的，「在威尼斯算 1534 年」——威尼斯历以 3 月 1 日为岁首，照今天的算法是 1535 年 2 月。

照第一段算 x³ + 4x = 13：差为 13、积为 (4/3)³ 的两个数，立方根相减得 1.797665。

人的方阵与地的方阵

每个兵左右占三尺、前后占七尺：人数排成方的，地上就是一根长条。

c = \sqrt{\frac{49N}{21}} = \sqrt{\tfrac{7}{3}N}

《种种问题与发明》第四卷讲怎样把兵排成阵，头几问是一位伯爵、一位军士长和一位修道院长轮着问。第一问：一队步兵要排成方阵，每排几人？开平方。100 人每排 10 人；200 人每排 14 人，多出的 4 人放在队尾；35000 人每排 187 人，多出 31 人。可他马上补一句：照韦格蒂乌斯的说法，每个兵左右要占 3 尺、前后要占 7 尺——身前 3 尺、身后 3 尺、身子本身 1 尺——所以 10 乘 10 的这种「人的方阵」在地上占 70 尺长、30 尺宽，看上去不止是长方。第四问就是军士长接着问的：要一块「地的方阵」，占地是正方形的，怎么排？他的规则是：人数乘 7 的平方 49，除以 21，再开平方，就是每排的人数。例子是 3600 人：乘 49 得 176400，除以 21 得 8400，开方得 91、余 119，每排 91 人。那个 21 他也交代了来历：三排、每排七人，前后 3 乘 7 是 21 尺，左右 7 乘 3 也是 21 尺，恰好方的，一共 21 人——这是这种阵最小的一块。换成今天的写法，每排 c 人、共 r 排，要 3c = 7r 且 cr 等于总人数，于是 c 的平方等于总人数的三分之七，也就是乘 49 除以 21。第二问问行军：每排几人，才能一声令下就地并成方阵？开平方再除以 3：81 人每排 3 人走 27 排，停下时把 27 排三等分、后两段依次开到前段旁边，就是 9 乘 9。第五问排楔形阵，一排比一排多两人，1、3、5、7……100 人正好十排，末排 19 人，「因为 100 是平方数」。

兵数 3600

3600 人排成地的方阵：每排 91 人，共 40 排，占地宽 273 尺、深 280 尺，深是宽的 1.026 倍。乘 49 除以 21 再开方，就是把「前后 7 尺、左右 3 尺」这一比算进去。

五处刀伤，字母只学到 k

他在自己的书里讲了这个名字是怎么来的。

《种种问题与发明》第六卷讲筑城，第八问里，对方忽然问起他的出身，他就讲了。父亲米凯莱托养一匹马，替布雷西亚的驿站把信送到贝尔加莫、克雷马、维罗纳；他连父亲姓什么都不知道，大家只叫他「骑马的米凯莱托」。父亲在他六岁上下死了，母亲带着他、一个哥哥、一个妹妹，家里一无所有。1512 年法国人洗劫布雷西亚，他跟母亲、妹妹和一街的邻居躲进主教座堂，以为在那里至少保得住命，结果当着母亲的面被砍了五刀：三刀在头上，每一刀都看得见脑膜；两刀在脸上，他说要不是有胡子遮着，自己看上去就是个怪物。其中一刀横过嘴和牙，把上下颚都劈开了，他既说不出话，也嚼不动东西，只能喝流食。母亲没钱买药膏，更请不起医生，就学狗——狗受了伤只用舌头把伤口舔干净——一遍遍替他把伤口洗干净，几个月里把他救了回来。伤好之后他说话结巴，同龄的孩子给他起了外号「塔尔塔利亚」，他说为了记住这场灾难，干脆就用了这个名字。问他跟谁学的，他说五六岁时上过几个月认字的学；大一点又去跟一位弗朗切斯科先生学写字，学费分三期：先交三分之一，学会从 A 写到 k 再交三分之一，全会了交剩下的。第二期交不起，他就弄来几份先生写的字帖，自己照着学。从那以后，他说，再没有过别的老师，只跟着一个名叫「勤奋」的穷人家的女儿，在前人的书上下功夫。

故事展签故事展签：一个外号，一份交不起的学费，和他在自己书里写下的身世。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1537 年：45° 射程最远，一低一高两个仰角打中同一点→伽利略 1638 年《两门新科学》：真空里的抛物线→今天游戏引擎与物理引擎里抛出去的每一颗弹

炮手的矩尺：十二个点的四分之一圆→按仰角查射程的射表→火控计算与今天的轨道计算

1539 年那首诗：三次方程的解法编成韵文→卡尔达诺的《大术》与邦贝利的虚数→数值求根：计算器与求解器里解方程的那一步

1543 年：第一部意大利文《几何原本》→工匠、炮手、测量员不必懂拉丁文也读得到欧几里得→测量、船舶与桥梁工程的几何课本

1551 年《艰难的发明》：用浮力把沉船抬起来→阿基米德《论浮体》的意大利话讲解→今天的船舶打捞与潜艇的浮力调节

语录

「我这辈子从没放过一枪——火炮、火绳枪、臼炮、手铳，一样都没有。」
—— 《新科学》献词，1537 · 大意，据里费尔 1845 年法译转译。紧接着他给出了炮口该抬多高

「我把在这门学问上算过、写过的东西全都撕了、烧了——完善一门伤害邻人、毁灭人类的技艺，是可耻的。」
—— 同一篇献词 · 大意。下一段他又说：看见那头凶狼正要扑向羊群，这些东西不能再藏着了

「我这样吝啬，不是为了这一章本身，而是为了由它能找出来的那些：它是一把钥匙，打开通向无穷多别的章的路。」
—— 《种种问题与发明》第九卷第三十四问，1546 · 大意；记 1539 年 3 月在米兰对卡尔达诺说的话