数学群星MATHEMATICAL LUMINARIES

Charles Hermite · 1822–1901

埃尔米特

他证明了 e 不是任何代数方程的根；共轭对称的方阵、连导数一起对上的插值，今天都挂着他的名字

e≈5801921344,e2≈15771221344e \approx \frac{58019}{21344},\qquad e^2 \approx \frac{157712}{21344}
《论指数函数》（1873）里同一个分母同时逼近 e 与 e² 的第三档，误差在千万分位上；原刊把一个系数 73 印作 75，照错的算出来是 58291/21444——见本页第一件

夏尔·埃尔米特 1822 年 12 月 24 日生于洛林的迪厄兹，父亲先在盐矿做工程师、后来经营布店。他右脚有残疾，一生行走不便。中学最后两年在巴黎的路易大帝中学，数学老师里夏尔十五年前教过伽罗瓦；他不大理会考试大纲，自己去圣热纳维耶芙图书馆读拉格朗日论数值方程的书，又用攒下的钱买了高斯《算术研究》的法译本，后来常说「代数主要是在这两本书里学的」。1842 年他在《新数学年鉴》第一卷上登了两篇短文，其中一篇论五次方程不能用根式解；同年年底考进综合理工学院，名次靠后，读了一年便因腿疾被拒于继续学业之外，争回来的条件又太苛刻，他没有从那里毕业。可就在入学后的 1843 年 1 月，他听刘维尔的建议给雅可比写信，谈阿贝尔函数的除法——雅可比回信说，您是从我结束的地方起步的，「今后若蒙您来信，我只有学习的份」。本页第六件讲的是这一段。

1847 年他才拿到学士与执照，次年回到综合理工当辅导教师兼入学考官。1856 年当选科学院院士，同年染上天花，病中受柯西影响皈依天主教。此后四十年他是法国分析与代数的中心人物：1858 年用椭圆模函数解开一般的五次方程（与克罗内克、布廖斯基同年各自得出）；二次型与型的约化是他数论工作的主线，闵可夫斯基的《数的几何》就从他写给雅可比的信出发（见闵可夫斯基那一页）；1869 年接替杜阿梅尔任综合理工与巴黎理学院的分析教授，1876 年辞去前者，在理学院教到 1897 年。1873 年他证明 e 是超越数（本页第一件），九年后林德曼照他的路证出了 π。晚年他与荷兰人斯蒂尔杰斯通信十二年，阿达马在高等师范听过他的课。1901 年 1 月 14 日卒于巴黎。

埃尔米特肖像
巴黎圣日耳曼大道 5 号，尤金·皮鲁照相馆摄，约 1889–1901 年 · 都灵科学院历史档案藏 · Wikimedia Commons，公有领域。照片下方那行手写字是「Ch. Hermite, 24 décembre 1822, Dieuze (Lorraine)」——他的姓名、生日与出生地

生平

  1. 1822
    生于洛林的迪厄兹

    12 月 24 日。都灵科学院藏的那张照片上，他亲笔写着这个日子与地名。

  2. 1842
    《新数学年鉴》上的两篇短文

    其一论五次方程不能用根式解；署名「路易大帝中学学生」。年底考入综合理工学院。

  3. 1843年1月
    第一封信寄给雅可比

    听刘维尔的建议，谈阿贝尔函数的除法；次年 8 月又寄去一封讲椭圆函数的变换。见本页第六件。

  4. 1848
    回综合理工当辅导教师与入学考官

    前一年刚拿到学士与执照——那所学校四年前没让他读完。

  5. 1855
    共轭对称的行列式

    《关于柯西先生一条定理的注记》，《科学院周报》第 41 卷。见本页第二件。

  6. 1856
    当选科学院院士

    7 月 14 日。同年染上天花，病中受柯西影响皈依天主教。

  7. 1858
    用椭圆模函数解五次方程

    五次方程不能用根式解（阿贝尔），却能用椭圆模函数写出根；克罗内克、布廖斯基同年也各有所得。

  8. 1863
    七个字母的函数

    《科学院周报》第 57 卷：换位写成模 p 的多项式，以及它的特征性质。见本页第四件。

  9. 1864
    一种新的级数展开

    《科学院周报》第 58 卷：从 e 的负 x 平方次方的逐阶导数造出一族多项式。见本页第五件。

  10. 1869
    接替杜阿梅尔任分析教授

    综合理工与巴黎理学院两处；综合理工那一席 1876 年辞去。

  11. 1873
    《论指数函数》：e 是超越数

    《科学院周报》第 77 卷，分四期登完。见本页第一件。

  12. 1878
    带导数的插值公式

    给博尔夏特的信，登在《克雷尔杂志》第 84 卷。见本页第三件。

  13. 1882
    林德曼证明 π 是超越数

    走的是他 1873 年那条路；他自己那年写信说不会去冒这个险。

  14. 1882–1894
    与斯蒂尔杰斯通信

    1905 年由巴约与布尔热编成两卷出版，皮卡作序。

  15. 1901
    卒于巴黎

    1 月 14 日。四卷《全集》1905–1917 年由皮卡编成。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

同一个分母，同时逼近 e 与 e²

5/2 与 7、337/124 与 916/124、58019/21344 与 157712/21344——分母相同的分数越逼越紧，紧到 e 不可能满足任何一个整系数方程。

a+b e+c e2=0  ⇒  aN+bP1+cP2=−(b r1+c r2)→0a + b\,e + c\,e^2 = 0 \;\Rightarrow\; aN + bP_1 + cP_2 = -(b\,r_1 + c\,r_2) \to 0

1873 年下半年，《科学院周报》第 77 卷分四期登出他的《论指数函数》。第一节交代起点：几个数可以用分母相同的分数同时逼近，这是连分数的推广；他要对函数做同一件事——为 e 的 x 次方、2x 次方……找一个共同的分母多项式，让它们一起被逼近到尽可能高的阶。拿这套办法对着 e 与 e² 算，《全集》第三卷第 180–181 页给了三档：5/2 与 7；337/124 与 916/124，「误差只在万分位上」；58019/21344 与 157712/21344，「误差在千万分位上」。演示照他那张九格的系数表逐行递推，前三行与书上逐位相同；再往下接着推，第 7 行的分母已是十六位数，误差到了 10 的负 23 次方。论证的主干是这样的：若 e 满足某个整系数方程 a + b·e + c·e² = 0，乘上分母 N，a·N + b·P₁ + c·P₂ 是个整数，却必须等于一个越来越小的数，到头只能是 0；可相邻三行拼成的行列式不为零，三行不可能都是 0。他用同一套构造对一般的次数证出：e 不是任何整系数代数方程的根。那一页上还有一条编者注：原刊把一个系数 73 印作 75，是布尔热重算改正的，改完精度才到千万分之一——今天常被当作「埃尔米特的逼近」引用的 58291/21444，正是照那个 75 算出来的。同年他写信给博尔夏特：「我不会冒险去找 π 是超越数的证明。让别人去试吧，谁成功了，没有人比我更高兴；可是相信我，亲爱的朋友，那得花他们一番力气。」九年后林德曼沿着他的路把 π 也证了出来。

拨到第几行，看同一个分母下 e 与 e² 的误差怎样缩小；再点一个假想的方程，看那个整数与它「必须等于」的小数差多远

第 3 行：e ≈ 58019/21344，偏差 −3.44e-7；e² ≈ 157712/21344，偏差 −6.27e-7。假如那个方程成立，整数 −78349 就得等于 0.006029——不可能，除非它是 0。

共轭对称的方阵，根全是实数

对角线两侧的元素互为共轭时，行列式由虚数组成却是实数，特征方程的根也全是实数——今天这种矩阵就叫埃尔米特矩阵。

aνμ=aμν‾  ⇒  det⁡(A−θI)=0 的根全是实数a_{\nu\mu} = \overline{a_{\mu\nu}} \;\Rightarrow\; \det(A - \theta I) = 0 \text{ 的根全是实数}

1855 年他在《科学院周报》第 41 卷登了两页的《关于柯西先生一条定理的注记》，第一句先交代首创权：算行星轨道要素的长期不等式要用到一个方程，它的根全是实数，「这第一个一般的证明要归功于柯西先生」——那是元素为实数、关于对角线对称（a_μν = a_νμ）的行列式 Θ。他的注记是：让元素取任意复数，只要对称位置上的两个互为共轭，新的行列式 Ω「本质上是实的，虽然由虚数组成」——把 √−1 换成 −√−1，恰好等于把行与列互换，行列式不变；而且方程 Ω = 0「保留着 Θ = 0 那条如此可贵的性质：它的根全是实数」。他说这条注记是柯西先生「好意鼓励我向科学院报告」的。同一页他另给了一条规则，用左上角一串主子式数出两界之间有几个根。这类共轭对称的「型」随后成了他研究数论的工具，今天这种矩阵叫埃尔米特矩阵，它的共轭转置叫埃尔米特共轭。演示是一个 3×3 的例子：对角线 2、0、−1，a₁₂ 在左边的复平面上拖。共轭对称那一档，三个根始终躺在实轴上（a₁₂ = 1 + 0.8i 时是 −2.4766、0.5974、2.8792），行列式是实数 −4.26；换成只对称、不取共轭，根立刻离开实轴，行列式成了 4.06 + 3i。七十多年后，量子力学把每一个可观测量写成这样的矩阵或算子——测得出来的数必须是实数，靠的就是这一条。

a₁₂ = 1.00 + 0.80i。三个根 -2.4766、0.5974、2.8792 全是实数，行列式 −4.2600 也是实数。

连导数一起对上

在几个点上，不光函数值、连前几阶导数也一起对上：一个点对上 n 阶就是泰勒，n 个点各对一次就是拉格朗日，他把两头写进了同一条公式。

f(x)=F(x)+12πi∮Φ(x) f(z)(z−x) Φ(z) dz,Φ(x)=(x−a)α(x−b)β⋯f(x) = F(x) + \frac{1}{2\pi i}\oint \frac{\Phi(x)\,f(z)}{(z-x)\,\Phi(z)}\,dz,\quad \Phi(x) = (x-a)^{\alpha}(x-b)^{\beta}\cdots

1878 年他写给博尔夏特的一封信登在《克雷尔杂志》第 84 卷，题为《论拉格朗日插值公式》。他要找一个 n − 1 次多项式 F，在 a 点与给定函数 f 的值和前 α − 1 阶导数都相同，在 b 点前 β − 1 阶都相同……α + β + … + λ = n。办法是一条围道积分：令 Φ(x) = (x − a) 的 α 次方乘 (x − b) 的 β 次方……，则 f(x) = F(x) + (1/2πi)∮ Φ(x) f(z) dz / ((z − x)Φ(z))——F 就是被积函数在 a、b、…… 处的留数之和，第二项就是误差。由这一项他看出误差什么时候随着点数或重数的增加「无限减小」：以各节点为心、过 x 的圆都落在 f 解析的区域里就行；他说这正是证泰勒级数在复数上收敛时对余项用的那种考虑。拉格朗日（每点一重）与泰勒（一点 n 重）是这条公式的两个端点。演示用 1/(1 + x²)：插值多项式不解方程，直接照他那条公式把围道放大到无穷远，只剩 ±i 两个极点的留数；另拿牛顿差商逐点对过。同样 6 个条件，[−1.5, 1.5] 上的最大误差：泰勒 3.505、三个点各两重 0.0971、六个点各一重 0.0465——哪一种好要看函数与节点，他给的是统一的框架。重数一直加上去，误差只在一条带子里收敛：Π|x − a| 小于 Π|i − a| 的地方，三个点时是 |x| < 1.97，带子外面照样发散。今天计算机动画在关键帧之间补运动、字体轮廓的曲线段，用的三次埃尔米特样条就是每点对上值与一阶导数的那一种。

3 个点、每点对上值与前 1 阶导数，共 6 个条件：[−1.5, 1.5] 上最大误差 9.709×10⁻²，[−3, 3] 上 3.882×10⁰。蓝带（|x| < 1.97）以内，重数再加误差就趋于 0；带外离极点 ±i 太近，加得越多越糟。

七个字母的换位，写成一个多项式

把 p 个字母编成模 p 的余数，每一种换位都是一个多项式；他给出了判据：各次幂的和全都 ≡ 0，这个多项式就恰好只是把余数换了个次序。

∑x=0p−1θ(x)n≡0(modp),n=1,2,…,p−2\sum_{x=0}^{p-1} \theta(x)^n \equiv 0 \pmod p,\quad n = 1, 2, \ldots, p-2

1863 年《科学院周报》第 57 卷上的《论七个字母的函数》，是伽罗瓦那一路的题目：七个字母的函数在哪些换位下不变。他先换了一种写法。把 p 个字母编号成模 p 的余数 0, 1, …, p − 1，一个换位 i → θ(i) 就能用拉格朗日插值写成多项式，再用费马的 x 的 p 次方 ≡ x 化简，得到一个次数不超过 p − 2 的整系数多项式。他说它的「特征性质」是：对 n = 2, 3, …, p − 2，θ(0)、θ(1)、…、θ(p − 1) 的 n 次方之和都 ≡ 0 (mod p)——因为这些值不过是 0 到 p − 1 换了个次序，而 1 的 n 次方加到 (p − 1) 的 n 次方本来就 ≡ 0；「反过来，每个满足这些条件、次数为 p − 2 的整系数多项式，都能用来表示一个换位」。这就是今天所说的埃尔米特判据，1896 年迪克森推广到一般的有限域。逆命题要多项式真有 p − 2 次，至少不能是常数：常数的各次幂和也全是 0，却把所有字母送到了同一处。演示取 p = 7。穷举 7 的 6 次方 = 117649 个次数不超过 5 的多项式，恰有 5040 = 7! 个是换位——每一种换位恰好一个多项式；其中 5 次的 4410 个、4 次的 588 个、1 次的 42 个，2 次与 3 次的一个也没有。x⁵ 是一个换位（因为 5 与 6 互素），x² 与 x³ 都不是。模一个数取 e 次方正是 RSA 加密的那一步，它必须是个换位才解得回来；分组密码 AES 里那张字节代换表，核心是 256 元有限域上 x 的 254 次方这个置换多项式。

θ 把 0…6 送到 0 4 1 6 2 3 5，七个各不相同，是一个换位；幂和 n = 1…5 依次 ≡ 0、0、0、0、0。条件与实际去向一致。

高斯钟形求导求出来的一族多项式

把 e 的负 x 平方次方一阶阶求导，每次剩下一个多项式；这一族在整条实轴上两两正交——名字挂他，多项式却早有人用过。

dndxne−x2=e−x2 Un(x),∫−∞∞e−x2UnUn′ dx=0 (n≠n′)\frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2} = e^{-x^2}\,U_n(x),\qquad \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} U_n U_{n'}\,dx = 0\ (n \ne n')

1864 年《科学院周报》第 58 卷上的《论函数的一种新的级数展开》，他记 e 的负 x 平方次方的 n 阶导数为它自己乘上 U_n：U₁ = −2x，U₂ = 4x² − 2，U₃ = −8x³ + 12x……接着列出几条性质：相邻三个满足 U_(n+1) + 2x·U_n + 2n·U_(n−1) = 0；U_n = 0 的根全是实数；以 e 的负 x 平方次方为权，U_n 与 U_(n′) 的积分在 n ≠ n′ 时为零，n = n′ 时是 2·4·6…2n·√π；任一函数都可以照此展开。他说这与勒让德、拉普拉斯那一族多项式「类比最完全」，只是变量不再关在 −1 到 1 之间，要取遍整条实轴。这族多项式本身并不是新的：拉普拉斯 1810 年在概率论里已经用到，切比雪夫 1859 年专门研究过它们的正交与展开；以埃尔米特命名，是因为他这一篇（他自己也把它当作新东西写）。他真正新添的是第二节：φ 是任意多个变量的一个正定二次型，从 e 的负 φ 次方的偏导数造出两族多项式 U 与 V，一族配另一族才正交，V 用的是 φ 的伴随型。演示只演一元的那一族：左边是乘上 e 的负 x 平方的一半次方、长度归一之后的曲线，第 n 条恰有 n 个零点；右边是 0 到 5 阶两两积分的表，每一格都是数值积分现算的，对角线是 1、其余都是 0。1926 年薛定谔解量子谐振子，本征函数正是这一族。

U4 是 4 次多项式，exp(−x²/2)·U4 在实轴上有 4 个零点；它与更低阶的每一个在权 exp(−x²) 下积分都为零。

「是个小拉格朗日」

中学老师说他是个小拉格朗日；他考进综合理工名次靠后，读了一年就因腿疾读不下去——同一年，他写给雅可比的信让雅可比说「今后我只有学习的份」。

据皮卡为《埃尔米特全集》第一卷写的序（1905）：路易大帝中学教他数学专修班的里夏尔，十五年前是伽罗瓦的老师。少年埃尔米特一边上课，一边去圣热纳维耶芙图书馆读拉格朗日的《论数值方程的解法》，又用自己攒的钱买了高斯《算术研究》的法译本，「代数主要是在这两本书里学的」，他后来常这么说。里夏尔有点担心这个学生离考试大纲太远，却对他父亲说过一句父亲未必听得懂的称赞：「这是个小拉格朗日。」1842 年《新数学年鉴》创刊第一卷里有两篇署名「路易大帝中学学生夏尔·埃尔米特」的短文，其中一篇论五次方程不能代数地解——皮卡说那个证明很简单，稍加补充就能成为经典。同年年底他考进综合理工学院，据 MacTutor，名次是第六十八；读完一年，学校以腿有残疾为由不让他继续，经人力争虽然收回成命，附加的条件他不肯接受，于是没有从那里毕业。就在入学后的 1843 年 1 月，他听刘维尔的建议给雅可比写了一封信，讲阿贝尔函数的除法；1844 年 8 月又寄去第二封，讲椭圆函数的变换。雅可比把两封信都收进了自己的著作集，回信里说：「您若发现有些结果与我从前的研究撞上了，请不要介意。您是从我结束的地方起步的，两边免不了有一小片相切之处。今后若蒙您来信，我只有学习的份。」他为学位又考了五年，1847 年才拿到学士与执照；次年，那所没让他读完的学校请他回去当辅导教师与入学考官。晚年他在给斯蒂尔杰斯的信里写过一句常被引的话，说自己「怀着惊恐与厌恶，转身不看那些没有导数的连续函数的可悲的祸害」（1893 年 5 月 20 日；勒贝格那一页讲了它的后话）。那句话在信里的上文，是他刚算完的一组展开式：「这些展开式如此优美，却受了诅咒，它们的高阶导数是毫无意义的级数。分析一只手给出去的，另一只手又收了回去。」

故事展签

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1873：同一个分母同时逼近 e 与 e²，证出 e 是超越数→林德曼 1882 年证 π 超越；这套「同时逼近几个函数」的办法后来叫埃尔米特–帕德逼近→有理逼近成了数值逼近的常规手段：计算器与数学库里算指数、对数的函数，很多是用分式逼近写成的
1855：共轭对称的矩阵，特征值全是实数→冯·诺依曼 1932 年把可观测量写成希尔伯特空间上的自伴算子→量子力学里测得出的每一个量都是这样一个算子的本征值，所以一定是实数
1878：在几个点上连同导数一起插值，余项写成一条围道积分→每点对上值与一阶导数的三次埃尔米特样条→计算机图形与动画在关键帧之间补运动、描字体与路径的曲线段，用的都是它
1863：换位写成模 p 的多项式，各次幂的和全为零就是换位→迪克森 1896 年推广到一般的有限域：置换多项式→RSA 加密的取幂、AES 的字节代换表，都是有限结构上的置换多项式
1864：e 的负 x 平方次方的逐阶导数给出一族正交多项式→薛定谔 1926 年解量子谐振子，本征函数正是这一族→高斯–埃尔米特求积：概率密度是钟形时，用它的零点做数值积分最省点

他在哪几条专题里

专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写， 全是 tracks.ts 推出来的。

语录

「我不会冒险去找 π 是超越数的证明。让别人去试吧，谁成功了，没有人会比我更高兴；可是相信我，亲爱的朋友，那得花他们一番力气。」

—— 1873 年致博尔夏特的信，《克雷尔杂志》第 76 卷第 342–345 页；据《全集》第三卷第 147 页原文译出，大意

「代数主要是在这两本书里学的。」

—— 指拉格朗日《论数值方程的解法》与高斯《算术研究》；据皮卡为《全集》第一卷写的序（1905）所记，他常这样说

「这些展开式如此优美，却受了诅咒……分析一只手给出去的，另一只手又收了回去。」

—— 1893 年 5 月 20 日致斯蒂尔杰斯的信；据《埃尔米特与斯蒂尔杰斯通信集》第二卷原文译出，大意