James Joseph Sylvester · 1814–1897

西尔维斯特

剑桥考了第二名却拿不到学位，一辈子换了七八份差事：替两条方程排出一个判公共根的方阵，给二次型起了「惯性」这个名字，六十一岁又漂洋过海，去巴尔的摩教书、办杂志。

\begin{vmatrix} a & b & c & 0 \\ 0 & a & b & c \\ l & m & n & 0 \\ 0 & l & m & n \end{vmatrix} = 0

1840 年《哲学杂志》第 16 卷：ax² + bx + c = 0 与 lx² + mx + n = 0 的系数各错开一格排两行，叠成一个方块。它的值为零，两条方程就有公共根——他说这样得出的结果「没有多余的因子要丢，也没有互相抵消的项」。

詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特 1814 年 9 月 3 日生于伦敦一个犹太家庭，父亲名叫亚伯拉罕·约瑟夫；长兄早年去了美国，改姓西尔维斯特，弟兄们后来都跟着改了。少年时在伦敦大学（后来的大学学院）读过五个月，德摩根教过他；1829 年转到利物浦皇家学院的学校，数学远远超出同学，却因为信仰受同学欺负，一度逃学，坐船跑到了都柏林。1831 年进剑桥圣约翰学院，中间病休两年，1837 年 1 月数学荣誉考试第二名——同一榜的第四名是早已自费印过那本电磁小册子的格林。可那时要拿剑桥的学位得签署英国国教的信纲，他不签：学位没有，史密斯奖不许考，研究员也当不成。他转到都柏林三一学院拿了学士与硕士（1841）；剑桥的学士学位要等到 1872 年 2 月 29 日才补给他。

此后的差事一份接一份：1838 年伦敦大学学院的自然哲学教授，1839 年 4 月当选皇家学会会员，才二十五岁；1841 年去弗吉尼亚大学，几个月就回来了；1844 年起在一家人寿保险公司做精算师，1846 年进内殿律师学院、1850 年取得律师资格，与凯莱在林肯律师学院的院子里边走边谈不变量；1855 年起在伍利奇皇家军事学院教了十五年数学，同年与费勒斯合办《纯粹与应用数学季刊》。1876 年，六十一岁，他去巴尔的摩新办的约翰斯·霍普金斯大学当首任数学教授，1878 年创办《美国数学杂志》。1883 年 12 月他当选牛津的萨维尔几何学教授，1885 年 12 月 12 日作就职讲演，讲的是一门新题目。1897 年 3 月 15 日卒于伦敦。《数学论文集》四卷，1904–1912 年由贝克编成；他终身未婚，写诗，还出过一本《诗律》。

埃姆斯利油画，1889 年，剑桥圣约翰学院藏 · 据《西尔维斯特数学论文集》第四卷（剑桥，1912）卷首照相凹版，图下是他的亲笔签名 · archive.org，公有领域（画家卒于 1918 年）

生平

1814年9月3日
生于伦敦
父亲名叫亚伯拉罕·约瑟夫。「西尔维斯特」是长兄在美国改的姓，弟兄们都跟着改了。
1837年1月
数学荣誉考试第二名
剑桥圣约翰学院。同榜第四名是格林。不肯签署国教信纲，学位与史密斯奖都与他无缘。
1838
伦敦大学学院自然哲学教授
成了德摩根的同事；次年 4 月 25 日当选皇家学会会员，二十五岁。
1840
消元的方阵
《哲学杂志》第 16 卷：两条方程的系数错开排成方块，「单凭目测」写出消元的结果。
1841
弗吉尼亚大学
漂洋过海去当数学教授，几个月就回了英国；同年从都柏林三一学院取得学士与硕士学位。
1844
人寿保险公司的精算师
此后十年没有教职；1846 年进内殿律师学院，1850 年 11 月 22 日取得律师资格。
1852
惯性定律
《哲学杂志》第 4 卷：二次型化成平方和，正项、负项的个数与怎样换变量无关。名字是他起的。
1855
伍利奇皇家军事学院
9 月 15 日就任数学教授，一直做到 1870 年；同年 4 月《纯粹与应用数学季刊》创刊，他是主编之一。
1872年2月29日
剑桥补授学士学位
距他参加荣誉考试三十五年。1871 年剑桥取消了学位的宗教考查。
1876
约翰斯·霍普金斯大学
六十一岁再渡大西洋，年薪五千美元「以金币支付」，在巴尔的摩教了八年。
1878
《美国数学杂志》创刊
学校出钱、他来主持；第一卷里就有他一篇讲「新原子论」与二元型的长文。
1880
分数的连锁
《美国数学杂志》第 3 卷：一个真分数逐步拆成单位分数；2、3、7、43、1807……贴着下限走的那一串。
1883年12月
牛津萨维尔几何学教授
接史密斯的讲席，六十九岁。这个讲席的第一任是布里格斯，后来坐过的有沃利斯与哈雷。
1893年3月1日
《教育时报》第 11851 题
有限个点不全共线，是否必有一条直线只过其中两点？当年刊出的解答不完整，半个世纪后才有证明。
1897年3月15日
卒于伦敦
八十二岁。《数学论文集》四卷由贝克编成，1904–1912 年出齐。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

两条方程有没有公共根，一眼看出来

不必去解。把两组系数各错开一格排成几行，叠成一个方块：它的值为零，两条方程就有一个公共的根。

1840 年他二十五岁，在《哲学杂志》第 16 卷上发表了一篇四页的短文，题目就叫《单凭目测求两条任意次方程的导出式的方法》。规则写得像一道手艺：n 次方程的系数排成一行，右边补 m − 1 个零，然后一格一格往右挪，排出 m 行；m 次方程的系数照样排出 n 行；两组叠在一起，就是一个 m + n 见方的「实心方块」。再把各行的全部排列分成偶、奇两半，各把对角线上的积加起来，两和之差就是「消元的结果，化到了最简——没有多余的因子要丢，也没有互相抵消的项」。他自己举的例子是两条二次方程 ax² + bx + c 与 lx² + mx + n：四行四列，24 种排法里只有 8 种碰不到零，其中一对恰好是同一个积、而且同号，合起来 7 项，确实一项也不抵消。这就是今天说的西尔维斯特矩阵，它的行列式叫两个多项式的结式。要说明白：「消去一个未知数、看两式有没有公根」这件事欧拉与贝祖在十八世纪已经在做，他给的是这张一眼就排得出来的方阵——次年他在《剑桥数学杂志》上把这套办法叫作「dialytic」（拆开来消）。本件取 x² − 3x + 2 与 x² + Bx − 2：照他的规则把 24 种排法乘出来，与把前一式的两个根 1、2 直接代进后一式相乘，两条路逐位相同，都是 2(B² − 1)，只在 B = ±1 两处为零——那两处恰好一个公根是 1、一个是 2。

g 的一次项系数 B = 0.50

B = 0.50：照他的规则把 24 种排法乘出来，两和之差是 −1.5；把 f 的两个根代进 g 相乘，也是 −1.5。不为零，所以两式没有公共根。

换多少次变量，正负的个数都不变

一个二次型化成平方和，系数怎么换都行，可正的几个、负的几个永远不变。他说这是附在它身上一个「不可改变的数」，起名叫惯性。

1852 年《哲学杂志》第 4 卷，一篇五页的文章，正题是另一件事：二次型用正交替换化成平方和时，要解的那条方程的根一定都是实的——他说柯西、雅可比、博尔夏特都证过，他的证法是新的。写到一半他顺手说了一句：「不论用什么线性替换，正交的也好，不是的也好，把一个多项式化成 ΣAx² 的形式，正、负系数的个数都不变：这很容易证明。」接着拿它推出一件具体的事：先消去含第一个变量的交叉项，再消第二个……所得的系数依次是 D₁、D₂/D₁、D₃/D₂……（D 是左上角各阶主子式），所以「不论把变量按什么次序排」，1、D₁、D₂、…… 这一串的变号数都一样——变号的次数，正是负的特征根的个数。篇末他给这条定律起了名字：「照我对物质之量的物理含义的看法，我倾向于类比着称它为二次型的惯性定律，表达的是这样一类形式上附着一个不可改变的数。」本件取 x² + y² − 2z² + 4xy + 6yz：三个特征根是 −4.091、0.188、3.903，正二负一；六种变量次序的主子式串，例如 1、1、−3、−3 与 1、−2、−11、−3，数值各不相同，却都恰好变号一次。再拿随机的整数方阵一次次换变量，系数、特征根、消元所得的三个数全跟着变，正二负一不变，行列式始终是 −3 乘一个平方数。今天判断一个函数的驻点是极小、极大还是鞍点，看的就是那个二次型正负几个。

消元的次序 (x,y,z)

原来的变量：按 (x,y,z) 的次序消元得 1.000、−3.000、1.000，三个特征根是 −4.091、0.188、3.903——数全不一样，却都是正 2 个、负 1 个。

2、3、7、43、1807

一个真分数拆成单位分数，每一步取还放得下的最大一块；一步一步贴着下限拆 1 本身，就得到一串每走一步位数翻一番的数。

1880 年《美国数学杂志》第 3 卷，他自己说是读了康托尔《数学史讲义》里古埃及人拆分数的那一章想到的。他把这种拆法叫「连锁」（sorites），每一步的分母叫一个「元」：取比余数倒数的整数部分大 1 的那个整数，余下的再照样拆。余数的分子只减不增，所以任何有理数都拆得完，而且只有这一种拆法。例子是他自己给的：4699/7320 = 1/2 + 1/8 + 1/60 + 1/3660，分子一路是 4699、2078、1984、1920；335/336 = 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/48。本件逐步复算，都对。相邻两元之间有一条硬约束：后一个至少是前一个的平方减前一个加一；处处取等号，就是「极限连锁」2、3、7、43、1807、3263443……拆的是 1 本身，永远拆不完——前 n 块之和离 1 恰好差 1 除以（下一项减 1）：1/2、1/6、1/42、1/1806、1/3263442，每一步位数翻一番。这串数今天叫西尔维斯特数列。附言里他说 1807 = 13 × 139，其余的都是素数（本件核过 3263443 确是素数），还列了一张余数表：按 r 变成 r² − r + 1 除以 p 取余往下走，走到 0 就说明 p 整除这串数里的某一项。表列到 199，二十一行里本件逐项复算，十九行一字不差；79 那一行在 31 之后印作 61，应作 62，于是漏掉了循环里的五步；109 那一行的循环节印了 32、12、24、8 四项，漏了 57。两处都不影响他要说的：200 以内能整除某一项的素数只有 2、3、7、13、43、73、139、181。每一步取最大一块这种拆法本身并不新，一般认为斐波那契 1202 年的《计算之书》里已经有；他添的是「一定拆得完」与那串极限的数。

4699/7320 = 1/2 + 1/8 + 1/60 + 1/3660，他原文就是这么拆的。贴着下限一路走下去的那一串 2、3、7、43、1807、3263443……拆的是 1 本身：前 n 块之和离 1 恰好差 1/(下一项 − 1)，每走一步位数翻一番。

只有 4 和 7，凑不出的有九个

两种面值互素，凑不出的数只有有限个，而且恰好是 (p − 1)(q − 1)/2 个：把 k 与 pq − k 配成一对，每一对里恰好有一个凑得出。

1882 年《美国数学杂志》第 5 卷上一篇五十多页讲「半不变式」的长文，推到一处要数「px + qy 小于 pq 的非负整数解有几个」，他说这是「能想到的最简单的情形」，顺手验了一遍：比 pq 小、又既不是 p 的倍数也不是 q 的倍数的数有 (p − 1)(q − 1) 个；「把每两个和为 pq 的配成一对，其中一个是 p 与 q 的组合，另一个不是——这是个容易证明、却绝非不重要的事实」，所以凑不出的恰好一半。1884 年他把它出成《教育时报》的第 7382 题：「p 与 q 互素，证明小于 pq、不能拆成 p 的倍数与 q 的倍数之和（零也算）的整数，个数是 ½(p − 1)(q − 1)。」题后附了一个例子：p = 4、q = 7 时是 9 个——1、2、3、5、6、9、10、13、17。同一页刊出了夏普用生成函数给的解答。本件逐一核过这 9 个数，又把 2 到 24 之间所有互素的一对面值都跑了一遍：个数都等于 (p − 1)(q − 1)/2，他那条配对也逐对成立。例子里最大的那个 17 恰好是 28 − 4 − 7，一般地最大凑不出的数是 pq − p − q；这一句他两处原文里都没有写，本件不归给他。今天这类问题通称弗罗贝尼乌斯硬币问题：面值多于两种时，最大凑不出的数至今没有一般的公式。

面值 p = 4面值 q = 7

面值 4 与 7：凑不出的有 9 个，恰好是 (4 − 1)(7 − 1)/2；最大的是 17。这正是他 1884 年题目里附的例子：1、2、3、5、6、9、10、13、17。

镇馆之宝 · 亲手玩

每两点的连线，都过第三点？

有限个点不全在一条直线上，就一定有一条直线恰好只过其中两点。他 1893 年把它登成一道征解题，当年刊出的解答不完整，此后半个世纪没有人证出来。

1893 年 3 月 1 日的《教育时报》，「待解问题」一栏第 11851 题，署「西尔维斯特教授」：「证明：不可能把有限个实点排成这样——过其中每两点的直线都经过第三点——除非它们全在一条直线上。」那年他七十八岁，在牛津。5 月 1 日那一期刊出了伍德尔的一份解答：拿掉一个点，其余各点两两的连线都得穿过拿掉的那个位置，「这是荒谬的」——解答后面方括号里的按语说：这看来不是完整的证明，接着给的另一种归纳式的想法「同样不完整」。此后半个世纪没有人证出来。已知最早的证明是梅尔基奥尔 1941 年用射影对偶给的；1943 年埃尔德什在《美国数学月刊》上把它重新提出来，1944 年刊出加莱的证明，今天叫西尔维斯特–加莱定理。后来凯利给了一个很短的证法：在所有「一个点与一条不过它、却过至少两点的连线」里挑距离最近的一对，这条线就只过两点——它要是过三点，其中两点就落在垂足的同一侧，能挑出更近的一对。题目里那个「实」字不是闲笔：平面三次曲线有九个拐点，在复数里每两个拐点的连线都过第三个，九点十二线——所以这个定理在复平面上不成立。本件的点都落在格点上，共线用整数判定：三角形的三个顶点、三边中点与重心，七个点连出九条线，只过两点的恰好三条，就是三对中点的连线；要是这三对中点也能排在一条直线上，就成了那个七点七线的法诺平面，而在实平面上做不到。3 × 3 的格点九个点，连线二十条，只过两点的十二条。

选一种排法或拖动任何一个点：蓝线只过两点，灰线过三点以上；铜色是凯利证法里挑出的那一对最近的点与线

7 个点，两两连线 9 条，其中恰好只过两点的 3 条。拖动任何一个点（落在格点上），这个数会变，却永远不会是零。铜色是凯利证法里距离最短的那一对：那条线一定只过两点。

考了第二名，拿不到学位

剑桥不给他学位，伦敦、弗吉尼亚、保险公司、律师学院、伍利奇、巴尔的摩……他换了一辈子差事，六十九岁才在牛津坐上一个讲席。

1837 年 1 月的剑桥数学荣誉考试，前六名依次是格里芬、西尔维斯特、布鲁梅尔、格林、格雷戈里、埃利斯——第四名就是那位磨坊主的儿子。据贝克为《数学论文集》第四卷写的传略，那时要拿剑桥的学位得签署英国国教的信纲，一直要到 1871 年才废止。他是犹太人，不签，于是学位没有，照例由荣誉考试前几名去考的史密斯奖也不许他考，本该到手的圣约翰学院研究员职位多半也因此落空。多年后他自己的说法很苦：他是最早一批持「基督教的创立者从小所受的那种信仰」来争荣誉考试高名次的人之一。他转去都柏林三一学院拿了学位。1838 年伦敦大学学院请他当自然哲学教授，1841 年他渡大西洋去弗吉尼亚大学，几个月就回来了——贝克只说那里正为奴隶制吵得厉害，而他厌恶奴隶制，又似乎在两个学生的争执里出手太猛；流传的那些持手杖、拔剑的细节，各家说法对不上，这里不取。回到伦敦，他去人寿保险公司当精算师，又进律师学院，一度离开了数学；1851 年的一篇文章里他写道，凯莱「让我重新享受到数学的生活」。1854 年他应聘伍利奇皇家军事学院没被选上，被选上的人几个月后去世，第二年他才得到这个位子，一教十五年。1876 年约翰斯·霍普金斯大学开办，请他去，年薪五千美元「以金币支付」；他在那里想教什么就教什么，1878 年创办了《美国数学杂志》。1883 年 12 月，六十九岁，牛津选他接任萨维尔几何学教授，他成了一所古老英国大学的教授——贝克特意写了一句：「只是不是他自己那一所。」剑桥的学士学位在 1872 年 2 月 29 日补给了他。

故事展签故事展签：一张考第二名的榜单，和一辈子换不完的差事。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1840：两条方程的系数错开排成一个方阵，它的值为零就有公共根，不必求根→十九世纪的消元理论与二十世纪的计算机代数都从结式出发，求两条曲线的交点先算这个方阵→今天机器人运动学里求关节角、计算机辅助设计里求两张曲面的交线，都要先消去一个未知数

1852：二次型正负系数的个数不随变量改变，他起名惯性定律→判断一个驻点是极小、极大还是鞍点，看的就是那个二次型正负几个→今天的最优化求解器与神经网络训练，都要检查海森矩阵是不是正定

1880：真分数一步一步拆成单位分数，每步取最大的一块，一定拆得完→「每一步只取眼前最好的」这种做法后来有了专名：贪心算法→今天调度、压缩编码与找零钱的程序里，贪心算法什么时候最优、什么时候不是，是算法课的第一课

1884：两种互素的面值，凑不出的金额恰有 (p − 1)(q − 1)/2 个→面值多于两种时，最大凑不出的数没有一般公式，二十世纪成了整数规划里的一道难题→今天设计货币与邮票的面值、自动售货机与取款机的出钞组合，都要问哪些金额凑不出来

1893：有限个点不全共线，必有一条连线只过两点→1944 年加莱给出证明，此后「只过两点的线有多少条」成了组合几何的一整条研究线→今天的计算几何与计算机图形里，判定共线、找退化情形是每一个几何算法都要先处理的事

语录

「照我对物质之量的物理含义的看法，我倾向于类比着把它称为二次型的惯性定律：它表达的是这样一个事实——这类形式上附着一个不可改变的数，与它们分不开。」
—— 《证明每个齐次二次多项式都可用实正交替换化为正负平方之和》，《哲学杂志》第 4 卷（1852）；《数学论文集》第一卷第 381 页，大意

「上面这条定理，部分是在与凯莱先生的一次谈话中得到启发的——我重新享受到数学的生活，要归功于他。」
—— 1851 年的一篇文章，《数学论文集》第一卷第 246 页；据贝克的传略所引，大意

「难道不可以说，音乐是感官的数学，数学是理性的音乐？」
—— 《数学论文集》第二卷第 419 页；据贝克的传略所引，大意