Li Ye · 1192–1279

李冶

他立天元一为城的半径，把一整套几何题都写成了一竖列算筹；临终叫儿子把平生著述烧掉，只留下这一部

(480 - x)(200 - x) = 2x^2

《测圆海镜》卷二「正率一十四问」的末一问（1248）：立天元一为城的半径 x，股圆差 480 − x 乘句圆差 200 − x 是「半段黄方幂」，倍天元幂 2x² 也是半段黄方幂，两式相消，开平方得半径 120 步。这是全书第一道用天元术列出的方程。

李冶，字仁卿，号敬斋，真定栾城（今河北栾城）人；四库本等处也写作李治。《元史》卷一百六十有他的传：金末考中进士，授高陵县主簿，还没到任，又被调去知钧州。壬辰年（1232）蒙古军破钧州，他换了平民的衣服北渡黄河，流落在忻州、崞县之间，「聚书环堵，人所不堪，冶处之裕如也」。他的算学就是在这些年里做成的：1248 年写成《测圆海镜》十二卷，自序说少年起就喜欢算数，总嫌求圆的各种办法牵强，「老大以来，得洞渊九容之说，日夕玩绎」，于是推演开去，「遂累一百七十问」；1259 年又写成《益古演段》三卷，把一部旁人的《益古集》重新「移补条段、细翻图式」，给初学的人看。这两部书是今天传下来讲天元术的书里最早的两部——所谓天元术，就是先设一个未知数、按题意列出方程，再用开方法求它的正根。

忽必烈即位之前在潜邸召见过他，问河南哪些官吏贤能、魏征曹彬如何、天下怎么治理，他答：「夫治天下，难则难于登天，易则易于反掌。」后来他住到元氏县，在封龙山下买了田讲学，「学徒益众」。1260 年忽必烈即位再请他出来，他以老病恳辞；至元二年（1265）以翰林学士召，到职一个月又以老病辞去，卒于家，年八十八（通行作 1279 年）。他一生著述很多，文集四十卷、《泛说》四十卷、《古今黈》四十卷，今天传下来的主要是《敬斋古今黈》（已非四十卷原貌）与这两部算书。他的天元术在明代失传了：顾应祥为《测圆海镜》作分类释术，自己在序里说「立天元一，无下手之术」；到清初梅瑴成拿西洋传来的借根方与它对照，才重新读懂。1797 年李锐据阮元所藏旧抄本逐式校算，这部书才又刻了出来。

《测圆海镜细草》卷一首叶「圆城图式」 · 知不足斋丛书本（嘉庆三年 1798 年阮元序，李锐校），Wikimedia Commons（CADAL 扫描），公有领域。李冶没有同时代的画像传世，流传的像都是今人所绘，这里照本馆的老办法放他的书。这一叶就是全书一百七十问共用的那张图：一个大句股形，一座圆城切在三条边上，天、地、乾、日、月、山、川、东西南北诸点各有名字，由这些点割出的十五个小句股形，名字和边长都在后面几页列着。右边署「翰林学士知制诰同修国史栾城李冶撰」

生平

1192
生于真定栾城
《元史》说他卒时「年八十八」，照通行的卒年 1279 上推。字仁卿，号敬斋。
金末
登进士第
「调高陵簿，未上，辟知钧州事。」
1232
钧州城溃，北渡
「岁壬辰，城溃，冶微服北渡，流落忻、崞间，聚书环堵，人所不堪，冶处之裕如也。」
1248
《测圆海镜》
自序署「戊申秋九月晦日栾城李冶序」。十二卷一百七十问，卷一是圆城图式与识别杂记，卷二起全是问题。
潜邸时
忽必烈召见
问治国，答「难则难于登天，易则易于反掌」；又说天下未尝乏材，求则得之。《元史》没有写是哪一年。
1259
《益古演段》
自序署「大元己未夏六月二十有四日」。六十四问，每问先用天元术列式，再用条段图讲这条式子是图上的哪几块。
晚年
封龙山讲学
「冶晚家元氏，买田封龙山下，学徒益众。」
1260
辞聘
「及世祖即位，复聘之，欲处以清要，冶以老病，恳求还山。」
1265
翰林学士，一月即辞
「至元二年，再以学士召，就职期月，复以老病辞去。」
1279
卒于家
通行的卒年。临终对儿子克修说：平生著述死后可以烧掉，只有《测圆海镜》「后世必有知者」。
1282
《益古演段》刊行
至元壬午砚坚序：《测圆海镜》刻成之后，他的旧识李师征又请人把这一部刊行。
1797
李锐校《测圆海镜》
嘉庆二年李锐跋：阮元寄来所藏旧抄本，他「依术布算，订其算式」；次年收入知不足斋丛书刊行。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

立天元一为半径

出西门南行四百八十步有树，出北门东行二百步看见它——城有多大？他设半径为天元一，四步列出一条方程，开出一百二十步。

(480 - x)(200 - x) - 2x^2 = 96000 - 680x - x^2 = 0

《测圆海镜》卷二「正率一十四问」，前十三问都是套一条现成的「法」直接算出城径；到第十四问，他换了一个办法：「立天元一为半径。」天元一就是今天的未知数 x。接着把题里的量一个个写成它的式子：南行四百八十步内减天元，得股圆差；东行二百步内减天元，得句圆差；两者相乘，是「半段黄方幂」，先放在一边（寄左）；再把天元自乘、加倍，这也是半段黄方幂；两式「相消」，剩下的就是一条方程，开平方得半径一百二十步，城径二百四十步。每一个中间式子，书里都摆成一竖列算筹：一格一个系数，旁边注一个「元」字标出哪一格是一次项；负数不另换颜色，而是在末位的筹上斜画一道。清代李锐校这部书时在这一问下写了一段长按语，把这套记法讲得很清楚：「斜画者少之记也」，「元字下必太，太字上必元，故有元字不记太」——在《测圆海镜》的筹式里，常数在最下，往上一层是一次项，再往上是平方；这一点他后来在《益古演段》里倒了过来。设未知数的想法不是他一个人的，十三世纪北方有好几家书讲天元，朱世杰的《四元玉鉴》后来把它推到四元；可那几家的书没有传下来，这一部是今天能读到的最早的一部。同时代南方的秦九韶在 1247 年的《数书九章》里也写「立天元一」，那是大衍求一术里左上角摆的一个一，与未知数无关——四库馆臣的提要把两者当成了一回事。

一步一步点：立天元、股圆差、句圆差、相乘寄左、倍天元幂、相消；左边是题目的图，右边是那一步的筹式与今天的写法

第 6 步：与左相消，如法开之。筹式从上到下是 x 的高次到常数，今式读作 −x² − 680x + 96000 = 0，正根 120。

一座城，十五个句股形

全书一百七十问只问一件事：这座圆城的直径。他先画一张图，给图上每个点起名字，割出十五个句股形，边长全是整数，全是 8 : 15 : 17。

《测圆海镜》卷一开头是一张「圆城图式」：一个大句股形，直角在乾，句（乾到地）三百二十步，股（天到乾）六百步，弦六百八十步；一座圆城切在三条边上，径二百四十步。过城心、过城的上切线与左切线各作一横一纵，与弦相交于日、月、山、川，于是图上多出二十来个有名字的点——天、地、乾、坤、巽、艮、日、月、山、川、东西南北、心、旦、朱、金、泉、夕、青、泛——每三个点围出一个句股形。「总率名号」给其中十五个起了名：通、边、底、黄广、黄长、上高、下高、上平、下平、大差、小差、皇极、太虚、明、叀；「今问正数」把每一形的句、股、弦以及和、较逐一列出，全是整数。本馆照图上的作法把各点坐标算出来，十五形的句股与原文逐一相同，而且全是同一个 8 : 15 : 17 的放大或缩小——这是这张图能处处出整数的缘故。卷二前十问里有九问就在这张图上各挑一个句股形（另一问弦上容圆的句股不在图上）：两个人从某处出发，一个往东、一个往南，恰好望见，问城径。句股容圆用三事和为法，句上容圆用股弦和，句外容圆用弦较和，弦外容圆用黄方，句外容圆半用句弦差……每一问的法不同，「以句股相乘，倍之为实」这一半不变，除出来都是二百四十步。自序说这些是从「洞渊九容之说」推出来的，洞渊其人今天已不可考。

通形：句 320、股 600、弦 680。卷二「句股容圆」以句股相乘倍之、除以（句 + 股 + 弦），得城径 240。

凡大小差相乘，为半段径幂

卷一的「识别杂记」是几百条这样的句子：哪一段加哪一段等于哪一段、哪两段相乘等于城径自乘的一半。书里只有一个 8 : 15 : 17，这些话换一个三角形还成不成立？

「今问正数」之后是「识别杂记」，一条接一条，全是图上各段之间的关系：「凡句股和即弦黄和」——句加股等于弦加城径；「凡大小差相乘为半段径幂」——大差（股减城径）乘小差（句减城径）等于城径自乘的一半；「虚句乘大股得半段径幂」；「黄广股、黄长句相乘为径幂」；「高股、平句相乘得半径幂」；「明句、叀股相乘，倍之为一段太虚积」……自序说「次列识别、杂记数百条，以穷其理」。这些是他解一百七十问时随手取用的工具：本页第一件那道题列方程，靠的就是第二条——股圆差 480 − x 与句圆差 200 − x 正是大差与小差。可书里从头到尾只有一座城、一个 8 : 15 : 17 的大形，读的人难免疑心：这些会不会只是那组数凑出来的巧合？演示把句股比放开，照原图的作法重画每一个点，六条话的两边都从图上量出来的边长现算，不从公式里抄。拖到哪里，两边都相等，差只在浮点的末位。用今天的话说，图上的十五形都与大形相似，而城径与三边之间有一条线性关系（句 + 股 − 弦），这些乘积的等式都能从这两件事推出来；他没有写推导，只写了结论，一条一条列在那里。

句 : 股 = 0.533

句 : 股 = 0.533，城径 240.00。六条识别杂记两边最大相对差 0.0e+0——不是 8 : 15 : 17 那组数的巧合。

同一问，两个三乘方

丙出南门走一百三十五步，甲出东门走十六步望见丙。设大差为天元，列出一条系数上千亿的四次式；设半径为天元，列出另一条——开出来是同一座城。

《测圆海镜》卷七第二问：「丙出南门直行一百三十五步而立，甲出东门直行一十六步见之。」书里给了两条路，都是三乘方，也就是四次方程。第一条立天元为丙那一形的大差（句弦差），「法曰」把每一个系数怎么来的都写成了文字：丙行步再自之得二百四十六万〇三百七十五，以甲行一十六乘丙行幂得二十九万一千六百，二数相乘得七千一百七十四亿四千五百三十五万为实；益从一百六亿二千八百八十二万；第一廉空；第二廉四十四万四千九百六十；虚常法二千一百六十。本馆逐项复算，每一个中间数都对，而 81 代进去恰好为零；书里接着「依法求之」，由 81 反推城径二百四十。第二条是「又法」：立天元为半城径，股为天元加一百三十五，句为天元加十六，句股相乘再以天元除之得弦，弦幂与句幂股幂之和相消——实四百六十六万五千六百，从六十五万二千三百二十，第一廉八千六百四十，第二廉空，一益隅，开出一百二十。两条式子的系数毫不相像，所设的未知数不同，同一座城就长出两副面孔。全书一百七十问里，这类高次式不少；把一道几何题的条件变成一条式子，是天元术的全部功夫；式子列出来以后的开方，用的是秦九韶那一路的正负开方法，本馆秦九韶一页已经讲过，这里不再演。

试一个 x = 60

立天元为大差：未知数是丙行上的句弦差（大差），式子是四次的，正根 81；x = 60 时 f(x) 为正。

方田里的圆池：把方程画成条段

方田中间挖了一个圆池，池外还剩十三亩七分半，田边到池边四面各二十步。《益古演段》先用天元术列出一条式子，再画一张九宫格，告诉你式子里每一项是哪几块地。

(x+40)^2 - \tfrac{3}{4}x^2 = 3300 \iff \tfrac{1}{4}x^2 + 80x = 1700

《益古演段》是 1259 年写给初学者的书，六十四问全是方、圆、田、池的面积题。自序说当时的算家「褊心跼见，不肯晓然示人」，他要「使粗知十百者便得入室」。第一问：方田内有圆池，池外计地十三亩七分半（一亩二百四十步，合三千三百步），从田楞到池楞四边各二十步，求池径。「草」是天元术：立天元一为池径，加倍至步（四十）为田方面，自乘为方积；池径自乘、三因四而一为池积（圆周率取三）；相减得虚积，与三千三百相消，得一条平方式，开出池径二十步。接着是「条段」：「真积内减四段至步幂为实，四之至步为从，二分半常法。」再接着是一张三乘三的格子，四角写「减」，四边写「从」，中间一个圆。「义曰」把它说破：外方切成九块，四角各是二十乘二十，共一千六百，从真积里先减掉，剩一千七百为实；四边各是二十乘池径，共八十倍池径，为从；中间池径乘池径的那一块被池占去七分半，剩二分半，为常法。于是 x²/4 + 80x = 1700 这条式子里的每一项，都在图上有一块地可指。筹式的摆法也与《测圆海镜》相反：知不足斋本这一问的末式是常数一千七百在最上、注「太」，其下八十，再下二分五。

池径 x = 20

池径 20 步时，外方 60 步，池外 3300.00 步，正好是题里的十三亩七分半（3300 步）。四隅 1600 + 四边 1600 + 中方剩的 100.00。

死后可尽燔去

临终前他对儿子说：我一辈子写的东西，死后都可以烧掉；只有《测圆海镜》，后世必定有人懂。

1287 年翰林修撰王德渊为《测圆海镜》写了一篇后序，记下他临终的话：「敬斋先生病且革，语其子克修曰：吾平生著述，死后可尽燔去。独《测圆海镜》一书，虽九九小数，吾常精思致力焉，后世必有知者，庶可布广垂永乎！」王德渊说他于六艺百家无所不通，文集近数百卷，一向谦让不自夸，「惟于此书不忘，称异于易箦之间」。他在 1248 年的自序里其实已经把这份心思写出来了：北宋的王安石编唐诗选，自己说白费了时日；程颢说谢良佐背书是玩物丧志。文史尚且如此，「况九九贱技能乎」？可他「嗜好酸咸，平生每痛自戒敕，竟莫能已」，于是只好自解：技艺做到了头，就是道——「石之斤，扁之轮，非圣人之所与乎？」序的末尾是一句赌气的话：「览吾之编，察吾苦心，其悯我者当百数，其笑我者当千数。乃若吾之所得则自得焉耳，宁复为人悯笑计哉！」他说对了一半。到明代，天元术没有人会了：唐顺之给顾应祥写信，说「立天元一」漫不省为何语；顾应祥为这部书作分类释术，把天元的草都删了，自序说「立天元一，无下手之术」。清初梅瑴成拿西洋的借根方来对照，才认出它就是古代的立天元一法。1797 年，元和李锐从阮元那里拿到一部旧抄本，「依术布算，订其算式」，次年这部书刻进了知不足斋丛书——本页用的正是这个本子。

故事展签

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1248：立天元一为未知数，按题意一步步写出式子，两式相消得方程→韦达、笛卡儿以后的符号代数：设未知数、列方程成了解题的通用办法→今天工程软件里的求解器，先把条件写成方程组，再交给数值求根

1248：一座城、一张图、十五个相似的句股形，识别杂记数百条→三角形的内切圆、旁切圆与各种边长关系，后来归入初等几何→计算几何里判别点、线、圆的位置关系，机器人路径规划要反复求切线

1248：一竖列算筹就是一条方程，每一格一个系数，旁注元与太→把多项式存成系数数组，是计算机代数的基本表示→多项式求值与数值求根在芯片里一刻不停地跑：计算器的开方、信号处理里的滤波器设计

1259：《益古演段》先列式，再用条段图说明每一项是哪一块面积→代数恒等式的几何说明，一直是初学代数的入门路子→测量与土地面积的计算：工程测绘里仍要把一块地切成规则的几块再求积

1248：同一问设不同的未知数，列出两条系数全不相像的四次式→消元与变量替换：选对未知数，式子的次数与系数会差很多→最优化与机器人运动学里，参数化选得好不好决定求解器快慢

语录

「数，本难穷，吾欲以力强穷之，彼其数不惟不能得其凡，而吾之力且惫矣。……苟能推自然之理，以明自然之数，则虽远而乾端坤倪，幽而神情鬼状，未有不合者矣。」
—— 《测圆海镜》自序，戊申（1248）秋九月晦日

「览吾之编，察吾苦心，其悯我者当百数，其笑我者当千数。乃若吾之所得则自得焉耳，宁复为人悯笑计哉！」
—— 《测圆海镜》自序的末尾

「吾平生著述，死后可尽燔去。独《测圆海镜》一书，虽九九小数，吾常精思致力焉，后世必有知者。」
—— 王德渊《测圆海镜》后序（至元二十四年，1287）所记他临终对儿子克修说的话，不是他亲笔

「夫治天下，难则难于登天，易则易于反掌。」
—— 《元史》卷一百六十本传，忽必烈在潜邸时问「天下当何以治之」，他这样答