George Gabriel Stokes · 1819–1903

斯托克斯

给液体加上内摩擦的人：黏性流体的方程、小球在空气里的阻力、有限高的水波，都从他的几篇论文算起；剑桥的卢卡斯数学教授，一做五十四年

\rho\frac{D\mathbf{u}}{Dt} = -\nabla p + \mu\nabla^2\mathbf{u} + \rho\mathbf{g}

不可压缩黏性流体的运动方程，今天叫纳维–斯托克斯方程。纳维 1822 年、泊松 1829 年、圣维南 1843 年各从不同的假设推出过同一组式子；他 1845 年那篇只从「液体各部分相对运动时才有切向力」出发，推导最干净，并拿它解了圆筒之间与圆管里的流动

斯托克斯 1819 年 8 月 13 日生于爱尔兰斯莱戈郡的斯克林，父亲是那里的教区牧师，他是八个孩子里最小的。十三岁去都柏林上学，1835 年去英格兰的布里斯托尔学院读了两年，1837 年进剑桥彭布罗克学院——此后六十六年，他几乎没离开过剑桥。1841 年以第一名（Senior Wrangler）毕业，史密斯奖也是第一，当年成了学院研究员。接下来几年他一篇接一篇地写流体：1845 年给液体加上内摩擦，推出今天叫纳维–斯托克斯的方程（本页第二件）；1847 年算有限高的水波（第四件），同年一篇论周期级数在间断点附近「无限缓慢地收敛」，与赛德尔同年各自碰到了后来叫一致收敛的那道边界。1849 年他当上卢卡斯数学教授，这个席位一百八十年前是牛顿的。

1850 年他连着做了两件至今还在用的事：3 月宣读的那篇用发散级数算出艾里积分的五十个零点（第五件），12 月宣读的那篇解出小球在黏性流体里的阻力 6πμaV（第三件，镇馆之宝）。1852 年他解释了荧光——物理上的发现，这里不展开。1854 年他当上皇家学会的秘书，一做三十一年，同年 2 月出的史密斯奖考卷第 8 题，就是今天叫斯托克斯定理的那条式子（第一件）。1857 年与天文学家罗宾逊的女儿玛丽结婚。1885 至 1890 年任皇家学会会长，1887 至 1891 年代表剑桥大学进下议院，1889 年封准男爵，1902 年任彭布罗克学院院长。1903 年 2 月 1 日卒于剑桥。《数学与物理论文集》五卷，前三卷 1880–1901 年由他自己编定，后两卷由拉莫尔在他身后编完。

伊夫琳·迈尔斯 1892 年摄，照相凹版，斯旺电气制版公司制 · 都灵科学院历史档案藏 · Wikimedia Commons，公有领域。照片左下印着「Copyright from life by Mrs F. W. H. Myers, 1892」，照片下是他的亲笔签名「G. G. Stokes」；他《数学与物理论文集》第五卷卷首用的也是「约 1892 年所摄」的一幅

生平

1819
生于爱尔兰斯克林
8 月 13 日，斯莱戈郡。父亲加布里埃尔·斯托克斯是当地的教区牧师。
1837
进剑桥彭布罗克学院
此后六十六年几乎一直住在剑桥。
1841
第一名毕业
Senior Wrangler，史密斯奖第一名；同年当选学院研究员。
1845
论运动流体的内摩擦
4 月 14 日在剑桥哲学学会宣读。黏性流体的方程；同轴圆筒之间的液体、细长圆管的流量。见本页第二件。
1847
论振荡波的理论
3 月 1 日宣读。深水波展到三阶，高的波跑得快。见本页第四件。
1847
论周期级数和的临界值
12 月 6 日宣读。级数在间断点附近「无限缓慢地收敛」——与赛德尔同年，各自碰到了一致收敛的边。
1849
卢卡斯数学教授
一直做到 1903 年去世，五十四年。
1850
艾里积分的五十个零点
3 月 11 日宣读《论一类定积分与无穷级数的数值计算》。见本页第五件。
1850
开尔文来信的附言
7 月 2 日。附言里写着后来叫斯托克斯定理的那条式子；信在他的遗稿里找到。
1850
摆与云
12 月 9 日宣读《论流体内摩擦对摆的运动的影响》，刊于 1851 年：6πμaV。见本页第三件。
1854
皇家学会秘书；史密斯奖第 8 题
秘书一做三十一年（到 1885 年）。2 月的考卷第 8 题就是斯托克斯定理。见本页第一、第六件。
1857
发散展开式里任意常数的间断
5 月 11 日宣读。今天叫斯托克斯现象。同年与玛丽·罗宾逊结婚。
1880
《数学与物理论文集》第一卷
重印 1847 年那篇时补了附录：最高的水波，顶上是 120° 的尖角。
1885
皇家学会会长
到 1890 年。1887–1891 年代表剑桥大学进下议院，1889 年封准男爵。
1899
任卢卡斯教授五十年
剑桥为他开纪念会，各国学者来贺。
1903
卒于剑桥
2 月 1 日。前一年刚任彭布罗克学院院长。

展品厅

绝大多数展品都可以亲手把玩——这是本馆的立馆之本；少数以叙述为主的，做成故事展签。

边界走一圈，等于任一张帽子上的旋度

以同一圈闭曲线为边的曲面有无穷多张；场的旋度穿过哪一张，总量都等于沿边界走一圈的环量。这条式子今天挂他的名字——它先出现在开尔文写给他的一封信里，是经他出的一道考题传开的。

\oint_{\partial S} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS

1854 年 2 月剑桥的史密斯奖考卷，第 8 题是这样出的：「设 X、Y、Z 是直角坐标 x、y、z 的函数，dS 是任一有限曲面上的面元，l、m、n 是 dS 处法线的方向余弦，ds 是边界线的线元，试证……」等号左边是旋度的三个分量与法向逐项相乘、在曲面上积分，右边是沿边界一圈的线积分。出题的是当年的卢卡斯教授斯托克斯，那一年应考的有麦克斯韦。近二十年后麦克斯韦在《电磁通论》第 24 节把这条定理追到这张考卷上，此后它就叫斯托克斯定理。首创权要分层说。拉莫尔编《数学与物理论文集》第五卷时在这道题下加了注：这类分析在安培论电流的文章里已有特例；开尔文 1850 年 7 月 2 日写给斯托克斯的信里，附言明写着这条定理，信是在斯托克斯的遗稿里找到的；式子里那个矢量（旋度），麦卡拉约 1837 年就在用，斯托克斯 1845 年也拿它表示液体微团的转动。所以更准的说法是：定理先由开尔文写下，由斯托克斯出成考题，从这张考卷传开。演示取场 F = (−y(1 + z), x(1 + z), 0)，边界是地面上的单位圆，沿它走一圈是 2π；帽子可以鼓起、压下、起皱，旋度往外穿的与往里穿的两部分各自涨落，合起来算到十二位都是 6.283185307180。两边用的是两条互不相干的算法：一条只在边界上取点，一条只在帽子内部取点。馆里格林那一页的格林定理，是这条式子摊平在平面上的样子。

帽子高 h = 0.90起皱 w = 0.50

帽子 z = 0.90·(1 − r²)(1 + 0.50·cos 3θ)：旋度往外穿的 +6.3156、往里穿的 -0.0324，合起来 6.283185，与沿边界走一圈的 2π = 6.283185 相同。

牛顿的漩涡差了一个力矩

一根圆柱在液体里匀速转，带着液体一圈圈转起来。牛顿说每一圈速度都一样；斯托克斯 1845 年算出速度与离轴的距离成反比——牛顿把「力相等」当成了「力矩相等」。

q(r) = \frac{A}{r} + B\,r, \qquad 2\pi r^2\,\tau(r) = \text{常数}

1845 年 4 月 14 日他在剑桥哲学学会宣读《论运动流体的内摩擦理论，以及弹性固体的平衡与运动》。旧的流体方程假定相邻两块液体之间只有垂直于界面的压力，他在开头举例：照这样，引水渠里的水该越流越快，摆在水里也不会慢下来。他给液体加上切向的内摩擦，推出一组方程，今天叫纳维–斯托克斯方程。首创权他自己在文中交代了：写完才发现泊松也得到了同样的方程，「只是他的方法与我的如此不同，我觉得仍有理由把我的呈给学会」；脚注又说纳维已对不可压缩液体得出过（圣维南 1843 年另有一种推导）。同一篇第 7 节拿方程去解两个同轴圆筒之间的液体：速度 q = A/r + B·r；外筒推到无穷远，q 就与离轴距离成反比。他指出牛顿《原理》第二编命题 51 讲的正是这件事、假设也相同，却得出速度处处一样——错在牛顿把「一圈液体里外两面受的力相等」当作不加速的条件，其实该相等的是力矩；改了这一处，照牛顿的推理就得出他的结果，命题 52 的球也跟着错。演示把两种答案并排：离轴 2a、3a 处斯托克斯的速度是 0.5、0.333，绕一圈的时间是贴柱那一圈的 4 倍、9 倍，牛顿的是 2 倍、3 倍。他还建议做实验时转外筒：内筒转得太快，近旁的液体会被甩出去、生出涡来——七十八年后泰勒 1923 年做出来的正是这种不稳定。同一篇他还按「贴壁不滑」算了细长圆管里的流速 w = gρ sin α (a² − r²)/4μ，拿去与博叙和杜布阿的实验一比，完全不合，他因此怀疑起贴壁的条件。今天知道那些管子粗、流得快，早已是湍流；这条抛物线剖面，就是后来的哈根–泊肃叶定律。

圆柱在无边的液体里转，贴着它的那一圈速度记作 1：斯托克斯算出离轴 2a 处 0.5、3a 处 0.333；牛顿第二编命题 51 说处处都是 1。

镇馆之宝 · 亲手玩

云为什么不掉下来

一颗千分之一英寸的水滴，照旧的阻力理论每秒要落三十二英寸；照斯托克斯 1850 年的式子只落一英寸半。云浮在天上，靠的是空气的黏性。

F = 6\pi\mu a V, \qquad V = \frac{2}{9}\,\frac{(\sigma - \rho)\,g\,a^2}{\mu}

这篇 1850 年 12 月 9 日宣读、1851 年刊出的长文，题目是《论流体内摩擦对摆的运动的影响》，本来是为摆写的：精密的摆都在空气里摆，按旧理论算出的空气修正，要乘上 2、3 乃至 6.5 左右才对得上观测。他用 1845 年的方程解出小球在黏性流体里慢慢运动时受的阻力 −F = 6πμ′ρaV（式 126，μ′ 即今天说的运动黏度），并特意指出：阻力与半径成正比，不与表面积成正比——所以颗粒越小越「浮」，「细粉在比重差得很远的流体里几乎悬着不落」。第 43 节他顺手算了云：取 g = 386 英寸/秒²、√μ′ = 0.116（他从三组摆的实验定出的空气「摩擦指数」，平均 0.1158）、水与空气密度比减一取 1000，得终端速度 V = 6372 × 1000a²：千分之一英寸的水滴每秒 1.593 英寸，万分之一英寸的慢一百倍。照只有平方阻力的旧理论，这两颗该落 32.07 与 10.14 英寸每秒。结论是：「看来，云之所以显得悬在空中，主要是由于空气的内摩擦。」逐个复算：系数今算 6374.7，他印 6372，所以 1.593 今算是 1.594；以 1.593 下落时平方阻力不到重量的四百分之一（今算 1/405），对；可他接着说换成万分之一英寸时这个比值「小十倍」，照他自己的式子应当小一千倍——速度小一百倍、落差高度小一万倍、半径小十倍（印本第 60 页作 ten times，渲图核过）。他用的空气黏度约为今测值的 0.59；换成今测值，千分之一英寸那一档是 0.93 英寸每秒。半个多世纪后，密立根 1909–1913 年的油滴实验先量油滴在空气里自由下落的速度，按这条定律反推出油滴的大小，再算出电子的电荷。

拖水滴的直径，看两条理论的终端速度在双对数图上怎样分开；右边两颗水滴同样落十秒

水滴直径 0.0010 英寸

直径 0.00100 英寸：照斯托克斯每秒落 1.594 英寸，照旧理论 32.08 英寸，慢了 20.1 倍。他 1850 年印的是千分之一英寸 1.593、旧理论 32.07。

深水的波，顶上会尖

小波是正弦；波一高，峰变尖、谷变平，还跑得更快。最高的那一个，顶上是一个 120° 的尖角——这一条是他三十三年后补上的。

\eta = a\cos x + \tfrac12 a^2\cos 2x + \tfrac38 a^3\cos 3x, \qquad c = \sqrt{g/m}\,\bigl(1 + \tfrac12 m^2a^2\bigr)

1847 年 3 月 1 日宣读的《论振荡波的理论》从约翰·斯科特·罗素的一句话开头：罗素在英国科学促进会的报告里说，据他的实验，一列振荡波的传播速度与波高无关。斯托克斯把深水里的波面展到三阶：y = a cos mx − (1/2)ma² cos 2mx + (3/8)m²a³ cos 3mx（他的 y 朝下量），波速 c = √(g/m)·(1 + m²a²/2)——高的波跑得快，只是差得不多。二阶那一项让峰尖谷平：ma = 0.3 时峰高出静水面 0.355/m，谷只低 0.265/m。他在脚注里注意到，这条式子展开到同一阶时与罗素主张的「长幅摆线」一致。原文第 212 页画了一幅深水波剖面，注明取 a = 7λ/80、三阶项「几乎看不出来」；复算那一档，波高与波长之比是 0.195，最陡处坡角 39°——比今天数值算出的真能走的最高波（高长比约 0.141）还高，那幅图画的其实是一个走不起来的波，三阶式子在那里早已失准。1880 年他把这篇收进《论文集》第一卷，补了一段附录：顺着波反向叠一股等速的流，波成了定常流，水面上的质点到了尖顶必须停下，离开时像从斜面上由静止滑下，速度随距离的平方根增长；在无旋的情形，这只容许两边各与铅垂成 60°——最高的波顶上是 120° 的尖角，「不是兰金以为的 90°」。他还写道，自己相信高度可以一路逼近这个极限，却拿不定坡角是不是始终不超过 30°。120° 这一条要到 1982 年才由阿米克、弗伦克尔与托兰，以及普洛特尼科夫各自严格证出。

陡度 ma = 0.300

ma = 0.300：波峰比正弦尖、波谷比正弦平，波高 / 波长 0.0987。

发散的级数，算出五十条暗纹

艾里为虹的暗纹写下一个积分，用处处收敛的级数只算得出两个根；斯托克斯改用一条起初收敛、终于发散的级数，算出五十个——今天逐个复核，四十四个四位全对。

\frac{\phi}{\pi} = i - \frac14 + \frac{0.028145}{4i-1} - \frac{0.026510}{(4i-1)^3} + \frac{0.129402}{(4i-1)^5}, \quad m = 3\Bigl(\frac{\phi}{\pi}\Bigr)^{2/3}

主虹内侧常常还挨着几道淡淡的彩带，几何光学解释不了。艾里 1838 年用波动光学把虹附近的光强写成一个积分 W(m) = ∫₀^∞ cos[π/2 (w³ − mw)] dw，暗纹就落在 W 的零点上。他按 m 的升幂展开去算：这条级数对任何 m 都收敛，可 m 稍大，各项就大得吓人、又彼此抵消——补篇里用上了十位对数，也只算出头两个根；而米勒在实验室的人造虹里已经数到三十条暗纹。斯托克斯 1850 年 3 月 11 日宣读的《论一类定积分与无穷级数的数值计算》换了方向：从 W 满足的微分方程出发，写出按 m 降幂的级数——它起初收敛、终于发散，只取开头几项，m 越大反而越准。第 346 页的式 (42) 只带三个修正项，第 349 页据此列出前五十个根。今天逐个复算：五十个里四十四个与真值四舍五入到第四位完全相同，六个（第 5、12、25、26、27、34 个）差末位一个单位；而照式 (42) 本身今算，从第三个根起每个都准到百万分之一——出入在手算那一步，不在式子。头一个根式子只准到三位，他老老实实改用艾里表内插的 2·4955（今算 2.495504）。这篇还留下一处他自己承认没弄明白的地方：m 由正变负时，级数前面的常数要换，换法他猜对了，却「无法给出令人满意的证明」。七年后（1857 年 5 月 11 日）他写了《论发散展开式中任意常数的间断》，指出这些常数在复平面上越过某几条线时会突然改变——今天叫斯托克斯现象。

第 i 个根：i = 5

第 5 个根：印本 8.4788，今算 8.478917，末位差一个单位。五十个里四十四个全对，六个（第 5、12、25、26、27、34 个）差末位一个单位。

替皇家学会看了三十一年稿子

1854 年他当上皇家学会的秘书，一当三十一年。自己的论文从此少了，别人的论文里却处处是他的改笔。

瑞利 1903 年为皇家学会写的讣告里有一段很不客气的话：拉莫尔意味深长地提到，他是 1854 年当上皇家学会秘书的；翻他的论文集，此后的产量明显掉了下来——「让人不禁想到，科学家应当留在科学工作上，不该被诱去担繁重的行政职务，至少要等他们把更重要的话对世界说完」。可瑞利紧接着写了另一面：学会的《会报》与《汇刊》里满是对他的致谢，「好多篇署着别人名字的论文里，他的建议或评语并不是最没有价值的部分」；「作者被指出错误时，要他同样感激，这不合人性」，但「据知不止一次，正是斯托克斯的批评拦下了严重错误的发表」。他与开尔文通信半个多世纪，斯托克斯定理就在其中一封的附言里。他做卢卡斯数学教授五十四年，史密斯奖的卷子大多数年份由他出一份，一直出到 1882 年；1854 年那张卷子第 11 题问：两个运动的体系要在动力上也相似，得满足什么条件——拿一条 2 英尺 3 英寸的模型去试 36 英尺的运河船的阻力，模型该拖多快。1885 年起他做了五年会长，1887 至 1891 年代表剑桥大学进下议院——瑞利说，这两件都是步卢卡斯席位上那位前辈牛顿的后尘。瑞利还说他「性情格外安静寡言」，却很少推掉邀请；许多发现是在他家配膳室后面一条窄过道里做的，窗上装了一块开缝的百叶，架子上放晶体和棱镜。1899 年剑桥为他任教授五十年开纪念会，各国学者赶来；三年多后，1903 年 2 月 1 日，他在剑桥去世。

故事展签

传承

他的工作没有留在十八世纪——每条链的终点，都是你今天正在使用的东西。

1845：黏性流体的运动方程，今天叫纳维–斯托克斯方程→边界层、湍流与雷诺数都从这组方程出发→飞机与火箭的气动设计、天气预报的数值模拟

1851：小球在黏性流体里的阻力 6πμaV→1909–1913 年密立根的油滴实验，靠它量出油滴大小、算出电子电荷→沉降分析与气溶胶测量，材料科学里给颗粒量大小

1854：斯托克斯定理（开尔文 1850 年的信里先写下）→麦克斯韦方程组的积分形式：线圈里的感应电动势等于穿过它的磁通变化→电磁场计算，与计算机图形里流体模拟用的离散旋度

1847：有限振幅的深水波，1880 年补上最高波的 120° 尖角→海浪的非线性理论与波浪统计→船舶与海上平台按「设计波」校核结构

1850–1857：拿发散级数做数值计算，以及常数的间断（斯托克斯现象）→渐近分析与 WKB 近似→量子力学里的隧穿与光学里焦散附近的光强

他在哪几条专题里

专题是按技术组织的演进线，一条从概念提出拉到今天的器物。这里一个字都没手写，全是 tracks.ts 推出来的。

航天一枚正在落回发射场的一级火箭1845 空气也有黏性：物体在流体里受的阻力，从这组方程算起（语言）

语录

「后来我发现泊松写过一篇论同一题目的论文，翻来一看，他得到的方程与我的一样。只是他的方法与我的如此不同，我觉得仍有理由把我的呈给学会。」
—— 《论运动流体的内摩擦理论，以及弹性固体的平衡与运动》引言，1845 · 《数学与物理论文集》第 1 卷第 77 页；据原文译出

「看来，云之所以显得悬在空中，主要是由于空气的内摩擦。」
—— 《论流体内摩擦对摆的运动的影响》第 43 节，1850 年宣读 · 《数学与物理论文集》第 3 卷第 60 页；据原文译出

「两支各与铅垂成 ±60°，彼此夹成 120°，而不是兰金所设想的 90°。」
—— 《论振荡波的理论》1880 年重印时补的附录 · 《数学与物理论文集》第 1 卷第 227 页；据原文译出