数学群星MATHEMATICAL LUMINARIES

Laurent Schwartz · 1915–2002

洛朗·施瓦茨

物理学家嘴里那个「在零点无穷大、积分等于 1」的 δ，他给了它一个站得住的身份：不是函数，是作用在光滑函数上的泛函——从此每一个都能求导

T′(φ)=− T(φ′),y′=δ,δ(φ)=φ(0)T'(\varphi) = -\,T(\varphi'),\qquad y' = \delta,\qquad \delta(\varphi) = \varphi(0)
1945 年那篇的式 (5) 与第一个例子：广义函数 T 的导数定义为把 φ 送到 −T(φ′) 的泛函；阶跃 y 的导数恰是狄拉克的 δ。刊于《格勒诺布尔大学年鉴》第 21 卷第 57–74 页，卷上印 1945，据 1950 年玻尔的颁奖词实际印出于 1948。注意：他不是写施瓦茨不等式、施瓦茨–克里斯托费尔映射的那位 H. A. 施瓦茨（1843–1921），两人没有亲属关系

洛朗·施瓦茨 1915 年 3 月 5 日生于巴黎，父亲是外科医生，母亲出自德布雷家；据 MacTutor 的传记，阿达马的妻子是他外祖母的妹妹。十一岁得过小儿麻痹，好了之后一辈子体弱。中学里他的拉丁文拿过全国会考第一，最后听了舅舅与老师的劝选了数学。1934 年进巴黎高等师范学校，1935 年与保罗·莱维的女儿玛丽-埃莱娜订婚，1938 年成婚；莱维教给他的概率论与泛函分析，成了他一生的主题。1937 年通过教师资格考试，服兵役到 1940 年 8 月。法国沦陷之后，他作为犹太人、又是托洛茨基派，靠一个假名「洛朗-马里·塞利马丹」躲着过日子；1943 年在迁到克莱蒙费朗的斯特拉斯堡大学以《指数和的研究》取得博士学位，论文里谢了瓦利龙，也谢了「引导并丰富了我数学成长的」阿达马与莱维。1944 年的一个失眠之夜，他想出了广义函数（见本页第六件）。1944–45 学年他在格勒诺布尔理学院任教，1945 年起在南锡任教授，学生里有马尔格朗日、J.-L. 利翁斯、布吕阿与格罗滕迪克。

第一篇文章《函数、求导与傅里叶变换概念的推广及其数学与物理应用》登在《格勒诺布尔大学年鉴》第 21 卷上，十八页，不带证明，本页五件演示都出自这一篇；1949 年他在温哥华的第一届加拿大数学大会上讲过一轮，两卷本《广义函数论》1950、1951 年出版。1950 年 8 月 30 日，他在哈佛的国际数学家大会上与塞尔伯格同获菲尔兹奖。1953 年回巴黎大学，1959 到 1980 年在综合理工学院任教。他一生的政治立场与数学一样鲜明：1957 年他指导的学生莫里斯·奥丹在阿尔及尔被法军伞兵绑走、酷刑致死，他为奥丹的论文主持了缺席答辩；1960 年签署反对阿尔及利亚战争的《121 人宣言》，被撤掉综合理工的教职，两年后复职。他晚年还写了随机微分几何与半鞅方面的书。他收集蝴蝶，标本两万多只。2002 年 7 月 4 日卒于巴黎。本馆另有一位施瓦茨（H. A. 施瓦茨，1843–1921，魏尔斯特拉斯的学生，见皮亚诺那一页），与他不是一个人。

洛朗·施瓦茨肖像
《函数、求导与傅里叶变换概念的推广及其数学与物理应用》首页，《格勒诺布尔大学年鉴》第 21 卷第 57 页 · © Annales de l'université de Grenoble，Numdam 数字化。他没有一张许可与尺寸都合用的照片，这里放他自己的那一页：开场一段写物理学家把阶跃 y(x) 的导数叫作「狄拉克函数」y′(x) = δ(x)，而这种「语言的滥用」与通常的函数概念不相容；页脚写着这些想法他在 1946 年 1–4 月法兰西公学院的佩科讲座上讲过。本页五件演示都出自这一篇

生平

  1. 1915
    生于巴黎

    3 月 5 日。

  2. 1934
    入巴黎高等师范学校

    次年与保罗·莱维的女儿玛丽-埃莱娜订婚，1938 年成婚。

  3. 1943
    《指数和的研究》

    斯特拉斯堡大学（战时迁在克莱蒙费朗）的博士论文。那几年他用假名「洛朗-马里·塞利马丹」躲避搜捕。

  4. 1944
    广义函数

    一个失眠的夜里想通，第二天跑去讲给住在隔壁的亨利·嘉当听（据他的自传）。见本页第六件。

  5. 1944–45
    格勒诺布尔

    在格勒诺布尔理学院任教一年；此后到南锡任教授。

  6. 1946年1–4月
    佩科讲座

    在法兰西公学院讲广义函数（据 1945 年那篇首页的脚注）。

  7. 1948
    第一篇文章印出

    《格勒诺布尔大学年鉴》第 21 卷第 57–74 页，卷上印 1945。见本页第一到第五件。

  8. 1950
    菲尔兹奖；《广义函数论》第一卷

    8 月 30 日，哈佛的国际数学家大会开幕式上由哈拉尔德·玻尔颁发，同获者塞尔伯格。第二卷 1951 年出版。

  9. 1957
    奥丹事件

    他的学生莫里斯·奥丹在阿尔及尔被伞兵绑走、酷刑致死；他为奥丹的论文主持了缺席答辩。

  10. 1960
    《121 人宣言》

    签名反对阿尔及利亚战争，被撤去综合理工学院的教职，两年后复职。

  11. 2002
    卒于巴黎

    7 月 4 日。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

δ 不是函数：它只回答作用在 φ 上得多少

物理学家说 δ 在零点无穷大、别处为零、积分等于 1——没有哪个函数是这样的。他换了问法：不问 δ 在 x 处等于几，只问它作用在一个光滑函数 φ 上得多少。答案是 φ(0)。

δ(φ)=φ(0)\delta(\varphi) = \varphi(0)

1945 年那篇的第一段就把话挑明：物理学家惯于把阶跃 y(x)（x ≤ 0 时为 0、x > 0 时为 1）的导数叫作「狄拉克函数」δ(x)，零点以外为 0、零点处为 +∞、全线积分为 1——这样的「语言的滥用」与通常的函数概念根本不相容，可它在电学、拉普拉斯与傅里叶变换、波动力学里「一直帮着大忙」。第 58 页他给出出路：「δ(x) 不是一个函数，它是一个测度，或者说质量分布，而且是特别简单的一种：原点上放着一个 +1 的质量。」要描述一个质量分布，不必说它在每一点等于几，只要说它对每一个连续、只在有限一段上不为零的 φ 给出多少——δ 给出 φ(0)。第 60 页的定义 2 把这一步推到头：一个广义函数（distribution，这个词就是借「质量分布」来的）是定义在全体「无穷次可导、在有界集外为零」的 φ 上的连续线性泛函；普通的函数 f 是其中一员，它给出 f 乘 φ 的积分。演示拿两串函数去逼 δ。高斯那一串越来越窄，逐点看在零以外趋于 0、零处趋于无穷，没有哪个函数是这个极限；振荡的 sin(x/ε)/(πx) 更糟，它在 x = 0.3 处的值，ε = 0.1、0.03、0.01、0.005 时依次是 0.150、−0.577、−1.05、−0.323，永远在 ±1.06 之间打转。可两串一交给 φ，就都落到 φ(0)：φ 的中心取 0.3 时 φ(0) = 0.93550699，ε = 0.01 时高斯那一串差 8.3 × 10⁻⁵，振荡那一串只差 3.1 × 10⁻⁷。逐点的极限不存在，作用在 φ 上的极限存在——广义函数要的是后一种。

ε = 0.0257：振荡那一串在 0 处高 12.38，作用在 φ 上得 0.93559451，φ(0) = 0.93550699。它在 x = 0.3 处永远来回摆，逐点看没有极限；可一交给 φ，就稳稳落到 φ(0)。

镇馆之宝 · 亲手玩

每一个都能求导：阶跃的导数是 δ

对光滑的 f，分部积分给出 ∫ f′φ = −∫ f φ′；他把这条等式反过来当定义。φ 永远可导，于是每一个广义函数都能求导、求任意多次——阶跃的导数就是 δ，一处跳，变成那里的一个质量。

T′(φ)=−T(φ′),f′={f′}+∑k(f(xk+)−f(xk−)) δxkT'(\varphi) = -T(\varphi'),\qquad f' = \{f'\} + \sum_k \big(f(x_k^+) - f(x_k^-)\big)\,\delta_{x_k}

1945 年那篇第 61 页，他先对一个连续可导的 f 做一次分部积分：φ 在一个有界集之外为零，边界项没有，于是 f′ 乘 φ 的积分等于 −f 乘 φ′ 的积分。这条对一切光滑的 f 都成立的等式，他反过来拿去当定义（他的式 (5)）：任何一个广义函数 T，它的导数就是把 φ 送到 −T(φ′) 的那个泛函。φ 本来就无穷次可导，这一步永远做得下去——「于是每一个广义函数都无穷次可导」，每一个在有界区域上可积的函数也一样。第 62 页的第一个例子就是开篇那个阶跃：y′ 恰好是狄拉克的 δ，y″ 是 δ′，「一个矩为 −1 的偶极子」。他点出这种求导的好处：通常的导数在 x = 0 两侧都是 0，从里面看不出那里曾经跳过；在这里，那一跳完整地留在原点那个 +1 的质量里。例 2° 给出一般的规则：分段无穷次可导的 f，一阶广义导数等于通常的导数，加上各分点上等于跳量的点质量；二阶等于通常的二阶导数，加上矩为「f 的跳量的相反数」的偶极子，再加上等于 f′ 的跳量的点质量。演示把这条规则与定义并排算。「三段拼接」那个函数在 x = −1 处跳 +1.054649、在 x = 1 处跳 −1.2；φ 取中心 0.4、半宽 1.2 时，按定义得 −0.56146492，按规则是通常导数那部分的 0.29837265 加上两处跳的 −0.85983757，两边相差不到 10⁻¹³；二阶是 −0.83090706 = 1.0161514 − 1.8470585。|x| 的二阶导数全在原点：2φ(0)。这不是凭空起的念头：亥维赛十九世纪末的算子演算、狄拉克 1927 年的量子力学都早把 δ 当工具用；1935–36 年索伯列夫解双曲方程的柯西问题时，已经把广义解写成作用在光滑紧支撑函数上的泛函（据通行的分析史）。他做成的，是把这些零散的用法收进一个定义里，并让求导在里面永远可行。

选一个函数、选一阶或二阶，拖动试验函数 φ：左边按定义把导数挪到 φ 上算，右边按规则把通常的导数与分点上的质量、偶极子加起来，两个数逐位相同

阶跃的一阶广义导数作用在 φ 上：按定义 0.882497，按公式 0.000000 + 0.882497 = 0.882497。第二项来自分点：只看通常的导数，这一块就丢了。

一个鼓包：光滑到底，又只占一小段

试验函数要无穷次可导、又在一段之外恒为零——exp(−1/(1 − t²)) 就是一个。可它的傅里叶变换在整条轴上都有值，于是他另立了一个「速降函数」的空间 S，让傅里叶变换在里面自己到自己。

ψ(t)=e−1/(1−t2) (∣t∣<1),S={f:sup⁡∣xaf(b)(x)∣<∞},F(S)=S\psi(t) = e^{-1/(1-t^2)}\ (|t|<1),\qquad \mathcal S = \{f : \sup |x^a f^{(b)}(x)| < \infty\},\quad \mathcal F(\mathcal S) = \mathcal S

「无穷次可导、在一个有界集外为零」——1945 年那篇第 60 页的定义 1 把试验函数的条件写成这一句，那个空间他记作花体的 D。这样的函数存在，而且好造：ψ(t) = exp(−1/(1 − t²))，|t| < 1，外面补 0。它在 ±1 处每一阶导数都平平地落到零：t = 0.95 处 ψ 只有 3.5 × 10⁻⁵，t = 0.99 处只有 1.5 × 10⁻²²。条件放得这么严，是为了让上一件那一步永远做得下去：T′(φ) = −T(φ′) 要求 φ′ 仍然是试验函数。可 D 里的函数做傅里叶变换就出了圈子——一个不恒为零、只在有限一段上不为零的函数，它的傅里叶变换不可能也只在有限一段上不为零。演示右边画出 ψ 的变换 Ψ(ξ) 的大小：ξ = 100 处 2.2 × 10⁻⁶，200 处 2.5 × 10⁻⁸，400 处 1.4 × 10⁻¹¹，在整条轴上都有值。它比任何 1/ξⁿ 都降得快（不光滑的方盒子只按 1/ξ 降；ξ⁸ 乘上它，最大也只有 8.2 × 10¹⁰，在 ξ ≈ 210 处），却又慢于任何 e 的负 cξ 次方——大致按 e 的负 √ξ 次方降。所以要谈傅里叶变换，他另立了一个空间（记作花体的 S）：连同各阶导数、乘上任何多项式都还有界的函数，今天叫速降函数，或者施瓦茨函数。高斯 exp(−x²) 不在 D 里（它哪儿都不为零），却在 S 里，而它的变换还是高斯。1950 年国际数学家大会上他讲《核的理论》，会刊第一卷第 225 页写着：傅里叶核「是 (S) → (S)、(S′) → (S′)……L² → L²」。S′ 里的东西今天叫缓增广义函数：δ 在里面，它的变换是常数 1；一把狄拉克梳子的变换还是一把梳子（见第五件）。

ψ 只在 (−1, 1) 上不为零，它的傅里叶变换 Ψ 却在整条轴上都有值：ξ = 100 处 |Ψ| = 2.24×10⁻⁶，而没有光滑性的方盒子是 2.00×10⁻² 这个量级。把 D 换成速降函数的 S，傅里叶变换才是自己到自己。

一条式子管完所有的势

三维里 Δ(1/r) = −4πδ。于是对任何一种电荷 T——点、偶极子、面上的一层——势都是 T 与 1/r 的卷积，而且 ΔU = −4πT。他写：这是经典的泊松公式，「可它在这里对随便什么层的势都成立！」

Δ1r=−4πδ,UT=1r∗T ⟹ ΔUT=−4πT\Delta\frac{1}{r} = -4\pi\delta,\qquad U_T = \frac{1}{r} * T\ \Longrightarrow\ \Delta U_T = -4\pi T

1945 年那篇第 69–70 页，他挑了一个「特别能显出这套形式好处」的应用：泊松的势论公式与里斯分解。三维空间里 1/r 在原点以外调和，它的拉普拉斯在广义函数里是一个集中在原点的负质量，他算出 Δ(1/r) = −4πδ——「在合成运算里，−Δ/4π 与 1/r 互为逆」。合成（今天叫卷积）里 δ 是单位元，求导就是与 δ 的导数做卷积，于是对任何一个支撑有界的广义函数 T，势 U = (1/r) * T 立刻满足 ΔU = −4πT。「这是经典的泊松公式。可它在这里成立，不只对连续的单层的势，而是对随便什么层的势！」泊松 1813 年给的是连续密度那一版，格林 1828 年的格林函数是同一类想法，这两位馆里都在。紧接着两行：一个上调和函数 S，ΔS 是一个负测度 −4πμ，S 减去 μ 的势就调和——这就是里斯分解，他说「证明变成了几行代数的书写」。今天把满足 ΔE = δ 的 E 叫作拉普拉斯方程的基本解：解一次，任何右端都只是一次卷积。演示画在平面上，基本解换成 ln r / 2π。三种电荷：点电荷、偶极子（δ 对 x 的导数，势 x/(2πr²) 在原点像 1/r 一样发散）、圆周上均匀铺开的单层（势在圆周上有棱角，圆里面是常数）。三种势在电荷处都没有二阶导数，可把拉普拉斯算子挪到试验函数 φ 上积出来，恰好就是电荷作用在 φ 上：偶极子、φ 放在 (0.3, 0.1) 时两边都是 −3.4227808（800 × 800 的格子，差 3.6 × 10⁻¹⁰）；圆周单层是 0.10277642 对 0.10277643；φ 整个放在圆里面，两边都是 0——那里的势是常数，没有电荷。

U(Δφ) = −3.4227808，T(φ) = −3.4227808。U 本身在电荷处没有二阶导数，可在广义函数的意义下 ΔU 就是 T。

发散的三角级数，也有了归宿

Σ e^(inx) 在每一点都不收敛。可作用在 φ 上，它收敛到 2π 乘以 φ 在 0、±2π、±4π……上的值之和——一把狄拉克梳子。他证明：系数只要至多按 n 的幂增长，三角级数永远收敛到一个广义函数。

∑n=−∞∞einx=2π∑k=−∞∞δ(x−2πk)(在广义函数的意义下)\sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{inx} = 2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(x - 2\pi k)\qquad(\text{在广义函数的意义下})

同一篇第 71–73 页讲收敛：广义函数的收敛就是「作用在每一个 φ 上都收敛」。这样一来，第 71 页的定理 2 说「求导是连续的线性运算」，级数、积分可以逐项求导而「不必再加任何小心」。他接着写：不论实数 α 取多少，t 的 α 次方乘 e^(itx) 在 t → ∞ 时都趋于 0，「这个例子格外奇怪，因为 α > 0 时这些函数的模趋于无穷」。同理，三角级数 Σ a_n e^(inx) 只要 a_n 至多按 n 的某个幂增长，就在广义函数里收敛；每一个周期 2π 的广义函数都有照常法算出的傅里叶系数，级数收敛回它。「从此不必再保留傅里叶级数与不是傅里叶级数的三角级数之间那种令人烦恼的区分：一个三角级数永远是、而且以唯一的方式是某个广义函数的傅里叶级数。」最简单的例子是系数全为 1：部分和 Σ e^(inx) 逐点看在哪一点都不收敛，x = 0.3 处 N = 10、20、40 时依次是 −0.056、−0.889、−2.71；作用在 φ 上却收敛到 2π 乘以 φ 在 0、±2π……各点上的值之和，这是一把间距 2π 的狄拉克梳子，也就是泊松求和公式。演示里 φ 宽 8、中心放在 2.8，同时盖住 0 与 2π 两根齿，N = 60 时得 2.676637791，极限是 2.676637667。系数取 n² 时收敛到梳子的二阶导数（φ 中心放在 0 时极限恰是 π/4）；系数若按 1.5 的 |n| 次方长，就出了「至多按幂增长」的范围，N = 20、40、60 时依次是 7.07、−2.20、−2888，发散。首创权他自己在页脚写了：博赫纳 1932 年的《傅里叶积分讲义》已经定义过一种推广的傅里叶变换，「本质上就是这一种，但形式远不如这个好使」。

a_n = 1，N = 20：∫ S_N φ dx = 2.67666294，极限 2.67663767。部分和本身在每一点上都不收敛，交给 φ 之后收敛。

失眠的那一夜，和隔壁的嘉当

1944 年的一个夜里，他关着灯躺在床上把广义函数想通了，第二天一早跑去讲给住在隔壁的亨利·嘉当听。嘉当说：「从今往后，再也不会有不可导的函数了。」

他在自传《与世纪搏斗的数学家》（1997 年法文版，2001 年英译）里写过那一夜，下面据 MacTutor 所引的英译：年轻时他常失眠好几个钟头，从不吃安眠药，就关着灯躺在床上，不动笔地做数学，「创造力加倍，走得飞快而不觉得累」，碰上意外的难处就停下睡到天亮。「这一夜我确信无疑，满心兴奋。我一刻没耽搁，跑去把一切讲给住在隔壁的亨利·嘉当听。他很兴奋：『这下你把求导的所有困难都解决了。从今往后再也不会有不可导的函数了。』」那是 1944 年。此前几年他是犹太人、又是托派，靠一个假名躲着过日子；1944–45 学年他在格勒诺布尔理学院任教。第一篇文章登在《格勒诺布尔大学年鉴》上，卷号印的是 1945，可首页的脚注写着「这些想法我在法兰西公学院的课上讲过（佩科讲座，1946 年 1–4 月）」——这一卷实际要到 1948 年才印出来，1950 年玻尔的颁奖词就把它写作 1948 年的文章。那篇颁奖词收在哈佛大会的会刊第一卷里：1950 年 8 月 30 日开幕式上，评委会主席哈拉尔德·玻尔宣布两枚金质奖章给塞尔伯格与他，每人另有 1500 美元。评委会八人，玻尔说「除了柯尔莫哥洛夫教授——我们很遗憾没能得到他宝贵的帮助——全体委员都积极参与了讨论」。玻尔照着施瓦茨自己的例子讲，从那个阶跃讲起，说这篇文章「必将是我们这个时代的经典数学论文之一」，还预言它会进到「大学与工科学校较初等的微积分课」里；他也转述了施瓦茨在《广义函数论》引言里的话：类似的想法前人在各处用过，这一理论远不是「革命性的新东西」，只是「一次综合与简化」。据《卫报》的讣告，他当了十年托派，这段经历几乎让他没能去美国领这枚奖章。

故事展签

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1945：δ 是作用在试验函数上的泛函，每一个广义函数都能求导→工程里的冲激响应有了严格的意思：一个线性、不随时间变的系统，就是和它的冲激响应做卷积→滤波器、均衡与混响：信号处理与通信里每一个数字滤波器的设计
1945：发散的三角级数在广义函数里收敛，Σ e^(inx) 是一把狄拉克梳子→采样就是乘上一把梳子，频谱就被搬出一串副本：采样定理与泊松求和公式是同一件事→MP3 与数字音频、手机通信里的采样与抗混叠滤波器
1945 与 1950：每一个函数都能在广义函数里求导，偏微分方程可以先求「广义解」→索伯列夫 1930 年代的弱导数被收进同一套语言；有限元法先求一个只满足积分形式的弱解，再证明它其实足够光滑→工程仿真与结构分析里的有限元软件，数值模拟的数学底座
1945：Δ(1/r) = −4πδ，任何电荷的势都是它与基本解的卷积→格林函数与基本解成了物理的通用语言：点源的响应一旦求出，任何源都只是一次卷积→量子场论与电磁学里的传播子：物理学家把 δ 与它的导数当日常工具
1950：速降函数空间 S，傅里叶变换在 S 与 S′ 上是自己到自己→缓增广义函数让 δ、常数、梳子都有傅里叶变换，量子力学里的位置与动量本征态有了着落→量子力学的数学表述与信号处理教科书里的傅里叶变换表

他在哪几条专题里

专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写， 全是 tracks.ts 推出来的。

语录

「δ(x) 不是一个函数，它是一个测度，或者说质量分布，而且是特别简单的一种：原点上放着一个 +1 的质量。」

—— 《函数、求导与傅里叶变换概念的推广及其数学与物理应用》第 58 页，《格勒诺布尔大学年鉴》第 21 卷；据 Numdam 所存原刊译出

「这是经典的泊松公式。可它在这里成立，不只对连续的单层的势，而是对随便什么层的势！」

—— 同一篇第 70 页；据 Numdam 所存原刊译出

「从此不必再保留傅里叶级数与不是傅里叶级数的三角级数之间那种令人烦恼的区分：一个三角级数永远是、而且以唯一的方式是某个广义函数的傅里叶级数。」

—— 同一篇第 73 页；据 Numdam 所存原刊译出，大意

「这篇文章必将是我们这个时代的经典数学论文之一。」

—— 哈拉尔德·玻尔 1950 年 8 月 30 日在哈佛国际数学家大会上的菲尔兹奖颁奖词，会刊第一卷；据国际数学联盟所存会刊原文译出，大意