Sophus Lie · 1842–1899

索菲斯·李

他想像伽罗瓦对付代数方程那样对付微分方程：先看它在哪些变换下不变。为此造出来的连续变换群，今天叫李群

[X_i, X_k] = \sum_s c_{iks}\, X_s

今天的写法：r 个无穷小变换生成一个 r 参数的连续群，要两两取括号仍落在它们张成的范围里。1874 年《论变换群》里他要求「两两组合出的那些量是它们自己的线性组合」；1888 年《变换群论》第一卷序言说，他是靠泊松那个括号符号刻画出这件事的

马吕斯·索菲斯·李 1842 年 12 月 17 日生于挪威西海岸的诺尔菲尤尔埃德，父亲是路德宗牧师，他是六个孩子里最小的一个。中学想当兵，视力不够，进了克里斯蒂安尼亚大学；1862 年听过西洛代课讲阿贝尔与伽罗瓦的方程论。据 MacTutor 的传记，他 1865 年毕业时并没显出什么数学天分，此后两三年在天文、力学、植物之间拿不定主意，直到读了普吕克与彭赛列的几何——拿直线、而不拿点当空间的基本元素，这个想法贯穿了他一辈子。1869 年底他拿到一笔旅行奖学金，冬天在柏林遇见了克莱因，1870 年春两人同到巴黎，见了达布、沙勒与若尔当。7 月初他发现自己那个把直线变成球面的变换，会把曲率线变成渐近线；普法战争随即爆发，他在枫丹白露被当成德国间谍关了一个月（见本页第六件）。

1872 年他以《论一类几何变换》取得博士学位，克里斯蒂安尼亚大学为他新设了一个教席。1873 到 1874 年间，他把此前做的几何与微分方程归到一个题目下：连续的变换群——一个群由挨着恒等变换的那些无穷小变换决定，而一族无穷小变换能不能生成有限参数的群，看它们两两的括号。他本来的目标是给微分方程找一套伽罗瓦理论：知道一个方程在哪些变换下不变，就能降阶、就能求积。1873 到 1881 年他与西洛合编了阿贝尔全集。克莱因派学生恩格尔 1884 年到挪威帮他整理，1886 年他接替克莱因任莱比锡的教授，与恩格尔合写的三卷《变换群论》1888 到 1893 年出齐。晚年他与恩格尔、与克莱因先后决裂；1898 年回到克里斯蒂安尼亚，1899 年 2 月 18 日死于恶性贫血，五十六岁。

索菲斯·李，克里斯蒂安尼亚（今奥斯陆）什琴斯基照相馆的卡比内照相卡，挪威国家图书馆著录作 1896 年；那两年他还在莱比锡，《变换群论》三卷已经出齐 · 挪威国家图书馆藏 · Wikimedia Commons，无已知版权限制

生平

1842
生于诺尔菲尤尔埃德
12 月 17 日，挪威西海岸；父亲是路德宗牧师。
1862
听西洛讲阿贝尔与伽罗瓦
西洛在克里斯蒂安尼亚大学代课，讲代数方程。
1869
柏林，遇见克莱因
1869 到 1870 年的冬天。两人都把普吕克的线几何当出发点。
1870
巴黎；把直线变成球面
春天与克莱因同到巴黎。7 月初发现那个变换把曲率线变成渐近线。
1870
枫丹白露的一个月
战争爆发后想步行去意大利，被当成间谍关押，达布出面才放出来。见本页第六件。
1872
博士，新设的教席
论文《论一类几何变换》；克里斯蒂安尼亚大学为他设了教席。
1873
做起了群论
他自己说：那年 1 月父亲去世，他做起了群论。
1874
《论变换群》
12 月 3 日刊于《哥廷根通报》第 22 号。见本页第一、二、五件。
1874
《论积分因子》
刊于克里斯蒂安尼亚科学会会刊，1875 年印出。见本页第三件。
1881
阿贝尔全集
与西洛合编，两卷。他说大半工作是西洛做的。
1886
接替克莱因到莱比锡
此前两年，克莱因派恩格尔到挪威帮他整理手稿。
1888–1893
《变换群论》三卷
与恩格尔合写。第三卷序言公开与克莱因分辩。
1896
《切触变换的几何》
与舍费尔斯合写的第一卷。见本页第四件。
1899
卒于克里斯蒂安尼亚
2 月 18 日，恶性贫血；前一年刚回到挪威。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

把一个无穷小变换重复无穷多次

一个连续的变换群，由挨着恒等变换的那一小步决定：把这一小步重复无穷多次，就走出整个群。切成 n 小步去走，与一次到位只差 1/n 量级。

\lim_{n\to\infty}\Big(I + \frac{t}{n}A\Big)^{n} = e^{tA}

1874 年 12 月 3 日，《哥廷根通报》第 22 号刊出他的《论变换群》，十四页。第一句先交代来路：群的概念先是在数论与置换论里长成的，近来也用到几何上。然后他给自己出了题：「把所有的变换群都定出来。」第一步只看一个变量、一个参数的群。这样的群在参数取某个值时必定是恒等变换；参数挪一点点，就得到一个「无穷小变换」dx = X·dα。接着一句是整套理论的起点：「设想把这个无穷小变换重复无穷多次，从而生成整个群。」换句话说，一个连续群不必整个记住，只要记住它在恒等变换旁边那一小步往哪儿推。1888 年《变换群论》第一卷的序言里他说，对有限连续群的一般研究，据他所知是他最先做的；在此之前他与克莱因 1871 年研究过一类曲线，它们在一族可交换的线性变换下变到自己，那已经是单参数群，但只是一个特例。演示用今天的矩阵写法：平面上的线性无穷小变换就是一个 2×2 矩阵 A，把「走 t」切成 n 小步、每步乘 I + tA/n，与一次到位的 exp(tA) 比。转半圈那一档从 (1, 0) 出发，n = 8 时差 0.799，n = 256 时差 0.0195；每步半径放大 √(1 + (π/n)²)，n 乘差逼近 π²/2 = 4.93——步数加倍，差减半。剪切那一档的 A 自乘为零，一小步和无穷多小步是同一回事。

小步数 n = 8

转动：切成 8 小步走完，与一次到位的 exp(tA) 差 0.79943。步数每加倍，差大约减半——无穷多次重复那个无穷小变换，得到的正是整条轨道。

两个小转动，先后不能对调

绕 x 转一点、绕 y 转一点，再各转回来，回不到原处——剩下一个绕 z 的、约 ε² 的转动。两个无穷小变换先后一换差出来的这一项，就是它们的括号。

R_y(-\varepsilon)R_x(-\varepsilon)R_y(\varepsilon)R_x(\varepsilon) = R_z(-\varepsilon^2) + O(\varepsilon^3)

《论变换群》第 3 节要三个无穷小变换生成一个三参数的群，他提的条件是：它们两两组合出来的那些量，必须是它们自己的线性组合。1888 年《变换群论》第一卷序言回头讲这件事的来路：1872、1873 年他做一阶偏微分方程，发现拉格朗日、普法夫、柯西与雅可比那一套积分法可以读成一门变换的理论，因为泊松的括号式正好可以看成一个无穷小切触变换的符号；「借助这个括号符号」，他把生成有限连续群的那些无穷小变换刻画得极其简单。括号式本身是泊松 1809 年写下的（见馆里泊松那一页），他添的一步是把它读成「两个无穷小变换先后一换，差出来的那个无穷小变换」，并拿它当判据：一族无穷小变换两两取括号仍落在它们里面，才生成有限参数的群。「李代数」这个名字不是他起的，他管这种东西叫无穷小群；一般认为这个名字是外尔在 1930 年代叫开的。演示拿三维转动来看：先绕 x 转 ε、再绕 y 转 ε、再各转回 −ε，合起来还剩一个转动。ε = 30° 时剩 15.36°，是 ε 平方（按弧度算）的 0.978 倍；ε = 5° 时是 0.99937 倍，转轴几乎正对 −z。绕 x 与绕 y 的无穷小转动取括号，得到的正是绕 z 的那一个，三个合起来生成全体转动。今天捷联惯导的姿态算法里专门有一项「圆锥补偿」，补的就是这种先后换一下差出来的二阶项。

ε = 30°

ε = 30° 时，四步转完还剩一个 15.3639° 的转动，是 ε 平方的 0.9781 倍。两个无穷小转动先后一换，差出来的是二阶小量——李用括号记下的，正是这一项。

镇馆之宝 · 亲手玩

知道一个对称，就乘得出积分因子

方程 X dy − Y dx = 0 的积分曲线如果被一个无穷小变换 ξ、η 整族搬来搬去，1/(Xη − Yξ) 就是它的积分因子，一次求积解出方程。齐次方程那一类老办法，都是这条定理的特例。

\mu = \frac{1}{X\eta - Y\xi}

1874 年他在克里斯蒂安尼亚科学会的会刊上发了《论积分因子》，开头说：我的朋友克莱因与我给自己定过一个题目，把一组微分方程事先知道的性质尽量用到积分上。这种事在特殊情形里早就有人做——方程是齐次的、是线性的，会用；柱面、旋转面上的测地线求得出，别的曲面就不行；「可是在这些零散的理论里，缺一条一般原则」。原则就是：那些被利用的性质，多半可以归结为知道了某些无穷小变换，它们把方程的每一个积分都变成积分。1888 年《变换群论》序言说得更直：老办法积得出的常微分方程，大多在某些容易说出的变换族下不变，而那些积分法「就在于利用这一性质」。1891 年舍费尔斯整理出版的《已知无穷小变换的微分方程讲义》第 6 章第 1 节把它写成定理 8：方程 X dy − Y dx = 0 的积分曲线族允许无穷小变换 ξ ∂f/∂x + η ∂f/∂y，而这个变换并不让每一条积分曲线各自不动，那么 1/(Xη − Yξ) 就是积分因子。第 8 章第 3 节（第 142 页）又举了 x dy − F(y) dx = 0 配沿 x 轴的伸缩，照定理 8，积分因子是 1/(x F(y))。演示有三档：转一下不变的极限环、放大缩小不变的齐次方程、李自己的那个例子。不乘积分因子，从 O 到 P 走两条折线积出来的数对不上；乘上之后两条路都给出同一个数，与手推的闭式逐位相同（转圈那一档 −1.067399817，齐次那一档 1.247032294）——这就是「一次求积」。

换一个方程，看两条路积出来的数；拨 s，看蓝色的积分曲线被对称搬到另一条积分曲线上

沿对称挪 s = 0.50

不乘积分因子，从 O 到 P 走两条路积出 -0.1932 与 -0.2508，对不上；乘上 1/(Xη − Yξ) 之后两条都是 -1.067399817，与闭式一致——积分曲线就是这个量的等高线，一次求积就解出来了。

一个点变成一个圆

把每一条曲线换成相距 n 的平行曲线：点变成了圆，相切仍然相切。它搬动的不是点，而是「点连同过这一点的一个方向」——他管这叫切触变换。

x_1 = x - \frac{n y'}{\sqrt{1+y'^2}},\ \ y_1 = y + \frac{n}{\sqrt{1+y'^2}},\ \ y_1' = y'

1870 年夏天在巴黎，他那个把直线变成球面的变换，正是这样一种不把点变成点的变换。他在 1896 年与舍费尔斯合写的《切触变换的几何》第一卷里，从最简单的例子讲起。第一章第 2 节第 14 到 16 页：「把任意一条曲线 c 对应到它相距 n 的平行曲线……我们称之为伸展。」它是二义的，c 有两条平行曲线。把它看成点的变换是看不清的，要看成「线素」——一个点连同过它的一个方向——的变换：点沿着那个方向的法线挪 n，方向不变。于是「一个点的全部线素，变成以它为心、半径 n 的圆的线素」，也就是「在伸展之下，每个点都变成一个圆」；而相切的两条曲线，平行曲线仍然相切。第 16 页他拿它解两圆的公切线：两个圆一起缩小，小圆缩成一点，题目就成了从一点作圆的切线。脚注说，平行曲线惠更斯就考虑过，与光的波动说有关。首创权要分层：勒让德变换一类的东西早就有，杜布瓦-雷蒙 1864 年也试过发展空间里切触变换的一般理论，据《李全集》第一卷编者序，那一篇要晚得多才到李的手上。演示里椭圆 a = 2、b = 1 周长 9.688448，外侧平行曲线的长度始终是周长加 2πn（n = 1 时实测 15.971633）；内侧在 n 越过最小曲率半径 0.5 之后长出四个尖点，公式就不管用了。

伸展的距离 n = 0.80

n = 0.80：外侧平行曲线长 14.7150，正是周长加 2πn；内侧已越过最小曲率半径 0.5，长出了尖点。点变成圆、相切变成相切——它变的不是点，是「点连同过它的方向」。

直线上的变换群，最多三个参数

1874 年他算出：一条直线上只含有限个参数的变换群，参数不超过三个，而且换个坐标，就是 (αx + β)/(γx + δ) 这一族或它的一部分——交比在它下面一动不动。

x' = \frac{\alpha x + \beta}{\gamma x + \delta}

《论变换群》第 1 到 3 节是从最简单的情形一格一格往上算的。一个参数：换一个坐标，就只是平移 x′ = x + α，「只有一个类型」。两个参数：也只有一个类型，平移加上伸缩，x′ = γx + δ；而且其中平移那一族「有一个特殊的地位，换坐标也破坏不了」。三个参数：三个无穷小变换两两组合出来的量要是它们自己的线性组合，由此得出全部「线性」变换 x′ = (αx + β)/(γx + δ)。四个参数呢？「同样的推理表明，这样的群根本不存在。」于是他写下结论：一个变量的变换群若只含有限个参数，参数不超过三个，并与全部线性变换的群或它的一个子群相似。「相似」是要紧的一个词——他明说，差一个坐标变换的两个群算作同一个。第 4 节接着做平面，结果复杂得多：在不留下任何曲线族不变的那一类里，典型是八参数的全部射影变换，以及其中六参数与五参数的子群，「七参数的不存在」。一条直线上的射影变换保持交比，这正是克莱因那一页爱尔兰根纲领里射影几何的那个不变量。演示用 x 的 k 次方乘 d/dx 表示无穷小变换，括号 [x 的 i 次, x 的 j 次] = (j − i)·x 的 i + j − 1 次。勾上 1 与 x²，括号补出 x，停在三个；勾上 1 与 x³，括号一路长出 4、5、6 次，停不住。可 x 与 x³ 两个也停得住——换坐标 u = x 的 −2 次方，它们就是伸缩与平移，这正是「相似」的意思。沿 1、x、x² 的流走，四点的交比始终是 1.2；沿 x³ 走 s = 0.04，交比成了 1.244。

1 d/dx x d/dx x² d/dx x³ d/dx

走多远 s = 0.133

勾选的这几个取括号停在 2 个参数。沿 x² d/dx 走 s = 0.133，四点的交比从 1.200000 变成 1.200000——没变。

「我总是在倒霉的时候有所发现」

1877 年初他在信里数给迈尔听：弄伤眼睛那几天找到了积分法，父亲去世那个月做起了群论，而一生最得意的那个发现，是在枫丹白露的监狱里慢慢想清楚的。

1877 年 1 月他伤了肩膀，其实伤得不重，可偏偏写不了字。他给莱比锡的数学家阿道夫·迈尔写信说，这倒一点没妨碍他想数学，说来也怪：「这些年我总是在多少算是倒霉的时候有所发现。1872 年春天我伤了眼睛，恰好在同一时间找到了积分法。1873 年 1 月我父亲去世，我做起了群论。1876 年春天我妻子的近亲接连遭了几件大不幸，就在那几天我找到了新的积分理论。1877 年 1 月我伤了肩膀，当天晚上就有了一个关于极小曲面的好想法。」接下来是最早的一件：他论复形那篇文章的基本想法，是一天晚上在巴黎「差不多睡着了」的时候想到的；「紧接着我在枫丹白露的监狱里待了一个月，在那里有了最好的清静，去把那个发现展开，它给我的快乐是别的一切都没法比的。」（信见《李全集》第三卷第 691 页编者注所引。）那是 1870 年。7 月 19 日法国对普鲁士宣战，克莱因是普鲁士人，立即离开巴黎；李是挪威人，留了下来。据 MacTutor 的传记，8 月德军在梅斯围住了一支法军，他决定步行去意大利，走到枫丹白露被当成德国间谍抓起来——搜出来的数学笔记被当成了密信；达布出面，他才获释。《全集》编者推测，那篇署 1870 年 10 月 24 日的挪威文论文也许就是在枫丹白露写下的；10 月 31 日，沙勒把他的一则短札提交巴黎科学院。二十三年后，他把《变换群论》第三卷献给巴黎高师，献词里说那所学校的「不朽的学生伽罗瓦」最先认识到群这个概念的意义，并点名感谢了达布。

故事展签

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1874：一个连续群，由它挨着恒等变换的无穷小变换决定→李群与李代数：指数映射把无穷小的量变成有限的变换→机器人学与游戏引擎里的三维旋转，按指数映射做插值、积分与优化

1874：两个无穷小转动先后一换，差出第三个→转动矢量的微分方程里多出的那一项叉乘，正是这个括号→捷联惯性导航的圆锥补偿：飞机、火箭与手机里的姿态控制都要补这一项

1874：知道方程的一个对称，就乘得出积分因子→二十世纪下半叶奥夫相尼科夫、奥尔弗等人把对称方法推到偏微分方程→计算机代数系统求解微分方程时，先找对称再降阶的那一套算法

1870 年代：连续的变换群→诺特 1918：作用量的每一条连续对称，换来一个守恒量→粒子物理的标准模型整个写成一个李群下的规范理论

1896：切触变换——变的是点连同过它的方向→哈密顿力学的正则变换与几何光学的波前，都是这一类变换→数控加工的刀具轨迹是零件轮廓的平行曲线：计算几何里的偏置算法

他在哪几条专题里

专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写，全是 tracks.ts 推出来的。

导航与定位手机左上角那个定位图标1874 两个小转动先后一换，差出一个二阶的转动（结构）

语录

「1873 年 1 月我父亲去世，我做起了群论。」
—— 1877 年初致阿道夫·迈尔的信，《李全集》第三卷第 691 页编者注所引；据德文译出

「可是在这些零散的理论里，缺一条一般原则。」
—— 《论积分因子》开头，克里斯蒂安尼亚科学会会刊 1874 年卷第 242 页；据《李全集》第三卷所收德文本译出，大意

「对有限连续群的一般研究，据我所知是我最先做的。」
—— 《变换群论》第一卷序言，莱比锡 1888；据 archive.org 所存初版译出，大意

「我不是克莱因的学生，反过来也不是，虽然反过来或许更接近事实。」
—— 《变换群论》第三卷序言第 XVII 页，莱比锡 1893；据初版译出