Giuseppe Peano · 1858–1932

皮亚诺

都灵的分析学家与逻辑学家，专找通行说法里的破绽：他造出第一条填满正方形的曲线，证明方程右边只要连续就有解、却举例说明解可以不唯一，指出教科书里曲面面积与极值的判据都是错的；他把整篇证明写成符号，ε 就是他起用的，晚年又去推一种没有词尾的拉丁语

b_n = k^{\,a_2+a_4+\cdots+a_{2n-2}}\, a_{2n-1}, \qquad c_n = k^{\,a_1+a_3+\cdots+a_{2n-1}}\, a_{2n}

1890 年《论一条填满整个平面区域的曲线》第 157 页：t 写成三进制 0,a₁a₂a₃…，x 的第 n 位取 t 的第 n 个奇数位、y 的取第 n 个偶数位；k a = 2 − a，前面那组数之和为奇数时就取补

朱塞佩·皮亚诺 1858 年 8 月 27 日生于皮埃蒙特库内奥附近的一处农舍，父母务农。据 MacTutor，他每天步行五公里去库内奥上学；做神父兼律师的舅舅看出他有天分，1870 年把他带到都灵念中学。1876 年他进都灵大学，本想转去工程学院，结果第三年成了全班唯一接着念纯数学的学生；1880 年 9 月 29 日取得博士学位，留校做助教，1881–82 学年给热诺基当助手，替年老多病的老师上微积分。1884 年，热诺基讲义的增订本《微分学与积分学原理》出版，扉页写着「皮亚诺增补出版」——卷首那几十页注释几乎一条一条在指出通行教科书里的错。此后他在都灵大学与军事学院任教，1890 年 12 月接了热诺基的讲席，1891 年创办《数学杂志》，1932 年 4 月 20 日卒于都灵。

他的看家本领是给「显然」找反例：1882 年发现塞雷那条曲面面积的定义不成立，1884 年举出一个沿每条直线都是极小、却不是极小的函数，1890 年先证「右边只要连续，解就存在」，再举例说明解可以不唯一，同一年造出一条经过正方形每一点的连续曲线。他觉得这些破绽都出在含糊的日常语言上，于是从 1888 年起把命题写成符号——1890 年那篇存在定理整篇都用逻辑式写成，ε 取自希腊文「是」的首字母；1889 年的《算术原理》给自然数列出公理（戴德金 1888 年那四条内容相同，馆里戴德金那一页已讲）。1892 年起他主持《数学公式集》，想把已知的全部定理都写成符号；1903 年又提出「无屈折拉丁语」。据 MacTutor，他后来照《公式集》讲课，学生与同事都难以接受，军事学院 1901 年不再续聘他。

《数学年刊》第 36 卷（1890）第 157 页，《论一条填满整个平面区域的曲线》的首页，署「G. 皮亚诺，于都灵」· Internet Archive，公有领域。他存世的照片公有领域的最宽只有 580 像素，所以这里放的是他那条曲线：全文四页，一张图也没有

生平

1858年8月27日
生于库内奥附近
父母务农。1870 年随舅舅到都灵念中学。
1880年9月29日
都灵大学数学博士
此后留校任助教。
1882年5月22日
讲课时指出塞雷的曲面面积定义不成立
见于学生石印的讲义第 143 页。施瓦茨更早发现了同一件事，没有发表，经埃尔米特 1883 年的讲义印出。
1884
《微分学与积分学原理》
热诺基讲义的增订本，扉页写「皮亚诺增补出版」；卷首的注释是他写的。
1886
在都灵科学院发表一阶方程的存在定理
右边只要连续，解就存在。同年起兼任军事学院教职。
1887年2月20日
线性方程组的级数解法
都灵科学院院刊；法译本 1888 年刊于《数学年刊》第 32 卷。
1888
《依格拉斯曼扩张论的几何演算》
开篇一章讲数理逻辑；书里给「线性系统」列出公理（馆里格拉斯曼那一页已讲）。
1889
《算术原理，以新方法陈述》
拉丁文小册子，用他的逻辑记号写成；自然数公理即出于此。
1890年1月
《论一条填满整个平面区域的曲线》
《数学年刊》第 36 卷 157–160 页，四页，没有一张图。
1890
《常微分方程可积性的证明》
《数学年刊》第 37 卷 182–228 页，整篇写成逻辑式；推广到方程组，并举例说明解可以不唯一。
1890年12月
接任热诺基在都灵大学的讲席
1891
创办《数学杂志》
Rivista di matematica，以逻辑与数学基础为主。
1900年8月
巴黎国际哲学大会与数学家大会
据 MacTutor，罗素后来在自传里说，在那次哲学大会上遇见皮亚诺是他思想生活的转折点。
1903
《论无屈折拉丁语》
《数学杂志》第 8 卷。一篇从古典拉丁语写起、边写边把词尾一条条去掉的文章。
1908
《数学公式集》最后一版
据 MacTutor，这一版整本用无屈折拉丁语写成。
1932年4月20日
卒于都灵

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

一根线，走遍整个正方形

一条连续的曲线，能经过一个正方形里的每一点吗？1890 年 1 月，他在四页纸里给出了一条——全文只有算式，一张图也没有。

t=0{,}a_1a_2a_3\ldots_{(3)} \;\mapsto\; \bigl(0{,}b_1b_2\ldots,\ 0{,}c_1c_2\ldots\bigr)

康托尔 1878 年证明，线段上的点与正方形里的点可以一一对应；内托随即证明，这样的对应不可能是连续的。连续而不一一的呢？1890 年 1 月，皮亚诺在都灵写成一篇四页的短文，登在《数学年刊》第 36 卷。他的构造只有一条规则：把参数 t 写成三进制 0,a₁a₂a₃…，记 k a = 2 − a（他称为「补数」）；x 的第 n 位就是 t 的第 n 个奇数位，y 的第 n 位就是 t 的第 n 个偶数位——只是前面那一组数字之和为奇数时，要把这一位换成它的补。第二页证明：同一个 t 的两种三进制写法（末尾全是 2、或者进一位后全是 0）给出同一个点，所以 x、y 是 t 的连续函数；反过来正方形里每一点都写得成三进制，于是都被走到。第四页他说明这个对应为什么绕得过内托的定理：x 与 y 都能两种写法的那些点，对应的 t「有 2 个或 4 个」。末句是：这两个函数处处没有导数。演示按他的规则逐位换算，把 t 拖动一遍，右栏列出哪一位被取了补；本馆拿精确分数核过，(1/3, 2/3) 这一点正好被 t = 5/36、11/36、13/36、19/36 走过四次。第二年，希尔伯特在同一份刊物上开篇就点了他的名，给出二分再二分的几何作法并画出前三步——馆里希尔伯特那一页讲的是那一条。

拖 t，看数位怎样换位、取补；把步数推到 4；再按「被走过四次」，看 t 轴上四个位置落回同一点

第 2 步t = 0.3000

拖 t，看右栏的数位怎样换位、取补。把步数推到 4，6561 个小格的中心连成一条不断的蛇形路；极限下的这条线经过正方形里的每一点，而 x 与 y 两个函数处处没有导数——这是他 1890 年那篇四页短文最后一句话。

只要连续，就有解——可不止一条

方程右边只要连续，从任何一个初值出发都有解；可解不必只有一条。dx/dt = 3·x 的 2/3 次方从 0 出发，可以在 0 上停任意久再离开。

\frac{dx}{dt}=3x^{2/3},\ x(0)=0:\quad x\equiv 0,\ \ x=t^3,\ \ x=\begin{cases}0,&t\le t_1\\(t-t_1)^3,&t>t_1\end{cases}

柯西那一路的存在定理，要假定右边对未知函数的偏导存在且连续；利普希茨换成了一个较弱的差商条件。1886 年皮亚诺在都灵科学院证明：右边只要连续，解就存在。1890 年他在《数学年刊》第 37 卷把它推广到方程组，四十七页，整篇用他的逻辑记号写成——开头几页是符号说明。证法不去造一条逐步逼近的序列，而是把 t 时刻所有解可能取到的值收成一个类 A，证明它的上确界与下确界本身都是解。第 226 页他写：解唯一，当且仅当 A 缩成一个点；只假定连续，A 确实可以含许多个数。接着举两个例子。一个是 dx/dt = 3·x 的 2/3 次方：从 0 出发，t³ 是最大解，0 是最小解，中间还有一整族——先在 0 上停到 t₁，再沿 (t − t₁)³ 升上去。另一个特意挑了没有这种「重合一段」的方程：dx/dt = 4xt³/(x² + t⁴)，右边在原点补作 0 就连续，解是 ±t²、0 与 ±(√(c² + t⁴) − c)，它们在 t = 0 相等，此后两两都不相同。演示把两例的整族画出来：拖 t₁ 或 c，看同一个初值怎样通到 A 里的每一个值；右栏的「代回残差」拿差商与右边逐点比过。同一篇第 210 页还有一句常被引作选择公理最早的明言：不能无穷多次地套用一条任意的规则从一个类里挑出一个个体，所以他宁可造一条确定的规则。

停到 t₁ = 0.60

同一个初值 x(0) = 0，橙色那条在 0 上停到 t₁ 才离开，而 t₁ 可以取 0 到 1.5 之间的任何一个数——t = 1.5 这一刻，0 到 3.375 之间每一个值都有一条解经过。这是他 1890 年那篇第 227 页的第一个例子。

一串积分，收敛成一个矩阵指数

把初值代进右边积一次，再把结果代进去积一次……这一串加起来就是解。他证收敛只用了一件事：给矩阵取一个「模」。

\mathbf x=\Bigl(1+\int\mathbf R\,dt+\int\mathbf R\!\int\mathbf R\,dt^2+\cdots\Bigr)\mathbf a,\qquad \operatorname{mod}\mathbf a^{(n)}\le\frac{m^n(t-t_0)^n}{n!}\operatorname{mod}\mathbf a

1887 年 2 月，皮亚诺在都灵科学院发表了一个线性方程组的解法，第二年的法译本登在《数学年刊》第 32 卷。n 条方程 dx_i/dt = Σ r_ij x_j，系数是 t 的连续函数。办法是：把常数初值 a 代进右边、从 t₀ 积到 t，得 a′；把 a′ 代进去再积一次，得 a″；如此下去，a + a′ + a″ + … 在系数连续的整个区间上收敛，就是解。逐次代入积分这个办法不是他先用的——刘维尔 1838 年解二阶方程就这样做过，据 MacTutor，皮卡独立得到时把它归于施瓦茨。这篇的新意在写法：他把 n 个数排成一个「复数」（今天的向量），把 n² 个系数排成一个「替换」（今天的矩阵），整个方程组只剩一条 dx/dt = Rx；再给替换取一个模——mod R 是 mod(Rx)/mod x 的最大值，推出 mod(RS) ≤ mod R · mod S。有了这一条，第 n 项的模不超过 mⁿ(t − t₀)ⁿ/n! 乘初值的模，一行就证完了一致收敛。系数是常数时，这串积分正是 1 + Rt + (Rt)²/2! + …，他写：令 e 的 R 次方等于 1 + R + R²/2! + …，就有 x = e 的 Rt 次方乘 a；方阵的指数级数拉盖尔 1867 年已写过。他还算出这个解矩阵的行列式等于 e 的 ∫(对角线之和)dt 次方——馆里刘维尔那一页的「面积只听一个数」。演示分两档：常系数时每一项的模正好落在他那条界上；系数随 t 变的那一档写不成指数，同一条递推照样收敛，只是界松得多。

取到第 6 项

把滑块从 0 往右推：橙线一项一项贴上虚线。常系数这一档，下图的点正落在他那条界上——那就是 e 的 Rt 次方的泰勒级数。他证收敛只用了一件事：给矩阵取一个模，使 mod(RS) ≤ mod R · mod S——于是第 n 项被 mⁿ(t − t₀)ⁿ/n! 压住。

圆柱上的灯笼

顶点全在圆柱面上、网格越切越细，内接多面体的面积却可以趋于任何一个比圆柱侧面大的数——教科书上那条曲面面积的定义是错的。

A(m,n)=2n\sin\frac{\pi}{n}\sqrt{h^2+m^2r^2\Bigl(1-\cos\frac{\pi}{n}\Bigr)^2}

弧长可以定义成内接折线长度的上确界，顺理成章；曲面面积照搬过来——内接多面体面积的极限——就是塞雷那部教程里的写法，许多书都照抄。1882 年皮亚诺给热诺基代课，讲到这里发现它不成立。他在 1890 年《林琴科学院院刊》那篇短文的脚注里交代了先后：这个观察「最早发表于我 1881–82 学年在都灵大学的讲课、学生石印的讲义第 143 页，1882 年 5 月 22 日那一讲」；施瓦茨也作过同样的观察，告诉了埃尔米特，埃尔米特把它印进 1883 年的讲义，「在我的出版之后不久」。据 MacTutor，他当时去告诉热诺基，热诺基说施瓦茨前一年已经写信讲过。今天这个例子叫施瓦茨灯笼：把圆柱沿高切成 m 层，每圈取 n 个点，相邻两圈错开半格，连成 2mn 个三角形。n 固定而 m 往上推，三角形越切越扁，面却越立越陡，面积一路涨上去。m = n 时收敛到圆柱的侧面积 2π，m = n² 时收敛到 2π·√(1 + π⁴/4) ≈ 31.636，m = n³ 时趋于无穷。他点出塞雷错在哪一步：以为过曲面上三点的平面以切平面为极限，「这个命题显然是错的」——演示右栏印的那个夹角，在 n = 16、m = n³ 时是 89.27°。他给的补救用的是格拉斯曼的双向量：面积是把曲面切成小块、各块边界的双向量大小之和的上确界。

每圈 n = 8层数 m = 8

n 固定、把 m 往上推：三角形越切越扁，面却越立越陡，面积 7.169 一路涨上去。顶点都在圆柱上、网格也越来越细，面积却可以趋于 2π，也可以趋于 31.64，也可以趋于无穷——全看 m 与 n 谁涨得快。塞雷以为过曲面上三点的平面会趋于切平面，这里那个夹角是 31.3°。

每条直线上都是极小，却不是极小

f = (y² − 2px)(y² − 2qx) 沿任何一条过原点的直线都在原点取严格极小，可原点不是极小：两条抛物线中间夹着一条伸到原点的月牙，里面 f 是负的。

f(x,y)=(y^2-2px)(y^2-2qx),\qquad f\bigl(x,\sqrt{2lx}\bigr)=4(l-p)(l-q)\,x^2

1884 年那部《微分学与积分学原理》卷首，皮亚诺写了几十页注释，一条条指出通行教科书的毛病。第 133–136 号那一条针对的是极值判据。塞雷《微积分教程》第 219 页说：对那些使二阶与三阶微分为零的增量，若四阶微分保持同号，就有极大或极小。皮亚诺的反例是 f(x, y) = (y² − 2px)(y² − 2qx)，p > q > 0。在原点展开，f(h, k) = 4pq·h² − 2(p + q)·hk² + k⁴：二次项除 h = 0 外为正，h = 0 时三次项也为零、四次项为正——照塞雷的判据，原点是极小。「但不难确认并非如此」：沿抛物线 y² = 2lx，f = 4(l − p)(l − q)x²，l 落在 q 与 p 之间时为负，之外为正；所以原点的任何邻域里都有正值也有负值，f 既不是极大也不是极小。他接着说，贝特朗与托德亨特的书里犯的是同一个错。本馆顺着他的式子多推一步（原文没有明说）：沿任一条过原点的直线，f = r²(r·sin²θ − 2p·cos θ)(r·sin²θ − 2q·cos θ)，在 |r| < 2q·|cos θ|/sin²θ 以内都是正的；竖着的那条上 f = y⁴。每一个方向上原点都是严格极小——那条负的月牙伸到原点，每条直线都要离开原点一小段才穿进去。演示左边是 f 的正负号图，右边两幅剖面：一条沿你选的直线，一条沿你选的抛物线。今天判断多元函数的极值要看整个邻域，二阶条件写成海森矩阵正定，正是为了躲开这一类。

直线的角 θ = 60°抛物线的 l = 1.50p = 2.0q = 1.0

把 θ 从 0° 推到 89°：每一条直线在原点附近都是正的，只在离开 1.333 之后才穿进月牙——每一个方向上原点都是极小，可原点不是极小。把 l 拖进 q 与 p 之间，同一个原点沿那条抛物线就成了极大。塞雷的判据只看直线方向上的泰勒展开，看不见这条月牙。

用符号写成的论文，与没有词尾的拉丁语

他相信含糊出在日常语言里，于是把证明写成符号，把全部定理收进一部公式集；晚年又把拉丁语的词尾一条条去掉，要它做各国学者共用的语言。

1890 年那篇存在定理，皮亚诺在第一页就交代：整个证明「化成了与代数公式相仿的逻辑公式」，因为用日常语言把它完整展开，会复杂得过了头。接下来三页是符号表：K 是类，∩ 是「且」，∪ 是「或」，ε 是「是」，一个反写的 C 是「被包含于」或「推出」，Λ 是「无」或「荒谬」。他在脚注里说明了来历：ε 是希腊文 esti（是）的首字母，反写的 C 与 Λ 是「包含」与「真」两个法文词的首字母 C、V 倒过来写——今天集合论里的 ∈，就是从这个 ε 来的。他还注明，逻辑运算的研究要归于布尔，并列出了自己此前用这套记号写成的三部书。1892 年起，他与学生、助手一起编《数学公式集》，想把已知的全部定理都写成符号；1895 年出第一卷，1908 年出到最后一版。据 MacTutor，他后来照《公式集》讲课，学生不买账——一位很敬重他的学生回忆，那样细的概念分析对初学者、尤其是工科学生没有用处；军事学院 1901 年不再续聘他。1903 年他在自己的《数学杂志》上发表《论无屈折拉丁语》：开头一段是规规矩矩的古典拉丁语，此后每一节去掉一类词尾——格、性、数、动词的人称与时态——文章写到后面，已经是用新语言写成的了。第三节把「我们有一张嘴、两只耳朵」改写成 habemus uno ore et duo aure；第六节末尾一句说：Lingua sinense habe omne hic simplificatione, et alio——汉语有这里的全部简化，还有别的。

故事展签故事展签：一篇整篇写成符号的论文，一部想收下全部定理的公式集，一种没有词尾的拉丁语。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1890：一条连续曲线经过正方形的每一点→希尔伯特 1891 年给出二分再二分的作法与图；「维数」从此非重新定义不可→数据库与地图的空间索引、计算机图形里的纹理与缓存排布，都沿这类曲线把二维坐标压成一维

1886、1890：右边只要连续，解就存在；可解不必唯一→存在与唯一从此分成两件事，唯一要另靠利普希茨那一类条件→数值模拟与求解器在动手之前先要问方程的解是否唯一，否则算出来的只是其中一条

1887：逐项积分的级数，给矩阵取一个「模」→矩阵范数与 e 的 At 次方成了线性系统理论的通用工具→自动控制与卫星的轨道递推，每一步都在算一个状态转移矩阵

1882：内接多面体的面积可以不收敛到曲面的面积→曲面面积从此要另下定义，不能照搬弧长的办法→计算几何与三维扫描用三角网格估面积时要求三角形不能太扁——否则就是这只灯笼

1884：沿每一条直线都是极小，却不是极小→多元函数的极值要看整个邻域，二阶条件写成海森矩阵正定→最优化与机器学习的训练里，判断停在极小还是鞍点，用的仍是这一套

1889–1890：整篇证明写成符号，ε（今天的 ∈）由他起用→罗素与怀特海沿用他的记号写《数学原理》，哥德尔 1931 年的系统就建在皮亚诺公理之上→形式验证与证明助手把证明写成机器能逐步检查的符号串

他在哪几条专题里

专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写，全是 tracks.ts 推出来的。

计算机你手边任何一台机器里的那颗处理器1890 一整篇证明写成符号，每一步只按形式变形（语言）

语录

「给了一段连续曲线的弧，若不另加假定，未必总能把它关进一块任意小的面积里。」
—— 《论一条填满整个平面区域的曲线》，《数学年刊》第 36 卷（1890），第 157 页 · 中译

「塞雷的主要错误，在于认为过曲面上三点的平面以曲面的切平面为极限——这个命题显然是错的。」
—— 《论曲面面积的定义》，《林琴科学院院刊》1890 年第 6 卷上半年，第 55 页脚注 · 中译

「既然不能无穷多次地套用一条任意的规则，给一个类指定其中的一个个体，这里就造了一条确定的规则。」
—— 《常微分方程可积性的证明》，《数学年刊》第 37 卷（1890），第 210 页 · 中译

「汉语有这里的全部简化，还有别的。」
—— 《论无屈折拉丁语》（1903）第 6 节，原文 Lingua sinense habe omne hic simplificatione, et alio · 中译