Seki Takakazu · 约1642–1708

关孝和

他在消元的手稿里写下了行列式，在遗稿里留下一行伯努利数，把十三万边形的周长外推到第十八位——生前只印过一本书

P = p_2 + \frac{(p_2 - p_1)(p_3 - p_2)}{(p_2 - p_1) - (p_3 - p_2)}

《括要算法》卷贞「求定周」与「求约积」用的同一个式子（1712 年刊）：三档越来越细的近似值 p₁、p₂、p₃，拿两个差的积除以两个差的差，加到中间那一档上。拿三万二千七百六十八边到十三万一千零七十二边三档内接正多边形的周长这么一算，π 准到了第十八位；拿切成薄片的球算，一分不差。今天叫艾特肯 Δ² 加速，艾特肯是 1926 年发表的。

关孝和的生年没有可靠的记载，通行的 1642 年前后是后人推定的；一般说他生父是内山氏，后来过继给关家。他在甲府藩主德川纲重、纲丰父子手下管账，1704 年纲丰被立为将军的继承人，他随之成了幕府的直臣。他生前只印过一本书：1674 年的《发微算法》，解了泽口一之《古今算法记》（1671）书末留下的十五道「遗题」。那本书只写出每道题最后那条方程，不写怎么得来，招来不少怀疑；1685 年弟子建部贤弘写了《发微算法演段谚解》，把中间的推演一步步补出来。推演靠的是他在中国天元术上改出来的一套笔写记法：天元术一次只能设一个未知数、写在算筹的格子里，他把系数写成文字、写在旁边，几个未知数可以同时带着走——后来叫「点窜术」。

他的大部分东西是以手稿在门人之间传抄的。1683 年的《解伏题之法》讲怎样从几条方程里把未知数一个个消掉，为此写下了按对角线正负相乘的展开，也就是行列式，比莱布尼茨 1693 年给洛必达的那封信早十年，两边互不知道。1708 年他在江户去世。一年多以后，弟子荒木村英给整理出来的遗稿写了跋，1712 年正月刊成《括要算法》四卷，卷一里有一行十二格的「取数」，就是后来的伯努利数；卷四里算圆周率、弧长与球积。十八世纪后期起有人称他「算圣」，他那一派传下来的叫「关流」。

《括要算法》卷贞首叶「求圆周率术」· 正德二年（1712）正月刊本 · 日本国立国会图书馆藏，国立国会图书馆数字馆藏，公有领域。他没有在世时的画像传下来，今天常见的那幅坐像是后人画的；于是照本馆的老办法放他的书。这一叶署「关氏孝和先生遗编」，校阅的是弟子荒木村英与大高由昌；左边是「圆周之图」，底下是答数：径一百一十三，周三百五十五

生平

约1642
生年不详
通行的 1642 年是后人推定的；日本国立国会图书馆的和算展览直接写「生年不详」。一般说生父是内山氏，后过继给关家。
1661
传写《杨辉算法》
日本方面的说法：这一年他见到东传的朝鲜翻刻本《杨辉算法》，亲手抄了足本。本馆杨辉那一页讲的就是这部书怎么传下来的。
1674
《发微算法》
他生前唯一刊印的书，解泽口一之《古今算法记》留下的十五道遗题，只给结果、不给推演。
1683
《解伏题之法》
手稿，通行定作这一年。从几条方程里消去未知数，写下交式斜乘——行列式的展开。见本页第一件。
1685
建部贤弘作《谚解》
弟子建部贤弘写《发微算法演段谚解》，把《发微算法》省掉的推演补出来，回应外界的质疑。
1704
成为幕府直臣
主君甲府藩主德川纲丰被立为将军的继承人（后来的第六代将军家宣），他随之进了幕府。
1708
卒于江户
宝永五年，今历 12 月。身后遗稿由弟子整理。
1710
荒木村英写跋
「孝和先生没后，遗文残稿所论述之算法犹多」——跋署宝永己丑季冬中浣，即宝永六年十二月中旬，按今历约在 1710 年 1 月。
1712
《括要算法》刊行
正德二年正月上旬，四卷，按元亨利贞分卷；京都、大阪、江户的书肆同时发售。比雅各布·伯努利的《猜度术》早一年。
1937
《解伏题之法》謄写本
东京的古典数学书院把它油印出来——这部手稿两百五十多年里一直是抄本。本馆第一件就据这个本子。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

交式斜乘

为了从几条方程里消掉未知数，他把系数排成方阵、斜着一条条乘——二、三、四阶都对，五阶那张表照原样展开，恒等于零。

《解伏题之法》讲的是「伏题」：未知数藏在几条方程里，要一个个消掉，最后剩一条只含一个未知数的方程。消到最后那一步，要判断的是一组系数凑在一起等不等于零——他把这件事写成了一套乘法。第五篇「生剋」说：各式逐一交乘就得到正项（生）与负项（剋），「虽然，相乘之数位繁多不易见，故以交式斜乘代之」。办法分两步。先按一张「换式」表把各列重排——换三式一行、换四式三行、换五式十二行，每一行由前一阶的表「递添一」得来；再在每一种排法里，从左往右斜着乘 n 条、从右往左斜着乘 n 条，斜线走到边上就绕到另一边接着走。奇数阶左斜为生、右斜为剋；偶数阶两边都正负相间。照这个规则展开，二阶 2 项、三阶 6 项、四阶 24 项，逐项与今天的行列式相同。五阶本该有 120 项，表上也确实给出 12 × 10 = 120 项，可演示逐项一比就露出来：十二行全是偶置换，每一行的右斜恰好是另一行的左斜，同一项一正一负出现两次——不同的只有 60 项，加起来不管填什么数都是零。这一处今人早已指出，是抄写之误还是别的原因，已不得而知；据今人研究，后来他与建部兄弟合编的《大成算经》里给出了正确的一般展开。本馆所据是 1937 年古典数学书院的謄写本，那个本子没有抄年款，1683 年是通行的定年。欧洲这边，莱布尼茨 1693 年在给洛必达的信里写下同一个东西，那封信到 1850 年才印出来；两处都没有发表，也互不相知。

选阶数与第几行交式，看左右斜线怎么绕、每一项记的是生还是剋；五阶照原表加起来恒为零

3 阶：6 项里互不相同的 6 个，符号记对的 6 个；照规则相加得 -48，真的行列式是 -48。这一阶他的规则就是完整的行列式。

十二格的取数

1712 年《括要算法》卷一的一张三角表底下，有一行十二格：全、二分之一、六分之一、空、三十分之一……就是后来的伯努利数。

\sum_{k=0}^{p} \binom{p+1}{k} B_k = p+1

卷一「垛积总术」讲的是 1 到 n 的 p 次方之和怎么一次写出公式。第 27 张是一个对开：右页一张「式图」，从基数、圭、平、立到十乘，每一列是一行二项式系数；左页最底下一行十二格，他叫「取数」，逐格写着：一级「全」，二级「取二分之一为加」，三级「取六分之一为加」，四级「空」，五级「取三十分之一为减」，六级「空」，七级「取四十二分之一为加」，九级「取三十分之一为减」，十一级「取六十六分之五为加」，其余偶数级都是「空」。这正是 B₀ 到 B₁₁，连 B₁ 取正二分之一的约定都与雅各布·伯努利自己的写法一样。前一页用七级做例子，把一格怎么由前面几格算出来一步不省地写了：七个二分之一、二十一个六分之一、一个一，三位相并得八，寄位；三十五个三十分之一，得一又六分之一，以减寄位，余六又六分之五；拿「原法」七去减，余六分之一为实，以七为法，得四十二分之一。用今天的话说，就是 C(7,0)B₀ + C(7,1)B₁ + … + C(7,6)B₆ = 7。演示把十二格逐一重算，并拿它代回去求和，与逐项硬加对账。本馆雅各布·伯努利那一页已经讲过同一串数怎么一口气写出任何次方的和；这里讲的是关孝和怎么一格一格把它填出来。《括要算法》1712 年正月刊行，《猜度术》1713 年出版，两部书都是作者身后才印出来的，两边互不知道。

求第七级代回去验：n = 10

第七级的取数是 1/42（原刊：四十二分之一，为加）。拿前七级的取数代回去：1 到 10 的 6 次方之和，公式给 1978405，逐项硬加得 1978405——一样。

十三万边形之后，再走一步

内接正多边形边数加倍十五次，十三万一千零七十二边形的周长也只准到第九位；拿最后三档一外推，准到第十八位。

卷四「求圆周率术」先老老实实硬算：径一尺的圆里内接正方形，边数一次次加倍，每一档用勾股求弦、以边数乘弦得周长，一直做到 2 的 17 次方边，每一档的勾、股、弦、周都印在书上，周长印到小数点后十九位上下。演示把十六档的前十五位小数逐位抄下，与今天算的真值比：十五档一位不差；二百五十六边那一档印作 3.1415138011|43010|7633 弱，真值是 3.1415138011|44301|07632……——把真值第十一位那个「四」删掉，后面九位与印本一字不差，连「弱」字都对。印本在这里脱了一个「四」字，好在下一档是从勾股弦往下推的，不受影响。硬算到这里，十三万边形只准到第九位。接着是第二步「求定周」，原文是：列 32768 角周与 65536 角周差，以 65536 角周与 131072 角周差相乘为实；前一差内减后一差为法；实如法而一，加入 65536 角周，「得三尺一寸四分一釐五毫九丝二忽六微五纤三沙五尘九埃微弱，为定周」。3.14159265359 微弱——拿真值来外推，得 3.14159265358979323860，比 π 只大 1.4 × 10⁻¹⁹。这一招管用，是因为相邻两档的差一次缩成约四分之一，缩得很规矩，于是可以替后面无穷多档一次补齐。今天这叫艾特肯 Δ² 加速，艾特肯 1926 年发表；卷四后面算球的体积，他又用了一遍。

从 32768 角起三档

32768、65536、131072 角三档外推：差 π 1.4 × 10⁻¹⁹，而最后一档自己差 3.0×10⁻¹⁰。这正是他那一步：十三万边形只准到第九位，外推一步准到第十八位。

一路加三或加四

3/1 起步，比定周小就周率加四、径率加一，比定周大就周率加三、径率加一——他把一百一十三行全列了出来，走到 355/113 停下。

有了定周 3.14159265359，他还要一个好用的分数。第三「求周径率」的办法叫「零约」，原文是：周率三、径率一为初；以周率除以径率，得数少于定周者，周率加四、径率加一，多于定周者，周率加三、径率加一，各累加之，「其数列于后」。于是径率每一行正好加一，一行不跳：3/1、7/2、10/3、13/4、16/5、19/6、22/7、25/8……书上从第 38 张到第 43 张是一张三栏的表——周率、径率、周数——从「古法三一三整」一行一行列到「三百五十五一百一十三三一四一五九二九二弱」，中间第一百行还印着 315/100「三一五整」。演示照这条规则重走一遍，逐行与印本对过：113 行里多于定周的 97 行、少于的 16 行；一路上离 π 最近的纪录依次换成 13/4、16/5、19/6、22/7、179/57……333/106，最后是 355/113，与 π 只差 2.67 × 10⁻⁷。表后他写了一句：定周虽有微不尽，要让分数恰好合上，周率径率就得是很长的数，「故以此而今为定率也」——就用 355/113。这个分数祖冲之五世纪就给过，本馆祖冲之那一页讲的正是它；这里讲的是另一条走到它的路：不去猜，也不用辗转相除，只是一行一行地加。纵轴画的是周率比径率乘 π 多出多少：多了每行少 0.1416，少了一步补回 0.8584，锯齿一样来回，355/113 那一格离零最近。

走到第 113 行

第 113 行 355/113 = 3.1415929204，多于定周。到这一行为止的纪录有 14 个，最末一个是 355/113。原刊的表就停在这一行：355/113 与 π 只差 2.67 × 10⁻⁷。

球切成一百片，一分不差

把直径一尺的球切成五十片、一百片、两百片，三次都差一点；拿求定周那一步再走一遍，差的那一点整个补齐。

卷四最后一题：「假如有立玉，贯一尺，问玉积若干」，答数是五百二十三又三百三十九分之二百零三立方寸。做法先切片：厚二分截五十片，每片按上下两面的「弦幂」（弦的平方）取平均、乘厚，书上把半个球那二十五片的弦幂与截积逐片列了出来——第一片弦幂 7.84、截积 0.784，第二片 15.36 与 2.32……相并、倍之，得「六百六十六寸四分为初积」；厚一分得中积 666.6，厚五釐得后积 666.65。演示逐片精确重算，三个数与原刊逐位相同。然后是第四「求约积」，与求定周一字不差的那一步：两差 0.2 与 0.05 相乘，除以两差之差，加到中积上——得 666 又三分之二。这一次不是「微弱」，是精确值：弦幂是矢的二次式，梯形取平均少算的恰好是厚度的平方乘 20/3，一丝不多一丝不少，两差之比精确地等于四分之一，外推把误差整个消掉。注意他切的是「方截面」的立体——弦幂是弦的平方，不是圆面积；最后一步才乘 355/113 再除以 4，得 523 又 203/339 = 523.598820，与真值 523.598776 的差全出在 355/113 上。收尾一句「玉法」：径的立方乘 355、除以 678。

初积：半球切 25 片，倍之得 666.40 立方寸。三档两差之比恰好 1/4，外推得约积 666 又 2/3——这一次是精确值；乘 355/452 得玉积 523 又 203/339。

老衰疏懒，因循经年

他死后，遗稿在弟子手里放了一年多。写跋的荒木村英说自己早想编成书，只是老了、懒了，一年拖一年——最后动手的是另一个弟子。

关孝和生前印过的只有 1674 年那本《发微算法》，而且只给答案、不给推演。其余的东西——消元、行列式、取数、定周——都以手稿在门人之间传抄。1708 年他在江户去世。《括要算法》卷四末尾有一篇跋，署「宝永己丑季冬中浣」，即宝永六年十二月中旬，按今历约在 1710 年 1 月，作者是他的弟子荒木村英：「孝和先生没后，遗文残稿所论述之算法犹多。予尝欲汇成一书，然老衰疏懒，因循经年。顷间门人大高由昌承予志，著《括要算法》。」他接着说，翻开这部书，才知道先生的学说「发一理、贯通之妙」；圆周率、弧矢弦、立圆积率、角率、垛积、诸约之法，考遍古今和汉之书，鲜见其正术。书在正德二年正月上旬刊出，四卷按「元亨利贞」分，版末列着京都、大阪、江户几家书肆的名号。那是 1712 年，比《猜度术》早一年。行列式那部《解伏题之法》没有这么幸运：它一直是抄本，本馆据的是 1937 年东京古典数学书院的油印本，印在昭和十二年五月。他的生年至今没有可靠的记载；十八世纪后期起，后人称他「算圣」。

故事展签

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1683：为了消元，把系数排成方阵斜着乘→行列式成为线性代数的基本量，判断一组方程有没有唯一解→今天的线性方程组求解器与电路、结构的工程仿真，第一步都要看系数矩阵是不是奇异的

1712：十二格的取数，一格由前面几格算出→欧拉–麦克劳林求和公式建在同一串数上，把一个和换成积分再加修正项→数值积分库里修正端点误差、估计截断误差，用的仍是这串数

1712：三档周长两个差一除，π 从第九位跳到第十八位→理查森外推（1911）、艾特肯加速（1926）、龙贝格积分（1955）一路传下来→今天的数值积分与微分方程求解器用外推把粗网格上的结果加速，省掉成倍的计算

1712：周率加三或加四，一行行逼近 355/113→用小分母的分数去逼近一个实数，后来由连分数给出系统的答案→齿轮传动比的设计与计算机里的有理数近似算法，找的都是这种分母不大、误差又小的分数

1712：把球切成薄片，一片片算面积再加起来→切片求体积成了积分最直观的讲法→今天的 CT 医学影像把人体一层层扫描再叠起来，算器官体积也是逐片相加

语录

「右各逐式交乘而得生剋也。虽然，相乘之数位繁多不易见，故以交式斜乘代之。」
—— 《解伏题之法》第五「生剋」，据 1937 年古典数学书院謄写本（国立国会图书馆数字馆藏）。原文是汉文，这里照录

「定周虽有微不尽，欲令之适合，则周径率及繁位，故以此而今为定率也。」
—— 《括要算法》卷贞「求周径率」表末，说的是为什么取 355/113。据正德二年刊本（国立国会图书馆数字馆藏）。原文是汉文，这里照录

「孝和先生没后，遗文残稿所论述之算法犹多。予尝欲汇成一书，然老衰疏懒，因循经年。」
—— 荒木村英《括要算法跋》，署宝永己丑季冬中浣（按今历约 1710 年 1 月）。说这话的是他的弟子，不是他本人

「右所录六篇，所以解伏题之法也。但举一二而为之例矣，学者须要分明理会得也。书不尽言而已。」
—— 《解伏题之法》卷末，据 1937 年古典数学书院謄写本。原文是汉文，这里照录