数学群星MATHEMATICAL LUMINARIES

Gaspard Monge · 1746–1818

蒙日

他把工地上的问题变成几何：一堆土怎么运最省、一张纸上怎么画出一个立体、穹顶的肋该顺着哪条线走

Ab+Ba>Aa+BbAb + Ba > Aa + Bb
1781 年《挖方与填方的理论》第 667 页：两条相交的路线 Ab、Ba 之和，总大于不相交的 Aa、Bb 之和——所以最省的运法里，任何两条路线都不相交。两百年后，这道「怎么运最省」的题长成了最优传输

蒙日 1746 年 5 月 9 日生于勃艮第的博讷，父亲是个小商人。十六岁到里昂念书，回乡后画了一张博讷城的地图，被梅济耶尔王家工兵学校的一位军官看中，1765 年进了那所学校，起初只是个绘图员。给一处工事定「不让敌人从任何地方看见、打到」的遮蔽面，别人要走一套繁复的算法，他用自己的作图办法做了出来，这套办法后来就是画法几何。1769 年他在那里接任数学教授，次年又兼教实验物理；1780 年当选巴黎科学院的几何学助理院士，1781 年那篇《挖方与填方的理论》就是这一时期写的。大革命里他站在革命一边：1792 年起做了八个月海军部长，1794 年参与筹建中央公共工程学校——次年改名综合理工学院——并在那里和新办的高等师范学校讲画法几何。

1796 年他在意大利替共和国挑选运回法国的艺术品，由此与拿破仑相熟；1798 年随远征军去了埃及，任埃及研究院院长，傅里叶是秘书。此后他做了元老院议员、佩吕斯伯爵，一直是拿破仑身边的人。1815 年拿破仑再败，1816 年 3 月他被逐出法兰西研究院，1818 年 7 月 28 日卒于巴黎。他的数学几乎都从一件要做的事出发：土方、工事、拱顶的石块、画给匠人看的图纸。本页六件里，前两件出自同一篇 1781 年的论文，第三、四件出自他在高等师范的讲课，第五件是他给议会大厅设计的一个穹顶。

蒙日肖像
安德烈·迪泰尔特绘并刻，蚀刻加飞尘，1798–1801 年间 · 巴黎卡纳瓦雷博物馆藏 · Wikimedia Commons，公有领域。迪泰尔特是随拿破仑远征埃及的画师，给同行的学者一一画了侧面像，这一幅画的是在埃及的蒙日

生平

  1. 1746
    生于博讷

    5 月 9 日，勃艮第。

  2. 1765
    进梅济耶尔王家工兵学校

    起初是绘图员。给工事定遮蔽面的那套作图办法，是后来画法几何的起点。

  3. 1771
    空间曲线的渐屈线

    论文在巴黎科学院宣读，1785 年才印出。

  4. 1780
    巴黎科学院助理院士

    几何学部。此后常年往返于梅济耶尔与巴黎之间，1784 年辞去梅济耶尔的教职。

  5. 1781
    《挖方与填方的理论》

    收在科学院 1781 年卷，1784 年印出。见本页第一、二件；曲率线也是在这一篇的第二部分里提出的。

  6. 1792–1793
    海军部长

    做了八个月，1793 年 4 月辞职。

  7. 1794
    筹建综合理工学院

    先叫中央公共工程学校，次年改今名；他教画法几何，后来当过校长。

  8. 1795
    高等师范的画法几何课；椭球面的曲率线

    讲稿 1799 年由阿歇特整理成书。同年《综合理工学院学报》第二册登出他的「椭球面的曲率线」，末尾附了一座议会大厅的设计。见本页第三、四、五件。

  9. 1798–1799
    随拿破仑远征埃及

    任埃及研究院院长，傅里叶任秘书。本页的肖像就画于此时。

  10. 1807
    《分析在几何上的应用》

    他在综合理工讲曲面论的讲义成书。1850 年刘维尔校订出第五版，附注里补了三维保角映射的那条定理。

  11. 1816
    被逐出法兰西研究院

    3 月，复辟之后。

  12. 1818
    卒于巴黎

    7 月 28 日。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

最省的运法里，两条路不会相交

把一堆土搬去填一个坑，每一粒的运费是重量乘路程。他证的第一件事：总运费最小的时候，任何两粒土的路线都不交叉。

min⁡∑imi⋅Ai T(Ai)‾\min \sum_{i} m_i \cdot \overline{A_i\,T(A_i)}

《挖方与填方的理论》开头就把题说清了：挖出来的叫挖方，要填的地方叫填方，运一粒土的价与它的重量和走过的路程成正比；挖方与填方的形状、位置给定之后，哪一粒送到哪一处并不是无所谓的，有一种分配能让「每一粒乘上它走的路」之和最小，他要找的就是这一种。第 667 页第二条只有三行：当运法最省时，任意两粒 A、B 的路线不能在半途相交，因为相交的 Ab + Ba 总大于不相交的 Aa + Bb——三角形两边之和大于第三边。这条性质本身一眼就懂，要紧的是他拿它往下走：挖方与填方都按面积一条一条对齐切开，每一小条都送到对面等面积的那一条上去。科学院为这篇写的摘要说它是「一类全新的极大极小问题」。演示在七粒土、七个坑之间一步步拆交叉，每拆一处总路程都变短；可拆到没有交叉，不一定就是 5040 种配法里最省的那一种——不相交只是必要条件。一粒土只许去一个地方，这道题一般很难解；1942 年康托罗维奇允许把一粒拆开分送，它才成了能解的线性规划。今天衡量两个概率分布差多远的瓦瑟斯坦距离，就是这个「把一堆搬成另一堆的最小运费」。

点「拆一个交叉」，看总路程怎么一步步往下走；拆完了再点「直接看最省的」，比一比差多少；换一组试试

现在的总路程 3.5958，交叉 8 处；5040 种配法里最省的是 2.4870，它没有一处交叉。每拆一处，总路程都严格变短。

河上只有两座桥，分界线是一条双曲线

土要过河，只有两座桥。挖方里哪一块走哪座桥、填方里哪一块收哪座桥来的土？分界线是以两座桥为焦点的同一条双曲线的两支。

ME−MF=k,Em−Fm=−kME - MF = k, \quad Em - Fm = -k

同一篇论文的第 681–683 页，他把路线加了约束：必须经过某几个定点，「比如河上的桥，或者墙上开的门」。只有一座桥时，先后次序无所谓，总运费怎么配都一样。有两座桥 E、F 时就要分：挖方里有一条分界线，线这边的走 E、那边的走 F；填方里也有一条。分界线上的一粒土走哪座桥都一样贵，于是 ME + Em = MF + Fm；把这一条对分界线上所有的点写出来，就得到 ME − MF 在挖方的分界上是一个常数，Em − Fm 在填方的分界上是同一个常数的相反数——「所求的两条曲线是同一条双曲线的两支，两个定点就是它的焦点」，而这条双曲线的轴要取得让两支切下的面积相等。桥多了，相邻两座之间照样各是一条双曲线；他还接着问该修几座桥：多修一座省下的运费超过造桥的钱，就该再修。演示把两岸各切成两千八百多个小格，扫遍「走 E 的份额」，最省时约三分之一走 E，两条分界上的常数一正一负、都约是 0.493（格子加密到四百格是 ±0.4935），正好落在同一条双曲线上；若是各自就近过桥，挖方里几乎没人走 E、填方里却有四分之三想收 E 来的土，两头根本对不上。

最省的分法：32.4% 的土走 E，平均运距 4.6224。挖方分界上到 E 与到 F 的距离之差是 0.4935，填方分界上是 -0.4931——一正一负，同一条双曲线的两支。若各自就近过桥，挖方里离 E 近的占 0.4%、填方里离 E 近的却占 77.0%，两头的土对不上。

两张图，定一个立体

一张平面图、一张立面图，中间一条折线：把竖着的立面绕这条线放倒，两张图就画在同一张纸上——一个立体的全部尺寸都能从纸上量回来。

AB=ab2+(zB−zA)2AB = \sqrt{ab^2 + (z_B - z_A)^2}

1795 年初他在新办的高等师范学校讲画法几何，讲稿 1799 年成书。卷首的纲领说，这门学问有两个目的：一是在只有两个维度的纸上准确地表示有三个维度的物体；二是从这种准确的描述里推出物体的形状与位置必然带来的一切——「在这个意义上，它是一种寻找真理的办法」。办法是两个互相垂直的投影面，一平一立。第 8 节说，为了让两个投影画在同一张纸上，匠人们习惯把立面绕它与平面的交线 LM「像绕铰链那样」转下来，所以立面图其实总画在一个水平面上，读图的人得时时想着把它竖回去；由此，同一点的两个投影总落在同一条垂直于 LM 的线上。第 9 节讲的是最基本的一件：已知一条线段的两个投影，求它的真长——一条直角边取平面图上的长，另一条取立面图上读出的高差，斜边就是。从第 14 节起才是一道道题：过一点作平面的垂线、求两个平面的交线与夹角、求两条直线的夹角……空间里的每一种作图，都这样搬到纸上来做。放倒立面不是他的发明，他自己就说那是匠人的惯例；他做的是把它写成一门有定义、有证明的几何，并当成一门课来教。后来的传记常说，这套办法在梅济耶尔曾被当作军事机密，本馆没有核到当时的文字。今天的三视图、工程图纸，都是这一套。

AB 这条棱在平面图上长 1.9235、立面图上长 1.8788，两张图都比它短；照第 9 节拿 ab 与高差 0.8000 作直角三角形，斜边 2.0833 就是真长（直接用三维坐标算是 2.0833）。转一转立体，两个投影都在变，真长不变。

三个圆的难题，跳到三维里去证

三个圆，两两作外公切线，交出三个点，这三点在一条直线上。他的证明是把三个圆看成三个球，这条线就是两个平面的交线。

r1s1=r2s2=r3s3=sin⁡α\frac{r_1}{s_1} = \frac{r_2}{s_2} = \frac{r_3}{s_3} = \sin\alpha

《画法几何》第 42 节问：怎样作一个平面同时切于三个已知的球？他的办法是：两个球之间可以作一个同时切于二者的圆锥，所求的平面沿一条母线切这个圆锥，于是经过它的顶点；三对球给出三个圆锥，三个顶点都在这个切平面上，又都在过三个球心的平面上——「同时在两个不同的平面上，所以在一条直线上」。第 44 节接着说：由此得到一个平面上的命题——任给三个圆，两两作外公切线延长到相交，三个交点共线。证明就是上面那一句：把三个圆看成三个球的大圆，外切于三球的平面过三个圆锥的顶点，而这三点又在三个圆心所在的平面上。他还补了内公切线：六个交点三个一组落在四条直线上，而这又是四个球、六个圆锥顶点共面那个空间命题的特例。今天这条就叫蒙日定理。一道平面题，在平面里要算比例，跳到空间里只剩「两个平面交成一条线」——这是画法几何教人的看法：换一个方向投影，平面就缩成一条线。演示右边正是这样：顺着那条线看过去，三个球心的平面成了一条横线，切平面成了一条斜线，三个球都切于它；每个圆心到那条线的距离与半径之比都相同，默认一档是 0.222762。

三个交点的三角形面积 -3.6e-15——共线。右边顺着这条线看过去，三个球心到它的距离与各自半径之比都是 0.222762：同一个过 DEF、倾角 12.87° 的平面同时切着三个球。拨第 3 个圆的半径，D 不动，E、F 沿着这条线滑。

椭球穹顶上的两个脐点

曲面上每一点都有两个弯得最厉害与最平缓的方向，顺着它们走出两族处处正交的曲线。他要把议会大厅的穹顶照这两族线起肋，讲话的人站在一个脐点下面。

x2=a2(a2−b2)a2−c2,z2=c2(b2−c2)a2−c2x^2 = \frac{a^2(a^2-b^2)}{a^2-c^2}, \quad z^2 = \frac{c^2(b^2-c^2)}{a^2-c^2}

曲率线是在 1781 年那篇《挖方与填方》的第二部分里冒出来的：为了三维的土方，他先证了一条曲面法线的性质——每一条法线只与两族相邻的法线相交，两族各铺成可展曲面、互相垂直，曲面与它们的交线就是「最大曲率线」与「最小曲率线」——他说这看似与欧拉 1760 年的曲率理论关系不大，「但我斗胆说一句，它补全了这位杰出几何学家的工作」。1795 年《综合理工学院学报》第二册，他为椭球把这两族线整个画了出来：投到最长轴与中轴的平面上，一族是椭圆、一族是双曲线，都绕着四个点弯，那是「四个脐点」，两上两下，在那里往哪个方向弯都一样。他写这一讲是为了拱顶：石块的缝应当顺着曲率线走、并与曲面正交，匠人因为不会求别的曲面的曲率线，只敢用圆柱、圆锥与旋转面。文末他为两院设计了一座议会大厅：椭圆的厅盖一个压低的椭球穹顶，讲话的人「自然就站在穹顶的一个脐点下面」，每根柱子上起一道肋，顺着一族曲率线升起、绕过脐点、落到对面的柱子上，另一族肋与之正交，肋间镂空采光，「比我们哥特教堂的玫瑰窗少些荒诞」，夜里两盏吊灯挂在两个脐点上。半轴取 3、2、1 时，脐点在 x = ±2.3717、高 0.6124 处，那里的曲率是 3/8。

三个半轴 3、2.00、1 时，穹顶上两个脐点在 x = ±2.3717、高 0.6124，那里往哪个方向弯都一样（曲率 0.3750）；别处两族曲率线各走各的方向、处处正交。从正上方看，一族投成椭圆、一族投成双曲线——这正是他 1795 年那一讲里画的那张图。

他的学生们

他参与办起一所学校，教出了下一代的工程师与几何学家；他去世时，政府不许为他致哀，学生们照样去了。

1794 年 3 月，国民公会指派他参与筹建一所培养工程师的学校，先叫中央公共工程学校，次年改名综合理工学院。他是主要的筹办人之一，在那里教画法几何，后来当过校长；1795 年又在新办的高等师范学校讲同一门课。这所学校的学生里后来出了一串名字：马吕斯是第一届的，后来与他一同去了埃及；迪潘把曲率线推广成三族互相正交的曲面的定理；彭赛列从这套投影的看法走到了射影几何。替他把讲稿整理成《画法几何》的阿歇特，是他在校里的同事。1798 年他随拿破仑远征埃及，任埃及研究院院长，秘书是本馆的傅里叶；本页的肖像，就是远征军的画师迪泰尔特那时在埃及给他画的。他一生都是拿破仑身边的人，拿破仑倒台，他也跟着倒：1816 年 3 月，复辟后改组的法兰西研究院把他除了名。据传记记载，1818 年 7 月他在巴黎去世时，政府不许为他致哀，综合理工的学生们照样去向他致了敬。

故事展签

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1781：一堆土搬成另一堆，怎么运总路程最省→1942 年康托罗维奇把它松弛成线性规划，最优传输从此可算→今天物流调度的最优化与机器学习里衡量两个分布差多远的瓦瑟斯坦距离，都是这道题
1795：一平一立两个投影，放倒画在一张纸上→十九世纪各国工科学校都教画法几何，三视图成了工程师的共同语言→今天的工程图纸与计算机辅助设计，仍按这一套投影出图
1781、1795：曲面上两族处处正交的曲率线→迪潘、高斯的曲面论，微分几何从这里起步→今天计算机图形里给曲面布网格、汽车与建筑的曲面设计，常顺着曲率线走
1799：平面上的难题跳到空间里，换一个投影方向去看→学生彭赛列由投影的看法走到射影几何→射影几何的齐次坐标，今天是计算机图形与游戏引擎里每一次透视投影的底子
1794：一所拿数学打底、培养工程师的学校→综合理工成了十九世纪各国理工学院的样板→今天的工程教育，仍是「数学与制图打底、再学专业」这个次序

他在哪几条专题里

专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写， 全是 tracks.ts 推出来的。

语录

「相交的两条路 Ab + Ba 之和，总大于不相交的 Aa + Bb 之和。」

—— 《挖方与填方的理论》第 II 条，巴黎科学院 1781 年卷（1784 年印）第 667 页，大意

「这门学问有两个主要目的：一是在只有两个维度的图纸上，准确地表示有三个维度的物体；二是从物体的准确描述里，推出由它们的形状与相对位置必然得出的一切。」

—— 《画法几何》卷首纲领，共和七年（1798–99）第一版，大意

「肋与肋之间可以镂空，用来采光、通风，成一片比我们哥特教堂的玫瑰窗少些荒诞的花窗。」

—— 「椭球面的曲率线」第 XI 节，《综合理工学院学报》第二册（1795）第 162–163 页，大意