Zhu Shijie · 约1249–约1314

朱世杰

他把四个未知数摆进同一张筹式，一个一个消掉；他的两部书都在中国失传过，一部从浙江的旧抄本里、一部从琉璃厂书肆的朝鲜刻本里找了回来

f(1)+\cdots+f(n) = n\,\Delta_0 + \binom{n}{2}\Delta_1 + \binom{n}{3}\Delta_2 + \binom{n}{4}\Delta_3

《四元玉鉴》卷中「如像招数」第五问的还原术（1303）：先求上差、二差、三差、下差，「以各差乘各积，四位并之，即招兵数也」——各积是今招、茭草积、三角积、三角落一积，也就是 n 与 n 取二、取三、取四的组合数。今天叫前向差分公式。

朱世杰，字汉卿，号松庭，燕山（今北京一带）人。关于他这个人，留下来的几乎只有两部书前的几篇序：1303 年莫若为《四元玉鉴》作序，说他「以数学名家，周游湖海二十余年矣，四方之来学者日众」；同一部书的另一篇序出自祖颐，说他「周流四方，复游广陵，踵门而学者云集」——广陵就是扬州。生卒年都没有记载，通行的约 1249 与约 1314 是后人推的，也有推作 1260 年前后生的。他留下两部书：1299 年的《算学启蒙》三卷二十门二百五十九问，由扬州的赵元镇出资刊印，从九九、九归、斤两换算讲起，一直讲到天元术；四年后的《四元玉鉴》三卷二十四门二百八十八问，还是赵元镇掏钱刻的，祖颐说二书「相为表里」，「前成始，而今成终」。

《四元玉鉴》的名字就是它的内容：天、地、人、物四元，也就是四个未知数。祖颐的序把这门学问的来路列得很清楚——蒋周、李文一、石信道、刘汝谐诸家书出，「后人始知有天元也」；李德载的《两仪群英集臻》兼有地元，刘大鉴的《乾坤括囊》末了才有两问用上人元；到朱世杰，才按天、地、人、物立成四元。一个未知数的天元术是十三世纪北方几家的成果，李冶的《测圆海镜》（1248）是其中传下来的一部；朱世杰把它推到二元、三元、四元，还配了一整套在筹算板上消元的办法。书里另有两门同样是他那一代的顶点：垛积，把沈括、杨辉那一路的堆垛求和推成一整族；招差，把历家拿来补日行表的差分内插推到四次，并写出了一般的系数。这两部书后来在中国都失传了，清代才先后找回来：《四元玉鉴》由阮元在嘉庆初年得到一部旧抄本，罗士琳补出细草刊行；《算学启蒙》则是罗士琳从京城人手里得到的一部朝鲜重刊本，出自琉璃厂的书肆。

《新编四元玉鉴》卷首「四象细草假令之图」中「四象会元」一叶 ·《宛委别藏》本（江苏古籍出版社 1988 年影印），Wikimedia Commons，公有领域。朱世杰没有画像传世，这里照本馆的老办法放他的书。《宛委别藏》是阮元在嘉庆年间搜访四库未收之书进呈内府的那一套；这一叶上半是三才运元的末尾（「内外相消，四约之……三乘方开之，得弦五步」），接着是四象会元的题与草，底下两格筹式就是本页第一件展品的今式与云式：格中一个「太」字标出常数的位置，负数在末位上斜画一道

生平

约1249
生年不详
通行的 1249 年是推定的，也有推作 1260 年前后。字汉卿，号松庭，燕山人。
13 世纪后期
周游湖海二十余年
莫若序：「以数学名家周游湖海二十余年矣，四方之来学者日众。」祖颐序：「周流四方，复游广陵，踵门而学者云集。」
1299
《算学启蒙》
大德己亥七月既望赵元镇序。三卷二十门二百五十九问，从九九讲到天元术；赵元镇出资刊行。
1303
《四元玉鉴》
大德癸卯上元日莫若序。三卷二十四门二百八十八问，卷首是四元术的四道假令，还有重印的「古法七乘方图」。赵元镇再次出资刻版。
约1314
卒年不详
通行的约 1314 年也是推定的；此后再无关于他的记载。
1660
朝鲜全州重刊《算学启蒙》
全州府尹金始振的重刊序说，他 1657 年居丧养病时得到一部朝鲜「国初印本」，末两纸漫漶过半，请精于算术的任濬补全，于是刊行，附上杨辉的望海岛一章。
嘉庆初年
阮元得《四元玉鉴》旧抄本
阮元自己的话：「元昔抚浙时获得玉鉴旧钞本，拟演细草未果。」《宛委别藏》里收着这部书的抄本。
道光年间
罗士琳补细草
甘泉罗士琳得到阮元那部的写本，补全细草刊布。本页的演示讲的那几道题，今天读得懂，靠的就是这一次补草。
1839
扬州据朝鲜本影刊《算学启蒙》
罗士琳从京城人手里得到一部琉璃厂书肆里的朝鲜重刊本，阮元作序，列出七条证据判定它确是朱氏原书；扬州同郡学人据朝鲜原刻本缩版影刊。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

四象会元：四个未知数，一张筹式

句、股、弦、黄方带句股弦各设一元，四个式子摆进同一张算筹格子，一元一元消掉，最后剩一条 4u² − 7u − 686 = 0。

4u^2 - 7u - 686 = (u - 14)(4u + 49) = 0

天元术只设一个未知数，一条方程写成一竖列算筹：常数那一格旁边注一个「太」字，其余各格依次是未知数各次幂的系数。朱世杰把这张格子往四个方向同时铺开：「立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上」，太居中；天元与地元相乘的项落在左下，天元与人元相乘的落在右下，以此类推。这样一格格摆下去，一张筹式就是一条含四个未知数的方程。卷首最后一道假令「四象会元」这样问：股乘五较与弦幂加句乘弦相等；句除五和，与股幂减句弦较相同；问黄方带句股弦共几何。立天元为句、地元为股、人元为弦、物元为所求。五较加起来是 2 倍的弦，五和是 2 倍句加 4 倍股加 4 倍弦——这两个和他在卷首另画了两幅演段图验过（3、4、5 时是 10 与 42）。于是得到今式、云式，加上勾股本身的三元之式和物元的定义，四式齐备。草文只有几句：「四式和会，消而剔之，皆物易天位……以左行消后式……内二行得式，其外二行得式；内外二行相消，三约得开方式。平方开之，得一十四步。」中间的每一步，罗士琳在五百多年后补的细草里都画成了一幅筹式。演示走的是今人的一条路，只做两种动作——把一式代进他式、约去不为零的公因子——四步消到只剩物元：12u³ − 21u² − 2058u = 0，约去 u 再三约，得 4u² − 7u − 686 = 0，正根 14。这条终式与原书的开方式逐数相同，连最后一步也同样是「三约」。欧洲系统地做多元高次方程组的消元，要到十八、十九世纪的贝祖、西尔维斯特那一路结式。四元术自己的局限也写在格子上：天与物、地与人两两相乘的项在这张十字格里没有正位，一般认为这正是它止于四元的原因。

一步一步往下点：四式布列、物易天位、剔去人元、再消地元、得开方式；左边四幅筹式是题目本身

四个未知数各占一个方向：句在下、股在左、弦在右、物在上。四个式子是题目的两句话，加上勾股定理与「黄方带句股弦」本身的定义。

句三股四弦五黄方二，自乘十六段

3 + 4 + 5 + 2 = 14，自乘得 196 步——他把这个平方切成十六段画出来，说「考图认之，其理显然」。

(3+4+5+2)^2 = 14^2 = 196

四元术的第一件功夫是乘法：两张筹式相乘，每一格要乘遍另一张的每一格，再按方位落到新格子里。《四元玉鉴》卷首在讲假令之前，先画了三幅「演段图」来练这件事。第一幅「四元自乘演段之图」：「凡习四元者，以明理为务。必达乘除、升降、进退之理，乃尽性穷神之学也。仆立句三、股四、弦五、黄方二为问，并之得式一，自乘为幂，共计一十六段，计幂一百九十六步。考图认之，其理显然。」黄方是勾股形内切圆的直径，等于句股相并减弦，3 + 4 − 5 = 2。四项相并自乘，大正方形被横竖各三刀切成十六块：对角线上四个平方 9、16、25、4，其余十二块两两相等——正是 (x + y + z + u)² 展开的十个不同的项，系数合计 16。第二、三幅把同一个直角三角形的五种「和」与五种「较」各并起来自乘：五和是句股和 7、句弦和 8、股弦和 9、弦和和 12、弦较和 6，并之 42，自乘 1764 步，二十五段；五较是句股较 1、句弦较 2、股弦较 1、弦较较 4、弦和较 2，并之 10，自乘 100 步。这两个和不是随手取的：它们就是第一件展品那道四象会元里要用的五和与五较，卷首先把数验明，后面列式时才敢用。演示把三幅图重新画出来，逐段标上面积；右边把 (x + y + z + u)² 的十个项按四元的方位落到一张小筹式上，天与物、地与人相乘的两项在十字格里没有正位，另外注出。这也是四元术为什么止于四元的一个直观：四个方向已经用满，再多一元就无处可摆。

四元自乘：句 3、股 4、弦 5、黄方 2，并之得 14，自乘 196 步，分成 16 段。选中那段是句 × 股 = 12。

落一，再落一

茭草垛每层一束一束地加；把它的各层总数再摞一次，就是三角垛；再摞一次、再摞一次——他一路推到第五种，并给每一种写出一次算完的开方式。

\sum_{k=1}^{n} \binom{k+p-1}{p} = \binom{n+p}{p+1}

垛积在馆里已经走过两程：沈括的隙积术问一堆酒坛有几个，杨辉给三角垛、四隅垛各配了一句口诀——三角垛就是 1 + 3 + 6 + … 那一档，底子 n 时是 n(n+1)(n+2)/6。朱世杰在《四元玉鉴》「茭草形段」「如像招数」「果垛叠藏」三门里把这件事推成了一整族，演示只讲杨辉那一件之外的部分。规则是一句话：下一种垛的第 k 层，恰好是上一种垛从顶上数到第 k 层的总数——名字里的「落一」大致就是这个意思：落一形是茭草垛再累一次，撒星更落一形是撒星形再累一次。茭草垛第 k 层 k 束；落一形（即三角垛）第 k 层是 1 + 2 + … + k；撒星形再落一层；撒星更落一形再落一层；果垛里还有三角撒星更落一形。每往下一种，总数的次数就高一次：底子 n 时依次是 n 取二、取三、取四、取五、取六的组合数。书上的题都是反过来问：「茭草一千八百二十束，欲令撒星形垛之，问底子几何？」答一十三束。术文是「立天元一为撒星底子，如积求之，得四万三千六百八十为益实，六为从方，一十一为从上廉，六为从下廉，一为正隅，三乘方开之」——43680 正是 24 × 1820，而 6、11、6、1 正是 n(n+1)(n+2)(n+3) 展开后的系数。八千五百六十八束作撒星更落一形，底子十四，术文的五个系数 24、50、35、10、1；九百二十四个果子作三角撒星更落一形，底子七，六个系数 120、274、225、85、15、1，而 720 × 924 = 665280 正是术文的实。演示逐一与术文对过，全部相同。这些总数排在一起，就是贾宪那张表的一条条斜线——那张表在同一部书的卷首以「古法七乘方图」之名重印过一次。同一门里还有岚峰形、四角垛一类，第 k 层要再乘上 k 或换成平方，这里不一一演。

底子 13

三角落一形（撒星形）底子 13：逐层 1、4、10、20、35、56……，合计 1820。正是书上那一问的积 1820。

招兵十五日，四位并之

第一天招 27 人、第二天 64 人、第三天 125 人……十五天共几人？他先求上差 27、二差 37、三差 24、下差 6，各乘一个垛积数，四位相加：二万三千四百。

《四元玉鉴》卷中「如像招数」五问，全是官府招兵、差夫一类的题，招的人数每天按一个规律变。第五问：「今有官司依立方招兵，初招方面三尺，次招方面转多一尺。每人日支钱二百五十文。已招二万三千四百人，支钱二万三千四百六十二贯。问招来几日？」第一天招 3³ = 27 人，第二天 4³ = 64 人，依此类推。问句后面附了一段「或问还原」，把正着怎么算写了出来：「求得上差二十七，二差三十七，三差二十四，下差六。」这是一张差分表的左端：27、64、125、216、343 逐项相减得 37、61、91、127，再减得 24、30、36，再减得 6、6，到第四次就是零。接着：「今招为上积；又今招减一为茭草底子积，为二积；又今招减二为三角底子积，为三积；又今招减三为三角落一积，为下积。以各差乘各积，四位并之，即招兵数也。」十五天：27 × 15 + 37 × 105 + 24 × 455 + 6 × 1365 = 405 + 3885 + 10920 + 8190 = 23400，与逐日硬加一个不差。支钱一样做，各积换成高一档的垛：27 × 120 + 37 × 560 + 24 × 1820 + 6 × 4368 = 93848 人日，乘二百五十文，正是二万三千四百六十二贯。用今天的话说，他写出的是前向差分的一般公式：各阶差分乘上相应的组合数——而那些组合数，正是上一件展品里的茭草、三角、三角落一诸垛。这件事的来路要分层写：隋刘焯的《皇极历》已用等间距的二次内插，一行的《大衍历》用不等间距的二次内插，1280 年郭守敬等人的《授时历》用到三次差来推太阳的行度；朱世杰把它推到四次，而且系数的规律一眼看得出可以往上走。欧洲同一个公式出自格雷戈里 1670 年的一封信与牛顿 1670 年代的手稿，晚了三百多年，两边互不相知。

招了 15 日

立方招兵 15 日：四项相加 23400 人，逐日硬加也是 23400。正是书上的二万三千四百人、支钱二万三千四百六十二贯。

一纵十横，从净到无量数

《算学启蒙》开卷先教摆算筹、背名数：个位竖摆、十位横摆；最大的数叫无量数，是 10 的 128 次方，最小的叫净，是 10 的 −128 次方。

1299 年的《算学启蒙》是一部给初学者的书，卷首一篇「总括」把入门要背的东西列在一处：九九、九归除法、斤下留法、明纵横诀、大数之类、小数之类、斛斗与斤秤的起率、古今圆率、明正负术、明乘除段、明开方法。明纵横诀教怎么把数摆成算筹：「一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。满六已上，五在上方；六不积聚，五不单张。」个位、百位、万位竖着摆，十位、千位横着摆，相邻两位一纵一横才不会看串；六以上用一根筹当五放在上面。前四句的意思《孙子算经》已有，后面几句是摆六到九的规矩。大数之类从一十百千万数起，「万万曰亿，万万亿曰兆」，此后每一级都是前一级的万万倍：京、陔、秭、壤、沟、涧、正、载、极，接着是恒河沙、阿僧祇、那由他、不可思议、无量数——后五个是佛经里的词。按他的写法数下来，无量数是 10 的 128 次方。小数之类从分、厘、毫、丝、忽、微、纤、沙逐位往下，此后也是每级万万分之一：尘、埃、渺、漠、模糊、逡巡、须臾、瞬息、弹指、刹那、六德、虚、空、清、净——净是 10 的 −128 次方。两头恰好对称，这是本馆照原文逐级数出来的，古人没有这样说过。同一篇「明乘除段」里还有一句「同名相乘为正，异名相乘为负」，是中国书里明文写出的负数乘法法则；这条规则本馆婆罗摩笈多那一页已经讲过，628 年早在他的书里。演示把几个出自这两部书的数照纵横诀摆成算筹——四元术那张筹式里的数就是这么摆的，负数在末位上斜画一道——再把整张名表排在一根对数轴上。

名表第 41 级

23400 摆成 5 位算筹，纵横相间。名表上选中的是无量数，等于 10 的 128 次方。

周游湖海二十余年

两部书都在扬州刻成，也都在中国失传；五百多年后，扬州人阮元替它们各写了一段找回来的经过。

关于朱世杰本人，能说的都在序里。莫若说他「以数学名家，周游湖海二十余年矣，四方之来学者日众」；祖颐说他「周流四方，复游广陵，踵门而学者云集」。1299 年他在扬州编成《算学启蒙》，当地的赵元镇出资刻版，序末署「惟扬学算赵城元镇」；1303 年《四元玉鉴》成书，赵元镇又一次「备己财，鸠工绣梓」。两部书此后的命运走了两条路。《算学启蒙》东传朝鲜：1660 年全州府尹金始振作重刊序，说他 1657 年居丧养病，得到一部朝鲜「国初印本」，末两纸漫漶过半、几不可辨，请精于算术的任濬补全，又得一部抄本对校，「果不差毫厘」，于是刊行，卷尾还附了杨辉的望海岛一章。这部书也传到了日本，建部贤弘为它作过和文的注解《算学启蒙谚解》。在中国，两部书都没了踪影。阮元 1839 年为《算学启蒙》作的序，把找回来的经过写得很细：他在浙江做巡抚时得到一部《四元玉鉴》的旧抄本，想补演细草没有做成；甘泉的罗士琳得到这部抄本的写本，补全细草刊行，却以没见过《算学启蒙》为憾；后来罗士琳又从京城人手里得到一部朝鲜重刊本，是在琉璃厂的书肆里找到的。阮元列了七条证据证明它确是朱氏原书——两书行款都是十行十九字、术文同样低一格二格，《四元玉鉴》里一个秤是十五斤，恰与《算学启蒙》的斤秤起率相合，如此之类——于是扬州的学人照朝鲜原刻缩版影刊，连错字也照留，另在字旁作记。阮元自己也是扬州人，他在序里数了四件「奇」事，其中一件是：这部书成于大德己亥七月既望，到京城寄书到扬州，前后五百四十年，年月日都对得上。

故事展签

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1303：四个未知数摆进一张筹式，一元一元消去→贝祖、西尔维斯特的结式，十九、二十世纪的消元理论与格罗布纳基→今天的计算机代数系统与机器人运动学求解器，解多元多项式方程组仍靠消元

1303：上差、二差、三差、下差各乘一个垛积数，四位并之→格雷戈里–牛顿前向差分公式，天文历表与数表的插值→数值逼近里的插值多项式：传感器补点、动画补帧、游戏里的平滑移动

1303：茭草、三角、撒星……一族垛，逐层再累加一次→组合数的累加恒等式（今称曲棍球棒恒等式）→算法分析里数嵌套循环的次数：三层循环的计数正是一个三角垛

1299：一纵十横，个位竖摆、十位横摆→位值制记数与零的占位→今天的计算器与计算机仍按位值存放每一个数，读错一位就差一个量级

1303：句三股四弦五黄方二，四项自乘十六段→多元多项式的乘法：每一项乘遍另一式的每一项，再按次数归位→计算机图形里贝塞尔曲面的求值与细分，底下都是多项式求值

语录

「以数学名家周游湖海二十余年矣，四方之来学者日众。」
—— 莫若《四元玉鉴》前序，大德癸卯（1303）上元日。说这话的是给他作序的人，不是他本人

「周流四方，复游广陵，踵门而学者云集。」
—— 祖颐《四元玉鉴》后序。广陵即扬州；同一篇序里说《算学启蒙》与《四元玉鉴》「相为表里」

「凡习四元者，以明理为务。必达乘除、升降、进退之理，乃尽性穷神之学也。」
—— 《四元玉鉴》卷首「四元自乘演段之图」，这一段是朱世杰自己的话（「仆立句三、股四、弦五、黄方二为问」）

「一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。满六已上，五在上方；六不积聚，五不单张。」
—— 《算学启蒙》卷首总括「明纵横诀」，据道光十九年扬州据朝鲜本影刊本