数学群星MATHEMATICAL LUMINARIES

Stefan Banach · 1892–1945

巴拿赫

他把「空间」写成了几条公理，把「迭代为什么会停」写成了一条定理；他的数学有一半是在咖啡馆的大理石桌面上做的

∥U(X′)−U(X′′)∥≤M ∥X′−X′′∥,  0<M<1 ⟹ ∃ X=U(X)\|U(X') - U(X'')\| \le M\,\|X' - X''\|,\ \ 0 < M < 1 \ \Longrightarrow\ \exists\, X = U(X)
1920 年那篇博士论文的定理 6，1922 年刊于《数学基础》第 3 卷第 160 页：一个每一步都把距离缩到 M 倍以内的连续运算，一定有一个不动点——反复代入就找得到它

斯特凡·巴拿赫 1892 年 3 月 30 日生于克拉科夫，1910 年去利沃夫工学院读工程，第一次世界大战时回到克拉科夫。据施坦豪斯 1948 年的追忆，1916 年夏天的一个傍晚，他在克拉科夫的普兰蒂公园听见长椅上的一个年轻人在谈数学——那就是巴拿赫，一个「没有读完的利沃夫工学院学生」。两人随后合写了第一篇论文。1920 年他在利沃夫大学拿到博士学位，当时他连大学的学历都没有，是学校特许豁免的；论文 1922 年刊出，同年他当上教授。那篇论文把后来叫作「巴拿赫空间」的东西写成了一组公理，并在其中证明了压缩映射原理——本页第一、二件。

此后二十年，利沃夫成了泛函分析的中心。1929 年他与施坦豪斯创办《数学研究》，1932 年出版《线性算子论》，那本书把这门学问定了型，哈恩–巴拿赫定理（本页第四件）就在书里。1924 年他与塔斯基证明了一个实心球能切成有限块、拼成两个同样大的球（第三件）。他的研究有很大一部分是在咖啡馆里做的：罗马咖啡馆与苏格兰咖啡馆，问题写在大理石桌面上，1935 年起写进一本存在柜台的硬皮本——第六件讲的就是这本书。1939 年苏军、1941 年德军先后占领利沃夫，他的学生与同事死了一大半；据后来的传记，德占期间他靠在魏格尔的斑疹伤寒研究所给虱子喂血，领到一张保命的证件。1945 年 8 月 31 日他在利沃夫死于肺癌，五十三岁。

巴拿赫肖像
《线性算子论》第四章首页，第 53 页（华沙，1932，《数学专著》第一卷）· 雅盖隆大学图书馆藏本，互联网档案馆影像。他的照片传下来的都太小（最大的一张 348×467），所以这里放他自己的一页书：第四章「赋范空间」第 1 节，范数的三条公理，以及「(B) 型空间」——完备的赋范空间——的定义；页脚那条注写着：这一类空间「第一次以一般的方式处理，是在我那篇《数学基础》第 3 卷（1922）第 133–181 页的论文里」

生平

  1. 1892
    生于克拉科夫

    3 月 30 日。

  2. 1910
    进利沃夫工学院

    读的是工程。战时回到克拉科夫。

  3. 1916
    普兰蒂公园的长椅

    施坦豪斯在傍晚散步时听见他在谈数学，两人由此合写了第一篇论文。见本页第六件。

  4. 1920
    博士论文

    6 月交给利沃夫大学，特许豁免学历。1922 年刊于《数学基础》第 3 卷 133–181 页。见本页第一、二件。

  5. 1922
    利沃夫大学教授

    据施坦豪斯的追忆，他此后在利沃夫一直待到 1945 年。

  6. 1924
    与塔斯基分球

    《数学基础》第 6 卷 244–277 页；同卷第 236 页是他那条分块版的施罗德–伯恩斯坦定理。见本页第三件。

  7. 1929
    《数学研究》

    与施坦豪斯创办。第一卷里有他讲线性泛函延拓的两篇短文。

  8. 1932
    《线性算子论》

    华沙，《数学专著》第一卷，法文。见本页第四件。

  9. 1935
    苏格兰之书

    夏天起，问题写进一本存在苏格兰咖啡馆柜台的硬皮本；1941 年停笔。见本页第六件。

  10. 1945
    卒于利沃夫

    8 月 31 日，肺癌，五十三岁。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

每一步都缩一截，就一定停在一点

一个把任意两点的距离都缩到 k 倍以内的映射，从哪儿出发反复代入都会停在同一个点上——而且还没算，就知道要算多少步。

∣xn−x∗∣≤k n1−k ∣x1−x0∣|x_n - x^*| \le \frac{k^{\,n}}{1-k}\,|x_1 - x_0|

1920 年 6 月他交给利沃夫大学的博士论文，1922 年刊于《数学基础》第 3 卷第 133–181 页，题为《论抽象集合上的运算及其在积分方程上的应用》。第 160 页是定理 6：「若 U(X) 是 E 上的连续运算、值仍落在 E 里，并且有一个 0 < M < 1，使得对任意 X′、X″ 都有 ‖U(X′) − U(X″)‖ ≤ M‖X′ − X″‖，那么存在一个 X，使 X = U(X)。」证明不到一页：随便取一个起点，反复代入，相邻两项的距离一步至少缩到 M 倍，这些距离加起来是一个几何级数，所以这一列是柯西列；而他在第 135 页的公理 III 里规定了这样的列一定有极限（柯西那一页讲的就是这条判据），极限代回去正是不动点。原文只写了「存在」，唯一性与误差界都没写——两件都只差一行：两个不动点相距 d，就得 d ≤ M·d，只能 d = 0；把几何级数的尾巴加起来，第 n 步离不动点不超过 M 的 n 次方除以 (1 − M)、再乘第一步走的距离。首创权要分层：逐次代入求解的办法十九世纪就在用，一般认为刘维尔 1837 年、皮卡 1890 年先后拿它解微分方程；阿尔·卡西那一页算 sin 1° 时每轮误差乘 1/821，走的也是这条路。他做的是把它从具体的方程里抽出来，只留下「空间完备」与「每步缩一截」两个条件——紧接着的定理 7 就拿它解积分方程。演示用 f(x) = c + k·cos x，对任意两点都有 |f(x) − f(y)| ≤ k·|x − y|。默认 c = 1、k = 0.8、从 −2.5 出发：不动点 1.251283，误差界要到第 74 步才压到百万分之一以下，实际第 50 步就到了——因为不动点附近真正的缩小倍数是 k·|sin x*| = 0.7595（x* 是不动点），比 k 小。误差界是替最坏的情形说话的，它的用处在于：答案还没算出来，就知道该算多少步。

拨 k、c 与起点，看蛛网一圈圈收进不动点；右边是每一步离不动点多远，与误差界那条直线

从 −2.5 出发反复代入，停在 1.251283；换任何起点都停在这里。误差界说 74 步之内一定压到百万分之一，实际用了 50 步——界是替最坏的情形说话的，可它在动手之前就给得出来。

一列函数，两把尺子

同一列连续函数，用「最大差」量不是柯西列，用「差的面积」量是柯西列、却没有连续的极限——完不完备，要看尺子。

∥fn−f2n∥1=18n,  ∥fn−f2n∥∞=14\|f_n - f_{2n}\|_1 = \tfrac{1}{8n},\ \ \|f_n - f_{2n}\|_\infty = \tfrac14

同一篇论文的头三页把要用的空间一口气写成了公理：第 I 组十三条讲加法与数乘（他举的例子是向量、格拉斯曼的形式、四元数与复数），第 II 组四条讲一个叫「范数」的量——不为负、只有零元素为零、数乘出来按绝对值放大、两边之和不小于第三边——第 III 条只有一句：凡是彼此越来越近的列，都有一个极限。1932 年他在《线性算子论》第 53 页把这样的空间叫「(B) 型空间」，脚注说这类空间「第一次以一般的方式处理，是在我 1922 年那篇里」；「巴拿赫空间」这个名字是后来别人叫开的。首创权：一般认为维纳 1922 年也独立写下过几乎一样的公理，哈恩、黑利也各有相近的东西。要紧的是第 III 条：它不是范数自带的，换一把尺子，它可能成立也可能不成立。演示拿一列连续的斜坡：第 n 个在 ½ 两边宽 1/n 的一段里从 0 直线升到 1。拿「最大差」那把尺子量（他论文里的例子 (C) 用的就是它），第 n 个与第 2n 个永远相差 ¼，这一列不是柯西列；拿「差的面积」量，第 n 个与第 m 个只差 (1/n − 1/m)/4，是柯西列——可它要逼近的是一个在 ½ 处断开的台阶，台阶不是连续函数。所以连续函数配上面积尺子缺了极限，不是巴拿赫空间；配上最大差才是。把缺的极限补进来，得到的正是勒贝格可积函数的空间，那也是论文开头他点名要处理的一类。柯西那一页讲的是数列的完备，这一件讲的是：同一个集合，完不完备取决于你用哪把尺子。

f_6 与 f_24：差的面积 0.031250，最大差 0.375000。面积随 n、m 一起变大而趋于零；最大差只看 n 与 m 的比——m 是 n 的两倍时，它永远是 ¼。

一个实心球，拆开拼成两个

一个球切成有限块，只挪动、不伸缩，拼得出两个同样大的球——代价是用了选择公理，而那些块根本谈不上体积。

1924 年他与塔斯基在《数学基础》第 6 卷第 244–277 页发表《论把点集分解成分别全等的部分》。开篇就是主要结果：三维以上的欧氏空间里，任何两个有界、含内点的集合——例如两个半径不同的球——都能各切成有限块，一块对一块全等。第 262 页的引理 22 说得更直白：两个全等的球放在一起，与其中一个球等价——一个球切成有限块，拼得出两个同样大的球。证法分三层。第一层是前人的：第 261 页引「以豪斯多夫悖论闻名的那条定理」（1914），球面可以分成四块，其中一块只有可数个点，其余三块里的一块与另两块各自全等、又与两块之和全等。第二层是他们的：从球心向这几块各引出全部半径，把球面上的分法搬到实心球上；剩下球心一个点，与那可数个点引出的半径没着落——而可数个点能靠一次转动「吸」进去：绕一根轴转一个合适的角，把它们挪进一处与自己不相交的地方。演示画的就是这一步的二维样子。第三层是第 251 页的定理 8：A 能分块装进 B、B 能分块装进 A，两者就等价——那是巴拿赫同一卷第 236 页那篇短文的推论，今天叫施罗德–伯恩斯坦定理的分块版。第 245 页他们自己写着：「这两条定理，不借助选择公理，我们一条也证不出来——第一条也许显得悖理，第二条」（两个多边形一个含在另一个里，永远不等价）「与直觉完全一致」。那些块不可测，谈不上体积，所以体积守恒并没有被违背。第 264 页还有一句：平面上两个半径不同的圆永远不等价，这个差别「与测度问题在二维有正面的解、在三维是负面的，密切相关」。今天通行的说法是，最少五块就够（罗宾逊 1947）。

圆周 = 那一串点 A + 其余的点；把 A 整体往回转 1 弧度，第 1 个点落进 p、第 2 个落到第 1 个原来的位置……其余的点一个没动。所以缺了 p 的圆周与整个圆周，两块就换得过来。前 60 个点加上 p，最近的两个相距 1.770e−2 弧度。

只要不超过那把尺子，就能一直延拓下去

在一条直线上给定的线性函数，只要处处不超过一个「次可加」的上界，就能延拓到整个空间而仍不超过它——每多一个方向，可选的值是一个区间。

sup⁡x∈G[−p(−x−x0)−f(x)]≤F(x0)≤inf⁡x∈G[p(x+x0)−f(x)]\sup_{x\in G}\big[-p(-x-x_0)-f(x)\big] \le F(x_0) \le \inf_{x\in G}\big[p(x+x_0)-f(x)\big]

《线性算子论》（1932）第二章第 2 节的定理 1：给一个 p，满足 p(x + y) ≤ p(x) + p(y)，t > 0 时 p(tx) = t·p(x)；在一个子空间 G 上给一个加性、齐次的 f，处处 f ≤ p；那么 f 能延拓成整个空间上加性齐次的 F，仍处处 F ≤ p。证法在第 28–29 页：先只多加一个方向 x₀，F(x₀) 该取几？他写下两个数，m 是 −p(−x − x₀) − f(x) 的上确界，M 是 p(x + x₀) − f(x) 的下确界，x 走遍 G；证出 m ≤ M，于是两者之间任取一个都行。剩下的方向「只要把它们排成良序」，一个一个加上去——这一步用的是超限归纳，靠的是选择公理。首创权：同书第 55 页的注说，范数形式的那几条见哈恩 1927 年《纯粹与应用数学杂志》第 157 卷，并指向他自己 1929 年《数学研究》第一卷那两篇；一般认为黑利 1912 年已有一个特例。今天它叫哈恩–巴拿赫定理。他在序言里说，这一条定理同时解决了一般的测度问题、矩问题，以及无穷多个未知数的线性方程组有没有解。演示是二维：p 取一个凸多边形 K 的规范函数（K 的边界上 p = 1），G 是过原点的一条直线，f 在它上面给定。左边一条路是他的：照上面两个式子直接求 m 与 M，满足 F ≤ p 的延拓，恰是过 G 上 f = 1 那一点、不切进 K 内部的那些直线，它们张成一把扇子。右边是另一条独立的路：F ≤ p 当且仅当 F 的系数落在 K 的对偶多边形里，拿一条直线去截它。两边的 [m, M] 逐位一致，例如 G 取 20°、f 取上限的 0.6 倍时都是 [−0.568274, 0.746395]；f 顶到上限，扇子收成一条切线，延拓就只剩一个。

新方向上 F 可以取 [−0.568274, 0.746395] 里的任何一个数；换一条路截对偶多边形，得 [−0.568274, 0.746395]。区间张得开：扇子里每一条都是一个合格的延拓，有无穷多个。

口袋里的两盒火柴

他总带着两盒火柴、随手掏一盒；第一次掏到空盒时，另一盒还剩几根？施坦豪斯把这道题讲给了费勒，1950 年印进书里。

ur=(2N−rN) 2−(2N−r),μ=(2N+1) u0−1≈2N/π−1u_r = \binom{2N-r}{N}\,2^{-(2N-r)}, \qquad \mu = (2N+1)\,u_0 - 1 \approx 2\sqrt{N/\pi} - 1

这道题不在他的论文里。它最早印在费勒 1950 年《概率论及其应用》第一卷第六章（第 108–109 页），题为「巴拿赫火柴盒问题」，脚注只有一句：「由施坦豪斯告知。」题面是：一位数学家总带着两盒火柴，每次要用就随手掏一盒；到他第一次发现掏出来的那盒是空的时，另一盒还剩 r 根的概率 u_r 是多少？两盒起初各有 N 根。费勒的解法一行：那一刻之前一共划了 2N − r 根，其中恰好 N 根来自先空的那一盒，最后一掏又落在它上面，两盒对称，所以 u_r 等于从 2N − r 里取 N 的组合数除以 2 的 (2N − r) 次方。第 109 页的表 2 列出 N = 50 时 r = 0 到 29 的 u_r 与累计的 U_r。本馆逐项精确复算：三十个 u_r 里二十四个与四舍五入到第六位逐位相同，另外六个（r = 4、9、11、13、14、16）末位小 1；累计那一列从 r = 2 起就比精确值的四舍五入小 1，往后越差越多，到 r = 29 低了 9 个单位（印 0.999688，精确是 0.999697）——它既不是精确值的累加，也不是印本那一列的累加，当年怎么算的，表上没有交代。第九章第 176–177 页他求期望：直接求和做不下去，就借「各项加起来等于 1」这一条绕过去，得 μ = (2N + 1)·u₀ − 1，再用斯特林公式近似成 2√(N/π) − 1，并写「N = 50 时 μ = 7.04」——精确是 7.0385，近似式给 6.9788。演示里还有一件一眼看得见的事：u₀ 与 u₁ 永远相等，因为从 2N − 1 里取 N 恰好是从 2N 里取 N 的一半。

每盒 50 根：平均剩 7.0385 根，费勒的近似式给 6.9788；剩 0 根与剩 1 根的机会一样大，都是 0.079589。这一档叠着费勒 1950 年的表 2：三十格里有六格末位比精确值小 1。

硬皮本、大理石桌面与一只活鹅

问题先是用紫色铅笔写在咖啡馆的大理石桌面上，侍者擦不掉；1935 年起改写进一本存在柜台的硬皮本，悬赏从半杯咖啡到一只活鹅。

这一件照施坦豪斯 1948 年在《数学讨论》第一卷第 74–80 页发表的《忆斯特凡·巴拿赫》写，那是巴拿赫死后一年，他在弗罗茨瓦夫对着巴拿赫的旧友与学生讲的。1916 年，战争、前途未卜、物资短缺，可夏天的傍晚还能在克拉科夫普兰蒂公园的长椅上坐一坐、聊数学；有一晚他听见了巴拿赫的一段谈话——一个「没有读完的利沃夫工学院学生」，常在一起的还有尼科迪姆与维尔科什。后来巴拿赫得知有本质上发散的傅里叶级数，就给平均收敛的那个问题一个否定的回答；施坦豪斯深知那个问题有多难，而解决它的这个学生，手里只有「碰巧在手册里读到、或听另外两个初学者说起」的那点东西——这让他印象极深。两人的第一篇合写论文由此而来，由扎雷姆巴提交克拉科夫科学院，「晚了两年」。到了利沃夫，讨论搬进了咖啡馆，多半在罗马咖啡馆或苏格兰咖啡馆：问题与证明直接用铅笔写在大理石桌面上，写错了就擦掉——可巴拿赫从不离手的是一支紫色的化学铅笔，洗桌子的侍者为此发愁，更难的是向别的客人解释那些象形文字是什么。1935 年夏天，他用一个两边都满意的办法了结了这件事：一本硬皮的大本子，常年存在苏格兰咖啡馆的收银侍者手里，数学家一进门就放到他们桌上。问题写进去，有时连同解答；有些问题悬了奖，「从半杯摩卡到一只活鹅」。本子上有巴拿赫、萨克斯、鲁泽维奇、绍德尔、奥尔巴赫、艾德海特、施特恩巴赫的笔迹——施坦豪斯说，除了巴拿赫，这几位都是「德国人罪行的牺牲者」；题目出得最多的是乌拉姆与马祖尔。乌拉姆在 1946 年的悼文里记过一次他们三人连坐十七个小时的「讨论会」：「在这种聚会上，要比巴拿赫坐得更久、喝得更多，很难。」1939 年局势一片混乱时，巴拿赫说：「这会持续两年以上。」1941 年本子停了笔；它躲过了战火，由巴拿赫夫人露西亚保存下来，施坦豪斯讲话时它在弗罗茨瓦夫。据通行的说法，1972 年恩弗罗解出马祖尔的一道题，真的从马祖尔手里领到了那只鹅。

故事展签

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1922：每一步都缩一截，迭代就一定停在唯一的一点→贝尔曼的动态规划：值迭代每一步都把误差缩到折扣因子那么多倍→强化学习与机器学习里的值迭代、Q 学习，收敛的理由都是这一条
1922：同一篇里的积分方程，解写成一个逐项衰减的级数→光在墙面之间来回反弹，每弹一次打一个折扣——渲染方程按弹射次数展开→计算机图形与游戏引擎里的全局光照：多弹几次就收敛
1922–1932：完备的赋范空间→偏微分方程的弱解与有限元的收敛理论都立在这块地上→工程上的结构仿真与数值模拟：网格越细，解越靠得住
1927–1932：哈恩–巴拿赫：线性泛函可以一直延拓下去→凸分析与对偶：分离超平面、拉格朗日对偶→最优化与支持向量机：对偶问题给出一个可以验证的下界
1924：分球——有的集合根本谈不上体积→所以测度只在一族挑好的集合上定义，概率论也照这样立在 σ-代数上→随机过程与统计推断里的每一个「事件的概率」，先要问它可不可测

他在哪几条专题里

专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写， 全是 tracks.ts 推出来的。

语录

「若 U(X) 是 E 上的连续运算，并且有一个 0 < M < 1，对任意 X′ 与 X″ 都有 ‖U(X′) − U(X″)‖ ≤ M‖X′ − X″‖，那么存在一个元素 X，使 X = U(X)。」

—— 博士论文定理 6，《数学基础》第 3 卷第 160 页（1922），据波兰科学院数学所数字图书馆的原刊扫描译出

「这两条定理，不借助选择公理，我们一条也证不出来：第一条也许显得悖理，第二条与直觉完全一致。」

—— 与塔斯基合写，《数学基础》第 6 卷第 245 页（1924），据原刊扫描译出；第一条是「两个多面体总是有限分解等价的」，第二条是「两个多边形一个含在另一个里，永远不等价」

「数学家是能看出定理之间有相似之处的人；更强的，能看出证明之间的相似；再强的，能看出理论之间的相似；还可以想象有一种人，能看出相似之间的相似。」

—— 施坦豪斯转述巴拿赫对他说过的话，《忆斯特凡·巴拿赫》，《数学讨论》第 1 卷第 76 页（1948），大意