数学群星MATHEMATICAL LUMINARIES

L. E. J. Brouwer · 1881–1966

布劳威尔

他证明了搅不出一个处处都挪了窝的点，后来又说这种只证「有」、不给「在哪」的证明不算数

f ⁣:En→En continuous ⟹ ∃ x ⁣: f(x)=xf\colon E^n \to E^n \ \text{continuous} \ \Longrightarrow\ \exists\, x\colon\ f(x) = x
《论流形的映射》末页的定理 4，1910 年 7 月写于阿姆斯特丹，1912 年刊于《数学年刊》第 71 卷第 115 页：一个 n 维单元连续地映到自己身上，一定有一个点不动

吕伊特延·埃赫贝图斯·扬·布劳威尔 1881 年 2 月 27 日生于鹿特丹近郊的奥弗斯希，在阿姆斯特丹大学跟科特韦格读数学，1907 年的博士论文题目是《论数学的基础》。第二年他写了一篇《逻辑原理的不可靠性》，说排中律——「一件事要么成立、要么不成立」——在有限的东西上用得，搬到无穷上就没有根据。可接下来的四年，他做的却是最「经典」的数学：1909 年起在阿姆斯特丹当编外讲师，到 1913 年，维数不变、不动点定理、映射度、单纯逼近一件接一件出来，今天叫作代数拓扑的那门学问，有好几块基石是他这几年打下的。1912 年他当了教授、进了荷兰皇家科学院，就职讲演的题目是《直觉主义与形式主义》。

1918 年起他回头去做年轻时说过的那件事：重建一套不用排中律的数学，存在就得造得出来，实数是一步步生成的序列，而不是一个现成的无穷集合。这把他推到了希尔伯特的对面，二十年代那场「基础之争」由此而来；1928 年希尔伯特把他从《数学年刊》的编委里除了名，本页第六件讲的就是这件事。他的学生海廷 1930 年把直觉主义的逻辑写成了形式系统；而他本人一直认为，数学是先于语言的心智活动，逻辑只是事后对它的记录。1934 年他参与创办了《数学汇编》。1966 年 12 月 2 日他在布拉里克姆死于车祸，八十五岁。

布劳威尔肖像
《论流形的映射》首页，《数学年刊》第 71 卷第 97 页（莱比锡，1912）· 哥廷根数字化中心（GDZ）藏本影像。他的照片传下来的只有两张：1932 年苏黎世国际数学家大会合影里的一张脸（切出来 209×297）与 1937 年一份勋章名录里的 184×241，都太小，所以这里放他自己的那一页书。页上是第 1 节「一个闭的双侧流形的连续映射的度」的开头，「度」这个概念就从这一节起；页脚那条注写着：本文付印期间，阿达马讲克罗内克指标之应用的那篇短文在坦纳里《单复变函数论导引》第二卷里印出来了，「其中的理论与这里的推演多处相接」

生平

  1. 1881
    生于奥弗斯希

    2 月 27 日，鹿特丹近郊。

  2. 1907
    博士论文《论数学的基础》

    阿姆斯特丹大学，导师科特韦格。

  3. 1908
    《逻辑原理的不可靠性》

    荷兰文，刊于《哲学杂志》第二年。1925 年那篇德文讲稿的注里他自己回指这一篇。

  4. 1910年7月
    《论流形的映射》写成

    文末署「阿姆斯特丹，1910 年 7 月」；1912 年刊于《数学年刊》第 71 卷 97–115 页。毛球定理与不动点定理都在这一篇里，见本页第一、二、四件。

  5. 1911
    《维数不变的证明》

    《数学年刊》第 70 卷 161–165 页。勒贝格讲另一个证法的那封信紧排在它后面，见本页第三件与勒贝格那一页。

  6. 1912
    教授、院士、就职讲演

    阿姆斯特丹大学的特任教授，次年转正；同年当选荷兰皇家科学院院士，就职讲演题为《直觉主义与形式主义》。

  7. 1923
    排中律在数学里的意义

    8 月在佛兰德自然科学家大会上用荷兰文讲，9 月在德国数学家协会年会上用德文讲；德文稿 1925 年刊于《纯粹与应用数学杂志》第 154 卷。见本页第五件。

  8. 1928
    被逐出《数学年刊》编委

    10 月 25 日希尔伯特来信通知；第 101 卷起编委会整个改组。见本页第六件。

  9. 1934
    《数学汇编》

    在荷兰诺德霍夫出版社参与创办的新刊。

  10. 1966
    卒于布拉里克姆

    12 月 2 日，车祸，八十五岁。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

搅一杯咖啡，总有一点没挪窝

把一个圆盘连续地挤、扭、挪回圆盘里，不管怎么弄，总有一个点落回原处——他证明了任何维数都是这样。

wind⁡∣x∣=1(f(x)−x)=1\operatorname{wind}_{|x|=1}\big(f(x)-x\big) = 1

《论流形的映射》1910 年 7 月写成、1912 年刊于《数学年刊》第 71 卷，最后一页是定理 4：「一个 n 维单元到自身的单值连续变换，一定有一个不动点。」证法是绕出来的：前一条定理 3 先算清一个没有不动点的球面变换「度」必须是几（偶数维是 −1，奇数维是 +1），再把单元摊到半个球上、对着赤道镜射补成整个球，逼出矛盾。第 114 页的注里他交代，此前在阿姆斯特丹科学院的报告里先证过一个特例：二维球面上不改变转向的一一连续变换总有不动点。首创权要分层写：一般认为波尔 1904 年讨论平衡点附近的运动时，已经证出了等价于三维情形的一条命题；阿达马 1910 年那篇讲克罗内克指标的短文，按通行的说法也给出了 n 维的一个证明——布劳威尔自己在首页的注里写着，那篇文章在本文付印期间印了出来，「与这里的推演多处相接」。他的贡献是把「度」这件工具立起来，让这类论证在任何维数上都走得通。演示是二维的情形，也照着「绕数」的想法画：圆盘上每一点画一支箭头，指着 f(x) − x 的方向，也就是这一点被挪去的方向；沿半径 ρ 的圆走一圈，数箭头转了几圈。边界上 f(x) 在盘里，箭头都朝里，转一圈；ρ 缩到接近 0，箭头几乎不变，转零圈。整数不能连续地从 1 变成 0，所以中间某个圆上一定有一支箭头长度为零——那就是不动点。默认那一档（转 1.2 弧度、越往外扭得越多、缩到 0.9 倍、再挪一点）的不动点在 (0.0819, 0.0278)，离圆心 0.0865。要紧的是「映回自己」与「没有洞」这两个条件：把圆盘换成圆环，转一个角度就一个不动点都没有。1951 年纳什证明有限博弈都有均衡，用的正是这条定理。

拨转角、扭转、缩放与平移，看箭头场；拖动那个圆的半径，看绕数在哪里从 1 掉到 0

边界上绕数是 1，半径 0.50 的圆上是 1；这一档找到 1 个不动点，最近的离圆心 0.0865。挪动的量被限制在 1 − 缩放 之内，f 永远把圆盘映回圆盘，所以不管怎么拨，不动点都不会没有。

偶数维的球梳不平

在一个球面上处处画一支切着球面、连续变化的箭头，总有一处箭头缩成零——毛球梳不平；可一个圆周、一个三维球面都梳得平。

∑v(p)=0ind⁡p(v)=1+(−1)n\sum_{v(p)=0} \operatorname{ind}_p(v) = 1 + (-1)^n

同一篇的第 112 页是定理 2：「偶数维球面上的连续向量场至少有一个奇点。」证法是数度：把球面分成两半，各自从对面的极点做球极投影，把每一小块上箭头方向的度加起来，他算出这个和「n 为偶数时等于二，n 为奇数时等于零」。一个处处不为零的场，每一小块的度都是零，总和也就是零——偶数维时这不可能。紧接着他指出奇数维不成立，并给了最简单的例子：三维球面上用一族两两在克利福德意义下平行的大圆，沿着它们画箭头，处处不为零。首创权：普通的二维球面那一档，一般认为庞加莱 1885 年研究曲面上的微分方程时就有了（奇点的指数加起来是个与场无关的数，球面上是 2）；布劳威尔做的是所有偶数维，并说清楚奇数维为什么不行。演示是二维球面，给了三种梳法：顺着经线往下梳，南北两极各留一个旋；绕着地轴转，两极各一个涡；把一个平面上的均匀流经球极投影搬上来，只在北极留下一个双瓣的奇点。每个奇点旁边沿一个小圈数箭头转了几圈，就是它的指数——三种梳法各不相同，指数加起来都是 2，恰好是他算出来的那个「二」。右下角的圆周是一维球面：沿着它画切线箭头，一处也不为零，因为 1 是奇数。今天拿同一件事说地球上的风：水平风场总有一处风速为零。

这一档有 2 个奇点，指数分别是 1、1，加起来 2。两极各有一个奇点，各记 +1；怎么扭，它们都挪不掉、也合不成零。

数正的，减去数负的

维数不变的证明里，他盖住一个点的像三角形分成正、反两种各数一遍，差恒等于 1——这就是后来的「度」。

m 维与 m+h 维的区域能不能一一连续地互相映成？康托尔 1877 年用一个一一对应把线段与正方形对上，那个对应不连续；此后托梅、内托、康托尔自己都给过「不能」的证明，布劳威尔 1911 年那篇的第一个注里把它们一并称为失败的尝试，并说 m ≤ 3 的情形吕罗特已经解决。他的办法全在第 161–164 页的一条引理里：把一个 q 维立方体连续地映出去，只要每一点挪动的距离不到半条棱长，像里就一定装得下一个同心的小立方体。证法是数数：把立方体剖成许多小单纯形，用顶点的像连成一张折过的网，这就是后来所谓的单纯逼近；取小立方体里的一点 P，数盖住它的像单纯形里定向为正的有 p 个、为负的有 p′ 个。P 在小立方体里移动，每穿过一道内部的边，p 与 p′ 要么都不变，要么一起加一或减一，所以 p − p′ 不变；再把顶点的挪动连续地缩到零，映射变回恒等，p − p′ 就是 1。p ≥ 1，P 就一定被盖住。引理的条文里写着「一一」，可证明里一步也没用到它，演示因此故意让网折起来：取棱长 2，挪动的上界 0.6，在 30×30 的格子上剖出 1800 个三角形，其中 788 个被翻成了反面，同一点最多被盖 4 层；而在里面那个边长 0.8 的小方块里取 1600 个点逐一数，p − p′ 全都是 1。有了这条引理，第 2 节再做一步构造就推出定理 1：m 维区域的一一连续像，在同维的空间里一定装得下一块区域；于是高维的区域放不进低维里（定理 2），低维区域的像在高维里无处稠密（定理 3）。勒贝格讲覆盖的那封信紧排在这一篇后面，那是另一条路，见勒贝格那一页。一年后，这个 p − p′ 在《论流形的映射》里有了名字：映射的度。

黑点处正向 2 个、反向 1 个，差 1；内方块里 1600 个取样点，差为 1 的有 1600 个。拖动画布上的点换一个位置再数。

圆周转到自己身上，有几个点不动

绕 d 圈的圆周映射，不动点带着符号加起来恰好是 1 − d；只有 d = 1 时才可能一个不动点都没有——他的定理 3 说的就是这个。

∑f(θ)=θsign⁡(1−f′(θ))=1−d\sum_{f(\theta)=\theta} \operatorname{sign}\big(1 - f'(\theta)\big) = 1 - d

《论流形的映射》第 114 页的定理 3：「n 维球面到自身的单值连续变换，如果没有不动点，那么 n 为偶数时它的度是 −1，n 为奇数时是 +1。」下面是三条推论，其中第二条：偶数维球面上的变换，只要能连续地变回恒等，就一定有不动点。翻过来读，这条定理说的是：度不对，不动点就躲不掉。最小的情形是 n = 1，也就是圆周。把圆周绕 d 圈映到自己身上，例如把 θ 送到 dθ + c + a·sin θ；不动点是这条曲线与对角线的交点，在交点处按斜率比 1 小还是大记 +1 或 −1，全部加起来恒等于 1 − d。演示把几档都扫过：d = 2 至少一个，d = 3 至少两个，d = −1 至少两个；d = 1 时纯转一个角度一个也没有，把起伏 a 加到 1.5，冒出两个不动点，可一正一负，和仍是 0。度是 +1、而 1 是奇数，正合定理 3 的奇数维那一档。偶数维的例子是二维球面上的对径映射，每一点送到它的对面：一个不动点也没有，度是 −1，也正合定理 3。「不动点带符号的和等于某个由映射的度算得出来的数」这条想法，二十年代由莱夫谢茨推成了一般流形上的不动点公式。

绕 1 圈，不动点 2 个，带号相加得 0，恰是 1 − d = 0。度是 1 时和为 0，所以不动点可以一个都没有；有的话，也是一正一负成对出现。

π 里有没有 0123456789

他用 π 的小数定义了一个实数：没有人能说它等于零、大于零还是小于零。七十多年后日本人算出了答案，可他要说的事并没有因此作废。

cν={(−12)νν<k1(−12)k1ν≥k1c_\nu = \begin{cases} (-\tfrac12)^{\nu} & \nu < k_1 \\ (-\tfrac12)^{k_1} & \nu \ge k_1 \end{cases}

1923 年 8 月他在佛兰德自然科学家大会上用荷兰文讲、9 月在德国数学家协会年会上用德文讲的一篇，1925 年刊于《纯粹与应用数学杂志》第 154 卷，题为《论排中律在数学中、尤其在函数论中的意义》。第 3 页上是那个例子：记 π 小数点后第 ν 位为 d_ν，k₁ 为 d_m d_(m+1) …… d_(m+9) 第一次排成 0123456789 的那个 m；ν ≥ k₁ 时令 c_ν = (−1/2) 的 k₁ 次方，否则 c_ν = (−1/2) 的 ν 次方。这列数收敛到一个实数 r，而「r = 0、r > 0、r < 0 三者没有一个成立」——照他的意思，这不是说 r 没有值，而是三句话里哪一句都拿不出证明，所以「每个实数不是正、就是负、就是零」这条连续统的基本性质，在他看来就不能当作定理用。他在注里说得更一般：任何一个对每个具体的数都判定得了、却没人知道是否对某个数成立的性质，都能拿来这样造数。1997 年金田康正与高桥大介算出 π 的五百多亿位，公布的清单里写着 0123456789 最早从第 17 387 594 880 位起出现；这是个偶数，所以 r 是正的。可他那番话针对的是「现在知不知道」，换一个至今没人知道的性质，同一个构造照样成立。演示把这件事摆成随时间变化的样子：本馆自己算了 π 的前一千万位（两条独立的程序在前四十六万位逐位一致），0 最早在第 32 位，01 在第 167 位，012 在 659，0123 在 27 846，01234 在 436 455，012345 在 447 855；再长的，一千万位里就找不到了。

找 0123456789：它最早从第 17 387 594 880 位起出现，要算到第 17 387 594 889 位才看得见，那是 1997 年的事。1923 年人手里有 527 位，所以这个 r 的正负还说不出来。

第 100 卷与第 101 卷的扉页

1928 年的《数学年刊》扉页上还印着他的名字；1929 年那一卷，连同爱因斯坦在内，编委只剩三个人。

两张扉页本馆都从哥廷根数字化中心取来逐字读过。1928 年的第 100 卷：「由希尔伯特、爱因斯坦、布卢门塔尔、卡拉泰奥多里现任主编」，下面「协办」一栏八个名字——比伯巴赫、玻尔、布劳威尔、库朗、冯·迪克、赫尔德、冯·卡门、索末菲。1929 年的第 101 卷：「由希尔伯特主编，布卢门塔尔、赫克协办」，别的名字一个也没有了。中间的事据范达伦 1990 年那篇据双方档案写成的长文（他后来写了布劳威尔的传记）。两人原本很好：1909 年夏天，二十八岁的布劳威尔在斯海弗宁恩的海边陪希尔伯特散步，写信给朋友说那是「世界第一的数学家」；1912 年希尔伯特为他写过推荐信，1919 年还请他去哥廷根任教。二十年代他四处宣讲直觉主义，希尔伯特应战，关系就冷了。1928 年 10 月 25 日，病中的希尔伯特写信给他，说自己「无论如何不与布劳威尔同在一个编委会」，理由三条——他在博洛尼亚国际数学家大会之前给德国数学家发了一封号召抵制的通函、他对外国同行的敌意、以及要让哥廷根留作这份刊物的大本营。卡拉泰奥多里专程去阿姆斯特丹劝他让一步，他的回信说：要他把希尔伯特当作一个心智失常的人来迁就，这个请求只有由希尔伯特夫人和希尔伯特的医生书面提出，才能照办。四位主编里爱因斯坦始终不肯表态，事情僵住了，最后的办法是把整个编委会解散、再由希尔伯特重组。爱因斯坦 11 月 27 日给玻恩的信里把这件事叫作一场「青蛙与老鼠之战」，说他不打算拿又一支纸做的长矛冲进去；改组之后他与卡拉泰奥多里都没有留下。布劳威尔此后不再过问德国数学界的事，1934 年在荷兰参与创办了《数学汇编》。

故事展签

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1910：连续地把一块东西映回自己，总有一点不动→纳什 1951 年用它证明有限博弈都有均衡，一般均衡理论接着证明价格存在→拍卖、市场设计与金融里「有没有一组价格能让供求同时出清」，第一步都是一个不动点定理
1912：偶数维的球梳不平→庞加莱–霍普夫定理：奇点的指数加起来等于欧拉示性数→天气预报里的风场总有一处静风，计算机图形在球面上铺方向场时奇点也只能挪、不能消
1911：单纯逼近，把连续映射换成一张三角网→同调、上同调与整个代数拓扑→计算几何与拓扑数据分析：用三角剖分数一团点云有几个洞
1912：映射的度——盖住一点的像，正的减去负的→莱夫谢茨不动点公式与非线性分析里的度理论→同伦延拓法：数值求根时从一个解得出的方程连续地走到要解的方程
1907–1925：存在就得造得出来，不用排中律→海廷 1930 年把直觉主义逻辑写成形式系统；证明即构造成了类型论的出发点→今天的证明助手靠这套逻辑做形式化数学与程序的正确性证明

语录

「一个 n 维单元到自身的单值连续变换，一定有一个不动点。」

—— 《论流形的映射》定理 4，《数学年刊》第 71 卷第 115 页（1912），据 GDZ 所存原刊影像译出

「偶数维球面上的连续向量场，至少有一个奇点。」

—— 《论流形的映射》定理 2，《数学年刊》第 71 卷第 112 页（1912），据 GDZ 所存原刊影像译出

「一套不正确的理论，即使没有哪一个驳得倒的矛盾拦住它，也并不因此就少一分不正确，正如一种犯罪的政策，即使没有哪一个法庭拦住它，也并不因此就少一分罪。」

—— 《论排中律在数学中、尤其在函数论中的意义》第 1 节，《纯粹与应用数学杂志》第 154 卷第 3 页（1925），大意