Kiyosi Itô · 1915–2008

伊藤清

在处处没有切线的布朗轨道上定义了积分，写下了多出一项的链式法则，随机微分方程从此可以一条轨道一条轨道地解

\int_0^t F'(B_\tau)\,dB_\tau = F(B_t) - F(B_0) - \frac{1}{2}\int_0^t F''(B_\tau)\,d\tau

《随机积分》（1944）第 4 节 · 他在全文最后一句说：在最后一项里，可以看到把「随机积分」与「普通积分」区别开来的一个特征性质

伊藤清 1915 年 9 月 7 日生于三重县员弁郡北势町。1935 年进东京帝国大学理学部数学科，据他 1998 年京都奖讲演的自述，吸引他的是「看似杂乱的现象里藏着统计规律」这件事，可当时读到的概率论文献对随机变量只有直观的说明、没有明确的定义，「像是缺了地基」——直到读到柯尔莫哥洛夫 1933 年的《概率论基础》。1938 年毕业到 1943 年去名古屋任教之间，他在内阁统计局做了五年公务员，局长许他把时间全用在研究上。这五年里他把莱维凭直觉写下的独立增量过程理论，用柯尔莫哥洛夫式的严格语言重写了一遍（今称莱维–伊藤分解，1942 年刊于《日本数学杂志》，这是他的博士论文），又写成了唯一一篇日文论文《决定马尔可夫过程的微分方程》。1944 年的《随机积分》在布朗轨道上定义了积分，1946 年解了随机积分方程，1951 年把那条多出一项的链式法则证全。

维纳 1923 年在布朗运动的路径上造出了测度（本馆维纳那一页），柯尔莫哥洛夫 1931 年用两条偏微分方程刻画了转移概率（他那一页第二件）；伊藤做的是第三件事：在一条一条的轨道上积分、解方程，让过程本身而不只是它的分布成为计算的对象。可据他自己说，这些文章发表之后十多年才有人读他的「乐谱」。1952 年他任京都大学教授，1954 到 1956 年在普林斯顿高等研究院，1965 年与麦基恩合著《扩散过程及其样本轨道》；后来又在奥胡斯大学、康奈尔大学任教多年，1979 年从京都大学数理解析研究所所长任上退休。1987 年获沃尔夫奖，1998 年获京都奖，2006 年获首届高斯奖——他因健康原因没能去马德里，由小女儿伊藤顺子代领。2008 年 11 月 10 日卒于京都。

1954 年的护照照片，时任京都大学理学部教授；伊藤清家属提供，公有领域

生平

1915
生于三重县北势町
9 月 7 日。
1935
进东京帝国大学数学科
4 月。当时数学科的老师有高木贞治、挂谷宗一、弥永昌吉等七位。
1938
毕业，进内阁统计局
到 1943 年，五年。局长川岛孝彦说他的专业与统计局的工作大有关系，时间全可以用在研究上（据他京都奖讲演自述）。
1942
两篇文章
一篇 1941 年 8 月 1 日收稿、刊于《日本数学杂志》，把莱维的分解定理写严格；一篇是《决定马尔可夫过程的微分方程》，登在大阪大学出的誊写版刊物《全国纸上数学谈话会》第 244 号上。
1943
名古屋帝国大学助教授
在那里一直到 1952 年，与吉田耕作同事。
1944
《随机积分》
《帝国学士院纪事》第 20 卷 519–524 页，10 月 12 日由挂谷宗一提交。见本页第一、第二件。
1945
东京帝国大学理学博士
10 月 3 日，论文提交之后四年多。
1946
《关于一个随机积分方程》
《帝国学士院纪事》第 22 卷 32–35 页。存在唯一性，逐次逼近。见本页第三件。
1951
《随机微分方程》与那条公式
长文战后在日本找不到纸印，寄给杜布，印成美国数学会《论文集》第 4 号；同年《名古屋数学杂志》第 3 卷刊出《关于随机微分的一个公式》。
1952
京都大学教授
1954–1956 年在普林斯顿高等研究院。
1965
《扩散过程及其样本轨道》
与麦基恩合著。
1973
布莱克–斯科尔斯
期权定价那篇里的展开用的就是他的公式，文中没有写他的名字。见本页第五件。
1979
退休
此前三年任京都大学数理解析研究所所长。
1987
沃尔夫奖
1998
京都奖
基础科学部门。讲演题为《我的概率论六十年》。
2006
首届高斯奖
8 月，马德里国际数学家大会；他因健康原因未能到场，由小女儿伊藤顺子代领、代读答谢辞。
2008
卒于京都
11 月 10 日。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

只许看左端点

布朗轨道处处没有切线，普通的积分在它上面失效；他的办法是每一小段只许用左端点的值——同一条轨道上，换成右端点，答案就差出整整一个 1。

\int_0^1 B\,dB = \lim \sum_i B(t_{i-1})\big(B(t_i) - B(t_{i-1})\big) = \tfrac{1}{2}\big(B(1)^2 - 1\big)

1944 年 10 月 12 日由挂谷宗一提交《帝国学士院纪事》第 20 卷的《随机积分》只有六页。引言开门见山：设 g 是一个布朗运动，要研究的是 ∫f(τ, ω) dg(τ, ω)，被积函数可以随 ω 而变——「f 不依赖 ω 的特殊情形，佩利与维纳已经处理过」（1934 年《复域中的傅里叶变换》第九章）。难处在于布朗轨道处处不可微、在任何一段上的变差都是无穷，斯蒂尔杰斯积分那一套用不上。他先对阶梯函数下定义：每一小段上 f 取左端点的值，乘以这一段上 g 的增量，加起来（式 2.1）；再要求 f 属于他叫作 G 的那一类——f 在时刻 t 以前的值与 g 在 t 以前的路径，都独立于 t 以后的增量，今天说「不预见未来」。有了这一条，交叉项的期望全是零，得到等距 (I)：积分平方的期望等于 f 平方的积分；靠它把定义从阶梯函数推到一般的函数。取哪一点并不是无所谓的：对 ∫B dB，一条轨道上逐项有「和 = B(1)²/2 + (θ − 1/2)·ΣΔB²」，θ = 0、1/2、1 分别是左端点、两端平均、右端点，而 ΣΔB² 不随格子加细消失、稳在 1。所以左端点得 (B(1)² − 1)/2，两端平均得 B(1)²/2——与普通微积分一样，今称斯特拉托诺维奇积分，六十年代才有人提出——右端点得 (B(1)² + 1)/2。只有左端点那一种均值是零：64 格、两万条轨道上平均 −0.0009，平方的均值 0.4895，等距公式给的是 (n − 1)/(2n) = 0.4922；右端点那一种平均 0.9960。

格子数 256

n = 256：左端点和 −0.4415、两端平均 0.0045、右端点和 0.4506。普通的积分里三者会越分越细、合到同一个数；这里它们之间始终隔着一个 ΣΔB²，而它不随格子变细趋于零，稳在 1 附近——取哪一点，答案就差多少。

镇馆之宝 · 亲手玩

链式法则多出来的一项

布朗运动走一小步 ΔB，它的平方平均恰好是 Δt，不是可以扔掉的高阶小量——所以对 F(B) 求微分，要比普通的链式法则多留一项：二阶导数的一半。

dF(B_t) = F'(B_t)\,dB_t + \tfrac{1}{2}F''(B_t)\,dt

1944 年那篇的第 4 节只有几行，题目就叫「例」：F 的二阶导数连续，则 ∫F′(g)dg = F(g(t)) − F(g(0)) − (1/2)∫F″(g)dτ。全文最后一句是：「在最后一项里，我们可以看到把『随机积分』与『普通积分』区别开来的一个特征性质。」脚注说这个等式他已在 1942 年那篇日文文章的第 7 节证过。道理用一行泰勒展开就说得清：F(B + ΔB) − F(B) = F′ΔB + (1/2)F″·(ΔB)² + …，普通微积分里 (ΔB)² 比 Δt 高一阶、可以扔掉，可布朗运动的增量是 √Δt 的量级，(ΔB)² 一格一格加起来不趋于零、趋于 t——这一项扔不得。1951 年 4 月 16 日收稿的《关于随机微分的一个公式》（《名古屋数学杂志》第 3 卷 55–65 页）开头说，前一篇文章里已经给出这个公式和证明的大略，这一篇要把它证全，并推到更一般的形式：若干个过程各自满足 dξ = a dt + b dβ，它们的函数 f(t, ξ) 的微分，比普通的全微分多出 (1/2)Σ f_ij·b·b dt 那些项（定理 6）。今天说的伊藤公式、伊藤引理，指的就是这一条。演示在同一条轨道上对四个函数逐项对账：F = eˣ、16384 格时，随机积分是 −0.7343，伊藤的右边是 −0.7425，差 0.0081，格子越细越小；照普通链式法则该是 −0.0909，差出来的 0.6515 就是那一项，格子再细也不走。

挑一个 F，拨格子数：蓝线是随机积分，黄虚线是伊藤的右边，第三条是普通链式法则的预言 F(B(t)) − F(0)

格子数 16384

F(x) = eˣ，n = 16384：随机积分 −0.7343，伊藤的右边 −0.7425，照普通链式法则应当是 −0.0909。差出来的 0.6515 就是 (1/2)∫F″(B)dt——1944 年那篇最后一行说，「随机积分」与「普通积分」就在这一项上分开。

一次次代进去，逼出一条随机的解

方程右边既有普通的积分，也有 1944 年刚定义的随机积分；他照解常微分方程的老办法一次次代进去，差按阶乘缩小，极限就是那条轨道上唯一的解。

x_k(t) = c + \int_0^t a\big(\tau, x_{k-1}(\tau)\big)\,d\tau + \int_0^t b\big(\tau, x_{k-1}(\tau)\big)\,d_\tau g(\tau)

1946 年 2 月 12 日提交的《关于一个随机积分方程》（《帝国学士院纪事》第 22 卷 32–35 页）只有四页：x(t) = c + ∫a(τ, x)dτ + ∫b(τ, x)dg，右边第一项是确定的漂移，第二项是随机积分。第一段说这条方程「与许多人对马尔可夫过程的研究密切相关，尤其是伯恩斯坦、柯尔莫哥洛夫与费勒」，脚注里伯恩斯坦那一篇 1938 年的书名就叫《随机微分方程》——这个名字不是伊藤起的。柯尔莫哥洛夫 1931 年用两条偏微分方程刻画转移概率（本馆他那一页第二件）；这里是一条一条轨道地把过程本身造出来。定理：a、b 连续，并对 x 满足利普希茨条件，则方程有且只有一个（以概率 1）连续的解。证法是皮卡的逐次逼近：x₀ = c，每一次把上一次代进右边；他估出第 k 次与第 k − 1 次之差的平方的期望不超过 4M² 乘 (A + B) 的 2(k − 1) 次方、再乘 t 的 k 次方除以 k!（式 10，A、B 是利普希茨常数），再由博雷尔–坎泰利引理得出以概率 1 一致收敛。演示取 a = 0.2x、b = 0.8x，在一条轨道的 1024 格上照做：相邻两次最多差 0.76、0.30、0.13……第 12 次只差 9.1e−7。离散之后这串逼近的极限恰好是一条折线：下一格的 x 等于这一格的 x 加上 a·Δt 再加上 b·ΔB，今称欧拉–丸山格式；这条方程又恰好有闭式（第四件），三百条轨道上折线与闭式在 t = 1 的平均差是：64 格 0.050、256 格 0.029、1024 格 0.014、4096 格 0.0071——格子细四倍，误差约减半。

逐次逼近第 4 次

第 4 次逼近：与上一次最多差 4.44e−2，与欧拉–丸山折线最多差 1.50e−2。每一次代入，都只用上一次在每一格左端点上的值——1946 年的证明就是这样把解一次次逼出来的，差像 t 的 k 次方除以 k! 那样缩。

平均在涨，几乎每一条都在跌

增长率本身在抖的时候，平均值按 μ 增长，而几乎每一条轨道的增长率是 μ − σ²/2；σ 大到一定程度，平均在涨，多数却在跌。

d(\log X) = \big(\mu - \tfrac{\sigma^2}{2}\big)\,dt + \sigma\,dB, \qquad X(t) = e^{(\mu - \sigma^2/2)t + \sigma B(t)}

dX = μX dt + σX dB 是最简单的一条随机微分方程：增长率平均是 μ，却在不停地抖。把伊藤公式用在 log X 上，F = log x，F′ = 1/x，F″ = −1/x²，第二件里那半个二阶导数这时成了 −σ²/2：d(log X) = (μ − σ²/2)dt + σ dB，于是 X(t) = exp((μ − σ²/2)t + σB(t))。两件事同时成立：均值是 e 的 μt 次方（取期望时 σB 那一项恰好补回一个 σ²t/2）；可 B(t)/t 趋于零，几乎每一条轨道的长期增长率都是 μ − σ²/2，中位数是 e 的 (μ − σ²/2)t 次方。μ = 0.05 时，σ 一过 √(2μ) ≈ 0.316，均值照涨，中位数却往下走：少数几条涨得极高，把平均撑了起来。σ = 0.4、二十年，理论上均值 2.718，中位数只有 0.549，跌破起点的轨道占 63.1%（演示里一千条的样本值是 2.485、0.559 与 61.9%——均值被极少数几条拉着走，抖得最厉害）。同一条方程若照普通微积分去读——两端平均的那种积分——解是 exp(μt + σB)，就没有这个 −σ²/2。物理学家拿光滑的噪声去逼近布朗运动，极限落在两端平均那一种上；伊藤的左端点则对应「这一刻只知道此前」的决策者。两种读法写出来是同一个式子，说的是两个不同的模型，差的正是第一件那一截二次变差——建模的人得先想清楚自己用的是哪一种。

σ = 0.4：一千条里均值 2.485（理论 2.718），中位数 0.559（理论 0.549），61.9% 的轨道跌破了起点。平均在涨，多数却在跌。

期权定价的那条方程里，没写他的名字

1973 年布莱克与斯科尔斯推期权价格，关键一步「用随机微积分展开」，脚注指向麦基恩的书；那一步里多出来的 (1/2)w₁₁v²x²Δt，就是伊藤公式的那一项。

\Delta w = w_1\,\Delta x + \tfrac{1}{2}\,w_{11}\,v^2 x^2\,\Delta t + w_2\,\Delta t

《期权与公司债务的定价》登在《政治经济学杂志》第 81 卷 637–654 页（1973），1970 年 11 月 11 日收稿、1972 年 5 月 9 日定稿。第 641 页先举了个说明性的例子：股价 15、期权 5、曲线在那一点的斜率 1/2，于是买一股、卖空两份期权；股价往上或往下各动 5 块，这个组合都从 5 跌到 4.25——跌多少与方向无关，而且「股价变动越小，跌幅与变动之比越小」。第 642 页：若空头头寸连续调整，「就可以用随机微积分把 Δw 展开」，Δw = w₁Δx + (1/2)w₁₁v²x²Δt + w₂Δt（式 4），脚注 5 写「随机微积分的介绍见麦基恩（1969）」——麦基恩正是 1965 年与伊藤合著《扩散过程及其样本轨道》的那一位，文中通篇没有出现伊藤的名字。代进去，Δx 那一项抵掉，组合在这一瞬间的收益是确定的，只能等于无风险利率，由此得到一条不含股票期望收益率的偏微分方程。功劳要分清：股价取几何布朗运动是萨缪尔森 1965 年的，拿布朗运动给期权定价可以追到巴施里耶 1900 年的论文，文中多处写着「默顿（1973）已经证明」，1997 年的诺贝尔经济学奖给了斯科尔斯与默顿（布莱克 1995 年已去世）。伊藤的贡献是那条展开式本身。演示照这套办法卖出一份平值期权、收下 3.988 元：只调 4 次仓，一千五百条轨道结账的标准差 1.65 元；调 1024 次，0.109 元——调仓次数翻四倍，标准差约减半，连续调仓的极限才是「风险为零」。

收下 3.988 元卖出期权，调 64 次仓：一千五百条轨道结账，盈亏均值 0.001、标准差 0.415。调得越勤越接近零——那个价钱之所以是「对」的，是因为连续调仓时风险恰好对冲干净；而推出这个价的那条方程里，(1/2)w₁₁v²x² 那一项就是伊藤公式多出来的那一项。

统计局里的五年，与一份誊写版刊物

1942 年他唯一一篇日文论文登在一份誊写版的油印刊物上；据他所知，当时只有一个人读过它——一个在兵营里的年轻数学家。

这一件全据他 1998 年京都奖讲演《我的概率论六十年》（日英对照本）。1938 年大学一毕业，他就结了婚，第二年当了父亲，「安居学院是不可想象的」，于是进了内阁统计局。可他说自己在那里几乎没做过什么像样的工作：局长川岛孝彦一开始就对他说，你的专业从大处说与统计局的工作有关，时间全都用在自由的研究上吧——「一个不属于任何大学或研究所的无名研究者」由此得了五年。1942 年他发表的两篇文章都注着这个年份：一篇刊在《日本数学杂志》上，是他的博士论文，可学位要到 1945 年 10 月 3 日才授予，「战后第一个秋天的阳光洒满一片焦土的日子」；另一篇《决定马尔可夫过程的微分方程》，是他唯一一篇用日文发表的论文，登在大阪大学为帮助年轻数学家交流而出的誊写版刊物《全国纸上数学谈话会》上。他说，据他所知当时读了它并感兴趣的研究者只有一个：丸山仪四郎，在应征入伍之后的兵营里读的，战后才亲口告诉他；「当时日本关心这个问题的，大概只有我们两个人」。丸山在它的基础上加进自己的想法，1955 年在巴勒莫发表，伊藤在普林斯顿读到，「大受启发」。1942 年那篇扩写成英文长文之后，战后日本缺纸，没有杂志登得下，他寄给杜布，1951 年印成了美国数学会的《论文集》第 4 号。讲演末尾他又说：要是没走数学家这条「诗人」的路，他也许会拿 1942 年那两篇当武器，去模拟战后的黑市，一夜暴富或者饿着肚子，成了「昭和的杜子春」；他希望那些以金融衍生品的名义打的仗早些结束，让年轻人回到数学教室来。

故事展签

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1944：在布朗运动的路径上定义随机积分，被积函数只许取左端点→鞅、随机积分与随机分析成为概率论的主干→随机过程的统计推断、滤波与机器学习里的随机梯度分析，都在这套积分上做

1944 与 1951：伊藤公式，多出二阶导数的一半→1973 年布莱克、斯科尔斯与默顿推出期权定价方程→今天交易所里的期权报价、银行的风险计量与对冲，底下跑的都是这条方程

1946：随机积分方程的存在唯一性，逐次逼近→随机微分方程成为描写一切带噪声的动态的通用语言→扩散生成模型先按一条随机微分方程给图像加噪，再用数值求解器把它倒着解回去

欧拉–丸山折线：随机微分方程的数值解→蒙特卡洛模拟成了金融、物理与工程里计算随机系统的标准办法→期权的风险模拟、分子动力学里的朗之万方程、人口模型里的随机波动，都这样逐步推

d(log X) = (μ − σ²/2)dt + σ dB：平均增长与几乎必然的增长不是一回事→投资组合的长期增长率、凯利准则的波动拖累→养老金与资产配置里讲「波动会吃掉收益」，算的就是这个 −σ²/2 的风险

他在哪几条专题里

专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写，全是 tracks.ts 推出来的。

人工智能你正在用的这个对话框1944 带噪声的微分方程，一条轨道一条轨道地解（不确定）

语录

「在最后一项里，我们可以看到把「随机积分」与「普通积分」区别开来的一个特征性质。」
—— 《随机积分》第 4 节末句，《帝国学士院纪事》第 20 卷第 524 页（1944）；据原文译出

「据我所知，当时读了这篇论文并感兴趣的研究者，只有一个人。」
—— 说的是 1942 年那篇誊写版的日文论文；京都奖讲演《我的概率论六十年》（1998），据日英对照本译出

「只有数学家读得了写满式子的「乐谱」，并在心里把那「音乐」奏出来。我的论文刚发表时没有引起注意，过了十多年，别的数学家才开始读我的「乐谱」，用他们的「乐器」来演奏。」
—— 同上，大意