Thomas Bayes · 约1701–1761

贝叶斯

生前没用自己的名字发表过一篇数学；死后两年，朋友从遗稿里翻出一篇，问的是：看见了结果，那个看不见的概率落在哪儿

P(x_1 < x < x_2) = \frac{\int_{x_1}^{x_2} x^p (1-x)^q \, dx}{\int_0^1 x^p (1-x)^q \, dx}

《试解机遇论中的一个问题》第十条命题（1763）· 一件事出现 p 次、落空 q 次，它的概率落在两个数之间的机会，是这条曲线下两块面积之比——他写的是面积，今天那条「贝叶斯公式」在文中并没有这样写出来

托马斯·贝叶斯约 1701 年生于伦敦。邦希尔墓地的墓上写着他 1761 年 4 月 7 日去世、享年五十九岁，所以生年只能定在 1701 或 1702 年。家族在谢菲尔德做刀具起家，父亲约书亚据 MacTutor 是英格兰最早按立的六位非国教牧师之一。非国教徒进不了牛津、剑桥，他 1720 年前后进爱丁堡大学学逻辑与神学（MacTutor 作 1719 年入学），校档里记着他 1721、1722 年各讲过一次道。回伦敦先给父亲当助手，约 1733 年起在坦布里奇韦尔斯的锡安山礼拜堂当长老会牧师，1752 年退职，此后一直住在那里。他生前用自己的名字发表的数学一篇也没有：1731 年的《神的仁慈》是神学，1736 年那本替牛顿流数法辩护、驳贝克莱主教的《流数法导论》，都是匿名印的。

这一关要单独过：他是牧师。可 1742 年他当选皇家学会会员，那张提名书写的是「深通几何，以及数学与哲学学问的各个部分」，签名的五个人里有学会会长福尔克斯与斯坦诺普伯爵——据 Bellhouse 2004 的考证，赏识他的多半是这位自己也爱做数学的伯爵，大概读过那本匿名的《流数法导论》；惠斯顿 1746 年记他「是一位很好的数学家」。他留下的东西本身就是数学：一条发散级数的证明、一个二项积分的逐项算法与上下界、一套为「由果推因」立的定义与命题。1755 年前后他还写信给约翰·坎顿，评辛普森那篇「多次观测取平均」的文章，指出仪器本身的偏差不会因为多测几次就消掉。他身后的名声全靠两篇遗稿，都由朋友理查德·普赖斯送到皇家学会，印在《哲学汇刊》1763 年那一卷上。今天叫「贝叶斯定理」的那条式子，他的文章里并没有这样写出来：他写的是一条条件概率的命题，和一块面积与另一块面积之比；把「由事件推原因」写成一般原理的是拉普拉斯，1774 年，而且是独立做的（见拉普拉斯那一页）。

《试解机遇论中的一个问题》第二节首页，《哲学汇刊》第 53 卷第 385 页，伦敦 1763 · 互联网档案馆扫描，公有领域。他没有可信的画像传世（见本页第六件），所以这里放他自己的一页：上半页是那条公设——一张做得很平的正方形桌子，先扔球 W、再扔球 O——右下是原刊那张图，竖线 os 就是 W 停下的地方，底下那条弧线就是第十条命题里的那块面积。

生平

约1701
生于伦敦
墓上写他卒年五十九岁，生年因此只能定在 1701 或 1702。
1720
进爱丁堡大学
学逻辑与神学；非国教徒的儿子进不了牛津、剑桥。入学年份一说 1719。
1731
《神的仁慈》
匿名。论上帝造世界的主要目的是造物的幸福；多年后普赖斯在书里写明作者是他。
约1733
坦布里奇韦尔斯
锡安山礼拜堂的长老会牧师，一直做到 1752 年。
1736
《流数法导论》
匿名。替牛顿的流数法辩护，驳贝克莱主教 1734 年的《分析学家》。
1742
当选皇家学会会员
3 月 25 日第一次随人赴会，4 月 8 日提名，11 月 4 日当选；此时他名下没有一篇署名的数学。
1747
送给斯坦诺普伯爵的数学稿
据 Bellhouse 2004，伯爵的文件里有一组「1747 年 9 月 1 日送来」的稿子，那条发散级数就在里面（见本页第五件）。
约1755
致坎顿，评辛普森
仪器有偏差，多测几次也消不掉。
1760
立遗嘱
12 月 12 日。200 镑分给两位牧师，其中一位是理查德·普赖斯。
1761
卒于坦布里奇韦尔斯
4 月 7 日，当时的报纸只说他死得突然。葬伦敦邦希尔墓地的家族墓室。
1763
两篇遗稿在皇家学会宣读
11 月 24 日，致坎顿论级数的信；12 月 23 日，普赖斯送来的那篇长文。同印于《哲学汇刊》第 53 卷。
1764
普赖斯补发第二条规则的证明
《哲学汇刊》第 54 卷。长文里那两条近似规则原本只给了结果。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

一张桌子，两只球

先扔一只球定下一条线，再把另一只球扔 n 次，只告诉你有几次落在线的这一边——那条线在哪儿？他把「一个概率落在哪儿」变成了一块面积。

P(\text{第一件} \mid \text{第二件}) = \frac{P(\text{两件都发生})}{P(\text{第二件})}

原刊第二节的两条公设：一张做得很平的正方形桌子 ABCD，球扔上去，停在任何一块等大的地方机会都一样。先扔球 W，过它停下的地方画一条平行于 AD 的线 os；再把球 O 扔 p + q 次，每一次停在 AD 与 os 之间，就算事件 M 发生一次。M 在一次里发生的概率就是 Ao 与 AB 之比——一个确实存在、却谁也没看见的数。第八条命题算出：「线落在 f 与 b 之间，并且 M 发生 p 次、落空 q 次」的机会，是曲线 y = E·x 的 p 次方·(1 − x) 的 q 次方在 f、b 之间那一块面积与整张桌面之比；第九条命题再借第五条（先知道第二件事发生了，由此猜第一件也发生了，猜对的机会是「两件都发生」与「第二件发生」之比），得出：只看见 p 与 q，猜那条线在 f 与 b 之间，猜对的机会是那一块面积与曲线下整块面积之比。普赖斯在前言里说，棣莫弗解的是正问题——已知概率，求很多次试验里次数的比例落在某个范围里的机会；而反过来的问题，「我不知道有谁给出过解」。原文只说「正方形的桌子或平面」，据 Bellhouse 2004 转述斯蒂格勒的话，是费希尔、K. 皮尔逊一辈人把它「升格」成了台球桌。演示照原文的设定：W 先藏着，O 一次次扔，右边那条曲线越来越窄，阴影是「猜它在 p/n ± 0.1 之间」猜对的机会。

扔几次 O，看右边那条曲线怎样收窄；按「揭开 W」看那条线到底在哪儿

扔了 20 次，左边 8 次、右边 12 次。只凭这两个数，猜 M 的概率在 0.300 与 0.500 之间，猜对的机会是 0.6607——第九条命题说的就是这块阴影占整块面积的比例。

他为「一无所知」辩护，辩的是次数

桌子只是一个模型；真遇到一件毫无所知的事，凭什么也照「处处一样可能」来算？他的理由不是「那个概率取哪个值都一样可能」，而是「做 n 次，发生 0 次、1 次……n 次都一样可能」。

\int_0^1 \binom{n}{p} x^p (1-x)^{n-p} \, dx = \frac{1}{n+1}

普赖斯的前言交代了一段写作经过：贝叶斯起初直接假定「那个未知的概率落在任意两个等距的值之间，机会相同」，照这样给过一个很巧妙的解；后来他想到这条公设未必人人认为合理，就把命题换了一种写法，把理由放进一条附注，「而不让任何可能引起争议的东西进入数学推理」。那条附注在第 392–393 页：对一件事毫无所知，就是在若干次试验里，没有理由认为它更该发生某一个次数、而不是另一个；桌上的事件 M 恰好如此——扔 W 之前，n 次里 M 发生 p 次的机会是 1/(n + 1)，与 p 无关（他说用流数法算那块面积就能看出，注里写明比例是 1 比 n + 1）。所以对一件「未知的事件」，可以照事件 M 的规则来算。这条论证落在看得见的次数上，而不是落在看不见的概率上。反过来也成立：如果对每一个 n，0 到 n 次都一样可能，那么 n 次全中的机会就是 1/(n + 1)，也就是那个概率的 n 次方平均起来是 1/(n + 1)——各阶矩都与均匀分布相同，而 0 到 1 上的分布由各阶矩唯一确定，只能是均匀的。演示把四种「桌子」并排：均匀的一种，次数恰好一样可能；中间高的、两头高的、一头高的，都不平。

n = 10

平桌上，n = 10 时 0 到 10 次每一种都是 1/11——这就是他附注里说的「没有理由认为它更该发生某一个次数」。n 次全中的机会也是 1/11。

普赖斯的彩票，重算一遍

附录里普赖斯亲手算了五档，从听见 10 张空签 1 张奖，到 1000 张空签 100 张奖。今天逐个重算：多数只差末位，三个数差在第二位，最后一档用第二条规则给出的上下界，把真值 0.7055 关在了门外。

(n+1)\binom{n}{p}\Big[\frac{x^{p+1}}{p+1} - q\,\frac{x^{p+2}}{p+2} + \frac{q(q-1)}{2}\,\frac{x^{p+3}}{p+3} - \cdots\Big]_{x_1}^{x_2}

附录第 411–416 页：一个人站在开彩的现场，不知道彩票里空签与奖签各有多少，只能听。听见 10 张空签、1 张奖，问「空签与奖签之比在 9 比 1 到 11 比 1 之间」的机会，他照第一条规则算出 .07699；又问「不到 9 比 1」的机会，.6589。接着 20 与 2、40 与 4、100 与 10。第一条规则是一条交错级数：把 (1 − x) 的 q 次方展开逐项积分，一共 q + 1 项，再乘 (n + 1) 与二项式系数。重算用的是同一块面积，逐项都取正号、不会互相抵消。印出来的数里，.07699 与 .527 与重算相同，.6589、.10843、.44109 只差末一位，.1525 差两个单位（重算 0.1527）；差在第二位的有三个：20 与 2 那一档「不到 9 比 1」印 .584，重算 0.5920（他接着写的「584 比 415」也是照这个数来的）；100 与 10 那一档「大于 11 比 1」印 .3082、重算 0.3199，「在两者之间」印 .2506、重算 0.2390——他在脚注里把这一档说成「一百份里 44、31、25」，重算是 44、32、24。到 1000 与 100，第一条规则的项太多，他改用第二条，只给出「大于 .7953、小于 .9405」。照原刊印出来的第二条规则一步步算，确实得到 0.79536 与 0.94065，所以不是他算错；可这块面积的真值是 0.705539，落在下界之下。差在规则里的 m 上：他的主项相当于 erf(mz)，等于 0.862，而真值约等于 erf(mz/√2)。这一步是贝叶斯原稿里就有、还是整理时出的，这里没有查实。最后一档 10000 与 1000 用第三条规则，只说「大于 .97421」，真值 0.99904，这一句是对的。

1000 空 100 奖：照原刊印出来的第二条规则算，上下界确是 0.7954 与 0.9406（他印 .7953、.9405）；可这块面积的真值是 0.7055，在下界之下。

看见太阳升起一百万次之后

普赖斯设想一个刚来到世上的人：看见太阳回来一次，可以赌 3 比 1 它的回来有过半的把握；看见一百万次，是 2 的一百万次方比 1——可「它永远会回来」，多少次也证不出来。

P\Big(x > \tfrac12 \,\Big|\, p \text{ 次全中}\Big) = 1 - \big(\tfrac12\big)^{p+1}

附录第 405–410 页。先是一个干净的推论：一件事出现了 p 次、从未落空，「它在一次里的概率超过一半」的机会是 1 减去二分之一的 p + 1 次方，赔率 2 的 p + 1 次方减 1 比 1——一次 3 比 1、两次 7 比 1、三次 15 比 1，他印的正是这几个数。接着他讲一颗面数与构造都不知道的骰子：第一掷只告诉你它有这一面，从第二掷起才开始算；然后是那个人与太阳：第一夜失去它之后，他对它还会不会再来一无所知；看见它回来一次，就是出现了一次。看它回来一百万次之后，「那个比例」（让它回来的原因与让它不回来的原因之比）大于 160 万比 1 的机会是 .4647，小于 140 万比 1 的机会是 .4895（太阳那一段换成反面，印 .5352 与 .5105）；落在 60 万比 1 到 300 万比 1 之间，也只有 .527——「不过比对半略多」。今天重算：0.46474、0.48954、0.52766，全对得上（.5352 按四舍五入应作 .5353）。前面「出现十次、概率在 2/3 与 16/17 之间」那一例印 .5013，重算 0.50175。他要说的是：齐一的经验只能让人按比例地期待，「总有理由反对『事情会永远如此』这个结论」；这组数都建立在「事先对自然一无所知」上，他自己也强调了。今天叫「继承法则」的那个数——下一次再发生的机会是 (p + 1)/(p + 2)——出自拉普拉斯，普赖斯没有算它。

回来 1,000,000 次

回来 1,000,000 次之后，那个比例的中位数约 1,442,696 比 1，可它落在 60 万到 300 万之间的机会只有 0.5277。曲线随次数往右挪，却永远碰不到最右边：「它永远会回来」多少次也证不出来。今天叫继承法则的「下一次再回来的机会 (p + 1)/(p + 2)」出自拉普拉斯，普赖斯没算这个数。

那条阶乘级数，其实一个数也表示不出来

棣莫弗、斯特林、麦克劳林都用过一条算 ln z! 的级数，取前几项准得惊人；他在一封信里指出：往后的项会越来越大，不管 z 多大，整条级数都不收敛。

\ln z! \sim \tfrac12\ln 2\pi + \big(z+\tfrac12\big)\ln z - z + \frac{1}{12z} - \frac{1}{360z^3} + \frac{1}{1260z^5} - \cdots

《哲学汇刊》同一卷第 269–271 页，1763 年 11 月 24 日宣读，比那篇长文早一个月，也是遗稿。信只有两页多：「有几位杰出的数学家断言」，1 到 z 的对数之和等于 ½ log c + (z + ½) log z − z，再减去 z − 1/(12z) + 1/(360z³) − 1/(1260z⁵) + 1/(1680z⁷) − 1/(1188z⁹) + …（z 那一项与前面抵掉），c 是单位圆的周长——前半截与那个 √(2π) 的来历，馆里棣莫弗那一页讲过。「取适当数目的前几项，它确实会非常接近那个和；可整条级数永远不能真正表示任何量」：第五项之后系数开始增大，而且增得比 z 的幂所能抵消的更快。他给出系数的造法——a = 1/12，5b = a²，7c = 2ba，9d = 2ca + b²，11e = 2da + 2cb，……再依次乘上 2、2·3·4、2·3·4·5·6……；又给了一条下界：前三项之后，离第一项 n 步的那一项若为 y，下一项大于 n(2n − 1)/(6n + 9) 乘 y/z²。演示照他的递推造出前四十个系数，前八个与伯努利数给的逐个相等，那条下界从第 4 项到第 39 项逐条验过都成立。z = 1 时加到第三项误差最小，2.9 × 10⁻⁴，再加就越加越远——z = 1 正是「½ log c」那个常数的由来，他说这一档「更不可能有任何终值」。z = 2、3、4 时最好的误差是 3.9 × 10⁻⁷、5.9 × 10⁻¹⁰、9.5 × 10⁻¹³，停在第 7、10、13 项，然后照样发散。据 Bellhouse 2004，斯坦诺普伯爵的文件里有一组「贝叶斯先生 1747 年 9 月 1 日送来的数学稿」，这条级数就在里面，与信的第二段逐字相同——他至少在发表前十五年就知道了。这类「发散却好用」的级数，后来叫渐近级数。

z = 1

z = 1 时，各项先变小、到第 4 项最小，然后一路变大——不管 z 取多大，这个拐点总会来，只是来得晚些。部分和加到第 3 项离 ln z! 最近，差 2.88e−4。

遗稿、一处改动，和一幅大概不是他的像

1761 年春他在坦布里奇韦尔斯猝然去世，遗嘱里给普赖斯留了一笔钱；两年后普赖斯从遗稿里找出一篇文章，添上前言、注与附录，还改了他一处。

他 1760 年 12 月 12 日立遗嘱，把 200 镑分给两位牧师，约翰·霍伊尔与理查德·普赖斯；1761 年 4 月 7 日死在坦布里奇韦尔斯，当时的报纸只说他死得突然，葬在伦敦邦希尔墓地的家族墓室。1763 年 11 月 10 日，普赖斯从纽因顿格林写信给皇家学会的约翰·坎顿：「我现在寄给您一篇文章，是在我们已故的朋友贝叶斯先生的遗稿里找到的，依我看它极有价值，很值得保存下来。」信 12 月 23 日在学会宣读。普赖斯交代了自己动过哪些地方：贝叶斯为这篇写的引言没有照印，由他在信里转述；后两条规则只给结果、不给推导，因为推导太占篇幅，而且那两条「并不像希望的那样完美地达到目的」；几处加了短注；全文之后加了附录，演示这些规则怎么用——「附录里的计算……如果有错，只该由我一人负责」。第二条规则底下还有他一条脚注：贝叶斯的手稿里两个除数都少了第三项，「显然是推导中的一个小疏忽，我有理由认为贝叶斯先生自己已经发现了」，于是他「冒昧改正了原稿」。第二年他又在第 54 卷补发了这条规则的证明。至于长相：流传最广的那幅像，已知最早印在奥唐奈 1936 年的《人寿保险史》第 335 页，没有交代来源。Bellhouse 2004 拿它比对同时代非国教牧师的正式肖像：画中人没有戴假发，或者假发的样式不对；领子过高；领带是从领口下面露出来的——都与那个时代对不上。他父亲约书亚的肖像 1799 年由外孙捐给了威廉斯博士图书馆，他本人的却没有，很可能家里根本就没有他的像。所以这一页不放那幅像，放的是那篇文章里画着那张桌子的一页。

故事展签

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1763：出现 p 次、落空 q 次，反推那个概率落在哪儿→拉普拉斯的由果推因，到二十世纪成为一整套统计推断→垃圾邮件过滤、检验结果的阳性预测值、机器学习里的贝叶斯方法

1763 附注：一无所知，就是每一个次数都一样可能→先验怎么选：两百多年没停过的争论→A/B 测试里拿均匀分布当起点、按转化次数一路更新的做法

1763 附录：普赖斯的彩票与第二条规则的上下界→二项分布尾部面积的近似，以及近似的误差到底有多大→抽样质检里「这批货的次品率有多大可能超过某个数」的算法

1763 致坎顿的信：ln z! 那条级数发散→渐近级数：取到最小的那一项就停→计算器与数学库里算阶乘、伽马函数的数值逼近

约 1755 致坎顿的信：仪器有偏差，多测几次也消不掉→系统误差与随机误差分开处理→测量平差与质量控制里先校仪器、再取平均

他在哪几条专题里

专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写，全是 tracks.ts 推出来的。

人工智能你正在用的这个对话框1763 看见了结果，反推那个看不见的概率落在哪儿（不确定）

语录

「如果我是半个瞎子，为什么非得请一个全瞎的人来领路？」
—— 《流数法导论》（1736，匿名）序，驳贝克莱主教拿逻辑与形而上学来给数学家「开眼」；据 MacTutor 所引英文译出，大意

「取适当数目的前几项，它确实会非常接近那个和；可整条级数永远不能真正表示任何量。」
—— 致约翰·坎顿的信，《哲学汇刊》第 53 卷第 269–270 页（1763）；据原刊译出，大意

「仪器与感官的不完善造成的误差，只靠增加观测次数就能减到零或近于零——这在我看来极难置信。」
—— 约 1755 年致约翰·坎顿的信，评辛普森论取平均的文章；据 MacTutor 所引英文译出，大意