数学群星MATHEMATICAL LUMINARIES

John Napier · 1550–1617

纳皮尔

他把乘除换成了加减：先想出两个一快一慢的点，再照它排出一张每一分一行的正弦对数表

Nap log⁡x=107 ln⁡107x\mathrm{Nap}\,\log x = 10^{7}\,\ln\frac{10^{7}}{x}
今天的写法。1614 年他给的是一个运动学定义（见第一件），没有底数、也没有 e：整正弦 10000000 的对数是 0，正弦每缩到一半，对数就多出 6931471.8

约翰·纳皮尔 1550 年生于爱丁堡城外的默奇斯顿城堡，父亲阿奇博尔德后来做到苏格兰铸币厂厂长。1563 年他十三岁进圣安德鲁斯大学，名字不在后来的学位名单上，一般认为他没拿学位就去了欧洲大陆，在哪里读书没有留下记录；1571 年前后回到苏格兰，此后一辈子是个经营庄园的领主，书名页上署的是「默奇斯顿男爵」，拉丁名写作 Neperus。他是激烈的新教徒，自认为最要紧的著作是 1593 年那本《圣约翰启示录全解》，在欧洲大陆译成了荷、法、德文；数学是在神学与庄园之外挤时间做的事。1614 年他在爱丁堡出版了《奇妙的对数表的描述》，九十页的表把正弦之间的乘除一律换成加减。1617 年又出了《筹算术》，教人用十根刻着九九表的方柱与一张棋盘做乘除开方。同年 4 月 4 日卒于爱丁堡。讲那张表怎么造出来的《构造》，1619 年才由儿子罗伯特付印。

「乘对应加」这件事不是他头一个注意到的：1544 年施蒂费尔的《整数算术》已经把 1、2、3、4…… 与 2、4、8、16…… 上下对齐。难处在于把这条对应做得足够密，密到任何一个七位数都查得到，而且每一格都准。瑞士钟表匠比尔吉也独立做出了一张这样的表，一般认为他动手更早，可直到 1620 年才在布拉格印出来，两人的办法不同。纳皮尔的表是第一张印出来、传开了的对数表，logarithmus 这个词也是他造的，一般认为取自希腊文的「比」与「数」。馆里开普勒那一页的《鲁道夫星表》用的就是这种新东西。可他的对数与今天的不一样：没有底数，1 的对数也不是 0。把 0 挪到 1 上、改成以 10 为底，是他与布里格斯 1615 年夏天在爱丁堡商定的，见本页第六件。

纳皮尔肖像
佚名画家，油画，1616 年 · 苏格兰国家美术馆藏（PG 2228）· Wikimedia Commons，公有领域。画上题着「John Napier of Merchiston」与「ÆTATIS SVÆ 66」（时年六十六），左上角是纳皮尔家的纹章与年份 1616——他卒前一年。左手按着一本书，身旁一架天球仪

生平

  1. 1550
    生于默奇斯顿城堡

    爱丁堡城外。父亲阿奇博尔德那年十六岁。

  2. 1563
    进圣安德鲁斯大学

    十三岁。名字不在后来的学位名单上，一般认为他转去了欧洲大陆。

  3. 1593
    《圣约翰启示录全解》

    他自认为最要紧的著作，在欧洲大陆译成了荷、法、德文。

  4. 1614
    《奇妙的对数表的描述》

    爱丁堡，安德鲁·哈特印。前面讲定义与用法，后面九十页是表。见本页第一、三件。

  5. 1615
    布里格斯来访

    夏天，从伦敦北上，住了整整一个月。两人商定改成 1 的对数为 0。见本页第六件。

  6. 1616
    第二次来访；英译本出版

    布里格斯带来新表的主要部分。同年爱德华·赖特的英译本在伦敦出版。

  7. 1617
    《筹算术》

    题献给苏格兰大法官西顿。十根方柱、乘法匣、棋盘上的位置算术三样。见本页第四、五件。

  8. 1617
    卒于爱丁堡

    4 月 4 日。

  9. 1619
    《奇妙的对数表的构造》

    儿子罗伯特付印，附布里格斯的注。书里管对数叫「人造数」。见本页第二件。

  10. 1624
    布里格斯《对数算术》

    一到两万、九万到十万的常用对数，十四位。「致读者」里记下了 1615 年那一个月。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

两个点同时出发，对数是走出来的

一个点匀速走；另一个点越走越慢，速度与剩下的路成正比。前一个走过的路，就是后一个剩下那段的对数。

ab=cd  ⟹  L(a)−L(b)=L(c)−L(d)\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \;\Longrightarrow\; L(a) - L(b) = L(c) - L(d)

1614 年《奇妙的对数表的描述》第一卷第一章给的不是公式，是六条定义。第一条：一个点在相等的时刻里走过相等的路，这条线叫「等量增长」。第二条：一个点从整个正弦（半径，取 10000000）的一端出发，每一刻切掉的一段与切之前剩下的那段成同一个比例，这条线叫「按比例缩短」——越往后切得越少，永远到不了头。第六条：两个点同时出发、起步一样快，一个等量增长、一个按比例缩短；后者缩到某个正弦时，前者走过的那段路，就是这个正弦的对数。推论紧跟在后面：整正弦 10000000 的对数是 0，比它大的数，对数「小于无」。第二章第一条命题随之而来：成比例的数，对数等差——a 比 b 等于 c 比 d，a 的对数减 b 的对数就等于 c 的对数减 d 的对数，比例里的乘除从此只剩加减。今天把它写成 10⁷ 乘 ln(10⁷/x)：演示里正弦每缩到一半，匀速的那个点都恰好多走 6931471.8。它不是今天的自然对数：两数之积的对数不是两个对数之和，而是 ab/10⁷ 的对数，所以他的比例式里总带着那个整正弦，而一般的比例两边一约，这个 10⁷ 就消掉了。同一章末尾他交代了为什么把 0 给了整正弦：本来给谁都行，可整正弦在三角计算里出现得最勤，它的对数是 0，加减它就永远不添麻烦。演示另有两档把「一刻」取得很粗：每刻切掉十分之一，匀速点只走到连续情形的 0.9491 倍；切掉一半，只到 0.7213 倍。他造表时每一刻只切千万分之一，这个倍数与 1 只差亿分之五。

正弦从 10000000 缩到 2,500,000.0，匀速点走了 13,862,943.6——那就是它的对数。正弦每缩到一半，对数都多出同一个 6931471.8；他的表上 30° 那一行（正弦 5000000）印的是 6931469，为什么差了 2.8，见下一件。

镇馆之宝 · 亲手玩

「倘若你没算错」

造表的第二步他写：「你会发现（倘若你没算错）末项是 9995001.222927。」该是 .224804——差在第十位，整张表的对数因此都小了千万分之 3.7 上下。

a−ba⋅107<L(b)−L(a)<a−bb⋅107\frac{a-b}{a}\cdot 10^{7} < L(b) - L(a) < \frac{a-b}{b}\cdot 10^{7}

表是怎么造出来的，他生前没有印。1619 年儿子罗伯特把遗稿《奇妙的对数表的构造》付印，序里说这篇东西写于「对数」这个词发明之前好几年，所以书里管它们叫「人造数」。办法只用减法与移位：第一张表从 10000000 起，每一步减去自己的千万分之一，一百步到 9999900.0004950；第二张表每一步减去十万分之一，五十步；第三张表每一步减去两千分之一，二十步一列，列与列之间每一步减去百分之一，排成六十九列，最后一格 4998609.4034，已在整正弦的一半以下。每一格的对数都夹在两条界之间：从 a 走到 b，对数的增量大于 (a − b)/a、小于 (a − b)/b，各乘上整正弦，他取两条界的中间。第二张表的末项，他在第 17 节写：「你会发现（倘若你没算错）它是 9995001.222927。」照他的步子重算，是 9995001.224804，差 0.0018770，落在第十位有效数字上。这个数随即被拿去推 9995000 的对数，他得 5001.2485387，而真值是 5001.2504168；第三张表的每一步都背着这点差，六十九列乘下来，整张表的对数都按几乎同一个比例小了千万分之 3.73 到 3.76（9995000 那一步是 3.755，每一列那一步摊薄成 3.732）。演示把 30° 那两页上抄下的四十行（30°0′–8′ 与 30°30′–60′）、八十个对数摊在一张图上，纵轴是印出的数减去今算的真值：点都挤在一条过原点的斜线两旁，而《构造》里他亲手算的三个数正落在这条线上。30° 的正弦 5000000，他印 6931469，真值 6931471.8；把那个比例乘回去，这四十个正弦对数与真值平均只差 0.03，剩下的最多两三个单位。所以这张表的偏差不是抄错，也不是舍入，而是造表第二步里乘错的一个数。

切换「他印的」与「照他的步子重算」，看误差从哪一步来；在 30° 那一页上挑一行，看它落在斜线的哪里

30°0′：正弦 5000000，他印的对数 6931469，按这个正弦今算 6,931,471.81，差 −2.81；同一行右栏（60°0′ 的正弦 8660254）对数 1438410，差 −0.41。左栏的对数比右栏大四五倍，偏得也多四五倍。

一页七栏：正弦、正切、正割都在一行里

每一分一行，左边读一个角，把书倒过来从右边读它的余角；中间那栏是两边之差，正好是正切的对数。

L(tan⁡θ)=L(sin⁡θ)−L(cos⁡θ),L(sec⁡θ)=−L(cos⁡θ)L(\tan\theta) = L(\sin\theta) - L(\cos\theta), \quad L(\sec\theta) = -L(\cos\theta)

表占了书的后九十页，每一度两页、每一分一行，一共七栏：左边是分、正弦、对数，中间一栏叫「差」，右边是对数、正弦、分。一行管两个角：从左上往下读是 30°0′、30°1′……，把书倒过来从右下往上读，同一行就是 59°60′、59°59′……——左边的正弦恰是右边那个角的余弦。中间那栏是左右两个对数之差，也就是正切的对数；它的栏头印着「+ | −」：角小于 45° 时是正数，从另一头读那个大于 45° 的角时取负号。正割的对数不用另印，就是余弦的对数添一个负号，余割同理。第一卷第四章他自己举了例子：正弦 6946584 在 44°0′ 那一行，对数 3643349；正切 2186448 对应 12°20′，查中间一栏得 15203064；77°40′ 的正切去查同一行，同一个数取负，−15203064；正割 18118009 对应 56°30′，对数是 −5943212。一张表于是顶了今天的六张。演示里拖动角度，看同一行怎么同时给出这几样；旁边并排印今算的真值，他的数与真值之差，除了末位舍入，就是上一件讲的那个千万分之 3.7 上下——他那五个例子折回去，差都不到一个单位。这套排法是为三角计算准备的：第二卷拿它解平面与球面三角形，每一步都是查两三个数、加加减减。

30°0′：正切的对数 5493061，是正的（栏头的「+」）；正割的对数 −1438410，就是余弦的对数添一个负号。

十根筹，每根四面，刻满九九表

十根方柱正好是 0 到 4 里取两个数的全部十种搭配；他算过，小于 11111 的数一个不漏都摆得出，11111 摆不出。

《筹算术》第一卷第一章教怎么做：用银、象牙、黄杨木之类，做十根方柱，每根长约三指、宽是长的十分之一，四面各分九格，每格划一条从左下到右上的对角线；一面刻一个数字的一倍到九倍，两位数就把十位与个位分在对角线两边。刻法有讲究：每根相对的两面，数字加起来是 9，而且倒着刻。按他列的次序排下来，十根筹的正面与右面恰好是 0 到 4 里取两个数的全部十种搭配，每个数字在十根筹上各出现四次。他说再没有哪种刻法比这更富余：小于 11111 的数一个不漏都摆得出，而 11111 要五个 1，摆不出。他还给了更一般的界：小于 10¹⁰ 的数，除非它与它的「对头」（加起来是 9 的数字）算作一类之后，有一类出现五次、两类合起来出现八次、或三类合起来出现十次，否则都摆得出；二十根时这三个数是九、十五、十九，三十根时是十三、二十二、二十八。这正是 1935 年霍尔那条配对定理在这里的样子：每一组数字要的筹，不能多过能刻它们的筹。今天拿逐个匹配的算法把二十万个随机的十位数验一遍，与他的界一个不差。乘法在第三章，他的例子是当年的年份 1615 乘 365：把 1、6、1、5 四根筹并排，第 3、6、5 行各自顺着对角线相加，读出 4845、9690、8075，错开一位相加得 589475。难的乘法于是只剩抄数与加法。

1615 × 365：乘数的每一位各读一行——第 3 行 4845、第 6 行 9690、第 5 行 8075——错开相加得 589475。这 4 位数在十根筹上摆得出。

棋盘上只有 1、2、4、8

竖走一格值翻倍，斜走值不变——两条规矩，就能在棋盘上做乘除开方，这是二进制算术最早印出来的样子之一。

《筹算术》末尾附了一卷《位置算术》。序里他说，找省力办法的时候，在对数、筹与乘法匣之外还碰上了这一种：加、减、乘、除乃至开方，全靠在棋盘上把棋子挪来挪去，「所以它该叫游戏，不该叫劳作」。一个数先要换成「位置记号」：a 记 1、b 记 2、c 记 4、d 记 8……，每个字母是前一个的两倍。他举的是当年的年份 1611：依次减去 1024、512、64、8、2、1，记作 abdgkl；另一种换法是一路除以二，逢奇数就在那一格放一子——正是今天把十进制换成二进制的两种办法。棋盘上的规矩只有两条公理：像车那样竖走一格，值翻一倍；像象那样斜走，值不变。第九章的乘法这样做：一个数摆在底边，一个摆在右边，两边每一对子横竖相交的那一格放一子，得到一块长方形的子阵，积就是它们值的总和；再把子斜着滑到边上，同一格里两子并成上一格的一子，读出来就是积。他做了两个例：19 乘 13，即 abe 乘 acd，得 247；1206 乘 604，一路并子并到 524288，合起来 728424。演示把两例都摆出来，一步一步走。这比莱布尼茨 1703 年那篇《二进制算术解说》早八十六年；不同的是他没有用 0 和 1 两个符号记数，只把它当成棋盘上的一套挪法。

19 记作 abe，13 记作 acd；落子 9 枚，滑到边上、两两并掉之后剩 7 枚，读出 247（abcefgh）。他第九章的第一个例子。

爱丁堡的一个月

1615 年夏天，伦敦的几何学教授布里格斯北上住了一个月。两人商定：1 的对数是 0——常用对数就是这么来的。

1614 年那本书传到伦敦，格雷欣学院的几何学教授亨利·布里格斯一边给学生讲，一边觉得有个地方该改。十年后他在自己那部《对数算术》（1624）的「致读者」里把经过写了下来：他讲课时发觉，若整正弦的对数仍取 0，而它的十分之一——也就是 5°44′21″ 的正弦——的对数取 10000000000，会方便得多，当即写信告诉了作者；一等到学期放假，就动身去了爱丁堡，「受到极殷勤的接待，在那里住了整整一个月」。谈到怎么改时，纳皮尔说他早就这么想过，也盼着这么做，只是已经印出来的那一套先放着，等事务与身体允许再造更方便的；而且他认为该这样改：1 的对数是 0，整正弦的对数是 10000000000。布里格斯写道：「我不能不承认，这要方便得多。」于是他丢开自己已经算了的那些，照这个办法重新算；第二年夏天又去了一趟，把算出来的主要部分给他看，「第三个夏天我也乐意再去，倘若上帝让他活得那么久」。纳皮尔 1617 年 4 月 4 日去世。同年出版的《筹算术》，题献信里已经把这件事交代了：他说新找到的一种对数「比原来的好得多」，可因为身体不好，新表的推算留给精于此道的人，「首先是最博学的亨利·布里格斯先生，伦敦的几何学公共教授，我最亲爱的朋友」。同一封信还说，那十根筹早已被许多人用开，「甚至带到了外国」，朋友劝他赶紧自己印出来，免得被人拿去用别的名字发表。以 10 为底的常用对数由此而来，此后三百多年的滑尺、航海表与工程手册都用它。至于两人初次见面相对无言足有一刻钟的那个故事，出自占星家利利多年以后的转述，只当传闻。

故事展签

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1614：把正弦之间的乘除换成对数的加减→开普勒 1627 年的《鲁道夫星表》用上了它，此后三百年的天文计算与航海定位都靠查对数表→今天的分贝、星等、音阶的半音，都是按比例而不是按差刻的尺子：导航与天文里的对数刻度从这里开始
1614：一个点的速度与它剩下的路成正比→这就是指数衰减：剩下的量每过相同的时间，按同一个比例缩短→放射性衰变的半衰期、电容放电、药物在血液里的代谢，都是这条运动
1615：与布里格斯商定，1 的对数是 0、以 10 为底→1624 年布里格斯印出十四位的常用对数；稍后有人把对数刻在尺子上，成了滑尺→计算器上的 log 键，与工程师三百多年里的滑尺是同一样东西
1617：十根刻着九九表的方柱，乘法只剩抄数与加法→十七世纪的机械计算器把同样的查表加法做进了齿轮→数字计算机的乘法器里，仍是「部分积错位相加」这一套算法
1617：棋盘上的位置算术，数都拆成 1、2、4、8 之和→1703 年莱布尼茨发表只用 0 和 1 的记数法，同一套算术换了一种写法→每一台数字计算机做乘法，都是移位与相加

他在哪几条专题里

专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写， 全是 tracks.ts 推出来的。

语录

「本来给哪一个正弦、哪一个量配上 0 作对数都行；可最好是给整正弦，免得它的对数——在一切计算里出现得最勤——日后加加减减，给我们添一丁点麻烦。」

—— 《奇妙的对数表的描述》第一卷第一章末的「提醒」，1614

「你会发现（倘若你没算错）它是 9995001.222927。」

—— 《奇妙的对数表的构造》第 17 节，第二张表的末项，1619（据 1620 年里昂版第 10 页）。照他的步子重算是 9995001.224804

「加、减、乘、除，乃至开方，全凭棋子挪来挪去，所以它该叫游戏，不该叫劳作。」

—— 《位置算术》序，附于《筹算术》，1617

「新表的推算，因我身体不好，留给精于此道的人；首先是最博学的亨利·布里格斯先生，伦敦的几何学公共教授，我最亲爱的朋友。」

—— 《筹算术》题献信，致苏格兰大法官、邓弗姆林伯爵亚历山大·西顿，1617