Daniel Bernoulli · 1700–1782
他把数学用到了别人没想到的地方：水管里的压力、一张赌券值多少、气压从哪来、一根弦同时发几个音、种痘值不值
丹尼尔·伯努利 1700 年 2 月 8 日生于格罗宁根——父亲约翰·伯努利那时在那里当教授，五岁时全家回了巴塞尔。本馆另一位伯努利是他的伯父雅各布，1713 年那道「掷到正面为止」的题则出自他的堂兄尼古拉。父亲先要他经商、后让他学医，他 1721 年在巴塞尔拿的是医学学位，数学是跟着父亲和哥哥学的。1724 年在威尼斯印了一本《若干数学练习》，第二年与哥哥尼古拉二世一同应聘去了新成立的圣彼得堡科学院；哥哥 1726 年病故，1727 年来到那里的是二十岁的欧拉。1733 年他回到巴塞尔，先后教解剖学与植物学、生理学、物理学，1782 年 3 月 17 日卒于巴塞尔。
他留下的东西散得很开，可大多是同一种做法：先找一个看得见的物理图像，再让数学替它把账算清。水在管子里流，他问管壁受多大的压；赌场里一张期望无穷的券，他问一个有家产的人肯出多少钱；空气能压缩，他把它想成一筒乱撞的小球；拨响的弦里听得出别的音，他说那是几种振动叠在一起；天花每年带走一批孩子，他拿哈雷的生命表算种痘能让人多活几年。这几件事今天分别叫伯努利原理、期望效用、气体分子运动论、简正模态的叠加与传染病模型，其中好几件的式子不是他写成今天这个样子的，本页逐件写明。
2 月 8 日。父亲约翰那时是格罗宁根大学的教授，1705 年回巴塞尔接雅各布的教席。
学位论文讲呼吸。他后来教过解剖、植物与生理，比教数学的年头还长。
威尼斯印。一本小书，讲法罗牌、里卡蒂方程与流水，让他拿到了圣彼得堡的聘书。
与哥哥尼古拉二世同去，哥哥次年病故；1727 年欧拉到来，两人同事六年。《流体力学》的书名页写着「作者在圣彼得堡时编成」。
题目是行星轨道面的倾角。父子同得一奖，此后两人的关系一路变坏，见本页第六件。
前者在斯特拉斯堡出版，「流体力学」这个词就是这本书的书名；后者印在《圣彼得堡帝国科学院评论》第 5 卷。见本页第一、二、三件。
9 月 4 日写于巴塞尔：父亲的《水力学》把他的书整本拿走了。见本页第六件。
柏林科学院 1753 年卷（1755 年印）；欧拉在同一卷里撰文反驳。见本页第四件。
论文收在巴黎科学院 1760 年卷，1766 年才印出。见本页第五件。
3 月 17 日，八十二岁。
绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。
一只始终满着的大桶接一根水平管，管口开得越大、水流得越快，管壁上的压力就越小；细到一定程度，管壁会往里吸。
1738 年的《流体力学》第十二章，他给流动的水单立了一门「水力静力学」：静水里压力只看深度，流水里却要先把速度弄清楚，压力才定得下来。第 5 节是一道具体的题：一只大桶始终满着，水面高出管口 a，底下接一根水平管，管口的截面是管子的 1/n。管口的水以「从高 a 落下所得的速度」冲出去，管里的水只有它的 1/n；他用「活力」（质量乘速度平方）守恒一步步推，得出管壁上的压力是 (n² − 1)/n² · a——孔开得越大、管里流得越快，压力越小，挡板整个撤掉时管壁一点压力也不受。第 3 节还说，压力甚至可能「变成吸力」。今天写成 p + ½ρv² 沿一条流线不变，那条一般的式子是欧拉 1750 年代用他自己的流体运动方程写出来的；父亲约翰的《水力学》署着 1732 年，其实 1742 年才印出（见第六件）。这条关系常被拿来讲机翼的升力，那只讲对了一半：机翼上下为什么流速不同，要整个流场来定，单凭这一条推不出来。
掷硬币直到出正面，第 k 次出就给 2 的 k−1 次方个达克特。按期望它值无穷多，可谁也不肯出二十——他说，钱的好处与你已有的钱成反比。
题是堂兄尼古拉 1713 年写给蒙莫尔的（印在蒙莫尔《机会游戏分析》第二版第 402 页）：彼得掷硬币，第一次就出正面给保罗 1 达克特，第二次才出给 2，第三次给 4……每多一轮翻一倍。按当时通行的规矩，第 k 轮的贡献是 2 的 k−1 次方乘上它的机会 1/2 的 k 次方，恰好半个达克特，一轮接一轮加下去没有尽头；可正如尼古拉说的，没有一个心智健全的人肯花二十达克特买它。丹尼尔在圣彼得堡科学院宣读、1738 年印在《评论》第 5 卷的这篇「度量风险的新理论」，换了一个前提：一笔很小的进账带来的好处，与他已有的全部财产成反比——这就是对数。于是一张券该按几何平均来估价：家里一文不名的人估它恰好 2 达克特，有 10 的约 3，有 100 的约 4 又 1/3，有 1000 的才值 6。这四个数与他同文里保险、分船装货两道算例的六个数，本馆逐个复算，一个不差。同样的主意克拉默 1728 年在给尼古拉的信里已经写过，还用平方根算出不到 3——丹尼尔把那封信附在文末，说两人「想得如此一致，真是奇怪」。今天这道题叫圣彼得堡悖论，名字就是从这份刊物来的。
拨原有的财产，看这张券对他值多少；切到「卡尤斯的货船」，看多有钱才可以不买保险、多有钱才敢承保
按老规矩这张券值无穷多；按他的算法，家里有 1,000 达克特的人只该估它 5.9723，照这个价买进的精确解是 5.9680。他印的四个数（2、约 3、约 4 又 1/3、6）逐个复算都对得上；克拉默 1728 年截在 2 的 24 次方得 13，按平方根得 2.914。
把盖板压下一半，小球撞它的次数翻倍，压力也翻倍；把小球加快，压力按速度的平方涨——这是已知最早用碰撞算出玻意耳定律的一次。
《流体力学》第十章一开头就给空气造了一个模型：一只竖直的圆筒，上面压着一块能上下滑的盖板，盖板上加重 P；筒里是「极小、极快地往来奔窜的小球」，盖板就是靠它们接连不断的撞击撑住的。把盖板压到原来体积的 s 倍，压力大起来有两个缘故：同样多的小球挤得更密，贴着盖板的那一层更多；每个小球来回一趟的路变短，撞得更勤。他还替小球留了大小——压到小球彼此相碰时体积是 m——得出 π = (1 − ³√m)/(s − ³√(m s²)) · P；空气能压得很小，m 几乎是零，式子就成了 π = P/s，「压力大体与所占的空间成反比，多方面的实验都证实了」，这正是玻意耳 1662 年量出来的那条。第 6 节再往前一步：热就是小球运动得更快，撑住盖板的重量与速度的平方成正比。这套想法在他身后沉寂了近一个世纪，要到十九世纪中叶克劳修斯、麦克斯韦手里才重新接起来，而他那时连「速率有一个分布」都还没有——演示里的小球也照他的样子，个个一样快。
拨响的弦不是一种振动，是好几种泰勒振动叠在一起；拨在哪儿，就决定哪几种响、哪几种不响。
泰勒 1713 年算出一根弦只振一种样子时的形状与频率；1747、1748 年达朗贝尔与欧拉解出了波动方程，说弦可以取无穷多种别的形状。丹尼尔 1753 年在柏林科学院的论文里不服：同一根弦可以只有一个腹，也可以有两个、三个、四个、五个，振得快一倍、两倍……，分别给出八度、十二度、双八度与双八度上的大三度；它还能「把这些振动以一切可能的方式混在一起」——达朗贝尔与欧拉的那些新曲线，「不过是好几种泰勒振动的混合」。他拿乐师作证：拨响一根长弦，除了基音还同时听得到更高的音，尤其是十二度与大十七度，那正是第 3、第 5 种。这就是今天说的简正模态叠加，本馆傅里叶那一页讲的「任何函数都能写成正弦的叠加」，他半个世纪前已经为一根弦说过。可他说不出每一种该占多少——那要一个积分公式，傅里叶 1807 年才把它做成一套办法；欧拉在同一卷里就撰文反驳，不信这样的和能凑出「任意」的形状，这场争论拖了几十年。
假定没出过天花的人每年有 1/8 染上、染上的有 1/8 死，他拿哈雷的生命表逐年推：没有天花，新生儿的平均寿命从 26 年 7 个月变成 29 年 9 个月。
十八世纪的欧洲，人痘接种有风险——接种的人偶尔会因此死掉——值不值得，吵得很凶。丹尼尔的论文收在巴黎科学院 1760 年卷、1766 年才印出，卷首还加了一篇 1765 年写的「辩护性引言」。他只用两条假定：没出过天花的人每年有 1/n 染上，染上的人有 1/m 死，他取 n = m = 8。由此解出一条式子：x 岁时活着的人里还没出过天花的，占 m/(1 + (m − 1)·e 的 x/n 次方)。拿哈雷的布雷斯劳生命表（1300 个新生儿，1 岁时剩 1000）套进去，第一张表逐年列出没出过的、这一年染上的、这一年死于天花的；第二张表回答「假如谁也不死于天花」：死于别的病的人数与活着的人数成正比，逐年推下去，16 岁时是 700 人对 622 人。把各年人数加起来除以 1300，平均寿命 26 年 7 个月对 29 年 9 个月，多出三年出头。本馆照他的办法逐格重算，两张表都对得上，差的零点几出在他逐格取整。达朗贝尔随即质疑他的假定，可「用一个显式的模型去比较两种公共卫生的办法」这件事本身留了下来，今天的流行病学史一般把它算作第一个传染病数学模型。
1738 年他的《流体力学》出版；四年后父亲的《水力学》印出来，书名页上写着「1732 年首次发现」。
1734 年巴黎科学院的奖由父子两人分得，那本是一份荣誉；后世的传记常说父亲为此把他赶出了家门，本馆没有找到当时的文字，不写。查得实的是后来那件事。他的《流体力学》1738 年在斯特拉斯堡出版，书名页上印着「作者在圣彼得堡时编成」。1742 年，父亲约翰的四卷本《全集》在洛桑与日内瓦出版，第四卷里有一部《水力学》，书名写着它是「1732 年首次发现、并直接从纯力学的基础上证明的」——比儿子的书早了六年。1743 年 9 月 4 日，丹尼尔从巴塞尔给远在柏林的欧拉写信（据富斯 1843 年编的通信集第二卷）：「我的整部《流体力学》，其实没有一丝一毫是欠我父亲的，却一下子被夺得干干净净，一个钟头里丢掉了十年工作的果实。所有命题都是从我的书里拿去的，可我父亲却把他的书叫作 1732 年首次发现，而我的书 1738 年才印出来。」同一封信里他也没有把话说满：父亲另想了一个求速度增量的一般办法，「这个发明占了寥寥几页」。欧拉读过两部书，后来自己写出了流体运动的一般方程；而今天课本上的那条关系，挂的是儿子的名字。
他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。
专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写， 全是 tracks.ts 推出来的。
「一笔很小的进账带来的好处，与他已有的全部财产成反比。」
—— 《度量风险的新理论》第 5 节，1738（《圣彼得堡帝国科学院评论》第 5 卷），大意
「达朗贝尔先生与欧拉先生给出的那些新曲线、新振动，不过是好几种泰勒振动的混合。」
—— 《关于弦的新振动的思考与说明》第 5 节，柏林科学院 1753 年卷，大意
「我的整部《流体力学》，其实没有一丝一毫是欠我父亲的，却一下子被夺得干干净净，一个钟头里丢掉了十年工作的果实。」
—— 1743 年 9 月 4 日自巴塞尔致欧拉，据富斯编《若干著名几何学家的数学与物理通信》第二卷（1843），大意