数学群星MATHEMATICAL LUMINARIES

Jean le Rond d'Alembert · 1717–1783

达朗贝尔

一个被放在教堂台阶上的弃婴，写下了弦的运动方程，把动力学化成了静力学，又把「流体没有阻力」这个悖论留给了后人

y=Ψ(t+s)+Γ(t−s)y = \Psi(t+s) + \Gamma(t-s)
1747 年《张紧的弦振动时所成曲线的研究》第 VII 条：「曲线的一般方程于是就是 y = Ψ(t + s) + Γ(t − s)」——弦上任一点的高度，是一个往左跑的波与一个往右跑的波之和

达朗贝尔 1717 年 11 月 16 日生于巴黎，生下来就被放在巴黎圣母院旁边的圣让勒隆小教堂门口，一般认为他的名字「让·勒隆」就取自这座教堂。据孔多塞的颂词，送到的那位警务官怕这个奄奄一息的孩子在育婴堂里活不下来，把他交给一位信得过的女工去带；几天之后生父知道了，出钱供他生活与读书（据后来的传记，生父是炮兵军官德图什骑士，生母是后来开沙龙的唐森夫人，她一辈子没有认他）。他自己在一篇用第三人称写的自述里说，对那位把他喂大、养到四岁的女人始终心怀感激：刚出学校就搬去与她同住，一住将近三十年，直到 1765 年大病一场，医生劝他换个通风的住处才搬走。1730 年起他在四国学院（马萨林学院）读书，老师们指望他成为又一个帕斯卡；此后学过一年医，最后全身心转向数学。

1741 年他二十三岁进巴黎科学院。1743 年的《动力学论》提出了今天以他命名的那条原理（第四件），1746 年以论风的一般成因获柏林科学院的奖，1747 年写下弦的运动方程与它的通解（第一件），1749 年给岁差与章动一个动力学的解释。1751 年起他与狄德罗合编《百科全书》，第一卷卷首那篇《序论》出自他手，他还管数学与物理的条目。1752 年的《流体阻力新理论》算出了一个与经验相反的结论，1768 年他把它正式作为悖论提给几何学家（第三件）；同一卷里还有比值判别法（第二件）。他与欧拉为弦振动争了许多年，却一次次推荐年轻人：1768 年拉普拉斯带着推荐信来找他，看了拉普拉斯连夜写的力学论文，很快给他安排了军事学校的教职。1762 年俄国女皇叶卡捷琳娜二世请他去给皇子当老师，年俸许到十万里弗尔；1763 年普鲁士国王腓特烈二世留他在宫里住了几个月，请他出任柏林科学院院长——他都谢绝了。1783 年 10 月 29 日卒于巴黎，与欧拉同一年。

达朗贝尔肖像
莫里斯·康坦·德·拉图尔作，粉彩，1753 年沙龙展出（他三十五岁）· 巴黎卢浮宫藏（RF 3893）· Wikimedia Commons（Web Gallery of Art 的影像），公有领域

生平

  1. 1717
    生于巴黎

    11 月 16 日，被放在圣让勒隆小教堂门口。见本页第六件。

  2. 1730
    进四国学院

    马萨林创办的那所学院；老师是冉森派，盼他成为又一个帕斯卡。

  3. 1741
    进巴黎科学院

    二十三岁。此前两年交去论固体折射与论积分学的论文。

  4. 1743
    《动力学论》

    第二部分第一章提出以他命名的原理：失去的运动相互抵消。见本页第四件。

  5. 1746
    柏林科学院奖

    论风的一般成因。同年卷里的《积分学研究》给了代数基本定理的一个证明。见本页第五件。

  6. 1747
    弦振动方程

    柏林科学院《论文集》1747 年卷（1749 年印）第 214–249 页：通解 y = Ψ(t + s) + Γ(t − s)。见本页第一件。

  7. 1749
    岁差与章动

    《岁差与地轴章动研究》：布拉德利前一年报告了章动，他从万有引力把它推了出来。

  8. 1751
    《百科全书》第一卷

    与狄德罗合编；卷首《序论》出自他手。

  9. 1752
    《流体阻力新理论》

    前后对称的物体在无粘流体里受的压力前后抵消。见本页第三件。

  10. 1762
    谢绝叶卡捷琳娜二世

    请他去教皇子，许年俸十万里弗尔；女皇亲笔再请，他仍谢绝。

  11. 1763
    谢绝腓特烈二世

    在普鲁士宫廷住了几个月；国王请他出任柏林科学院院长，他推辞，说柏林院里就有配得上的人。

  12. 1768
    《数学短论集》第五卷

    第三十四篇提出阻力悖论，第三十五篇写下比值判别。同年拉普拉斯来找他。见本页第二、三件。

  13. 1783
    卒于巴黎

    10 月 29 日。欧拉早他六个星期去世。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

镇馆之宝 · 亲手玩

一根弦上，一左一右两个波

弦上任一点的高度，是一个往左跑的波与一个往右跑的波之和——他把这句话写成了一条方程和它的通解。

∂2y∂t2=c2 ∂2y∂s2  ⟹  y=Ψ(t+s)+Γ(t−s)\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = c^2\,\frac{\partial^2 y}{\partial s^2} \;\Longrightarrow\; y = \Psi(t+s) + \Gamma(t-s)

泰勒 1713 年算出了一根弦只振一种样子时的形状（正弦，今人叫法）。达朗贝尔 1747 年那篇第一句就说：「我要在这篇论文里说明，除了伸长旋轮线的伴随曲线之外，还有无穷多种别的曲线满足这个问题。」他设弦上点的高度是时间 t 与位置 s 的函数，按牛顿力学得到：对 t 的二阶变化率与对 s 的二阶变化率只差一个常数——今天叫一维波动方程，一般认为这是最早被写下并解出来的偏微分方程之一。他的解法只用了一步：把两条关系相加、相减，α + ν 只依赖 t + s，α − ν 只依赖 t − s，于是「曲线的一般方程就是 y = Ψ(t + s) + Γ(t − s)」。他取的情形是弦起初是直的、被一击推动：两端钉死逼出 Γ = −Ψ，而 Ψ 必须是偶函数、以弦长的两倍为周期；任一时刻任一点的高度，就是这条「生成曲线」在 t + s 与 t − s 两处的纵坐标之差（第 X、XII 条）。欧拉 1748 年把它推到任意初形，连拨弦那种带折角的也算；达朗贝尔不肯——折角处二阶导数不存在，方程怎么还能成立？丹尼尔·伯努利 1753 年又说一切振动都是正弦的叠加（馆里他那一页）。三个人争了许多年，争的正是「什么样的东西才算函数」。演示里两条路算同一根弦：行波相加，与前 200 个正弦叠加，受击那一档最大差 5.5 × 10⁻⁸，拨弦那一档 3.6 × 10⁻⁴——折角处正弦收得慢。

看弦上一左一右两个波怎么跑、怎么在两端翻过来；下面是他那条生成曲线，拨 s 看 t ± s 两处的纵坐标

弦上 s 处的高度，是下面那条曲线在 t + s 与 t − s 两处的纵坐标之差；t 往前走，两个取样点一起往右挪，弦上就有一个往左跑、一个往右跑的波。与正弦叠加那条路比，最大差 0。

前三百项都在收敛

一个级数前面几项一路变小，不等于它收敛——要看后一项与前一项之比最终是不是小于 1。

∣an+1an∣=∣μ (m−n+1)n∣→∣μ∣\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \left|\frac{\mu\,(m-n+1)}{n}\right| \to |\mu|

1768 年《数学短论集》第五卷第三十五篇《关于级数与虚根的思考》第一段：把 1 + μ 升到 m 次方，第 n + 1 项与第 n 项之比是 μ(m − n + 1)/n，「级数要收敛，这个比（不计它该带的正负号）就必须小于 1」。n 越大这个比越接近 μ，所以 μ 小于 1 时级数收敛、大于 1 时终究发散。他接着举了一个很会骗人的例子（第 15 条）：把 1 + 200/199 开平方，前面的项一路变小，可比值 (1 + 1/199)(1 − 3/(2n)) 在 n 过了 300 之后就大于 1——「前面几项的收敛可以延续得很远，而级数终究发散，因而给出错的结果」。演示把它算了出来：第 300 项与第 301 项恰好一样大（2.4453 × 10⁻⁴），部分和在第 300 项离真值 √(399/199) = 1.41598909799 最近，差 1.22 × 10⁻⁴；此后每一项都比前一项大，第 2763 项起部分和与真值差出 1 以上。这就是今天课本上的比值判别法，在法国叫达朗贝尔判别法；他是就二项级数说的，一般的叙述与证明见于柯西 1821 年的《分析教程》。馆里柯西那一页讲过同一件事的另一面：1 + μ 的这个级数只在 |μ| < 1 时收敛，因为 μ = −1 处有一个奇点——200/199 正好落在圈外一点点。

前面几项一路变小、部分和一路逼近真值，最近时差 1.22×10⁻⁴；可比值在第 300 项过了 1，此后每一项都比前一项大，部分和又被拉开——「收敛」只是前面那一段的样子。

算来算去，阻力是零

照无粘流体的理论算，一个前后对称的物体在流体里走，前面受的压力与后面受的恰好抵消——阻力为零，与所有人的经验相反。

∮∂Bp n ds=0\oint_{\partial B} p\,\mathbf{n}\,ds = \mathbf{0}

一般认为 1752 年的《流体阻力新理论》里他已经推到了这一步；1768 年《数学短论集》第五卷第三十四篇干脆把它单列一节，题目就叫《向几何学家提出的关于流体阻力的一个悖论》：取一个由四块相等、相似的部分组成、前后对称的物体，放在无界的流体里；流体绕过前半边的样子与绕过后半边的一模一样，所以「流体对物体的压力将完全为零，前表面上的压力与后表面上的压力相等而相反」（第 6 条）。他在末尾写下了本页第一句语录。在他之前，算阻力靠的是牛顿那套「撞击」模型：只有迎流的那一面挨撞，压强正比于入射角正弦的平方，给圆柱的阻力系数 4/3——不是零，可也不是从流体的运动方程推出来的。演示取无粘、不可压、无旋的流体绕一个椭圆（茹科夫斯基映射搬过来），把表面压强积一圈：合力在各种形状、各种角度下都是 10⁻¹⁶ 量级，只剩舍入误差。可力矩不为零：长半轴 1、短半轴 0.4、斜 30° 时积出来 −1.142694，与闭式 −π(a² − b²)·sinα·cosα 逐位相同——合力为零，斜着的椭圆却会被扭向横在流里。悖论要等给流体加上粘性（纳维 1822 年、斯托克斯 1845 年），再到普朗特 1904 年的边界层，才说清阻力从哪里来：贴着物体那一薄层里，粘性再小也不能不算。

前面的压强高、后面的也高，两肩的压强低——前后对称地抵消，合力是 零（剩下的只是舍入误差）。可真实的船与桨明明受阻力：这就是他 1768 年「留给几何学家去解释」的悖论。

失去的那一份，在杠杆上恰好平衡

把每个物体「本来要走的」拆成「实际走的」加「失去的」，失去的那几份凑在一起必须互相抵消——动力学问题就这样变回了静力学。

∑i(Fi−mi r¨i)⋅δri=0\sum_i \left(\mathbf{F}_i - m_i\,\ddot{\mathbf{r}}_i\right)\cdot\delta\mathbf{r}_i = 0

1743 年《动力学论》第二部分第一章的原话：给一组互相牵连的物体各印上一个运动，它们因为彼此牵制没法照走；把每个印上的运动拆成两份，一份是它实际取的，另一份是这样的——「若只给这些物体印上后面那几份，系统会停着不动」。第三章问题一就用它解一根固定在 C 点、挂着 A、B、R 几个物体的杆：没有杆时它们在同一段时间里会各走 AO、BQ、RT，有了杆，它们实际走的必须与离 C 的距离成正比；失去的那几份 MO、GQ、ST 在杠杆上平衡，A·MO·CA + B·GQ·CB = R·ST·CR，一个方程就把实际的运动解了出来。他接着说，「用这个办法，不论什么假设下的振动中心问题都容易解了」，又说这个解法的原理「与伯努利先生求振动中心的原理是一回事」——振动中心是惠更斯 1673 年《摆钟论》里的题目，杠杆式的解法此前伯努利家已经用过（一般认为指雅各布·伯努利 1703 年那一篇）。所以他的贡献不在某一个结果，而在把这一招变成了「一切这类问题」的通法。演示是问题一的样子：三个体挂在同一根杆上，没有杆时它们一样快地往下掉；有了杆，里面的被拖慢、外面的被推快，失去的那几份对 C 的力矩之和恒为零，由此得到等效摆长 Σmr²/Σmr。周期两条路算：闭式 4√(L/g)·K 与按力矩平衡逐步推，三体各重 1、挂在 0.4、0.8、1.2 米处、起摆 0.5 弧度时都是 1.9687674 秒，差不到 10⁻¹²。拉格朗日 1788 年的《分析力学》把它与虚速度原理合起来，成了整本书的出发点（馆里拉格朗日那一页）。

没有杆时三个体一样快地往下掉；有了杆，里面的 A 被拖慢、外面的 R 被推快。把「失去的」那一份单拿出来，它们在杠杆上恰好平衡——动力学就这样化成了静力学。等效摆长 L = 0.9333 m，落在 B 与 R 之间。

只动常数项，跟着一个根走

先把常数项换成一个让某个实数成为根的值，再让它一点一点变回去，沿途跟着这个根——走不下去的地方，根就成了 p + q√−1。

x4+x+c=0,c:0→gx^4 + x + c = 0,\quad c: 0 \to g

他要的其实是积分：把一个有理分式拆成部分分式再积出来，就得先知道每个实系数多项式都能拆成实的一次与二次因子。1746 年那篇《积分学研究》开头列了前人：科茨、棣莫弗、赫尔曼只对付过三项式，史密斯做到四次；欧拉提过他证过一般情形，「可我在他的著作里没找到任何痕迹」。他自己的证法（第 VI 条命题二）是只动常数项：代一个实数 b 进去，把常数项换成使 b 成为根的那个值；再让常数项一路变回原来的 g，看这个根怎么跟着动。在实轴上走得通就一直走；走不通了，靠第 II 条命题一——在一点附近把根展成分数次幂的级数——接下来的根总能写成 p + q√−1。两条推论接着说：p − q√−1 也是根，两个一乘就是一个实的二次因子。演示取 x⁴ + x + c，从 c = 0、根 0 出发：c 长到 (3/4)·(1/4 的立方根) = 0.4724704 时，两个实根在 x = −0.6299605 撞在一起，此后跟着的根离开实轴，c = 2 时是 −0.849848 + 0.654272·√−1；另用杜兰德–克尔纳迭代直接把四个根解出来，两条路差不到 10⁻¹⁶。高斯 1799 年的博士论文逐一检讨了此前的证明，这一篇也在其中，认为它有几处是默认下来、没有证明的。今天这个念头换了个名字——同伦延拓：从一个解得出的问题出发，一步步变到要解的那个。法国至今把代数基本定理叫达朗贝尔定理（或达朗贝尔–高斯定理）。

两个实根在 x = −0.6300 撞在一起之后，跟着的根离开实轴，成了 p + q√−1；它的共轭（虚线）同时也是根——他接下来的两条推论就是拿这一对拼出一个实的二次因子。

圣让勒隆教堂门口

1717 年 11 月，一个新生儿被放在巴黎圣母院旁边一座小教堂的门口；四十五年后，俄国女皇与普鲁士国王先后请他去，他都谢绝了。

圣让勒隆是紧挨着巴黎圣母院的一座小教堂。孔多塞在颂词里写：「我们不打算揭开他在世时罩在他父母名字上的那层纱；他们是什么人又有什么要紧？一个天才真正的祖先，是在这条路上走在他前面的那些老师。」孩子被送到一位警务官那里，那人怕育婴堂养不活这个虚弱得快要断气的婴儿，把他交给了一位信得过的女工。几天之后生父知道了，出钱供他读书、给了他一份够过日子的年金。达朗贝尔自己写过一篇《达朗贝尔自述》，通篇用第三人称，讲到这位养母时说：他对这个把他喂大、养到四岁的女人始终怀着感激，刚出学校就搬去和她同住，一住将近三十年；1765 年一场大病之后，医生说那套房子不通风，他才搬出去。那时他已经是巴黎科学院的院士、《百科全书》的主编之一、欧洲几个科学院的外籍院士，叶卡捷琳娜二世与腓特烈二世都请过他，他一概谢绝。孔多塞那篇颂词与他的自述，都收在 1853 年那部《达朗贝尔文集》的卷首。

故事展签

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1747：弦的运动方程，通解是一左一右两个行波之和→波动方程成了声、光与电磁波的共同语言→声呐、地震勘探与医学影像：成像算法解的都是它的反问题
1743：失去的运动在约束上相互抵消→拉格朗日 1788 年的分析力学以它与虚速度原理为出发点→机器人与物理引擎里的多体动力学，每一步都在解这样的约束方程
1752 / 1768：无粘流体里阻力为零的悖论→粘性方程（纳维、斯托克斯）与普朗特的边界层把阻力找了回来→船舶与飞机的外形设计：阻力要从贴着表面那一薄层里算
1768：后项与前项之比最终小于 1，级数才收敛→判断级数截到哪一项、能不能用，成了分析的日常→数值逼近：计算器与函数库算 sin、exp、√ 时，先要知道级数收得多快
1746：只动常数项，沿途跟着一个根→同伦延拓：从一个解得出的问题一步步变到要解的那个→数值求根：多项式方程组的同伦延拓求解器

语录

「我承认，我看不出怎样用理论令人满意地解释流体的阻力。相反，在我看来，这套理论经过尽可能严格的处理与深究，至少在好几种情形里给出绝对为零的阻力——这个奇特的悖论，我留给几何学家去解释。」

—— 《数学短论集》第五卷（1768）第三十四篇 §I 第 17 条，第 138 页；据原文译出

「我要在这篇论文里说明，除了伸长旋轮线的伴随曲线之外，还有无穷多种别的曲线满足这个问题。」

—— 《张紧的弦振动时所成曲线的研究》开头，柏林科学院《论文集》1747 年卷第 214 页；据原文译出

「我们不打算揭开他在世时罩在他父母名字上的那层纱；他们是什么人又有什么要紧？一个天才真正的祖先，是在这条路上走在他前面的那些老师。」

—— 孔多塞《达朗贝尔颂》开头；据 1853 年《达朗贝尔文集》所收原文译出