Johann Radon · 1887–1956

拉东

他在 1917 年证明：平面上一个函数，沿每一条直线的积分都知道了，函数本身就定得出来——四十多年后，这成了 CT 机的数学

f(P) = -\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\frac{dF_P(q)}{q}

1917 年的反演公式，今天教科书照录的形式：F_P(q) 是与「以 P 为心、半径 q 的圆」相切的全部直线上积分的平均。原文《论由沿某些流形的积分值确定函数》，萨克森科学院数学物理类 1917 年 4 月 30 日的会议，刊于该院《报告》第 69 卷 262–277 页

约翰·拉东 1887 年 12 月 16 日生于波希米亚的特琴（今捷克杰钦），父亲是当地银行的总会计。据 MacTutor 的传记，他中学里最喜欢数学与古典语言，嗓子是很好的男中音，一度想去学歌剧。1905 年进维也纳大学，1910 年在埃舍里希门下以一篇变分法的论文取得博士学位，1911 到 1912 年的冬季学期在哥廷根听希尔伯特的课。1913 年他以《绝对可加集函数的理论与应用》取得维也纳大学的授课资格：把斯蒂尔杰斯积分与勒贝格积分合在一起，推广到 n 维空间里对任意一个可加集函数积分——今天所谓拉东测度就从这里来；测度论里的拉东–尼科迪姆定理，n 维空间里的情形一般认为出自这一篇，1930 年尼科迪姆把它推广到抽象的测度空间（这一篇本馆没有取到原刊，这几句据 MacTutor 与通行的测度论史）。1917 年他在萨克森科学院的《报告》上发表了十六页的《论由沿某些流形的积分值确定函数》，本页前三件展品都出自这一篇。

1919 年他去了刚开办的汉堡大学，1922 年到格赖夫斯瓦尔德接替豪斯多夫任正教授，1925 年去埃朗根，1928 年去布雷斯劳。那些年他做过仿射微分几何、共形微分几何、凸体与变分法。在布雷斯劳那些年，家里接连出事：长子赫尔曼 1939 年病故，次子路德维希 1943 年在苏德战场受了致命伤。1945 年初布雷斯劳被围之前，数学所撤到莱比锡附近的韦克塞尔堡，他在那里凭记忆讲完了一门复分析；之后辗转到因斯布鲁克，1946 年 10 月回到维也纳任教，1954 年当选维也纳大学校长。1956 年 5 月 25 日卒于维也纳。那一年，南非开普敦的物理学家科马克刚刚在医院里想到：能不能从身体外面量，求出身体里面每一点吸收了多少射线——他要到七十年代初才知道，这道题拉东三十九年前就答完了（见本页第六件）。

《含有一个公共点的凸体族》首页，《数学年刊》第 83 卷第 113 页，柏林 1921 · 哥廷根数字化中心（GDZ）藏本影像。开头一句是「前几年，维也纳的数学家 E. 赫利告诉了我下面这条定理」；页脚的注写着赫利自 1915 年起在俄国当战俘。本页第四、五件展品都出自这三页

生平

1887
生于特琴
12 月 16 日，波希米亚，今捷克杰钦。
1905
入维也纳大学
数学、物理、化学、哲学都修，还听音乐课。
1910
维也纳大学博士
变分法的论文，导师埃舍里希。
1913
《绝对可加集函数的理论与应用》
维也纳大学的授课资格论文，刊于维也纳科学院《会议报告》第 122 卷。n 维空间里对任意可加集函数的积分从这里开始。
1917
由直线上的积分定出函数
萨克森科学院数学物理类 4 月 30 日的会议，刊于《报告》第 69 卷 262–277 页。见本页第一、二、三件。
1919
汉堡大学
新开办的汉堡大学请他去任副教授。
1920年9月
在瑙海姆讲赫利定理的证明
德国自然科学家与医生协会第 86 届年会；10 月 19 日编辑部收稿，1921 年刊于《数学年刊》第 83 卷。见本页第四、五件。
1922
格赖夫斯瓦尔德正教授
接替豪斯多夫。
1928
布雷斯劳
此前 1925 年起在埃朗根。
1946
回到维也纳
10 月 1 日起任维也纳大学教授；1954 年任校长。
1956
卒于维也纳
5 月 25 日。
1963
科马克的两篇论文
开普敦出身的物理学家在不知道他的情况下重新解出了这道题，并做了一台模型实验。见本页第六件。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

由所有直线上的积分，定出整个函数

把平面上每一条直线上的积分都告诉你，能不能倒推出函数本身？1917 年他证明能，而且给出了一个式子：在 P 点的值，由那些离 P 越来越远的直线上的积分一层层算出来。

F_P(q) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\!\!\int_{\ell(\theta, q)} f\, ds\, d\theta,\qquad f(P) = -\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\frac{dF_P(q)}{q}

一束射线穿过身体，出来时弱了多少，取个对数，恰好是这条直线上吸收系数的积分——这是 1956 年科马克在开普敦的医院里想到的那一步。于是问题变成了纯数学的一句：一个平面上的函数，沿每一条直线的积分都已知，能不能把它定出来？拉东 1917 年那篇的第一部分答的就是这一问。今天照录的是这个形式：以 P 为心画一个半径 q 的圆，把与这个圆相切的全部直线上的积分取平均，记作 F_P(q)；那么 f(P) 等于 −1/π 乘以 dF_P(q)/q 从 0 积到无穷。q = 0 那一档是穿过 P 的所有直线的平均，它远远不够（见下一件）；要把离 P 越来越远的那一圈圈直线也一层层算进来，才恰好补齐。同一篇里他还写了三维空间里用平面积分的那一版（见第三件），并指出可以推到 n 维。演示里的「病人」是四团高斯形的吸收系数，沿任何一条直线的积分都有闭式，所以机器量到的数是精确的，误差只来自反演这一步的数值积分。取那团最密的中心 P = (0.38, 0.20)：真值 1.640689，照他的式子算出来也是 1.640689（相差 4e−15）；而只取穿过 P 的直线平均，得到的是 0.770690，不到一半。下半幅沿一条横线逐点重建，四十一个点与真值的最大偏差 4.4e−13——这张图的画法仿的是科马克 1963 年那张：实线是真值，点是算出来的。这篇论文的原刊影像本馆这一轮没有取到，式子照今天的教科书写，演示里每一个数都是按这个式子重算的。

拨 P 在横线上的位置，拨圆的半径 q，看与这个圆相切的那一圈直线；右上是平均值随 q 的曲线，右下是沿横线重建出来的点与真值

P 的横坐标 0.38圆的半径 q = 0.30

P = (0.38, 0.20)：照他的式子算出 1.640689，真值 1.640689；只取穿过 P 的那些直线平均，得到的是 0.770690——q = 0 那一项远远不够，一圈圈更远的直线都要算进来。

只把投影抹回去，是一团雾

最直接的想法是把每条直线上量到的数，沿原路抹回图上再平均——得到的图是糊的：一个点被抹成一团按距离倒数衰减的雾。他的式子多出来的，正是把这团雾擦掉的那一步。

F_P(0) = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}(Rf)(\theta,\ P\cdot\mathbf n_\theta)\,d\theta

机器绕病人转一圈，每个角度量一排平行直线上的积分，排起来是一张「正弦图」——横轴是角度，纵轴是直线离中心多远；一个点在这张图上画出的是一条正弦曲线，名字就是这么来的。最省事的重建办法是反过来：图上每一点，把穿过它的所有直线上量到的数取平均。这正是上一件那个式子里 q = 0 的那一项，今天叫「反投影」。可它不对：一个点抹回去，不是一个点，而是一团浓度按距离的倒数衰减的雾（均匀地取各个方向，穿过距这点 r 处的直线所占的比例正比于 1/r）。演示把四张图并排：真的、机器量到的、只抹回去的、照他的式子的。只抹回去那张最亮处只有 0.77，真的是 1.62，而且整张图都蒙着一层；照他的式子，64×64 的格子上最大偏差 0.011（来自正弦图的插值与 q 只积到 2.25 的截断）。再拨下面那个滑块——只准用离 P 不超过 Q 的那些直线：Q = 0.5 时那团最密的中心只算出 1.480，Q = 1 时 1.614，Q = 2 时才到 1.640657，与真值 1.640689 还差三万分之一。平面上的这个式子要用到离 P 很远的直线，一个点的值取决于整张图；这件事到了三维就变了（见下一件）。今天 CT 机里跑的「滤波反投影」是 1960 年代末到七十年代初几路人各自做出来的算法：先把每一排投影按距离做一次加权的滤波，再抹回去——与他的式子在数学上是同一件事的两种写法。

只用近处的直线：Q = 2.250

正在计算……

到了三维，反而只看附近

平面上要用所有直线，才定得出一点；三维空间里用平面去截，一点的值只取决于贴着它的那些平面——他 1917 年写下的空间公式，比平面的那个还简单。

f(x) = -\frac{1}{8\pi^2}\,\Delta_x\!\int_{S^2}\!\Big(\int_{\omega\cdot y = \omega\cdot x} f\,dA\Big)d\omega

1917 年那篇不只讲平面上的直线。同一篇里他也写了空间里的版本：知道一个三维函数在每一张平面上的积分，同样能定出它，而且式子更短——对平面积分先按方向平均、再取一次拉普拉斯算子，不必再积一圈圈的距离。科马克在 1979 年的诺贝尔演讲里专门说过这件事：「这个式子比二维的还简单，而且在核磁共振成像里用得上。」简单在哪？二维的那个式子里有一个从 q 积到无穷的积分，所以一点的值要用离它任意远的直线；三维的那个只有求导，求导只看一点附近。演示把两件事并排：一个圆对称（球对称）的密度，分别用平面上的直线与空间里的平面去量，再各按他的式子反演回来。对圆对称的函数，平面的式子化成一条阿贝尔型的积分 f(r) = −(1/π)∫ g′(p)/√(p² − r²) dp（p 从 r 积到无穷），空间的化成 f(r) = −G′(r)/(2πr)，一点都不积。数据都没坏时，两条路与真值的最大偏差都在 3e−11 以内。然后把距中心 0.5 到 0.8 那一段的数据弄坏一点（乘上一个光滑的鼓包，最多多出 5%）：空间那一版只在 0.5 到 0.8 之间出错，这一段外面偏差是 0（1e−11 的量级，机器精度）；平面那一版的错一直漏到中心，r = 0 处也偏了 0.004。一个点在二维里要「看全图」、在三维里只「看附近」，今天叫惠更斯原理那一类的奇偶维数之别；演示用的是圆对称的情形，好让两条式子都化成一维。

坏掉的一段 r = 0.50 到 0.80坏多少 5%

空间里那一版只在坏掉的 0.50–0.80 之间出错，段外偏差 9.6e-12；平面上那一版的错一直漏到中心，段外最大 0.0203。二维里一点要「看全图」，三维里只「看附近」。

四个点，分成重心重合的两堆

平面上随便四个点，总能分成两堆，使两堆的凸包相交；高一维就是五个点——n 维空间里 n + 2 个点都行。他为了证赫利定理，在三页纸的中间顺手证了这件事。

\sum_\alpha \mu_\alpha x^{(\alpha)} \Big/ \sum_\alpha \mu_\alpha \;=\; \sum_\beta \mu_\beta x^{(\beta)} \Big/ \sum_\beta \mu_\beta \;=\; \xi

1921 年《数学年刊》第 83 卷那三页的第 114 页，他要证明赫利的定理（见下一件），先做了一件小事：r > n + 1 个点 x_i 放在 n 维空间里，解一组线性方程 Σ λ_i x_i = 0、Σ λ_i = 0——未知数比方程多，一定有不全为零的解。把 λ 为正的那些指标记作 α、为负的记作 β、再把负号挪到另一边，就得到两堆不带负号的「质量」μ_α 与 μ_β，而且两边总质量相等、质量乘位置之和也相等。于是他写：「这样定义的点 ξ，以两种方式呈现为非负质量的重心：一次放在 α 那些点上，一次放在 β 那些点上。」一个点同时是两堆的重心，它就同时落在两堆的凸包里——这就是今天的拉东定理，n 维空间里任意 n + 2 个点都能这样分成两堆。演示取平面上四个点（n = 2，r = 4），三条方程四个未知数，λ 由四个 3×3 行列式直接写出来。四点围成凸四边形时是二对二，重合点在两条对角线的交点上；一点落进另外三点的三角形里时是三对一，重合点就是那个点自己。三点共线时，第四点的质量恰好是零：共线三点里中间那一点单独一堆、两端一堆。这件事后来成了计算几何与机器学习理论里的常用工具：平面上的直线最多能把三个点任意分开、分不开四个，证法就是拉东这一步——四个点里总有两堆的凸包相交，一条直线没法把这两堆隔在两边。

分成 2 对 2：蓝堆与黄堆按质量取重心，都落在 ξ = (0.0208, 0.0984)。平面上任意四个点都能这样分；三维里要五个，n 维要 n + 2 个。

每三个有公共点，就全体有公共点

平面上一族凸形，只要其中任意三个有公共点，全体就有公共点——这是赫利告诉他的；赫利当时在俄国当战俘，第一个把证明印出来的是他。

\bigcap_{i\ne j} K_i \ni x^{(j)}\ \ (j = 1,\dots,r) \ \Longrightarrow\ \xi \in \bigcap_{i} K_i

1921 年那篇第一句：「前几年，维也纳的数学家 E. 赫利告诉了我下面这条定理：n 维空间里一族凸体有公共点的充要条件，是其中每 n + 1 个有公共点。」页脚的注写着赫利「自 1915 年起在俄国当战俘」。他说难处在凸体有限多个的情形，「不久前我成功地用很简单的办法」证出来了，1920 年 9 月在瑙海姆的德国自然科学家与医生协会第 86 届年会上讲过，于是「冒昧把这条漂亮的赫利定理连同我的证明一起发表」。证明就是上一件那一步：r 个凸体里，去掉第 i 个、其余的按归纳假设有公共点 x_i；这 r 个点分成重心重合的两堆，重合点 ξ 在 α 那一堆的凸包里——而 α 堆的每一个点都属于所有 β 号凸体（它只缺自己那一个），凸体是凸的，所以 ξ 属于每一个 β 号凸体；反过来也属于每一个 α 号凸体。无穷多个的情形他用布拉施克的「邻近度」取极限，并在注里说明这个距离与豪斯多夫《集合论基础》第 293 页的那个是一回事——就是本馆豪斯多夫那一页的第二件。校样上他加了一段：「赫利博士已于 1920 年 11 月中旬回到维也纳；随后与作者的通信表明，赫利先生当年找到的证明与作者的本质上不同。」赫利自己的证明 1923 年才发表，定理照旧挂他的名字。演示照这个证明走一遍：四个圆盘，每去掉一个、剩下三个的公共点 x_i 用轮流投影的办法找出来，再解那组方程得 ξ——预设那一档四个点二对二分开，ξ = (0.007, −0.002)，四个圆盘逐一检验都含着它。换成三个两两相交、三个却没有公共点的圆盘，定理的条件不成立，结论也就不成立：「每两个」不够，平面上要「每三个」。

每去掉一个，其余三个都有公共点；四个点分两堆，重心 ξ = (0.007, -0.002)，四个圆盘全都含着它。

一份来自雪崩研究所的抽印本索取

1963 年，科马克在不知道拉东的情况下重新解出了这道题，还做了一台模型实验。论文登出来，几乎没人理会；最有意思的一封索取信，来自瑞士一家雪崩研究所。

这一件照科马克 1979 年的诺贝尔生理学或医学奖演讲《早期的二维重建，与由它引出的近期课题》写。1955 年他在开普敦大学当物理讲师，格罗特·舒尔医院的医院物理师辞职了；南非法律规定使用放射性同位素必须有合格的物理学家监督，而他是开普敦唯一的核物理学家，于是 1956 年上半年每周去医院一天半。他在放射科看人做放疗计划：一个姑娘把几张等剂量图叠起来描出轮廓，医生看了再改——而那些图都是按均匀的材料算的，人体并不均匀。他想到，要把计划做准，就得知道身体里每一点的衰减系数，而这只能从身体外面量；接着又想到，这对诊断也有用，「虽然我好多年后才学到『断层图』这个词」。他以为这六十年里早有人推广过，查了文献没找到，只好从头做起。此后六年断断续续，1963 年夏天，他和一个想学 FORTRAN 的本科生戴维·亨纳奇花两天量完了一个模型：外面一圈铝代表颅骨，里面的有机玻璃代表软组织，两块铝片代表肿瘤，钴 60 的伽马射线束宽五毫米。算出来的点与真值画在一张图上，对得很好。论文 1963、1964 年发在《应用物理杂志》上，「几乎没有任何反响。最有意思的一封抽印本索取信来自瑞士的一个雪崩研究中心——只要能把探测器或射线源弄进山里、埋在雪下面，这个办法对山上的积雪一样管用。」直到七十年代初他才知道拉东 1917 年的工作，也知道了克拉默与沃尔德 1936 年在统计里、布雷斯韦尔 1956 年在射电天文里都碰到并解过这道题，还第一次听说了豪恩斯菲尔德和他在 EMI 造的扫描机。1979 年的奖由他与豪恩斯菲尔德分得。拉东本人在 1956 年去世，正是科马克在医院里想到这道题的那一年。

故事展签

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1917：平面上所有直线上的积分，定得出函数本身→1963 年科马克重新解出并做了模型实验，1971 年起豪恩斯菲尔德在 EMI 造出了扫描机→CT 扫描：医学影像里每天做的断层重建，1979 年诺贝尔生理学或医学奖

1917：空间里用平面积分的那一版，式子只看附近→科马克在诺贝尔演讲里指出，它在核磁共振里用得上→三维成像与医学影像里的重建算法，同一套投影反演换一种几何

由投影重建（今天叫拉东变换）→德罗西耶与克卢格 1968 年用同一套办法从电子显微镜照片重建出 T4 噬菌体尾部的三维结构；地震勘探用它做层析→冷冻电镜、地球物理与工业无损检测里的三维成像与图像处理

1921：n + 2 个点总能分成凸包相交的两堆，赫利定理由此得证→赫利型定理成了凸几何与组合几何的一整支→计算几何与线性规划、最优化里的「组合维数」论证

1921：平面上四个点，总有两堆的凸包相交→所以直线分不开任意四个点：半平面的 VC 维是 3，n 维里是 n + 1→机器学习理论里估计一个分类器要多少样本，第一步就是这个数

语录

「前几年，维也纳的数学家 E. 赫利告诉了我下面这条定理……不久前我成功地用很简单的办法证出了它，所以冒昧把这条漂亮的赫利定理连同我的证明一起发表。」
—— 《含有一个公共点的凸体族》第 113 页，《数学年刊》第 83 卷（1921）；据 GDZ 原刊影像译出，大意

「赫利博士已于 1920 年 11 月中旬回到维也纳；随后与作者的通信表明，赫利先生当年找到的证明与作者的证法本质上不同。」
—— 同一页的「校对时补记」；据 GDZ 原刊影像译出

「几乎没有任何反响。最有意思的一封抽印本索取信，来自瑞士的一个雪崩研究中心。」
—— 科马克谈他 1963、1964 年的两篇论文，1979 年诺贝尔演讲；据诺贝尔基金会所刊讲稿译出