Felix Hausdorff · 1868–1942

豪斯多夫

他让维数可以是 0.63，给拓扑空间写下了四条公理；写诗的时候，他署另一个名字

\dim_H C = \frac{\log 2}{\log 3} = 0.63093\ldots

《维数与外测度》第 172 页：「经典的康托尔集，每次去掉中间三分之一……维数 p = log 2 : log 3 = 0,63093」。1918 年 3 月写于格赖夫斯瓦尔德，1919 年刊于《数学年刊》第 79 卷

费利克斯·豪斯多夫 1868 年 11 月 8 日生于布雷斯劳（今波兰弗罗茨瓦夫）一个经营纺织品的犹太商人家里，幼年随家迁到莱比锡。他在莱比锡大学跟布伦斯与迈尔学数学，1891 年的博士论文讲大气里的天文折射，此后几年又写了几篇天文与光学的文章。可那些年他的心思多半在文学与哲学上：来往的几乎全是作家与艺术家，他用保罗·蒙格雷的笔名出格言集、哲学书、诗集，还写过一出上演过的闹剧（见本页第六件）。1902 年他当上莱比锡的编外教授，谢绝了哥廷根的同类职位。1901 到 1909 年间他做了一连串有序集的工作，一般认为半序集这个概念是他引入的，今天所谓广义连续统假设的那一问也出自他。1910 年他去了波恩，1913 年到格赖夫斯瓦尔德任正教授。

1914 年的《集合论基础》是他一生的主要作品，扉页题献给「集合论的创造者格奥尔格·康托尔」。书里用四条邻域公理写下了拓扑空间，第四条就是今天以他命名的分离公理；度量空间、集合之间的距离、球面去掉可数个点之后三份互相全等的那个悖论，都在这一本里。1918 年的《维数与外测度》让维数可以不是整数，1920 年写成的两篇矩序列解决了有限区间上的矩问题。1921 年他回到波恩，1935 年被纳粹政府强令退休，此后的研究在德国已不能发表。他没有及早离开：1939 年写信请柯朗在国外替他找一个研究职位，没有找到。1942 年 1 月，接到迁入恩德尼希拘留营的通知之后，他与妻子、妻妹一同自尽。

费利克斯·豪斯多夫，照片，约摄于 1913–1921 年，摄影者不详 · 波恩大学图书馆藏，经波恩豪斯多夫全集编辑部提供 · Wikimedia Commons，公有领域。那几年他先在格赖夫斯瓦尔德任正教授、写成《集合论基础》与《维数与外测度》，1921 年回到波恩

生平

1868
生于布雷斯劳
11 月 8 日，今波兰弗罗茨瓦夫；幼年随家迁到莱比锡。
1891
莱比锡大学博士
论文《论天文折射理论》，导师布伦斯与迈尔。
1897
以保罗·蒙格雷之名出书
格言集《圣伊拉里奥：查拉图斯特拉之乡的思绪》，378 页。见本页第六件。
1901–1909
有序集
一连串关于有序集与序型的文章。
1913
格赖夫斯瓦尔德正教授
此前 1910 年起在波恩。
1914
《集合论基础》
序言署 3 月 15 日。拓扑空间的四条邻域公理、集合间的距离、球面悖论都在这一本里，见本页第二、三、四件。
1918年3月
《维数与外测度》写成
1919 年刊于《数学年刊》第 79 卷 157–179 页。见本页第一件。
1920
《求和法与矩序列》
上篇 2 月 11 日收稿，1921 年刊于《数学杂志》第 9 卷。见本页第五件。
1921
回到波恩
任正教授，直到 1935 年。
1935
被强令退休
纳粹政府的法令，他是犹太人。
1942
卒于波恩
1 月 26 日，与妻子夏洛特同日；妻妹伊迪丝几天后也去世。见本页第六件。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

维数不必是整数

用小块去盖一个集合，把各块直径的 p 次方加起来——p 小了是无穷、p 大了是零，中间那个分界就是维数；康托尔集的维数是 log 2 / log 3 = 0.6309。

\mathcal H^p(E) = \lim_{\rho\to 0}\ \inf_{\operatorname{diam} U_i \le \rho} \sum_i (\operatorname{diam} U_i)^p

1918 年 3 月，在格赖夫斯瓦尔德的豪斯多夫写完《维数与外测度》，次年刊于《数学年刊》第 79 卷。第一句就交代了起点：卡拉泰奥多里 1914 年给出了一种极其简单又普遍的测度构造，把勒贝格测度当作特例包在里面，也定义了 q 维空间里点集的 p 维测度；「我们在这里添一点小贡献」。他添的是把 p 放开：用直径不超过 ρ 的小块去盖，把各块直径的 p 次方加起来取下确界，再让 ρ 趋于零。p 取 1、2 时就是长度与面积，而 p 取什么正数都说得通；对一个集合，p 小了这个量是无穷、p 大了是零，中间那个分界就是它的维数。他说维数由此排成了「一个更细的、例如对数的刻度」。第 172 页是他自己的例子：线段两头各留 ξ 倍、去掉中间，一层层做下去，维数是 log 2 : log(1/ξ)；去掉中间一半（ξ = 1/4）得 1/2，「经典的康托尔集……ξ = 1/3，维数 p = log 2 : log 3 = 0,63093」。演示数的是格子：边长 ε 的方格要几个才盖得住。这叫盒维数，比他的定义粗——他允许各块大小不一、再取下确界——两者一般不相等，比如 [0,1] 里的全体有理数盒维数是 1、豪斯多夫维数是 0；可在这几个自相似的集合上它们相等。康托尔集每缩一档格子恰好翻一倍，斜率 0.6309；科赫曲线第 3 到 7 档拟合出 1.2561，理论值 log 4 / log 3 = 1.2619；谢尔宾斯基三角拟合 1.5841，理论值 1.5850。后两个不是他的例子（1904 年与 1915 年），维数却都照他这套算。「分形」这个词要等到 1975 年才由曼德博造出来。

切换四个集合，拨格子的档位，看要几个格子才盖得住；右边的点排成直线，斜率就是维数

第 4 档

格子边长缩成 1/3 的 4 次方，要 32 个格子才盖得住；把各档画在对数坐标里，点排成一条直线，斜率 0.6309，理论值 0.6309。这是他 1918 年自己算的那一类：格子与集合同尺度时，缩一次恰好翻一倍。

两个形状之间有多远

B 里离 A 最远的那一点有多远，A 里离 B 最远的那一点又有多远，两个数取大的——这就是两个集合之间的距离。

d_H(A,B) = \max\{\sup_{b\in B}\delta(A,b),\ \sup_{a\in A}\delta(B,a)\}

《集合论基础》第八章第 6 节讲度量空间。第 293 页他问：能不能给空间的子集之间也定一个满足距离公理的「距离」？现成的两个都不行。两集合最近两点之间的距离不满足三角不等式——两个隔开的集合各自与第三个集合相交，到它的距离都是零；最远两点之间的距离，连一个集合到它自己都不是零。他的办法是：B 里每一点到 A 有个最近距离，取这些数的上确界；这个数与次序有关，反过来 A 到 B 又是一个数，「为保证对称，我们定义距离为两个数中较大的那一个」。脚注里补了一句：「它们的算术平均也差不多一样好用。」第 294 页他证明这个距离满足三角不等式，并指出它为零恰好是两个集合的闭包相同，所以只拿闭集来比：一个度量空间的全体非空闭子集，自己又成了一个度量空间。首创权他在书末附录第 463 页自己交代了：「AB 的定义参看庞培约，《论复变函数的连续性》，图卢兹理学院年刊，1905」——罗马尼亚人庞培约 1905 年的博士论文里已有同一个量，所以今天也叫庞培约–豪斯多夫距离；把它放进一般的度量空间、证出闭集自成一个度量空间的是豪斯多夫。演示里 A 是单位圆。与同心、半边长 1 的正方形相比，正方形的角离圆最远，√2 − 1 = 0.4142；圆上离正方形最远处是 1 − 1/√2 = 0.2929；距离取大的 0.4142。换成圆上的一段弧，一个方向是 0，另一个方向是 1.9378——单向的那个数不对称，就是他要取较大者的理由。今天比较两条轮廓、两团点云差多少，常用的正是这个数。

B 左右挪 0.00

B 离 A 最远处是 0.4142，A 离 B 最远处是 0.2929，豪斯多夫距离取较大的 0.4142。距离小于 ε，就是说两个形状互相落在对方的 ε 邻域里。

两个点，要能分得开

他用四条邻域公理定义拓扑空间，第四条说：两个不同的点，有两个互不相交的邻域——今天满足它的空间就叫豪斯多夫空间。

x \ne y \ \Longrightarrow\ \exists\, U_x, U_y:\ U_x \cap U_y = \varnothing

《集合论基础》第七章第 1 节，第 213 页：「所谓拓扑空间，是一个集合 E，其中每个元素（点）x 配有若干子集 U_x，称为 x 的邻域」，下面四条邻域公理。(A) 每点至少有一个邻域，每个邻域都含这一点；(B) 同一点的两个邻域里，含着同一点的第三个邻域；(C) y 在 U_x 里，就有 y 的一个邻域含在 U_x 里；(D) 两个不同的点 x、y，有两个邻域 U_x、U_y 没有公共点。「拓扑的」这个词他加了一条注：这个说法在相近的意思上已经有人用，要表明的是这里讲的东西「不用尺度与数就说得出来」。第 214 页他逐条验证度量空间里的球形邻域满足这四条，(D) 取半径不超过两点距离的一半即可。在他之前，弗雷歇 1906 年的博士论文里有了度量空间和更一般的极限类，里斯也用聚点给过一套公理；一般认为今天教科书里拓扑空间的定义是从这一页开始的，而单列出来的第四条后来就以他命名。为什么要单列？演示下半幅是今天教科书里常举的例子，不是他的：把直线复制一份，除了原点，两份粘在一起。它满足 (A)(B)(C)，可两个原点 0 与 0′ 的邻域不管取多小，都共有原点两侧的一小段；数列 1、1/2、1/3……同时趋向 0 与 0′，极限不再唯一。有了 (D)，一个收敛的序列只有一个极限——这正是分析里默认、却要有人写下来的那件事。

x、y 间距 1.20蓝邻域半径 r1 0.80黄邻域半径 r2 0.50

上面：两个邻域重叠 0.10，可只要半径取间距的一半以下就分开了。下面：0 与 0′ 的邻域无论取多小，总共有长 1.00 的两段——这个空间满足前三条邻域公理，缺的正是第四条。

半个球面与三分之一个球面全等

球面去掉可数个点，剩下的能分成 A、B、C 三份：A 转一下是 B 与 C 合起来，转另一下只是 B——所以球面上没有一种面积能量所有的点集。

A\varphi = B \cup C,\quad A\psi = B,\quad A\psi^2 = C

《集合论基础》第十章第 401 页先照勒贝格的说法写下体积问题：给每个有界点集配一个数，全等的集合数相同，单位立方体是 1，有限可加，可数可加。第 402 页说，连同可数可加，这在直线上就已无解；接着一句：「奇特的是，即使不要求可数可加，至少在三维或更高维的空间里，也无法给所有有界集合定出体积。」证明放在书末附录第 469–472 页，靠的是一件事：「半个球面与三分之一个球面可以全等」。取 φ 为绕一根轴的半转，ψ 为绕另一根轴转三分之一圈。他证明两根轴选得合适时，φ 与 ψ 之间除了 φ² = 1、ψ³ = 1 之外没有别的关系——「这是整个论证的神经」——坏的夹角只有可数个。再把群里的元素按一条递推规则分进 A、B、C 三类：1 在 A 里；以 ψ 结尾的字后面接 φ，A 类的归 B，B、C 类的归 A；以 φ 结尾的字后面接 ψ，A、B、C 依次归 B、C、A，接 ψ² 依次归 C、A、B。于是 Aφ = B + C、Aψ = B、Aψ² = C。搬到球面上：去掉这些旋转的转轴穿过球面的点（可数个），其余的点按轨道分组，从每条轨道里「恰好选出一个点」，再照字的类别把每条轨道分成三份。若球面上有这样的面积，A 就既得是全球的一半、又得是全球的三分之一。从每条轨道各选一点，要用策梅洛 1904 年的选择公理。演示只画一条轨道：一个点在长度不超过 12 的字下的 442 个像，照他的规则上色（A 190、B 126、C 126）；A 的点半转之后，仍在画面里的 189 个中 95 个落在 B、94 个落在 C，一个也不落回 A。直线与平面那一问他写明只能「留作悬案」；十年之后巴拿赫与塔斯基沿着这条路走进了实心球。

转动球 0.60

A、B、C 各 190、126、126 个字；数目有限时 A 多，可在整个群里三条关系同时成立：A 转一下成了 B 与 C 两份，转另一下只成了 B。

什么样的一串数是矩

一串数是 [0,1] 上某个分布的各阶矩，当且仅当它的各阶差分全都不是负数——1921 年他给出了这个判据，还给了一个把分布一层层还原出来的办法。

\mu_n = \int_0^1 u^n\, d\chi(u) \iff (-1)^k \Delta^k \mu_m \ge 0

1920 年 2 月寄到《数学杂志》、1921 年刊出的《求和法与矩序列》分上下两篇，起点是发散级数的求和：切萨罗、赫尔德那一类取平均的办法，写成差分之后都是「乘上一个数列 μ_n」。他问：什么样的 μ_n 能保证收敛的序列平均完仍收敛？答案落到了一个老问题上。第 80 页他定义：一个数列称为全单调的，如果它的各阶差分 μ_m − C(n,1)μ_(m+1) + C(n,2)μ_(m+2) − … 全都不小于零——这个名字他注明出自舒尔。第 84 页：[0,1] 上一个有界变差函数 χ 的斯蒂尔杰斯积分 μ_n = ∫ u 的 n 次方 dχ(u) 叫作矩序列。第 98 页的定理三与第 102 页的结论合起来是：每个全单调数列都是一个唯一确定的单调函数的矩序列，「C 序列与矩序列是同一回事」。反方向很容易：差分就是 ∫ u 的 m 次方乘 (1−u) 的 n 次方 dχ，当然不小于零；难的是这一方向。第 11 节他另给了一个概率论的证法：第 p 层在 m/p 处放 C(p,m) 乘那个差分那么多的质量，p 趋于无穷，这些阶梯收敛到 χ。斯蒂尔杰斯 1894 年解的是半直线上的矩问题（第 100 页的注里引了），有限区间上这个干净的判据是他的，今天叫豪斯多夫矩问题。演示用有理数精确地算：均匀分布 μ_n = 1/(n+1) 差到 40 阶全不为负；把第 3 个矩加上 1/100，第一个负差分出现在 m = 2、差 3 次那一格，1/60 − 3/100 = −1/75——可每一层的质量加起来照样是 1、平均位置照样是 1/2，只看总和与平均看不出它是冒牌的，露出马脚的是符号。那组权重 C(p,m)·u 的 m 次方·(1−u) 的 p−m 次方，正是伯恩斯坦 1912 年证魏尔斯特拉斯逼近定理用的多项式，他在第 104 页的注里引了；今天计算机画贝塞尔曲线，用的也是这一组。

层数 p 12

各阶差分全不为负，第 12 层的 13 份质量都是正的，总和 1；p 越大，蓝阶梯越贴近真正的分布。他证明了反过来也对：差分全不为负的数列，一定是唯一一个分布的矩。

「就连恩德尼希，也许还不是尽头」

他在数学里署自己的名字，在诗里署保罗·蒙格雷。1942 年 1 月 25 日，接到迁入拘留营的通知后，他给朋友写了最后一封信，里面还押了一个韵。

据 MacTutor 的传记，1897 年他以保罗·蒙格雷的笔名出版了 378 页的格言集《圣伊拉里奥：查拉图斯特拉之乡的思绪》，1898 年出了批评形而上学的《宇宙选择中的混沌》，1900 年出了诗集《狂喜》，1904 年写了一出闹剧《他名誉的医生》，1912 年上演，很成功。1935 年他作为犹太人被强令退休；1941 年秋起要佩黄星。1942 年 1 月，波恩剩下的犹太人被通知迁入城西恩德尼希的拘留营。1 月 25 日，星期日，他给律师朋友汉斯·沃尔施泰因写了一封三页的信，手迹今存（本馆据手迹影像读过）。开头是：「当您收到这几行字的时候，我们三个已经用另一种办法解决了这个问题——就是您一直想劝我们打消的那一种。」您预言过，只要熬过搬家的麻烦，会有一种安定的感觉，「可它怎么也不肯来，正相反：就连恩德尼希，也许还不是尽头！」——原文是 auch Endenich / ist noch vielleicht das Ende nich，拆成两行，押着韵，写诗的人在最后一封信里也没有放下。「最近几个月里对犹太人做下的事，让人有理由害怕：人们不会再让我们活到一个我们受得了的境况。」信里交代了 1941 年 10 月 10 日立的遗嘱（继承人是在耶拿的女婿阿图尔·柯尼希）、家里的女佣、家具与书，写明 1 月 29 日是他们的「搬迁日期」，请求火葬，还加了一条注：妻子与妻妹是新教徒。末尾是：「请原谅我们在死后还给您添麻烦……也请原谅我们的逃离！我们祝您和我们所有的朋友，还能活到更好的时代。」当夜他与妻子夏洛特、妻妹伊迪丝·帕彭海姆一同服下了安眠药。他与妻子在 1 月 26 日早上已经去世；伊迪丝昏迷了几天，也没有救回来。

故事展签

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1918：维数可以是 log 2 / log 3 这样的数→曼德博 1975 年造了「分形」一词，拿它量海岸线、云与血管分叉的粗糙程度→图像处理里用分形维数量纹理，医学影像里用它描述肺与骨组织的复杂程度

1914：两个集合之间的距离，取两个方向上最远的那一点→形状比对与点云配准都拿它当误差的度量→医学影像分割与计算机图形里，衡量两条轮廓、两个网格差多少的标准指标之一

1914：拓扑空间的四条邻域公理→一般拓扑与泛函分析：收敛、连续、紧都在这套语言里说→数值逼近与各种求解器的收敛性证明，先得说清在什么空间、什么意义下收敛

1914：球面去掉可数个点分成三份，面积不能给所有点集→巴拿赫与塔斯基 1924 年的分球；测度论从此只去量可测的集合→概率论只给「事件」配概率，随机过程与统计推断都建在这条限制上

1921：各阶差分全不为负的数列，恰好是某个分布的矩→全单调函数与伯恩斯坦多项式的理论→计算机图形里的贝塞尔曲线，用的正是那组伯恩斯坦基函数

语录

「本书想做一部教科书，而不是一份报告：它试图不以高深的预备知识为前提，把集合论的要点连同完整写出的证明一起讲出来。」
—— 《集合论基础》序言，格赖夫斯瓦尔德 1914 年 3 月 15 日；据 archive.org 所存 1914 年初版译出，大意

「奇特的是，即使不要求可数可加，至少在三维或更高维的空间里，也无法给所有有界集合定出体积。」
—— 《集合论基础》第十章第 402 页；证明在附录第 469–472 页，据 1914 年初版译出，大意

「请原谅我们的逃离！我们祝您和我们所有的朋友，还能活到更好的时代。」
—— 1942 年 1 月 25 日致汉斯·沃尔施泰因的信，第三页；据 Wikimedia Commons 所存手迹影像译出