Shiing-Shen Chern · 1911–2004

陈省身

把曲率这件「局部」的事，和洞有几个这件「整体」的事，用几页外微分式接在了一起——二十世纪的整体微分几何从他这里起头

\int_{M^{2p}} \Omega = \chi(M^{2p})

《闭黎曼流形高斯–博内公式的一个简单的内蕴证明》（1944）的主式：偶数维闭流形上，由曲率拼成的那个 2p 次微分式 Ω 积出来恰是欧拉–庞加莱示性数。二维时 Ω = K dA/2π，就是 ∫K dA = 2πχ

陈省身 1911 年 10 月 26 日生于浙江嘉兴。1926 年十五岁进天津南开大学，跟姜立夫学数学，1930 年毕业，考进清华大学研究院。1932 年布拉施克到北平讲学，据他 1973 年写布拉施克的文章，布拉施克坚持「数学要生动、要让人听得懂」，这是他决定去汉堡的缘由；1934 年他拿清华的公费到了汉堡，不到两年就拿到博士学位，论文是布拉施克那一派的织几何（本页的肖像位放的就是它的封面，也是第五件展品）。1936 年秋布拉施克又安排他去巴黎跟埃利·嘉当学了一年，学来的是活动标架与外微分式——此后几十年他就靠这一手。1937 年回国任清华教授，随即抗战，在昆明的西南联合大学教了五年书。

1943 年夏他搭美军的飞机从加尔各答出发，经非洲、南美，一个星期后落在迈阿密，到了普林斯顿高等研究院。那一年 11 月 26 日他投出一篇六页的论文，给高斯–博内公式在任意偶数维闭黎曼流形上一个不借嵌入的内蕴证明（本页第二件）；接下来两三年又有了今天叫陈类的东西（第三件）。1946 年回国，在南京主持中央研究院数学研究所，1948 年当选中研院首届院士；1949 年初携家到美国，先在芝加哥，1960 年起在伯克利。1974 年与西蒙斯合写的那篇给出了陈–西蒙斯形式；1981 年他出任伯克利数学科学研究所的首任所长，1985 年又在南开办起数学研究所。2004 年获首届邵逸夫数学奖，同年 12 月 3 日卒于天津。

他的博士论文单行本封面，1936 年 4 月印行 · 《汉堡大学数学讨论班论丛》第 11 卷第 3/4 期抽印本，阿廷、布拉施克、赫克主编，莱比锡托伊布纳出版 · 题为《微分几何的拓扑问题 62：r 维流形在 R_2r 中所成三织的不变量理论》，右上角印着「作者敬赠」· Wikimedia Commons，公有领域（纯文字的书页）

生平

1911
生于浙江嘉兴
10 月 26 日。
1926
进南开大学
十五岁；跟姜立夫学数学，1930 年毕业。
1930
清华大学研究院
读射影微分几何。1932 年布拉施克来北平讲学。
1934
到汉堡
清华公费留学，跟布拉施克。
1936
博士论文印行
4 月，《汉堡大学数学讨论班论丛》第 11 卷：三织的不变量理论。见本页第五件。
1936
巴黎，埃利·嘉当
1936 年秋起一年，学活动标架与外微分式。
1937
清华教授
抗战中随校南迁，1938 至 1943 年在昆明西南联合大学。1939 年在昆明与郑士宁结婚。
1943
普林斯顿高等研究院
搭美军飞机经非洲、南美到迈阿密，走了一个星期。见本页第六件。
1944
高斯–博内公式的内蕴证明
《数学年刊》第 45 卷第 747–752 页，1943 年 11 月 26 日收稿。见本页第二件。
1946
《埃尔米特流形的示性类》
《数学年刊》第 47 卷第 85–121 页：今天叫陈类的那组示性类。同年 3 月回国，在南京主持中央研究院数学研究所。见本页第三件。
1948
中央研究院首届院士
年底离开南京，1949 年 1 月 1 日到美国。
1949
芝加哥大学
1950 年在哈佛的国际数学家大会上作一小时报告《纤维丛的微分几何》。
1960
伯克利
加州大学伯克利分校，此后一直在那里，1979 年退休。
1966
运动公式的一般形式
《数学与力学杂志》第 16 卷：任意维欧氏空间里一对子流形的运动公式。见本页第四件。
1974
陈–西蒙斯形式
与詹姆斯·西蒙斯合写《示性形式与几何不变量》，《数学年刊》第 99 卷。
1981
伯克利数学科学研究所
首任所长。
1985
南开数学研究所
在天津南开大学成立，他任所长。
2004
卒于天津
12 月 3 日。同年获首届邵逸夫数学奖。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

箭头绕一圈回来，转了一个角

在球面上拿着一支箭头「不转」地走一圈纬线，回到起点它却转过了一个角——这个角恰是那圈纬线围住的面积。「不转」是什么意思，就是联络要回答的事。

\Delta\alpha = \iint_D K\,dA = 2\pi(1-\cos\theta_0)

平面上把一支箭头平移一圈，回来还是原样；曲面上没有「平行」可言，得先规定怎样才算没转。1917 年列维-奇维塔给了一个规定（平行移动）；嘉当把它写成活动标架的语言：每一点放一对单位正交向量 e₁、e₂，走一小步时标架怎么转，由一个一次微分式 ω₁₂ 记着。陈省身 1944 年那篇第 1 节开头就是这几行：「按照嘉当，我们在每一点附上一个标架……列维-奇维塔的平行性由形如 de_i = ω_ij e_j 的方程给出」。二维时只有 ω₁₂ 这一个量，而它的外微分就是高斯曲率乘面积元（差一个正负号的约定）——所以沿一条闭路搬一圈，箭头相对原样转过的角等于这条路围住的曲率之和。单位球上 K ≡ 1，这个角就是面积。演示里拿嵌在空间里的球面，把纬圈切成两万段短弦逐段搬，沿余纬 θ₀ 走一圈：相对当地的东、北两个方向，箭头转过 360°·cos θ₀；东、北方向自己绕一圈也转了 360°，两者之差 360°·(1 − cos θ₀) 就是面积 2π(1 − cos θ₀) 换成度。同一个数在地面上看得见：傅科摆的摆动面每天相对地面转过 360°·sin(纬度)，巴黎先贤祠那一架约 31.8 小时一圈。

纬度 48.85°

北纬 48.85° 这一圈围住的面积是 1.552013，箭头搬一圈回来差 88.9238°，折成弧度正是这个面积；傅科摆在这里每 31.79 小时转满一圈。

镇馆之宝 · 亲手玩

曲率全被赶到了零点上

在曲面上铺一个单位向量场，除了零点处处有定义；曲率的积分借斯托克斯公式全挤到零点周围那几个小圈上，每个零点交出 2π 乘它的指数——加起来就是欧拉示性数，与曲面怎么揉都无关。

\int_M K\,dA = \lim_{\varepsilon\to 0}\sum_{X(p)=0}\oint_{|x-p|=\varepsilon}\omega_{12} = 2\pi\sum_{X(p)=0}\operatorname{ind}_p X = 2\pi\chi(M)

闭曲面上 ∫K dA = 2πχ 十九世纪就有了；难的是高维。按他 1944 年那篇引言的交代：阿伦多弗与芬切尔各自把公式推到了能嵌进欧氏空间的闭流形，阿伦多弗与韦伊 1943 年推到一般的闭黎曼流形，但证明里仍要把一小块一小块嵌进欧氏空间。他要的是不借任何嵌入的证明，而引言说「这个证明的想法非常简单」：从流形 R 走到它的单位切向量组成的 2n − 1 维流形 M 上，在那里曲率式 Ω 恰是另一个式子 Π 的外微分；再在 R 上铺一个只有孤立奇点的单位向量场，它的像是 M 里的一片 n 维子流形 V，Ω 在 R 上的积分等于在 V 上的积分，斯托克斯公式把它换成 Π 在 V 的边界上的积分——而 V 的边界恰对应向量场的那些奇点，它们的指数之和是 χ。演示是这一招在旋转面上的缩影：沿经线的向量场只在两极为零，曲率从北极累加到任一纬圈，恰等于 2π(1 − dr/ds)，积到南极就是 4π；揉出凹坑、鼓包，K 处处在变，那条累加曲线也跟着变形，终点纹丝不动。环面上那个场没有零点，总和就是 0。

拨鼓包的大小和位置，看曲率怎样重新分布、累加曲线的终点动不动；换成环面再看

鼓包 0.50位置

曲率被揉到哪里都行，累加曲线跟着变形，可终点总是 4.000000π：从北极出发的那一段恰等于 2π(1 − dr/ds)，而两极处 dr/ds 只能是 +1 与 −1——两个零点各交出 2π，加起来是 2π × 欧拉示性数 2。

积分出来只能是整数

球面上一个圆周丛的联络怎么揉都行，曲率在哪儿浓、在哪儿淡都能改；可把曲率在整个球面上积起来除以 2π，永远是同一个整数。

c_1 = \frac{1}{2\pi}\int_{S^2} F = n \in \mathbb{Z}

1946 年《数学年刊》第 47 卷那篇《埃尔米特流形的示性类》，给复向量丛定义了一串示性类，今天叫陈类；做法与第二件一脉相承——拿联络的曲率拼成微分式，它的上同调类与联络的选择无关，而且是整系数的。最简单的情形是一个圆周丛。三十年后他在一篇题为《圆周丛》的讲稿里这样说这条定理：「微分式是连续的对象，示性类却带整系数，这条定理说的是连续与离散之间的一种关系」；同一篇接着讲到物理——1931 年狄拉克把非平凡的圆周丛与可能存在的磁单极子联系起来，磁荷的量子化就是这个整数；1975 年吴大峻与杨振宁指出规范场就是纤维丛上的联络。演示里的丛是 n 号单极子：北半球、南半球各用一套规范，赤道上两套差一个绕 n 圈的相位。再叠上一个整体的改动（一个鼓包），曲率密度可以局部变负，从北边与南边各算一次绕纬圈的相位也都跟着变，可两者之差始终是 2π 的 n 倍——整个球面上的积分用高斯–勒让德求积算到十二位，是 1.000000000000、2.000000000000。

n = 1揉一揉 ε = 0.08纬圈 θ = 1.20

曲率可以挪到任何地方、甚至局部变负，可整个球面上的积分除以 2π 算出来是 1.000000000000：北、南两套规范给同一条纬圈算出的相位差 1.000000，只能是整数——连续的曲率，离散的类。

随手扔下去，碰上的机会

把一块形状随手扔到另一块上（位置、方向都随机），两块碰上的机会只由两者的面积与周长决定：2π(A₁ + A₂) + L₁L₂——形状细节一概无关。

\int \chi(D_1 \cap g D_2)\,dg = 2\pi(A_1 + A_2) + L_1 L_2

积分几何问的是「所有位置、所有方向平均起来」的量。他 1966 年《论积分几何里的运动公式》开头交代了这门学问的来历：运动密度（也就是运动群上的不变测度）最早是庞加莱引进的；三维欧氏空间里一块区域 D₂ 随机运动、与固定的 D₁ 相交，交集的欧拉示性数对所有位置积分，只由两块的体积、表面积、平均曲率积分与示性数拼出来——这是布拉施克的运动公式；「它由严志达与作者推广到 n 维欧氏空间」，桑塔洛推广到非欧空间。平面上那一条是布拉施克一派三十年代的成果：凸的 D₁、D₂ 相交时交集的示性数是 1，于是「碰上」的测度等于 2π(A₁ + A₂) + L₁L₂。演示拿一个 3 × 1 的长方形（A = 3、L = 8）当靶，往上扔半径 ½ 的圆盘、边长 1 的正三角形或长 1 的针，位置在框里均匀取、方向在 0 到 2π 均匀取，框的面积乘 2π 乘命中比例就是测度的估计。扔二十万次：圆盘估出 48.937 ± 0.018，公式 48.917；三角形 45.538 ± 0.049 对 45.570；针 34.845 ± 0.052 对 34.850——都在一两个标准误以内。针那一档与蒲丰投针是同一类问题。1966 年那篇做的是一般情形：任意维空间里两块任意维的子流形。

扔二十万次，估出 34.845 ± 0.052，公式给 34.850：碰上的机会只由两块的面积与周长决定，形状的其余细节一概不管。

六边形合不拢

平面上三族曲线织成一张网，沿着它们轮流走六步，有的网回得到起点，有的差一点——差的那一点就是这张网的曲率。他的博士论文就在算这种网的不变量。

\frac{\partial^2}{\partial x\,\partial y}\ln\frac{f_x}{f_y} = 0 \iff \text{六边形处处闭合}

织几何是布拉施克在汉堡带起来的一个题目：平面上三族曲线，每一点恰有每族的一条经过，叫一张三织。三族平行线是最平凡的织；可哪些织「本质上」就是三族平行线，只是换了坐标？判据是一个六边形：从经过原点的一条叶子上出发，横着走到第三族那片叶子、竖着走到横轴、再沿第三族回到竖轴……六步之后闭合，这张织才是平的（布拉施克与汤姆森二十年代末）。用坐标说，横线、竖线加上 f(x, y) = 常数这一族，六边形处处闭合当且仅当 ln(f_x/f_y) 对 x、y 的混合偏导恒为零——这个量就是织的曲率。演示取 f = x + y + k·x²·y：k = 0 时是三族平行线，闭合；k ≠ 0 时原点处曲率是 2k，缺口按六边形尺寸 a 的三次方变小，缺口 / a³ 趋向 2k（k = 0.2 时 a = 0.4、0.2、0.1 依次是 0.4518、0.4116、0.4028）。他 1936 年的论文把这套从平面推到高维：肖像位上那张封面的副题写的是「r 维流形在 2r 维空间里所成三织的不变量理论」。

k = 0.60六边形大小 a = 0.30

k = 0.60 时六步之后差了 4.035×10⁻²；把六边形缩小，缺口按 a 的三次方变小，缺口 ÷ a³ 趋向原点处的曲率 2k = 1.20。

从昆明到普林斯顿

1943 年他在昆明教了五年书，搭美军的飞机绕过半个地球到普林斯顿；三个多月后投出的那篇六页的论文，把局部的曲率与整体的拓扑接了起来。

抗战那几年，清华、北大、南开并成西南联合大学，搬到昆明；他在那里教微分几何。1943 年夏他得到去普林斯顿高等研究院的机会，据 MacTutor 的传记，他搭一架美军飞机从加尔各答起飞，经非洲与南美，走了一个星期才到迈阿密。在普林斯顿他与韦伊重新接上了头——韦伊刚与阿伦多弗做完高斯–博内公式在一般闭黎曼流形上的推广；据后来的传记，两人谈到这个问题还缺一个内蕴的证明。《数学年刊》上那篇的收稿日期印着 1943 年 11 月 26 日，离他到普林斯顿只有三个多月；1944 年 7 月 13 日他又向美国科学院院刊递交了一篇短文，把积分公式推广到球丛的示性类上，署名单位写的是「普林斯顿高等研究院与昆明清华大学」。那篇 1944 年的论文第一段就把前人一一交代：阿伦多弗、芬切尔、阿伦多弗与韦伊；接着说自己的用意，是「借流形上的向量场理论，给出这条公式的一个直接的内蕴证明」。后来的整体微分几何、示性类与规范场的数学，都从这几页里的两个想法长出来：把问题搬到单位切向量组成的那个丛上去做，以及曲率式在那里变成一个微分式的外微分。

故事展签

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1944：高斯–博内公式推到任意偶数维，曲率的积分等于欧拉示性数→示性类把局部的曲率与整体的拓扑接起来，成了几何与拓扑的共同语言→弦论与量子场论里的拓扑荷、反常，都用这类曲率积分来算

1946：陈类——联络的曲率积出来是整数→1982 年量子霍尔效应里电导的那个整数，一年后被认出就是一个陈数→拓扑绝缘体等拓扑材料的分类，与量子计算里设想的拓扑量子比特

纤维丛上的联络与曲率→1975 年吴大峻与杨振宁把规范场逐条对应到纤维丛的语言→标准模型里的每一种相互作用都是某个丛上的一个联络

1974：陈–西蒙斯形式→1989 年威滕用它写出一个拓扑量子场论，从中读出纽结的琼斯多项式→分数量子霍尔效应的有效理论与拓扑量子计算的方案

布拉施克的运动公式推到任意维（先与严志达合作，1966 年推到任意维的子流形）→积分几何与几何概率：随机投放估计面积、周长与曲率积分→计算几何与体视学：从随机切片与随机投针估计体积和表面积

语录

「目前这个证明背后的想法非常简单，所以先作一个简短的概述也许有帮助。」
—— 《闭黎曼流形高斯–博内公式的一个简单的内蕴证明》引言，《数学年刊》第 45 卷第 747 页（1944）；据原文译出

「微分式是连续的对象，而示性类带整系数，这条定理表达的是连续与离散之间的一种关系。」
—— 《圆周丛》讲稿第 1 节（1976 年前后，文中说「惠特尼 1935 年创造『球丛』这个名字至今已 41 年」）；据原文译出

「他对我的影响，怎么说都不为过。」
—— 说布拉施克；据 MacTutor 传记所引他的回忆，大意