数学群星MATHEMATICAL LUMINARIES

Hermann Minkowski · 1864–1909

闵可夫斯基

把数论画成了图：一块对称的凸形面积够 4 就一定罩住一个格点，这一句撑起了「数的几何」；他顺着凸形走下去，给出了两个形状怎样相加、面积怎样跟着长，p 次方和的尺子，以及一条把二次无理数送到有理数上的怪函数——四十四岁去世前三个月，他在科隆把空间与时间画进了同一张图

vol(K)>2n⟹K∩Zn≠{0}\mathrm{vol}(K) > 2^n \quad\Longrightarrow\quad K \cap \mathbb{Z}^n \ne \{0\}
《数的几何》（1896）第 30 节：一个不凹、以原点为中心的物体，体积大于 2 的 n 次方，里面就一定还有别的格点。1904 年他在海德堡的国际数学家大会上把它叫作「数的几何的基本定理」

赫尔曼·闵可夫斯基 1864 年 6 月 22 日生于俄国的阿列克索滕（今立陶宛考纳斯的一个区），幼年随家迁到东普鲁士的柯尼斯堡。据希尔伯特的悼词，他 1872 年 10 月八岁零三个月进柯尼斯堡老城文理中学，几次跳级，1880 年 3 月不满十六岁就毕了业；随后在柯尼斯堡跟韦伯、福格特读书，也到柏林听过库默尔、克罗内克、魏尔斯特拉斯、赫姆霍兹与基尔霍夫的课。十七岁时他去应巴黎科学院的大奖题，1883 年 4 月得奖（见第六件）。1885 年 7 月 30 日在柯尼斯堡取得博士学位，公开答辩时奉命反驳他论点的，是大他两岁的希尔伯特。1887 年在波恩取得任教资格，1892 年升副教授；1894 年回柯尼斯堡，次年接了希尔伯特去哥廷根后空出的正教授席位；1896 年 10 月转到苏黎世联邦理工学院，爱因斯坦那几年正在那里读书；1897 年与斯特拉斯堡的奥古斯特·阿德勒结婚。1902 年秋到哥廷根——据希尔伯特的悼词，是普鲁士文化部的阿尔特霍夫为他凭空新设了一个正教授席位。1909 年 1 月 12 日因阑尾炎去世，四十四岁。

他的起点是二次型，终点却是几何。十七岁那份得奖论文做的是整系数二次型的分类；读埃尔米特写给雅可比的信时，他把「二次型能取到多小的值」画成了「一个椭圆能罩住多少格点」，又发现要紧的只是椭圆凸、带中心——于是有了 1896 年的《数的几何》，这个名字就是他起的。凸形从此成了他的主题：两个形状怎样相加、面积与表面积怎样跟着变（1903 年《体积与表面积》），给定高斯曲率能不能反推出一张闭曲面（今称闵可夫斯基问题），宽度处处相同的物体周长也处处相同。他同时一直在读物理：波恩时期写过刚体在流体里的运动，苏黎世时期为《数学科学百科全书》写了毛细现象那一条，到哥廷根后与希尔伯特一起开了几个学期的电动力学讨论班。1908 年他把这些合成了一件事：先在哥廷根科学会的通报上把电动力学方程写成四维的形式，9 月又在科隆的德国自然科学家与医师大会上讲《空间与时间》，把狭义相对论说成了一门四维几何。三个多月后他去世；七年后，爱因斯坦的广义相对论就写在这张四维时空上。

闵可夫斯基肖像
《空间与时间》单行本（莱比锡：托伊布纳，1909）卷首像，据苏黎世埃米尔·洛格斯的照片，下为他的签名 · Wikimedia Commons，公有领域。这本小书就是他 1908 年 9 月那场科隆讲演，他去世五个多星期后由古茨默作序印出，本页第三件展品讲的正是它

生平

  1. 1864年6月22日
    生于阿列克索滕

    今立陶宛考纳斯。幼年随家迁到柯尼斯堡。

  2. 1880
    不满十六岁中学毕业，进柯尼斯堡大学

    此后也到柏林听过库默尔、克罗内克、魏尔斯特拉斯的课。

  3. 1882年5月30日
    把大奖论文交给巴黎科学院

    题目是把整数分成五个平方数之和；他交的是一整套整系数二次型的理论，而且用德文写。

  4. 1883年4月
    巴黎科学院数学大奖

    十八岁。法国报纸攻击他，若尔当与贝特朗站到他这一边。

  5. 1885年7月30日
    柯尼斯堡博士

    答辩时的反方是希尔伯特；他的论点「不是每个正的型都能写成型的平方和」后来引出了希尔伯特第十七问题。

  6. 1891
    用一张图证埃尔米特的定理

    《克雷尔杂志》第 107 卷：二次型的最小值变成了椭圆罩不罩得住格点。

  7. 1896
    《数的几何》第一分册

    献给埃尔米特七十寿辰。凸体定理在第 30 节，p 次方和的不等式在第 40 节。

  8. 1896年10月
    苏黎世联邦理工学院教授

    在苏黎世待到 1902 年秋。

  9. 1903
    《体积与表面积》

    《数学年刊》第 57 卷：混合体积，以及等周不等式怎样从一条二次不等式里掉出来。

  10. 1904年8月
    海德堡国际数学家大会上讲「数的几何」

    带着幻灯片讲；最后一幅引出了 ?(x)。

  11. 1908年9月21日
    科隆讲演《空间与时间》

    第 80 届德国自然科学家与医师大会。「从今以后，空间本身与时间本身都注定要沉落为影子。」

  12. 1909年1月12日
    卒于哥廷根

    阑尾炎，星期天夜里动了手术，星期二中午去世，四十四岁。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

面积够 4，就罩得住一个格点

平面上一块关于原点对称的凸形，面积只要超过 4，里面就一定还有别的整点——不管它多细长、朝哪个方向摆。

起点是埃尔米特 1850 年写给雅可比的信：一个正定的二次型，总能代进一组不全为零的整数，让它的值不超过一个只由判别式决定的界。闵可夫斯基把这句话画成了图：二次型取定值的那条曲线是一个以原点为中心的椭圆，问题就成了「椭圆要多大，才一定罩住别的整点」。1891 年他在《克雷尔杂志》第 107 卷用这张图给出了新证明；1893 年的出书预告里他说，后来发现这件事「只因为椭圆是一个处处不凹、带中心的图形」。1896 年《数的几何》第 30 节（第 75–76 页）把它写成定理：一个处处不凹、以一个格点为中心的物体，体积等于 2 的 n 次方时，里面或边上至少还有两个格点；大于 2 的 n 次方时，里面至少还有两个。紧接着一句说这个界不能再改进：棱长小于 2 的立方体，一个别的格点也不含——平面上就是边长 2 的正方形，面积恰好 4，别的整点全在边上。证明只要一张图，1904 年在海德堡的国际数学家大会上他就是放着幻灯讲的：把图形放大到边上刚好碰到一个格点（他画成绿色），再缩一半（红色）搬到每个格点上，这些红块互不重叠，而平均每个格点只分得到面积 1，所以绿的那块面积不超过 4。他当场把它叫作「数的几何的基本定理」。希尔伯特在悼词里说，这一证是「闵可夫斯基的发明术里的一颗珍珠」；数域的判别式绝对值大于 1、狄利克雷的单位定理，都由它推出。

拖面积、扁度和方向，看面积一过 4 格点怎样被罩进来；按「边长 2 的正方形」看恰好等于 4 的那一档

面积 4.50 已经过了 4：不管多扁、朝哪边，里面一定有别的格点——现在有 4 个。虚线那块（放大到刚碰上格点）的面积是 2.749，永远不超过 4。

两个形状相加，面积的平方根也跟着加

A + B 是把 A 里每一点与 B 里每一点相加得到的形状。它面积的平方根，不小于两块各自面积平方根之和；只有两块形状相同、朝向相同时才取等号。

A(K+L)≥A(K)+A(L)\sqrt{A(K+L)} \ge \sqrt{A(K)} + \sqrt{A(L)}

1887 年，慕尼黑的赫尔曼·布伦在博士论文《论卵形线与卵形面》里证了一条：拿三张平行的平面去截一个凸体，中间那张截面积的平方根，不小于按距离比例取的两头平方根的平均。闵可夫斯基 1897 年在《论凸多面体的一般定理》里先交代这是布伦的，说布伦也已经看出能推到更高维，而「特别麻烦的是严格处理取等号的那些极限情形」——那一步与 n 维的写法，在他 1896 年《数的几何》的第 56、57 节。1903 年的《体积与表面积》（《数学年刊》第 57 卷，献给利普希茨的博士五十年）把这件事换成了一种运算：一个凸体由它每个方向上最远能伸到哪里（支撑函数）完全决定，两个凸体相加就是支撑函数相加。放到平面上：K + tL 的面积是 t 的二次式，A(K) + 2t·V(K, L) + t²·A(L)，中间那个系数 V 他叫混合面积；不等式说的是 V 的平方不小于 A(K)·A(L)，等价于面积的平方根超加。L 取单位圆时，2V 恰好就是 K 的周长，于是「周长平方不小于 4π 乘面积」——从古希腊就在问的等周问题，成了这条二次不等式的一个特例。希尔伯特在悼词里说，他本人把「把球的那条三次不等式化成一条二次不等式」看得不比古典大师们的成就低。今天叫它布伦–闵可夫斯基不等式，两个人的名字按先后排。

K：L：

√A(K + L) = 2.7918，比 √A(K) + √A(L) = 2.2795 多 0.5123。三角形加上倒过来的自己是一个六边形，面积正好是三角形的 6 倍。

空间与时间，从此只剩影子

1908 年 9 月 21 日，科隆：「从今以后，空间本身与时间本身都注定要沉落为影子，只有二者的某种结合还能保持独立。」洛伦兹变换在他的图上，是沿着一条双曲线的转动。

c2t2−x2=c2t′2−x′2c^2t^2 - x^2 = c^2t'^2 - x'^2

讲演一开头他就说，这些看法是从实验物理的土壤里长出来的，「它们的倾向是激进的」。第一节他只用纯数学：牛顿力学有两组不变性——空间转动，与让坐标系匀速平移（x 换成 x − αt）——两组各过各的，没人想把它们合起来。他在 x、t 平面上画双曲线 c²t² − x² = 1，从原点引一条到双曲线上的半径 OA′，过 A′ 作切线交渐近线于 B′，补成平行四边形 OA′B′C′，拿 OC′、OA′ 当新的两根轴，双曲线的方程一个字不变；这一族变换记作 G_c。让 c 趋于无穷，双曲线贴向 x 轴，G_c 就退成牛顿力学的那一组——「一个数学家本可以凭空猜到这一点，那会是纯粹数学的一次非凡胜利」，可惜数学只能「事后才想到」。第二节讲这不是空想：c 就是光速；洛伦兹为迈克耳孙的零结果假设运动物体缩短 1 比 √(1 − v²/c²)，而在这张图上那只是 OD′ 与 OC 之比；「t 与 t′ 应当同等对待，这是爱因斯坦的功劳」，而空间这个概念，他说爱因斯坦与洛伦兹都没去动。所以他宁愿不叫「相对性公设」，改叫「世界公设」。第三节给出光锥（前锥、后锥）、类时与类空、沿世界线积出来的「固有时」。首创权要分层：洛伦兹变换是洛伦兹与庞加莱的名字；把 ct 乘上虚数单位当第四个坐标、把洛伦兹变换看成四维里的转动，庞加莱 1906 年刊出的《论电子的动力学》已经写过，闵可夫斯基 1907 年 11 月在哥廷根的讲演里点了他、爱因斯坦与普朗克的名；他自己添的是这张图、这套词，与「空间也一样被取消」这一步。今天 GPS 卫星的钟因为跑得快每天慢约 7.2 微秒，算的就是那条世界线的固有时。讲演后不到四个月他就去世了，稿子是古茨默替他印出来的。

v = 0.60c：一根静止长为 1 的杆，在旧坐标里量出来只有 OD′ = 0.8000。t′ 轴偏 30.96°、x′ 轴偏 30.96°——c = 1 时两个角一样大，空间与时间对称地转。

一把尺子，就是一个凸形

《数的几何》第一节：一种「距离」只要满足三角形两边之和不小于第三边，它的单位「球」就是一个凸形；反过来，任何一个凸形都能当一把尺子用。p 次方和那一族，是他在第 40 节自己举的例子。

(∑∣ai+bi∣p)1/p≤(∑∣ai∣p)1/p+(∑∣bi∣p)1/p\Bigl(\sum |a_i+b_i|^p\Bigr)^{1/p} \le \Bigl(\sum |a_i|^p\Bigr)^{1/p} + \Bigl(\sum |b_i|^p\Bigr)^{1/p}

《数的几何》正文第一页先定义一种「射线距离」S(ab)：a 到 b 是正的、a 到它自己是零，把 b 沿同一方向推远 t 倍，距离也乘 t。然后提出一条函数不等式：对任意三个点，S(ac) ≤ S(ab) + S(bc)——满足它的叫「协调的」；而 S(ab) 与 S(ba) 相等的叫「互易的」，他特意说这一章不要求互易。第二节给出最简单的例子，他叫「跨度」：两点各坐标之差的绝对值里取最大的那个，单位球是个立方体。第 16、17 节（第 33–36 页）证明：协调的射线距离，它的「校准面」——距离恰为 1 的那些点——一定处处不凹；反过来，任何一个围着原点、处处不凹的面，都能拿来当一种协调射线距离的校准面。第 40 节（第 115–117 页）他举了一整族：把 n 个坐标的绝对值各取 p 次方、加起来、再开 p 次方；p ≥ 1 时单位面处处不凹，p > 1 时处处凸。要证的正是那条不等式：两组非负数，各自的 p 次方和开 p 次方后相加，不小于逐项相加后再这么算——今天叫闵可夫斯基不等式，取等号只在两组数成比例时（p > 1）。p 取 1 时等号会在不成比例时也出现，那是因为单位面上有平的一段；p 小于 1 时单位面向里凹，三角不等式就坏了。希尔伯特在悼词里把这套东西说成一种几何：保留欧氏几何的全部公理，只把「三角形全等」那一条换成「两边之和大于第三边」，得到的就是闵可夫斯基几何，它之于数论，正像罗巴切夫斯基几何之于自守函数。顺带一句：p 取无穷时单位圆是边长 2 的正方形，面积恰好是 4——正是第一件展品里那个刚好不罩住别的格点的例子。

p = 2.00：余量 0.1682 ≥ 0，三角不等式成立。把 p 拖到 1 以下，看它怎么坏掉。

?(x)：把二次无理数送到有理数上

左边一格格对半分，下边一格格插中位分数，两边一一对上，就得到一条严格上升的曲线 ?(x)：有理数送到分母是 2 的幂的数上，二次无理数送到别的有理数上——反过来也对。

这是他 1904 年 8 月在海德堡国际数学家大会上那篇《论数的几何》的最后一幅幻灯（大会会刊第 164–173 页，《全集》第二卷第 50–51 页）。一个边长为 1 的正方形，左边那条纵边从中点起一次次对半分，得到所有分母是 2 的幂的点；底边上同步插点：两端先对 0/1 与 1/1，左边每把一段对半分一次，底边就在对应那一段的两个端点 a/b、a′/b′ 之间插进 (a + a′)/(b + b′)。这样底边上会陆续出现全部有理数，两边的点一一对上，就是一个处处上升的函数 y = ?(x)——问号是他自己用的记号——再按连续延拓到整个区间。他要借它给拉格朗日的那条判据——一个实数的连分数最终循环，当且仅当它是二次无理数——找「新的一面」：x 的连分数若是 [0; a₁, a₂, a₃, …]，?(x) 的二进制就是先 a₁ − 1 个 0、再 a₂ 个 1、再 a₃ 个 0……一段段交替写下去。连分数循环，二进制就循环，y 就是有理数。于是：x 是二次无理数，y 是有理数而分母不是 2 的幂；x 是有理数，y 的分母是 2 的幂；「这些命题完全可逆」。黄金分割的小数部分 0.618… 送到 2/3，√2 − 1 送到 2/5。同一幅图的下一幅，是他在苏黎世的学生科尔罗斯 1904 年博士论文里把这套办法推到三次无理数的尝试，他在会上说那还「在一个要紧的地方没有证明」。插中位分数这一手本身不新：数论家斯特恩 1858 年、钟表匠布罗科 1861 年为了配齿轮都用过。后人证明这条曲线几乎处处导数为零：它严格上升，可几乎处处是「平」的。

x = (√5 − 1)/2 是二次无理数，连分数循环，二进制跟着循环：?(x) = 2/3——一个分母不是 2 的幂的有理数。拉格朗日说的「循环」，在这里变成了「有理」。

十八岁的大奖，与窗上的一颗石子

十七岁的学生用德文交了一篇远超题目的论文，巴黎科学院破例给了他大奖；二十多年后，希尔伯特只要往他书房的小窗上丢一颗石子，他就下楼来散步。

据希尔伯特 1909 年 5 月 1 日在哥廷根科学会上的悼词：巴黎科学院出了一道大奖题——把整数分解成五个平方数之和。柯尼斯堡的一个十七岁学生接了下来，交上去的却是一整套整系数二次型的理论，附信里说：「这些结果……只是所得的广泛理论的一个例子。因此下面许多考察并不总是直接指向悬奖的题目，我仍斗胆希望，科学院不会认为，我若给得少一些，就会给得多一些。」题辞取自布瓦洛：「唯有真才美，唯有真才可爱。」1882 年 5 月 30 日交卷，那时他还不满十八岁。论文违反章程用德文写成，委员会仍给了全奖，报告里说这样分量的工作不应因形式不合规矩被排除；1883 年 4 月授奖。另一位应征者是英国的亨利·史密斯。法国的沙文主义报纸随即攻击这个德国学生，若尔当与贝特朗立刻站到他这一边，若尔当在信里写：「请您努力成为一位杰出的几何学家。」两年后他在柯尼斯堡答辩博士论文，奉命当反方的是希尔伯特；他的论点是「并非每个正的型都能写成型的平方和」，希尔伯特说自己被说服了，后来真去证了它——那就是 1900 年那张单子上第十七问题的来历。在波恩的那几年，每逢假期他回柯尼斯堡，与胡尔维茨、希尔伯特几乎天天一起散步；1890 年圣诞他没回去，写信说自己「已经完全投身于魔法——我是说，物理」，每周还有几天穿着蓝工作服去仪器厂干活。1902 年到了哥廷根，六年多里每个星期四下午三点，他们一伙同事准时去哈因山散步；平日里希尔伯特走过街，往他书房拐角那扇小窗上丢一颗石子，他就下来。1909 年 1 月那个星期四他们照常去散步，他兴致勃勃地讲电动力学的新进展；星期天夜里他因阑尾炎动了手术，星期二中午去世，下一个星期四下午三点，他们为他送葬。病床上他还惋惜赶不上希尔伯特下一次讨论班——那次要讲华林问题的解法，希尔伯特后来把那篇论文题献给了他。悼词里说：「他是上天给我的一件礼物，这样的礼物很少有人得到。」

故事展签故事展签：一道五个平方数的题，一场答辩，一扇小窗。

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1896：对称的凸形体积够大，就一定罩住一个格点→格里最短的向量有多短，有了一个只看体积的上界；1982 年的 LLL 算法去真的把它找出来→抗量子密码学里的格密码（2024 年定为标准的 ML-KEM）押的就是：维数一高，这个最短向量难找
1908：空间与时间合成一个四维时空，钟走过的是自己那条世界线的固有时→爱因斯坦 1915 年的广义相对论写在这张四维时空上，只是让它弯了→GPS 卫星的钟每天要修正几十微秒，其中约 7 微秒来自卫星跑得快
1903：两个凸形相加，支撑函数相加→两个凸体碰没碰上，等价于它们的差里含不含原点→物理引擎与计算几何里的 GJK 碰撞检测就是这么判的
1896 §40：p 次方和开 p 次方，满足三角不等式→L1、L2 与最大值距离成了一族，统称 Lp→机器学习里的最近邻检索、正则化与稀疏恢复，都在这一族里挑尺子
1903：面积的平方根超加，等周不等式是它的特例→凸几何与凸分析成了一门学问→最优化里凸问题可以放心求解，求解器从这一路的不等式里取保证

他在哪几条专题里

专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写， 全是 tracks.ts 推出来的。

语录

「从今以后，空间本身与时间本身都注定要沉落为影子，只有二者的某种结合还能保持独立。」

—— 《空间与时间》（1908 年 9 月 21 日科隆讲演，1909 年刊），第 1 页 · 中译

「三维几何成了四维物理的一章。」

—— 同上，第 4 页 · 中译

「我给这本书取名《数的几何》，是因为我是被空间直观引到这些方法上来的——正是它们在书里给出算术定理。」

—— 《数的几何》出书预告（托伊布纳《通讯》1893 年第 7 页；1910 年版卷首重印）· 中译

「我已经完全投身于魔法——我是说，物理了。」

—— 1890 年圣诞前自波恩写给希尔伯特的信，据希尔伯特 1909 年的悼词 · 中译