数学群星MATHEMATICAL LUMINARIES

Hermann Grassmann · 1809–1877

格拉斯曼

一辈子在斯德丁教中学，一个人写出了线性代数与外代数的地基：带方向的线段怎样相加、怎样相乘，外积给出面积与体积，维数、基、线性无关与维数公式，1844 年就写在一本几乎没人读的书里；他还给混色写下了三维的线性定律，用递归与归纳重建了算术，晚年以梵语研究先得到了学界的承认

a∧b=− b∧a,dim⁡U+dim⁡W=dim⁡(U+W)+dim⁡(U∩W)a \wedge b = -\,b \wedge a, \qquad \dim U + \dim W = \dim(U + W) + \dim(U \cap W)
1844 年《线性扩张论》§37：两条线段的外积就是它们张成的平行四边形，次序一换号就反；§126：两个系统的级数之和，等于它们的共同系统与最近包容系统的级数之和

赫尔曼·京特·格拉斯曼 1809 年 4 月 15 日生于波美拉尼亚的斯德丁（今波兰什切青）。父亲尤斯图斯·格拉斯曼是当地文理中学的数学与物理教员，写过几何与三角的教科书；家里十二个孩子，他排第三。1827 至 1830 年他在柏林大学读神学与古典语文，据现有的记载没有修过数学课。回到斯德丁后他一面教中学，一面自己钻研数学；1834 年到柏林的职业学校教了一年数学，接的是施泰纳去柏林大学后留下的缺，此后一直在斯德丁。1840 年他为取得高年级的教学资格交了一篇两百页的潮汐理论，里面已经用上了他自己的线段算法。1844 年出版《线性扩张论》；1847 年申请大学教职，没有结果。1849 年与特蕾莎·克纳佩结婚，生了十一个孩子，七个长大成人。1852 年父亲去世，他接任父亲在斯德丁文理中学的职位，有了教授的头衔，一直教到去世。1877 年 9 月 26 日卒于斯德丁。

他几乎是一个人造出了一门新学问：1844 年那本书里有带方向的线段的加法与乘法、外积给出的面积与体积、任意多维的「扩张」、线性无关、维数与维数公式；1862 年他把整部书推倒重写，交换定理、基的存在、坐标变换都在里面——今天线性代数课本前几章的东西，大半在这两本书里。可同代的数学家几乎都没读。他转而拿同一套想法去做别的事：1845 年的电动力学、1846 年获莱比锡雅布沃诺夫斯基学会奖的《几何分析》、1853 年的混色定律、1861 年与弟弟罗伯特合写的算术教科书——加法与乘法全从「下一个数」递归定义，交换律、结合律一条条用归纳法证，皮亚诺 1889 年写明他算术里的证明用的就是这本书。他先被承认的却是语言学：1863 年那篇论送气音的文章给出了今天以他命名的「格拉斯曼定律」，1873 年起分册出版的《梨俱吠陀词典》二十世纪还在重印。数学上的承认来得晚：1867 年汉克尔、1872 年克莱布什先后在书里指出他的分量，1878 年《线性扩张论》出了第二版，那时他已经去世。他的外代数后来经过克利福德、皮亚诺与嘉当，成了微分形式与几何代数的底子。

格拉斯曼肖像
《格拉斯曼数学与物理著作集》第一卷第一部（莱比锡：托伊布纳，1894）卷首的铜版像，恩格尔主编，他卒后十七年刊行 · Wikimedia Commons，公有领域。这一卷收的正是 1844 年的《线性扩张论》

生平

  1. 1809年4月15日
    生于斯德丁

    今波兰什切青。父亲是文理中学的数学与物理教员。

  2. 1827–1830
    在柏林大学读神学与古典语文
  3. 1834
    柏林职业学校的数学教员

    接施泰纳留下的缺，只教了一年，1835 年回斯德丁。

  4. 1840
    潮汐理论

    为取得高年级教学资格交的论文，两百页，已用上他的线段算法；生前没有发表，1911 年才收进《著作集》。

  5. 1844年6月28日
    《线性扩张论》序言落款

    莱比锡维甘德书店出版。外积、线性无关、维数公式都在这一本里。

  6. 1845
    《电动力学的新理论》

    《物理学与化学年鉴》第 64 卷。

  7. 1846年7月1日
    雅布沃诺夫斯基学会奖

    《几何分析》，回答莱布尼茨提过的「几何特征」问题；应征的只有他一篇。

  8. 1847
    申请大学教职未果

    据 MacTutor，教育部请库默尔审他的论文，库默尔的评语断了这条路。

  9. 1852
    接任父亲在斯德丁文理中学的职位

    有了教授头衔，此后一直在这所学校。

  10. 1853
    《论颜色混合的理论》

    《物理学与化学年鉴》第 89 卷，回应赫姆霍兹：每种颜色都有补色，混色就是几何加法。

  11. 1861
    《高等学校算术教科书》

    与弟弟罗伯特合写：加法与乘法递归定义，定律用归纳法证。

  12. 1862
    《扩张论：完整而严格的写法》

    柏林出版。把 1844 年那本推倒重写，照样少有人读。

  13. 1863
    论送气音

    《比较语言研究杂志》第 12 卷，落款 1862 年 9 月 4 日。今称格拉斯曼定律。

  14. 1873–1875
    《梨俱吠陀词典》

    1876–1877 年又出了《梨俱吠陀》的德译两卷。

  15. 1877年9月26日
    卒于斯德丁

    六十八岁。当年夏天他为《线性扩张论》第二版写好了序，书在次年出版。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

平行四边形，是两条边的乘积

只要乘的不是两条长度，而是两条带着方向的线段，平行四边形就是相邻两边的积——次序一换，号就反过来；一条线段乘它自己，积为零。

1844 年，斯德丁一所中学的数学教员格拉斯曼在莱比锡出了一本书，《线性扩张论》。序言里他交代了来路。起点是「几何里的负」：把 AB 与 BA 看成相反的两个量，那么 A、B、C 在一条直线上时，不论 C 落在哪里，总有 AB + BC = AC；他把这条定律照搬到 A、B、C 不在一条直线上的情形，就得到了带方向的线段怎样相加。第二步来自他父亲的教科书：矩形是两边的乘积。他发现，只要不取两条长度的乘积，而取两条保持着方向的线段的乘积，一般的平行四边形也都该看成相邻两边的乘积；而且这个积对刚才那种加法可以分配——先加后乘与先乘后加结果相同，他称之为「最引人注目的和谐」。起初让他吃惊的是另一件事：这种积的两个因子，只有把符号一起反过来才能交换。书的 §37 把它写成定律：平行四边形的面积是两条线段的外积，平行六面体的体积是三条线段的外积，a.b = −b.a；一条线段乘它自己张不开面积，积为零。他还在序言里说，后来做潮汐理论时重读拉格朗日的《分析力学》，用这套办法改写，「计算往往比书里的短十倍以上」。几乎同一时候，都柏林的哈密顿在 1843 年造出了四元数，乘法同样不能交换；格拉斯曼这本书里没有提到他。今天的外代数、微分形式，都从这一页算起。

拖动 a、b 的端点，看那块面积什么时候变号；再切到「对加法分配」，拖 c 看两块拼不拼得成一块

现在画的是 [a b] = 11。换过来的那一个是 −11：面积一样大，只是号反了——这就是他说的「因子只有同时把符号反过来才能交换」。

两边乘上 b，y 就自己掉了

把一组一次方程并成一条 x·a + y·b = c，两边都外乘上 b：因为 b 乘 b 是零，y 那一项自己没了，x 就是两块带号面积之比。

同一本书的 §45 拿外积去解一次方程组。n 条方程、n 个未知数，他把不同方程里的系数看成彼此「不同类」的单位——等于把每个未知数在各条方程里的系数排成一个量——然后「按本学科的意义」把 n 条方程加成一条：p₁x₁ + p₂x₂ + … = p₀。要求 x₁，两边都外乘上其余那些系数的外积 p₂p₃…：左边凡含两个相同因子的项都是零，一下子只剩一项，于是 x₁ = [p₀ p₂ p₃ …] / [p₁ p₂ p₃ …]。分母对每一个未知数都一样；分子是把那个未知数的系数换成右端；分母为零时，他写，所有未知数都「不定或无穷」。这就是今天说的克拉默法则——结论并不新，加布里埃尔·克拉默 1750 年已经给出，而这种按正负号交错的乘积，关孝和与莱布尼茨在十七世纪就摆弄过；新的是来路：不必先定义行列式、再按排列逐项展开，行列式就是那个外积，两边一乘，别的未知数自己掉了。他在这一节开头说了一句大话：外乘在代数里用得如此之决断，「我敢断言，代数将因此获得一个本质上改变了的样子」。第 93 节他又用同一招，从两条高次方程里消去一个未知数：把两条方程分别乘上未知数的各次幂，凑出 m + n 条，再把它们的系数外乘起来——得到的正是西尔维斯特 1840 年那张消元方阵的行列式。

[a b] = 5，[c b] = 5，[a c] = 10：x = 1，y = 2。代回第一条方程：3·(1) + 1·(2) = 5，右端是 5。

两条直线：二加二减三

两个系统的级数加起来，等于它们共同部分的级数加上把它们包进来的最小系统的级数。平面上的两条直线是二加二减三，共同的是一级的东西：一个点，或者一个方向。

§126 问的是：两个「系统」（今天叫子空间）共有的部分有多大，把它们一起包进来的最小系统又有多大。他的回答是一句话：「两个量的级数合起来，与它们共同系统的级数加上最近包容系统的级数一样大」，u + c = a + b——级数就是今天说的维数。脚注里他举了个例子：平面作为点的「元素系统」是第三级（三个不共线的点定一张平面），直线是第二级，所以同一平面上两条不重合的直线，共同系统是 2 + 2 − 3 = 1 级，「由一个点或一个方向来表示」：要么交于一点，要么平行，共有一个方向。平行线交于无穷远，在他这里不是一条约定，是算出来的。1862 年他把整部书推倒重写。那一本的第 20 条是今天叫作「斯坦尼茨交换定理」的那一条：m 个线性无关的量若都能由 n 个量导出，就能从那 n 个里挑出 n − m 个补进来，张成同一个空间——斯坦尼茨是 1913 年发表的；第 22 条：由不到 n 个量导出的 n 个量必定线性相关；第 23、24 条：n 维里任意 n 个无关的量都是一组基；§126 那条成了第 25、26 条（这张对照表是他 1877 年自己编的）。基、线性无关、维数、维数公式——今天线性代数课本第一章的东西，这里全有。1888 年皮亚诺照着他的书写了一本《依格拉斯曼扩张论的几何演算》，在书里给「线性系统」列出了公理，一般认为这是向量空间第一次被公理化。

两条线不平行：交于一点，c = 1。把第二条线转到 0°，交点会沿着直线一路跑出纸外，最后变成一个方向。

颜色也是向量

赫姆霍兹说光谱里只有黄与靛能混出白。格拉斯曼第二年回了十六页：眼睛只分得出三样东西，每种颜色都有补色，混色就是线段的几何加法——颜色是一个三维的线性空间。

1852 年，赫姆霍兹在《物理学与化学年鉴》第 87 卷报告：光谱色里只有黄与靛两种相混得白，牛顿以来的混色理论在要点上错了。第二年，格拉斯曼在同一份刊物第 89 卷上回了十六页。他先把问题收窄：眼睛在一个光的印象里只分得出三样——色调、颜色的强度、掺进去的白的强度。再加一条「一种光连续地变，混出来的印象也连续地变」，就用反证法证出：每一种颜色都有另一种单色光，与它相混得到无色的光。赫姆霍兹量到的那些混色，恰好帮他排出一张补色表：黄配靛、黄绿配紫、绿配紫红、青绿配红、天蓝配橙。然后是这篇的主干：再假定看上去一样的两束光混出来也一样，不管它们各由哪些单色光拼成，就推出——把颜色画成线段，方向是色调，长度是颜色的强度，混色就是这些线段的几何加法，「像合成力一样」，与相加的次序无关；脚注说这个几何和的概念是他 1844 年的书与默比乌斯 1843 年的《天体力学》最早发展出来的。等价的说法是一个重心作图：每种单色光是圆周上一个点，重量是它的强度，混合光落在重心上；色调看重心的方向，饱和度是重心到圆心的距离，掺进去的白是总重量乘以重心到圆周的距离。他说这与牛顿《光学》里的经验规则在要点上一致，只是牛顿怎样在圆周上排各种颜色，需要全盘重新订正。今天色度学把这几条假设称为「格拉斯曼定律」：颜色的感觉可以相加、可以按比例放大，三个数就定得住一种颜色。

混合光的色调 60.0°、饱和度 0.500：总光强 2.00 里，1.000 是颜色，1.000 是掺进去的白。三个数正好对上他说的眼睛只分得出的那三样。

加法是从「下一个」递归出来的

只有一个 e，只有「下一项」：a + b 定义为使 a + (b + e) = a + b + e 成立的那一项，乘法再由加法递归出来。交换律、结合律，一条条用归纳法证——1861 年一本中学课本里的事。

1861 年，格拉斯曼与弟弟罗伯特合写的《高等学校算术教科书》在柏林出版，由罗伯特在斯德丁印刷。序言口气很大：这是算术的「第一部严格科学的写法」，而且它的方法「不是许多可能的方法之一，而是唯一可能的方法」。书的开头只有一个量 e：e、e + e、e + e + e……往后排，再加上负单位往前排，得到两头都无穷的「基本序列」；a + e 就是 a 的下一项。然后是第 15 条：a + b 定义为使 a + (b + e) = a + b + e 成立的那一项——「与其给第二个加数加上一个正单位，不如给和加上它」。乘法照样来：a·1 = a，a·(β + 1) = aβ + a。于是交换律、结合律、分配律都不再是「显然」，而是一条条用归纳法证出来的：第 20 条先证 e + a = a + e——对某个 a 成立，就对它的下一项与上一项都成立，再验 a = e——附注说「这样的证明叫作归纳式的」。与后来皮亚诺从 1 起步不同，他的序列一开始就两头无穷，所以每一步归纳都要往两个方向各走一遍。二十八年后，皮亚诺在《算术原理》的序言里写明：「在算术的证明里，我用的是这本书：H. 格拉斯曼，《算术教科书》，柏林 1861。」而这种递归定义会不会定义不出东西来——「使……成立的那一项」是否存在、是否唯一——他没有问；那是戴德金 1888 年定理一百二十六补上的。

a + b = 3 + 4 = 7：整个过程里真正「做」的只有一件事——走到下一项或上一项。加法是由「加一」递归定义的；交换律、结合律都不是看出来的，是一条条用归纳法证出来的。

化了浆的书，与一条语音定律

《线性扩张论》出版后几乎没人读，出版商把一部分存书化了浆；而他 1863 年一篇论送气音的文章，留下了一条至今以他命名的定律。

1844 年那篇序言的末段，他写得很直白：一个以传授学问为本分的职位是他愿望的目标，他希望这部书能替自己铺出一条路。书出来之后几乎没人读；据 MacTutor，默比乌斯没看出它的分量，也不肯写书评。1847 年他申请大学教职，普鲁士教育部请库默尔审阅他的获奖论文，据 MacTutor 转述，评语是「用有缺陷的形式表达的、值得称道的好材料」，这条路就此断了。1862 年他把整部书重写一遍，照样没人理。1877 年夏天，他为 1844 年那本书的第二版写序：「在最初的二十三年里，它只得到很少的、多半是偶然的注意」；「我想得到一个大学教席，好把年轻的力量引进这门学问、激励他们接着往上建造，这个希望落空了」；「在那样的情形下，谁也不能怪出版商让人把我这部书的一部分存书化了浆」。转机在 1867 年以后：汉克尔在《复数系理论》里强调它的根本意义；克莱布什 1872 年在纪念普吕克的文章里写，直线坐标乃至「新代数的大部分基本观念」，都已在格拉斯曼的《扩张论》里。第二版他没有看到——1877 年 9 月 26 日他在斯德丁去世，书是次年出的。另一门学问却早就承认了他。1863 年他在《比较语言研究杂志》第 12 卷上讨论词根首尾都有送气音的情形：梵语 budhnás、希腊语 pythmen、拉丁语 fundus、古撒克逊语 bodm（都是「底」），首辅音两两对照，他说只有拉丁语与日耳曼语那一对合乎规律，其余五对都反常。他的解释是：原来的词根首尾都是送气音；「一个词里有两个送气音、前一个失去送气」这条希腊语与梵语里已知的谐音律，是在语言分化之后才各自起作用的，日耳曼语的首音还保留着原样。这条规律今天就叫格拉斯曼定律。他又编成《梨俱吠陀词典》（1873–1875），译出《梨俱吠陀》（1876–1877），当选美国东方学会会员，图宾根大学授予他荣誉博士。

故事展签故事展签：两部没人读的书，一篇论送气音的文章，一本梵语词典。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1844：平行四边形是两条带方向的边的乘积，次序一换号就反→嘉当把外积写成微分形式，面积、体积与斯托克斯公式都用它统一写出→计算几何里判断一个点在线的哪一侧、显卡剔除背面的三角形，算的都是这个带号的面积
1844 §45：方程组两边乘上其余系数的外积，未知数一个一个掉出来→行列式有了一个不必逐项展开的来历：它就是那个外积→线性方程组有没有唯一解，今天看的仍是这个外积是不是零
1844 §126 与 1862 年那一本：线性无关、基、交换定理、维数公式→1888 年皮亚诺照他的书给「线性系统」写出公理，成了今天向量空间的定义→机器学习里每一个词、每一张图，都被编码成几百维空间里的一个向量
1853：眼睛只分得出三样，混色就是线段的几何加法→色度学把这几条称为格拉斯曼定律，1931 年的标准色度系统建立在这种线性之上→相机只记三个数、屏幕只发三种光，成像与显示里的色彩管理全照这套线性关系换算
1861：加法与乘法只从「下一个数」递归定义，定律一条条用归纳法证→皮亚诺 1889 年写明他算术里的证明用的就是这本书；戴德金 1888 年证明这种定义站得住→证明助手里自然数与加法的形式化定义，至今照这个样子写
1844：扩张不限于三维，级数可以一直升上去→克利福德 1878 年把它与哈密顿的四元数合成一种代数，今称几何代数→计算机图形与机器人学里有人用几何代数统一处理旋转、平移与求交

他在哪几条专题里

专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写， 全是 tracks.ts 推出来的。

语录

「只要不取两条长度的乘积，而取两条保持着方向的线段的乘积，那么不只是矩形，一般的平行四边形也都应当看成相邻两边的乘积。」

—— 《线性扩张论》（1844）序言，第 vi 页 · 中译

「那部书里的一切推导，照这种新分析的原理改写，都变得如此简单，计算往往比书里的短十倍以上。」

—— 同上，第 vii 页，说的是拉格朗日的《分析力学》 · 中译

「每一种颜色都有另一种单色光，与它相混得到无色的光。」

—— 《论颜色混合的理论》，《物理学与化学年鉴》第 89 卷（1853），第 73 页 · 中译

「我想得到一个大学教席，好把年轻的力量引进这门学问、激励他们接着往上建造，这个希望落空了。」

—— 《线性扩张论》第二版序言（1877 年夏，1878 年出版），第 xv 页 · 中译